专题13 复数（4大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题13 复数 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 5 题型一、复数的综合运算 5 题型二、复数中的几何意义问题 8 题型三、实系数一元二次方程的解 9 题型四、复数的三角表示 11 压轴能力测评（22题） 14 一、复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： （2）复数加法满足的运算律 对任意，有 交换律： 结合律： （3）复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 二、复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）复数减法的几何意义 复数 向量 三、()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 四、实系数一元二次方程 1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） （1）当时，方程的两个实根满足韦达定理 ，。 （2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则 ， 。 综上所述，无论方程的判别式的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的情况，即实系数一元二次方程（、、且）的两个根与系数满足关系 ， 五、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 （1）复数的三角形式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 注意：复数三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连” （2）复数的俯角 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值. 我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值. 通常记作，即. 六、复数代数形式和三角形式的互化 复数的代数形式化三角形式的步骤: ①先求复数的模； ②决定辐角所在的象限； ③根据象限求出辐角(常取它的主值)； ④写出复数的三角形式． 七、三角形式下复数的相等 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 八、复数三角形式的乘法 设，的三角形式分别是：，，则 简记为 ：模数相乘，幅角相加 九、复数乘法的几何意义 两个复数相乘时，可以像下图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这就是复数乘法的几何意义. 十、复数三角形式的除法及其几何意义 （1）复数三角形式的除法 设，，且， 因为， 所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 简记为 ：模数相除，幅角相减 （2）复数除法的几何意义 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【题型一 复数的综合运算】 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的运算法则求出复数，再确定其虚部. 【详解】因为，，. 所以. 所以复数的虚部为：. 故选：A 2．（2025·云南曲靖·一模）已知复数和，满足，则（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的模长平方关系计算求和即可. 【详解】因为复数和，满足， 则， 所以，所以. 故选：C. 二、多选题 3．（2025·四川德阳·二模）已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．是的充要条件 D．若，则中至少有一个为0 【答案】BD 【分析】AB选项，根据复数模的计算公式判断；C选项，根据复数定义判断；D选项，根据列方程，解方程即可. 【详解】若，则可以为，故A错； 设，，， 则， ， 所以，，故B正确； 当，时，为虚数，不能比较大小，故C错； ，则，解得或，故D正确. 故选：BD. 4．（24-25高一下·河北石家庄·开学考试）已知复数，则（    ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若，则或 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断B；根据复数的乘法运算及复数的模即可判断C；根据复数的加减法运算及复数的模即可判断D. 【详解】对于A，设，则， 所以为实数，所以A正确； 对于B，设，则，但且，所以B错误； 对于C，设， 则 ， 又，则，所以C正确； 对于D，设，， 则，， 则 ， 故 ，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 5．（24-25高一下·全国·单元测试）设函数（z为复数）满足．若，则 ． 【答案】1 【分析】先，求得，结合得到，再根据题设得到，进而得，由即可求得. 【详解】因为， 所以， 所以． 又， 所以， 即， 即． 故答案为：1. 6．（2024·吉林长春·一模）若，则 . 【答案】 【分析】利用复数的运算法则求解. 【详解】由于， 则 所以，，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：复数运算的常用技巧在解题中的运用，若，则； 若，则，，. 【题型二 复数中的几何意义问题】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，，0，则第四个顶点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，由运算得解. 【详解】如图，正方形的三个顶点对应的坐标为，，， 设第四个顶点为，由，则， 所以为正方形的对角线，则， ，解得， ，即第四个顶点对应的复数为. 故选：B. 3．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的模长加减运算数形结合求解即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且，由勾股定理逆定理知道， 为直角三角形，且. 作长方形，如图所示， 则对应的复数为，故. 故选：C. 【题型三 实系数一元二次方程的解】 一、单选题 1．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据已知条件，复数和是关于x的一元二次方程的两个根，结合方程的根与系数关系即可求解. 【详解】复数是关于x的一元二次方程的一个根， 则方程的另一根为， 故，解得. 故选：A. 2．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）在复数范围内，方程的根是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】利用根与系数关系求复数范围内方程的根即可. 