8.3 实数及其简单运算 课时1 实数的概念及其分类 课件 2024—2025学年人教版七年级数学下学期

第八章 实数 8.3 实数及其简单运算 课时1 实数的概念及其分类 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 无理数 7. 课堂小结 8. 当堂小练 CONTENTS 2. 知识回顾 5. 知识点2 实数及其分类 10. 拓展与延伸 6. 知识点3 实数与数轴上点的关系 9. 对接中考 3. 新课导入 1.了解无理数和实数，能将实数按要求进行分类. 2.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小. 学习目标 知识回顾 一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根.这就是说，如果 x3=a，那么 x 叫做 a 的立方根. 求一个数的立方根的运算叫做开立方.开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根. 知识回顾 什么是有理数？有理数怎样分类？ 新课导入 【问题】在前面的学习中，我们通过引入一类新的数——负数，使数的范围扩充到有理数.本章我们认识了像，怎这样的无限不循环小数，它们是有理数吗?如果不是，我们将再次扩充数的范围. 新课讲解 知识点1 无理数 【探究】把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么? 它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式. 整数可以写成小数点后为0的小数. 新课讲解 事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？ π=3.141 592 653 589 793 238 462 6… 1.010 010 001 000 01…(两个1之间依次多一个0) 不是，如： 1.414 213 56… 1.709 975 94… 很多数的平方根、立方根都是无限不循环小数. 新课讲解 无限不循环小数又叫作无理数. 无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数， 它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映. 例如，-，，等都是无理数. 新课讲解 1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数. 2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数. 注意 常见的无理数的形式： (1)开方开不尽的数的方根，如：等； (2) π 及化简后含 π 的数，如：π+1等； (3)具有特殊结构的数，如：0.3030030003…(相邻两个 3之间依次多一个 0 ). 像有理数一样，无理数也有正负之分.例如，是正无理数，是负无理数. 新课讲解 无理数与有理数的区别 有理数 无理数 本质 可以化为分数形式 不能化为分数形式 表现形式 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 新课讲解 例 1. 下列各数：3.141 59，，0.131 131 113… （每相邻两个3之间依次多1个1），－π， ，中，无理数有(　 　) A．1个　　 　B．2个　　　 C．3个　 　　D．4个 B 新课讲解 练一练 1. 有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数就是无理数；②无理数包括正无理数、0、负无理数；③带根号的数都是无理数；④ 是分数 . 其中正确的个数是（　　） A.0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：无限循环小数是有理数，故①错误；0 是有理数， 不是无理数，故②错误；开方开不尽的数才是无理数，故③错误； 不是有理数，故不是分数，故④错误 . A 诊误区：1. 无限小数有无限不循环小数和无限循环小数两类； 2. 带根号的数不一定是无理数，如： ； 3. 只有分子、分母都是有理数时，才是分数 . 新课讲解 练一练 2. 下列各数：3.141 592 6，，，1.212 212 221...(相邻的两个1之间依次多一个2)，2-π，-2032，中，无理数的个数为______. 解析：根据定义可知1.212 212 221...(相邻的两个1之间依次多一个2) ，2-π，是无理数. 3个 新课讲解 知识点2 实数及其分类 实数的概念：有理数和无理数统称实数． 实数的分类： (1) 按定义分类： 实数 有理数 无理数 整数 分数 正整数 负整数 0 负分数 正分数 有限小数或无限循环小数 正无理数 负无理数 无限不循环小数 (2)按性质分类： 实数 正实数 负实数 0 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 实数的分类有不同的方法，但不论用哪一种分类方法，都要做到不重不漏. 新课讲解 1. 对实数进行分类时，某些数应先进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能看到带根号的数，就认为是无理数，不能看到有分数线的数，就认为是有理数. 