专题08 余弦定理6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题08 余弦定理6题型分类 一、余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 推论 cos A＝ cos B＝ cos C＝ 二、余弦定理可以用于两类解三角形问题 1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. 2.已知三角形的三边，求三角形的三个角. 三、解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （一） 已知两边及一角解三角形 已知三角形的两边及一角解三角形的方法： 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 题型1：已知两边及一角解三角形 1．（2025·山东）在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（2025·海南省直辖县级单位模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·云南玉溪·期末）在中，已知. (1)求的长 (2)求的值 4．（2025高二·湖南常德·期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．2 B． C．3 D． 5．（2025高一·全国月考）若中，，，，则 ． 6．（2025高一·上海月考）三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为 . 7．（2025高一·黑龙江哈尔滨月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则边长 . （二） 已知三边解三角形 已知三角形的三边解三角形的方法：利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角. 题型2：已知三边解三角形 8．（2025高二·新疆·学业考试）在中，已知，，，则 . 9．（2025高一·全国月考）已知的三边分别为，和，试求最大内角的度数． 10．（2024高三·全国月考）已知的角A、B、C对应边长分别为a、b、c，，，，则 11．（2025高一·全国·随堂练习）的三边之比为．求这个三角形的最大角． 12．（2025高一·河南·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（    ） A． B． C． D． （三） 利用余弦定理判断三角形的形状 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 题型3：利用余弦定理判断三角形的形状 13．（2025高一·河北保定月考）在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 14．（2025高一·全国月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 15．（2025高一·全国月考）在中，（分别为角的对边），则一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 16．（2025高一·海南海口·期中）在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上答案都不对 17．（2025高一·江苏宿迁·期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 （四） 余弦定理的应用 当条件中出现了余弦定理的局部或变形如a2＋b2，a＋b，ab，cos A等，可以考虑使用余弦定理或变形形式对条件进行化简变形. 题型4：求边或角的取值范围 18．（2025高三·全国月考）设是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 19．（2025高一·四川成都·期末）已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（2025高三·全国月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2025高三·贵州遵义月考）在中，，在边上，且. (1)若，求的周长; (2)求周长的最大值. 22．（2025高一·上海徐汇·期中）在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（2025高一·四川德阳月考）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则角的值为（    ） A． B． C． D． 24．（2025高三·辽宁朝阳月考）分别为内角的对边．已知，则的最小值为 ． 题型5：余弦定理与平面图形结合 25．（安徽省江南十校2025届高三学期联考数学试卷）如图，，，分别为边，，上的点且线段，，交于内一点.已知，，，，则的面积为（   ） A．54 B．60 C．108 D．144 26．（2025高三·河北月考）在直角中D是内的动点，将绕着点C顺时针方向旋转得到则的最小值为 . 27．（2025高三·山东青岛·期末）如图，P为内一点，，则（   ） A． B． C． D． 28．（2025高三·安徽亳州·期末）如图，在平面四边形中，，，平分. (1)若，，求； (2)若，求. 题型6：余弦定理与三角函数的综合 29．（2025高三·全国月考）在锐角三角形ABC，若 (1)求角B (2)求的取值范围 30．（2025高三·江苏·期末）在中，分别为内角的对边，且. (1)求证：； (2)求的取值范围. 31．（2025高三·浙江金华·期末）函数的的部分图象如图，且经过点，.    (1)求函数的解析式； (2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的值. 32．