【详解】由，则方程的根为. 故选：C 3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知关于x的实系数一元二次方程在复数集中的两个根是，下列结论中恒成立的是（    ）． A．和互为共轭复数 B．， C． D． 【答案】B 【分析】对于A,C,D项，可以通过举反例排除，对于B项，则需要分情况求解验证. 【详解】对于A，可能为实根，如方程就有1和2两个实数根，故A错误； 对于B，当时，自然韦达定理成立；当时，解得，则有，，故B正确； 对于C．有可能成立，如方程的根的判别式为负数，故C错误； 对于D．若方程为，解得， 则而，两者不相等，故D错误. 故选：B． 4．（23-24高一下·新疆·期末）已知方程的根分别为，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由复数根的性质进行配凑，结合复数乘法即可求解. 【详解】 . 故选：A. 【题型四 复数的三角表示】 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【详解】， 故选：C. 2．（2024高一下·全国·专题练习）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算及复数的辐角的主值的定义即可得解. 【详解】因为， 所以的辐角的主值为. 故选：D. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的三角形式的运算求解即可. 【详解】因为是方程的一个根， 所以． 故选：D. 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把化为复数的三角形式，根据复数对应的向量旋转所得向量，求解即可. 【详解】由已知得， 所以绕原点顺时针旋转得 ， 由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得， 所以. 故选：B. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ） A．3 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意，得， 由复数相等的定义，得 解得，． 故选：C 二、解答题 6．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由复数的四则运算代入计算，即可证明； （2）根据题意，将复数化为复数的三角形式，然后结合三角形式的运算，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由复数的三角形式的运算代入计算，结合终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）证明： . （2）依题意，， 所以 . （3）设，则， 因此，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设（），由条件等式，应用复数相等求，得到复数. 【详解】设（），则，， 因为，所以， 所以解得 即． 故选：D. 2．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算化简，再转化为三角形式，从而确定正确答案. 【详解】由题设， ， 故A，C，D错误，B正确． 故选：B 3．（2024·全国·三模）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由复数减法的几何意义得即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以，所以的最大值为． 故选：B 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用复数的旋转性质建立方程，求解参数后得到新复数，再求模即可. 【详解】由题意可设（，）， 对应的向量为，对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则，解得 ，， ，故C正确. 故选：C 5．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 【答案】D 【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解. 【详解】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 6．（2025高一·全国·专题练习）在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】设，代入方程后利用复数的运算法则列方程组求得，即可得解. 【详解】设，那么原方程即为， 得故或或 所以，故方程的解的个数为6. 故选：C 7．（24-25高一下·山西太原·阶段练习）设复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】A 【分析】由集合相等得出为虚数，然后确定，只能是，再设且，代入求解． 【详解】由题意为虚数，所以，从而由题意集合中唯一的正实数相等，即，所以， 若，则或，不合题意，舍去， 因此，由共轭复数的性质有， 设且，由得， 所以，由于，故解得，， 故选：A． 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）设复数分别对应于平面向量，则""是""的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【分析】根据""与""互相推出的情况判断即可. 【详解】设，则， 若，取，则，所以， 所以不能推出； 若，则，所以， 所以，化简可得， 所以或， 所以或，所以成立，所以可以推出； 所以""是""的必要非充分条件. 故选：B. 9．（24-25高一下·全国·课后作业）如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹．然后画图求解即可． 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为，， 所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示， 所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值． 因此作于，则与的距离即为所求的最小值，， 故的最小值是1． 故选：A． 二、多选题 10．（23-24高一下·陕西铜川·期末）已知为复数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】易知时满足可得A错误，利用复数的运算法则可判断B正确，C正确，易知，可得D错误. 【详解】对于A，若，则，而此时，故A错误； 对于B，因为，所以，又，所以，即，故B正确； 设，则， 所以， 所以， ，所以，故C正确； 对于D，取，，满足，而，故D错误． 故选：BC． 11．（23-24高一下·福建漳州·期末）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．