2. 在实数范围内，一个数不是有理数，那么它一定是无理数，反之亦成立. 归纳 新课讲解 例 2. 把下列各数填在相应的大括号内. . 正实数：{ …}； 有理数：{ …} ； 无理数：{ …}. 非负整数：{ …}； 整数：{ …}； 负分数：{ …}； 新课讲解 练一练 1. 下列说法中，正确的是（ ）. A. 实数分为正实数和负实数 B. 无限小数都是无理数 C. 无理数都是无限小数 D. 带根号的数都是无理数 C 新课讲解 练一练 2. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的 x 为 81 时，输出的 y 是（ ）. 输入x 取算术 平方根 输出y 是无理数 是有理数 D A. 9 B. C.3 D. 新课讲解 知识点3 实数与数轴上点的关系 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？ 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点 O'，点 O' 对应的数是多少？ 0 -2 -1 1 3 2 4 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● O' 从图中可以看出，OO' 的长是这个圆的周长 π，所以点 O' 对应的数是 π. 这样，无理数 π 可以用数轴上的点表示出来. 新课讲解 你能在数轴上表示出 和 吗？ 以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示-. -2 -1 0 1 2 新课讲解 当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. “一一对应”有两层含义: ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ②数轴上的每一个点都表示一个实数. 实数与数轴间的关系：实数和数轴上的点一 一对应. 数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示 . 即若点 A，点 B 在数轴上表示的数为 x 1， x 2，则 AB=|x1-x2|. 新课讲解 例 3. 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为 －1 和 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C，求点 C 所表示的实数． 解：∵数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 ， ∴点 B 到点 A 的距离为1＋ ，则点 C 到点 A 的距离为 1＋ . 设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点 C 的距离为－1－x， ∴－1－x ＝ 1＋ ， ∴ x ＝ －2－ . 新课讲解 1. 在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其大致位置. 2. 借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数. 注意 新课讲解 两个实数要如何比较大小？ (1) 对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. (2) 正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数； 两个负实数比较大小，绝对值大的反而小. 新课讲解 不用计算器， 与 2 比较哪个大？与 3 比较呢？ ，2可以分别看作是面积为5，4的正方形的边长，可以推断：面积较大的正方形，它的边长也比较大，因此 . 因为5<9，所以. 新课讲解 例 4. 给出三个数：-π，-3， ，将它们按从小到大的顺序排列为( ) A.-3<-π< B.-π<-3< C. <-3<-π D.-π< <-3 B |-π|=π≈3.14 |-3|=3 ≈2.65 2.65<3<3.14 -π<-3< 新课讲解 比较 + 与 + 的大小 . 【变式1】利用估算法比较大小 方法点拨： 先取无理数的近似值，再进行计算比较大小 . 解： + ≈ 1.414+2.646=4.06， + ≈ 1.732 +2.449 ≈ 4.18. ∵ 4.06<4.18， ∴ + < + . 新课讲解 比较 与 的大小 . 【变式2】利用作差法或分析法比较大小 方法点拨： 先求出这两个数的差，再根据差的正负确定两数大小 . 解：(方法一 作差法) - = = . ∵ -2<0， ∴ <0，即 - <0. ∴ < . (方法二 分析法) ∵ 3<4， ∴ < ，即 <2. ∴ < . ∴ < . 新课讲解 已知实数 a 在数轴上的对应点的位置如图 8.3-2 所示，则 a， -a， ， a2 的大小关系是（ ） A. a<-a< <a2 B. <a<a2<-a C. -a< <a<a2 D. <a2<a<-a 【变式3】利用特殊值法比较大小 方法点拨： 赋予 a 一个符合已知条件的特殊值，分别计算其他代数式的值后比较大小，得出结论 . 解： 不 妨 取 a=- ，则 -a=- (- )= ， =-2， a 2= ， 所以 <a<a2<-a. B 新课讲解 实数 a， b 在数轴上的对应点的位置如图 8.3-3 所示，下列式子正确的是（ ） A.a－b<0 B.