（2025高三·北京月考）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求值域； (3)在中，内角所对的边分别是且，若，求的面积． 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（   ） A．120° B．45° C．60° D．30° 2．（2025高三下·全国·专题练习）在中，，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高一上·云南昆明·期末）在中，角所对三条边为，已知，则角（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽·期末）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（    ） A． B． C． D．2 5．（24-25高三下·北京海淀·开学考试）在不等边三角形中，为最大边，且，则角的范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）在中，内角所对各边分别为，且，则角（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·全国·课后作业）锐角中，，，则a的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高三下·浙江·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 9．（24-25高三上·云南昆明·期末）在钝角中，内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三下·河南·开学考试）在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 11．（24-25高三下·广东·开学考试）中，点满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 12．（20-21高一下·湖北黄冈·阶段练习）在中，已知，且，则c的值可以是（    ） A．4 B．8 C．2 D． 13．（21-22高一下·湖南株洲·期中）已知 中，内角所对的边分别为， 且， 则的值可能是 （    ） A． B． C． D． 14．（22-23高一下·山西朔州·阶段练习）在中，已知，且，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 15．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一下·广西河池·期中）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 17．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.若三角形有两解，则边c的取值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 18．（2024高一下·全国·专题练习）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 19．（24-25高三上·山东日照·期末）在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则 . 20．（2025·上海·模拟预测）在中，若，，，则的长为 . 21．（24-25高三下·广东·开学考试）的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 . 22．（2024·江西新余·模拟预测）已知△的角的对边分别为且，若，，则 . 23．（24-25高二上·北京·期末）在中，，，则的一个取值可以为 . 四、解答题 24．（24-25高三下·河北·开学考试）已知中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若点为的中点，求的值． 25．（24-25高三上·安徽六安·期末）在中，在边上，． (1)当时，求的面积； (2)当时，求线段的长度． 26．（24-25高三上·河南周口·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)证明：； (2)证明：； (3)证明：. 27．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，若，判断的形状． 28．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，分别为角所对的边. (1)若，求角的大小； (2)若，，，求. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题08 余弦定理6题型分类 一、余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 推论 cos A＝ cos B＝ cos C＝ 二、余弦定理可以用于两类解三角形问题 1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. 2.已知三角形的三边，求三角形的三个角. 三、解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （一） 已知两边及一角解三角形 已知三角形的两边及一角解三角形的方法： 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 题型1：已知两边及一角解三角形 1．（2025·山东）在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理解三角形. 【解析】由余弦定理， 将，，，代入得， 则有，且，解得. 故选：B. 2．（2025·海南省直辖县级单位模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理求得，进而求得. 【解析】由余弦定理，， 因为，所以， 即，解得（舍）， 所以，. 