复数，则在复平面内对应的点位于第四象限 B． C．若复数满足，则 D．若，则的最大值为 【答案】BD 【分析】根据复数所在象限判断A,应用求和即可判断B,根据特殊值结合复数的模判断C,应用三角不等式求复数模的最大值判断D选项. 【详解】对于A，复数对于点位于第一象限，错误； 对于B，，正确； 对于C，取，则，错误； 对于D，，当时取最大值，正确. 故选：BD. 12．（23-24高一下·广东·期末）已知复数，则下列说法中正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】对于A，由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义即可判断；对于B、C，举反例即可判断；对于D，设，，再根据共轭复数定义、复数的除法以及复数的模的定义直接计算即可判断. 【详解】对于A，设复数、对应的点分别为、， 则由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义得，故A正确； 对于B，当，则，可为任意复数，即与不一定相等，故B错误； 对于C，设复数、， 则，故，但不满足，故C错误； 对于D，若，设，， 故， 则 ， 又，故，故D正确. 故选：AD. 13．（24-25高一上·江西南昌·开学考试）已知虚数是方程的两个不同的根，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，利用立方差公式得到为的两个根，故A正确；B选项，计算出的两个根，计算出B错误；C选项，由韦达定理得到C正确；D选项，利用模长计算出D正确. 【详解】A选项，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根， 则，A正确； B选项，的两根为， 若，， 则，B错误； C选项，由韦达定理得，C正确； D选项，由B选项，或，均有，D正确； 故选：ACD 14．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用对分子化简，然后利用复数的除法化简，可求共轭复数、复数的模依次判断即可得出结果. 【详解】因为，所以， 所以， 所以A正确，B错误， ，C准确， 所以，D正确. 故选：ACD 三、填空题 15．（24-25高一上·上海·课后作业）若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是 、 . 【答案】 【分析】设出两个复数，依据给定条件建立方程，求解参数即可. 【详解】设，（），依题意有，， 即所以 将代入，得； 将代入，解得； 将代入，得， 结合解得或 所以对应的数为、. 16．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知方程，有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则 ． 【答案】 【分析】直接解二次方程得到两个虚数根，从而利用复数的几何意义得到关于的方程，注意检验，从而得解. 【详解】因为方程，有两个虚数根， 所以，则， 又由，得，即， 所以，即， 所以的两个虚数根分别为， 它们在复平面上对应的点分别为， 所以它们之间的距离为，解得，满足， 所以. 故答案为：. 17．（24-25高一上·上海·课后作业）已知i为虚数单位，，且，则 . 【答案】0，–2或2 【分析】因为具有周期性，分别计算取时的值即可得解. 【详解】因为的周期为4， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 又因为, 所以时，， 综上，. 故答案为：. 18．（23-24高一下·山东·期中）复数满足，则 ， ． 【答案】 【分析】复数域内解方程，结合方程思想降次化简计算即可. 【详解】由题意可知是在复数域内的两个根，根据韦达定理有； 因为满足，所以，， 则 ， 当时，， 当时，， 综上. 故答案为：；. 四、解答题 19．（23-24高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转成复数减法运算即可得解. （2）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转化成复数加法运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 20．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的几何意义，结合第四象限的点的特征即可求解， （2）根据复数减法的几何意义，由纯虚数的定义即可求解. 【详解】（1）因为复数，向量表示的点在第四象限， 所以解得. 所以a的取值范围是. （2）因为， 所以向量对应的复数为. 根据向量对应的复数为纯虚数，可得且， 解得. 21．（2024高一下·全国·专题练习）下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1)； (2)； (3). 【答案】(1)不是； (2)是 (3)不是， 【分析】（1）（2）（3）根据复数的三角形式的要求一一判断每个小题中的复数表示是否为复数形式，即可求得答案. 【详解】（1）不是复数的三角形形式， ， 即的三角形式为； （2）是复数的三角形式； （3）不是复数的三角形式， ， 即的三角形式为. 22．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用复数运算的三角表示化简可得结果； 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 复数 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 5 题型一、复数的综合运算 5 题型二、复数中的几何意义问题 5 题型三、实系数一元二次方程的解 6 题型四、复数的三角表示 6 压轴能力测评（22题） 7 一、复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： （2）复数加法满足的运算律 对任意，有 交换律： 结合律： （3）复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 二、复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）复数减法的几何意义 复数 向量 三、()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 四、实系数一元二次方程 1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） （1）当时，方程的两个实根满足韦达定理 ，。 （2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则 ， 。 综上所述，无论方程的判别式的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的情况，即实系数一元二次方程（、、且）的两个根与系数满足关系 ， 五、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 （1）复数的三角形式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 注意：复数三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连” （2）复数的俯角 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值. 