－a<－b C.｜ a｜<｜ b｜ D.－a<b 【变式4】利用数轴比较大小 方法点拨：数轴上的点与实数一一对应；数轴上原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数；右边的点表示的数比左边的点表示的数要大. 解： 如图 ，在数轴上标出 －a 和 －b 的对应点的位置 . 由图可知： a ＜ －b ＜ 0 ＜ b ＜ －a， |a| ＞ |b|. A 新课讲解 实数大小比较的方法： 1. 估算法：利用取近似值来比较实数的大小 . 2. 作差法：若 A-B>0，则A>B；若 A-B=0，则A=B； 若 A-B<0， 则A<B. 3. 分析法 . 4. 特殊值法：用字母表示的实数的大小比较，利用取特殊值法往往比较简单 . 5. 作商法：不妨假设A>0， B>0，若 >1，则 A>B； 若，则 A=B； 若<1， 则A<B. 归纳 新课讲解 例 5. 如图 8.3-1，面积为 7 的正方形 ABCD 的顶点 A 在数轴上，且点 A 表示的数为 1，若点 E 在数轴上(点 E 在点 A 的右侧)且 AB=AE，则点 E 所表示的数为___________ . 1+ 解：∵ 正 方 形 ABCD 的 面 积 为 7， AB=AE， ∴ AE=AB= . ∵ 点 A 表示的数为 1， ∴ 点 E 所表示的数为 1+ . 方法点拨：先计算出 AB 的长度，然后结合数轴判断 . 新课讲解 练一练 1. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为－5，则A，B两点之间的距离为 ________． 分析：根据数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数，列式计算即可得解． 新课讲解 练一练 2. 如图，半径为 1 个单位长度的圆沿数轴从实数 -1 对应的点向右滚动一周后，圆上的点A（开始时点 A 与 -1 对应的点重合）恰好与数轴上的点 B 重合，则点B 对应的实数是_________ . 2π－1 课堂小结 实数 一一对应 实数及其分类 实数与数轴上点的关系 无理数 无限不循环小数 按定义分类 按性质符号分类 实数的大小比较 当堂小练 1. 下列说法正确的是 ( ) A.无理数是开方开不尽的数 B.无理数一定是带根号的数 C.无限小数是无理数 D.无理数是无限不循环小数 D 当堂小练 2. 下列说法正确的有( ) ①数轴上任意一点都表示一个有理数； ②任意一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示； ③任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ④有理数与数轴上的点一 一对应.· B A.1个 B.2个 C.3 D.4个 实数 实数 当堂小练 3. 如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示－1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是（　　） A．π－1 B．－π－1 C．－π＋1 D．π－1或－π－1 D 当堂小练 4. 把下列各数分别填在相应的集合里： 0.12，π，-，-24，0，，-5.12，. 负实数： … 无理数： … 非负有理数： … π，-，， 0.12，0，， -，-24，-5.12， 当堂小练 5. 将-2，，0，，-π与图中数轴上标有字母的各点对应起来，并用“<”连接这些数. 解：-2对应点B， 对应点D， 0对应点C， 对应点E， -π对应点A. 由图可知-π<-2<0<<. 当堂小练 6. 比较 与 的大小. 解： ∵2<4， ∴，即<2， ∴<0， ∴<0， < . 对接中考 1. 在－1，0，，中，无理数是( ) A. －1 B. 0 C. D. D 对接中考 2. 下列4个实数中，为无理数的是 ( ) A.-2 B.0 C. D.3.14 C 开方开不尽的数的方根 对接中考 3. 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是( ) A. a>b B. |a|>|b| C. ab>0 D. a+b>0 B -3 -2 -1 0 1 5 3 4 2 a b a<0，b>0 a<b a<0，b>0 ab<0 a<0，b>0，|a|>|b| a+b<0 拓展与延伸 1. 下列说法正确的是（　　） A. 是分数 B. 是分数 C. 是分数 D. 是分数 D 拓展与延伸 2. 实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示.下列结论正确的是( ) A. a>b B. a> -b C. -a>b D. -a<b C -3<a<-2，1<b<2 拓展与延伸 3. 比较3，，的大小( ) A. 3<< B. 3<< C. <3< D. <<3 C >=3 <=3 拓展与延伸 4. 设 x，y 是有理数，且 x，y 满足等式 x2+2y+y=17-4，求 x-y 的值. 解：∵ x，y 是有理数，且 x，y 满足等式 x2+2y+y=17-4， ∴ 解得 或 ∴ 当 x=5，y=-4 时，x-y=5-(-4)=9， 当 x=-5，y=-4 时，x-y=-5-(-4)=-1. $$