故选：D 3．（2025高一·云南玉溪·期末）在中，已知. (1)求的长 (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理即可得解； （2）利用余弦定理求得，再利用三角函数的基本关系式与倍角公式即可得解. 【解析】（1）因为， 由余弦定理可得， , 所以. （2）因为， 所以， 又，所以， 则. 4．（2025高二·湖南常德·期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意利用余弦定理直接求解即可. 【解析】因为△ABC中，，，， 所以由余弦定理知，，即， 化简整理得， 解得或（舍去）. 故选：C 5．（2025高一·全国月考）若中，，，，则 ． 【答案】或 【分析】由已知可求得.分与两种情况，根据余弦定理，即可求出结果. 【解析】因为，，所以. 当时，由余弦定理， 因为，，解得； 当时，由余弦定理， 因为，，解得. 故答案为：或. 6．（2025高一·上海月考）三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为 . 【答案】 【分析】解方程可得，利用余弦定理求出第三边的长即可． 【解析】解：解方程可得此方程的根为2或， 故夹角的余弦， 由余弦定理可得三角形的另一边长为：． 故答案为：. 7．（2025高一·黑龙江哈尔滨月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则边长 . 【答案】1或2 【分析】利用余弦定理建立方程，解出b. 【解析】在中，由，，， 由余弦定理得： ， 解得：b=1或b=2 故答案为：1或2. 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择． （二） 已知三边解三角形 已知三角形的三边解三角形的方法：利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角. 题型2：已知三边解三角形 8．（2025高二·新疆·学业考试）在中，已知，，，则 . 【答案】/ 【分析】已知三边，利用余弦定理可得. 【解析】已知，，， 由余弦定理得，， 解得. 故答案为：. 9．（2025高一·全国月考）已知的三边分别为，和，试求最大内角的度数． 【答案】 【分析】首先确定最大内角，再根据余弦定理求解. 【解析】根据三角形中大边对大角的原理可知，是的最大内角． 由余弦定理得 ． 因为是三角形的内角，所以．因此的最大内角为． 10．（2024高三·全国月考）已知的角A、B、C对应边长分别为a、b、c，，，，则 【答案】/ 【分析】由余弦定理求出，由平方关系求得结果. 【解析】由余弦定理可得， ，又， . 故答案为：. 11．（2025高一·全国·随堂练习）的三边之比为．求这个三角形的最大角． 【答案】 【分析】设出三边，由余弦定理求出最大角的余弦值，进而求出三角形的最大角. 【解析】的三边之比为，不妨设的三边长为， 由于大边对大角，设长度为的边所对角为最大角，设最大角为， 则， 因为，所以， 故这个三角形的最大角为 12．（2025高一·河南·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理计算可得； 【解析】解：由，得， 故选：B． （三） 利用余弦定理判断三角形的形状 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 题型3：利用余弦定理判断三角形的形状 13．（2025高一·河北保定月考）在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】由余弦定理化角为边得，即可判断三角形形状. 【解析】因为，所以由余弦定理得， 所以，所以，所以为等腰三角形. 故选：A. 14．（2025高一·全国月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由余弦定理得到，结合，得到，判断出三角形为直角三角形. 【解析】∵， ∴， 由余弦定理可得：， 整理可得：，① ∵， ∴，② 由①②得， ∴该三角形是直角三角形. 故选：A 15．（2025高一·全国月考）在中，（分别为角的对边），则一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据二倍角公式将已知条件变形，然后利用余弦定理进行边角转化进行判断. 【解析】∵，∴，即，根据余弦定理可得 ，整理得，由勾股定理知，为直角三角形. 故选：B 16．（2025高一·海南海口·期中）在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】利用余弦定理判断的符号，根据三角形内角性质即可判断的形状. 【解析】由，而， 所以，即为钝角，故为钝角三角形. 故选：B 17．（2025高一·江苏宿迁·期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用余弦定理角化边，然后因式分解可得. 【解析】由余弦定理可得：， 即， 整理得：， 得或，所以为等腰或直角三角形. 故选：D （四） 余弦定理的应用 当条件中出现了余弦定理的局部或变形如a2＋b2，a＋b，ab，cos A等，可以考虑使用余弦定理或变形形式对条件进行化简变形. 题型4：求边或角的取值范围 18．（2025高三·全国月考）设是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理列不等式来求得的取值范围. 【解析】由于是钝角三角形的三边长， 所以，且，所以. 设最长边对的角为， 则， 解得. 故选：B 19．（2025高一·四川成都·期末）已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答. 【解析】因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：， 于是得，，解得，又有，即， 所以最大边的取值范围是：. 故选：C 20．