我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值. 通常记作，即. 六、复数代数形式和三角形式的互化 复数的代数形式化三角形式的步骤: ①先求复数的模； ②决定辐角所在的象限； ③根据象限求出辐角(常取它的主值)； ④写出复数的三角形式． 七、三角形式下复数的相等 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 八、复数三角形式的乘法 设，的三角形式分别是：，，则 简记为 ：模数相乘，幅角相加 九、复数乘法的几何意义 两个复数相乘时，可以像下图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这就是复数乘法的几何意义. 十、复数三角形式的除法及其几何意义 （1）复数三角形式的除法 设，，且， 因为， 所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 简记为 ：模数相除，幅角相减 （2）复数除法的几何意义 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【题型一 复数的综合运算】 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·云南曲靖·一模）已知复数和，满足，则（   ） A． B．3 C． D．1 二、多选题 3．（2025·四川德阳·二模）已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．是的充要条件 D．若，则中至少有一个为0 4．（24-25高一下·河北石家庄·开学考试）已知复数，则（    ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若，则或 C． D． 三、填空题 5．（24-25高一下·全国·单元测试）设函数（z为复数）满足．若，则 ． 6．（2024·吉林长春·一模）若，则 . 【题型二 复数中的几何意义问题】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，，0，则第四个顶点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【题型三 实系数一元二次方程的解】 一、单选题 1．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A． B． C．4 D．8 2．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）在复数范围内，方程的根是（    ） A． B． C． D．无解 3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知关于x的实系数一元二次方程在复数集中的两个根是，下列结论中恒成立的是（    ）． A．和互为共轭复数 B．， C． D． 4．（23-24高一下·新疆·期末）已知方程的根分别为，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【题型四 复数的三角表示】 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 2．（2024高一下·全国·专题练习）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ） A．3 B．12 C． D． 二、解答题 6．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）复数满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·三模）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 5．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 6．（2025高一·全国·专题练习）在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（24-25高一下·山西太原·阶段练习）设复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．0或 D．0或 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）设复数分别对应于平面向量，则""是""的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 9．（24-25高一下·全国·课后作业）如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 二、多选题 10．（23-24高一下·陕西铜川·期末）已知为复数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（23-24高一下·福建漳州·期末）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．复数，则在复平面内对应的点位于第四象限 B． C．若复数满足，则 D．若，则的最大值为 12．（23-24高一下·广东·期末）已知复数，则下列说法中正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（24-25高一上·江西南昌·开学考试）已知虚数是方程的两个不同的根，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（24-25高一上·上海·课后作业）若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是 、 . 16．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知方程，有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则 ． 17．（24-25高一上·上海·课后作业）已知i为虚数单位，，且，则 . 18．（23-24高一下·山东·期中）复数满足，则 ， ． 四、解答题 19．（23-24高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 20．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 21．（2024高一下·全国·专题练习）下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1)； (2)； (3). 22．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$