8.6.2 直线与平面的垂直课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2 直线与平面的垂直 感性认识 感性认识 能否用确切的数学语言刻画直线与平面垂直？  如图，是在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直? 旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直又是什么位置关系？ 定义：一般地，如果直线 l 与平面α 内任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面α 互相垂直，记作 l ⊥α. “任意”可以改为“无数”吗？ 直线 l 叫做平面α的垂线. 平面α记作直线 l 的垂面. 直线与平面垂直时它们唯一的公共点P叫做垂足. “任意”可以改为“无数”吗？ 平面内有无数条直线，所以当然可以。 无数≠所有！ 无数条 平行线 我们知道，过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直.将这个结论推广到空间内，过平面外一点与已知平面垂直的直线有几条呢？为什么？ P Q H 结论：平面外一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条. PQ：垂线段 |PQ|：点P到平面的距离 探究—直线与平面垂直的判定 过直线 l 上一点O作它的垂面α. 任取直线a⊂α，b⊂α，且a,b交于点O ∵l ⊥α ∴l ⊥a,l ⊥b ∵经过两条相交直线，有且仅有一个平面 ∴直线a,b所确定的平面（记为β）就是已知垂面α 判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 例题—直线与平面垂直的判定 （P151）例3 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 证明：如图2，在平面α内取两条相交直线m，n ∵直线a⊥α， ∴a⊥m,a⊥n. ∵b//a， ∴b⊥m，b⊥n. 又m⊂a，n⊂a，m,n是两条相交直线， ∴b⊥α. 直线与平面垂直是直线与平面的相交时的一种特殊情况．当它们不垂直时，我们给出以下定义： 如图，一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°； 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°， 直线与平面所成的角的取值范围是0°≤ ≤90°. （P152）例4 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线AB和平面A1DCB1所成的角. 解： 连接BC1交B1C于点O， 连接A1O，记∠BA1O为∠α 显然，在正方体ABCD-A1B1C1D1中 BC1⊥B1C 且CD⊥平面BB1C1C 又∵BC1∈平面BB1C1C ∴BC1⊥CD 又∵B1C ∩CD=C B1C，CD⊂平面A1DCB1 ∴BC1⊥平面A1DCB1 ∴∠α即为所求角 易得：BO=1/2BC1=1/2A1B ∴在Rt▲A1BO中∠α=30° 【注】直线与平面所成的角的取值范围是 0°≤ ≤90°. 知识点小结 1.直线与平面垂直的定义（垂足，垂线，垂面，垂线段，点到平面的距离） 2.直线与平面垂直的判定定理 3.直线与平面所成角的定义（斜线，斜足，射影）0°≤ ≤90°. 课后 作业 1.P151 右下角的黄色思考卡片； 2.P152 练习 1，2，4； 3.习题8.6 4题； $$