（2025高三·全国月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理与基本不等式求出，再由三角形三边关系得到，从而求出b＋c的取值范围. 【解析】依题意得b2＋c2－bc＝3，即， 解得：，，当且仅当时取等号， 又，因此b＋c的取值范围是. 故选：B 21．（2025高三·贵州遵义月考）在中，，在边上，且. (1)若，求的周长; (2)求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求出，，从而求出三角形的周长； （2）设，则，由三角形三边关系求出，由余弦定理得到，表达出的周长为，，构造函数，求导得到其单调性，从而求出最大值. 【解析】（1）若，则， 又，， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故的周长为； （2）由（1）知，， 设，则， 由三边关系可得，解得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 故， 所以的周长为， 令，， 则， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 最大值为. 22．（2025高一·上海徐汇·期中）在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由余弦定理可得，再由三角形三边关系，即可得到结果. 【解析】因为是钝角三角形，，且是最大边， 由余弦定理可得，于是可得，且，解得， 又，所以边的取值范围是. 故选：D 23．（2025高一·四川德阳月考）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则角的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理的边角关系及三角形内角的性质，即可求角. 【解析】由已知及余弦定理知：，而， 所以. 故选：C 24．（2025高三·辽宁朝阳月考）分别为内角的对边．已知，则的最小值为 ． 【答案】/0.6 【分析】因为，所以代入，得到，并结合基本不等式，得到的最小值. 【解析】由余弦定理得． 当且仅当时，取等号. 所以的最小值为 故答案为： 题型5：余弦定理与平面图形结合 25．（安徽省江南十校2025届高三学期联考数学试卷）如图，，，分别为边，，上的点且线段，，交于内一点.已知，，，，则的面积为（   ） A．54 B．60 C．108 D．144 【答案】C 【分析】过点作的平行线交于点，过作交于点，根据平行线分线段成比例定理，构造方程得到，设，再用余弦定理，求得，进而得到，得到，求出面积，最后根据分析，得到，得解. 【解析】过点作的平行线交于点，过作交于点，如图， 由，，可得，， 所以，所以， 由，，可得，且， 所以，，即， 设，因为 则由余弦定理可得：， 即，解得， 所以， 故，. 由于，所以， 同理，由于，得到.所以. 故选：C. 26．（2025高三·河北月考）在直角中D是内的动点，将绕着点C顺时针方向旋转得到则的最小值为 . 【答案】 【分析】延长线段到使得延长线段到使得连接由图形几何特征可得，当且仅当四点共线时取最小值，再利用余弦定理求得此时的值. 【解析】延长线段到使得延长线段到使得 连接，因为，， 连接则 根据两点之间线段最短，当且仅当四点共线时取最小值， 在中 由余弦定理得 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 通过三角形中位线和勾股定理，构造出，，再利用共线求距离和的最小值. 27．（2025高三·山东青岛·期末）如图，P为内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于点，设，利用条件，求出，由余弦定理求出，勾股定理求出即得. 【解析】 如图，作于点，设，因， 可得，因则， 在中，由余弦定理，， 即，解得， 在中，，解得， 故. 故选：A. 28．（2025高三·安徽亳州·期末）如图，在平面四边形中，，，平分. (1)若，，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求的长，在中，由余弦定理可求. （2）设，，表示，在中利用余弦定理结合同角三角函数基本关系可求和，由此可得结果. 【解析】（1）∵平分，∴，故， ∵，， ∴，， 在中，由余弦定理得. （2）设，则. 设，则，， 在中，由余弦定理得， ∵，∴， ∴，， ∴. 题型6：余弦定理与三角函数的综合 29．（2025高三·全国月考）在锐角三角形ABC，若 (1)求角B (2)求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得，从而可求得cosB，进而求出B的值． （2）先通过辅助角公式得，然后再利用锐角三角形确定A的取值范围，从而转化为三角函数的值域问题来解决． 【解析】（1）由已知化简得 由余弦定理得 又因为，所以 （2）由已知得 在锐角三角形ABC中，因为 ∴即 ∴，，解得 ∴ ∴， 所以的取值范围为 30．（2025高三·江苏·期末）在中，分别为内角的对边，且. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）已知条件由余弦定理角化边，利用三角形的特征化简可证得； （2）由已知条件和诱导公式辅助角公式，可化简为，由角的取值范围得所求算式的取值范围. 【解析】（1）由余弦定理可得：， 有，即， 由，得，即. （2）由，有， ∴，得， . ， 由，有，则有，可得. 所以的取值范围为. 31．（2025高三·浙江金华·期末）函数的的部分图象如图，且经过点，.    (1)求函数的解析式； (2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点确定周期，可得，再由即可求解； （2）由确定，得到，再结合余弦定理得到，代入求解即可； 【解析】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得. 又得，，又因为， 所以，所以. （2）因为，又， 结合图像可知：，， 又，，由余弦定理可得. 在中，易求得， 由平方关系可得：. 所以. 32．（2025高三·北京月考）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求值域； (3)在中，内角所对的边分别是且，若，求的面积． 【答案】(1)；． (2) (3)． 【分析】（1）首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变换成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和函数的单调递增区间； （2）利用函数的定义域求出函数的值域； （3）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果． 【解析】（1）函数； 故函数的最小正周期为； 令， 整理得：， 故函数的单调递增区间为． （2）由于，故，所以， 故，故函数． （3）由于，故，由于，故； 利用余弦定理：，故， 所以． 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（   ） A．120° B．45° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】应用余弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 由余弦定理得． 因为，所以， 故选：A． 2．（2025高三下·全国·专题练习）在中，，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：中，， ， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：B． 3．（24-25高一上·云南昆明·期末）在中，角所对三条边为，已知，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理计算角的余弦值，再结合角的范围即可求角. 【详解】， 所以，且， 所以. 故选：B. 4．（24-25高二上·安徽·期末）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用余弦定理求出，即可求出，再由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 由余弦定理得， ，， ，则. 故选：C. 5．（24-25高三下·北京海淀·开学考试）在不等边三角形中，为最大边，且，则角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知边长条件利用余弦定理得到，再由为最大边，求角的范围即可； 【详解】因为，所以，所以， 又因为为最大边且三角形是不等边三角形，所以，所以， 即，所以. 故选：C. 6．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）在中，内角所对各边分别为，且，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理结合给定条件得到，再依据三角形中角的范围求解即可. 【详解】因为，且由余弦定理得， 所以，解得，而在中，，则，故A正确. 故选：A． 7．（24-25高一下·全国·课后作业）锐角中，，，则a的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据条件，利用余弦定理即可得到答案. 【详解】若a为最大边，由余弦定理可得,则，即，， 若c为最大边，由余弦定理可得,则，即，， 故. 故选：B 8．（24-25高三下·浙江·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据余弦定理可得，从而可判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理得， 化简得，故， 从而的形状为钝角三角形， 故选：B. 9．（24-25高三上·云南昆明·期末）在钝角中，内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可知为钝角或为钝角，分类由余弦定理和三角形三边关系可得. 【详解】当为钝角时，由余弦定理得， 所以，解得， 因为，所以，所以； 当为钝角时，由余弦定理得， 所以，解得， 因为，所以，所以， 故选：D 10．（24-25高三下·河南·开学考试）在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】在中，利用余弦定理可得，，再结合几何性质运算求解即可. 【详解】如图， 在中，由余弦定理可得 ，即， 则， 因为，可得，故 由知，所以. 故选：A. 11．（24-25高三下·广东·开学考试）中，点满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】用、作为基底表示出、，根据数量积的运算律及余弦定理得到，即可得解. 【详解】由题意可得 ， ，， 因为，所以， 即， 故，于是. 故选：C. 二、多选题 12．（20-21高一下·湖北黄冈·阶段练习）在中，已知，且，则c的值可以是（    ） A．4 B．8 C．2 D． 【答案】AB 【分析】由求出的值，再利用余弦定理求出c的值 【详解】解：由，得， 由余弦定理得，，， 化简得，解得或， 故选：AB 13．（21-22高一下·湖南株洲·期中）已知 中，内角所对的边分别为， 且， 则的值可能是 （    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解判断作答. 【详解】在中，，由余弦定理得： ，即，解得或， 所以的值可能是1或2. 故选：AD 14．（22-23高一下·山西朔州·阶段练习）在中，已知，且，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】BD 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】由，得，，又， 利用余弦定理可得，即， 整理得，解得或． 故选：BD 15．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用余弦定理和倍角公式得出或，结合角的范围及函数值可得答案. 【详解】依题可得，即，则或， 因为，所以或或． 故选：ACD 16．（23-24高一下·广西河池·期中）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】AD 【分析】依题意可得，即可判断. 【详解】因为， 所以， 则或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：AD 17．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.若三角形有两解，则边c的取值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BC 【分析】由余弦定理以及方程有两个正根，，从而列出关于的不等式即可求解. 【详解】由余弦定理得，即. 因为三角形有两解， 所以方程有两个正根，， 由，，得， 故选：BC. 18．（2024高一下·全国·专题练习）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据余弦定理判断A；根据余弦定理和基本不等式，即可判断B；利用反证法，假设，结合余弦定理和不等式的性质，即可判断C；举反例，即可判断D. 【详解】A.由，可以得出，所以，故A正确； B.由，得，得，故B错误； C.假设，则，，， ，即，与矛盾，,故C正确； D.取，满足，此时,故D错误． 故选：AC 三、填空题 19．（24-25高三上·山东日照·期末）在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则 . 【答案】3 【分析】根据题意利用余弦定理求，代入运算求解即可. 【详解】 在中，因，，由余弦定理可得：， 在中，由余弦定理可得： ， 因为，即， 可得，解得. 故答案为：3. 20．（2025·上海·模拟预测）在中，若，，，则的长为 . 【答案】 【分析】由余弦定理即可求解； 【详解】， 所以, 故答案为： 21．（24-25高三下·广东·开学考试）的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 . 【答案】 【分析】由余弦定理即可求得结果. 【详解】∵，，， ∴由余弦定理可得：， ∴解得：. 故答案为：. 22．（2024·江西新余·模拟预测）已知△的角的对边分别为且，若，，则 . 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系化简得出，再应用正弦定理边角转化及余弦定理代入求解即可. 【详解】因为， ，代入，，则可得：. 故答案为：. 23．（24-25高二上·北京·期末）在中，，，则的一个取值可以为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】先由题设得，且，再结合余弦定理求出的取值范围即可得解. 【详解】因为，， 所以，所以，且， 所以，且， 所以. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 24．（24-25高三下·河北·开学考试）已知中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若点为的中点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，利用余弦定理即可求得，进而得到结果； （2）设，则，，利用平面向量的线性运算和数量积公式，即可求得结果. 【详解】（1）设，则，， 利用余弦定理可得， 又因为，所以． （2）设，则，， 因为点为的中点，所以， 两边平方可得， 即， 所以，可 得，所以． 25．（24-25高三上·安徽六安·期末）在中，在边上，． (1)当时，求的面积； (2)当时，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用给定条件求出夹角，结合三角形面积公式求解面积即可. （2）利用余弦定理求解边长，再结合给定条件建立方程求解即可. 【详解】（1）当时，因为，所以，， 因为，所以为等边三角形，， 所以， 故. （2）设，则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 故，化简得，解得， 因为，所以，故. 26．（24-25高三上·河南周口·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)证明：； (2)证明：； (3)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）应用余弦定理计算化简证明； （2）应用（1）结合基本不等式即可证明； （3）结合（1）应用三角形三边的关系及不等式的性质证明即可. 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得， 化简得， 整理得； （2）由（1）得， 当且仅当时取得等号，与题意不符. 故，即. （3）由（1）知， 又， 则， 解得， 故 解得， 所以. 27．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，若，判断的形状． 【答案】为直角三角形或等腰三角形． 【分析】应用余弦定理计算化简得出或即可判断三角形形状． 【详解】为直角三角形或等腰三角形．理由如下： ， 由余弦定理可得， 整理得， 即， 或．或． 故为直角三角形或等腰三角形． 28．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，分别为角所对的边. (1)若，求角的大小； (2)若，，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理表示、可得结果. （2）根据题目条件得，结合余弦定理可求的值. 【详解】（1）由余弦定理得，. ∵， ∴，整理得， ∴. ∵，∴. （2）由，得. 由余弦定理得， . 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$