8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第二课时　直线与平面垂直的性质 1.线段AB在平面α的同侧，点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为（　　） A.3.5 B.4 C.4.2 D.4.5 2.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　） A.α∥β，且l∥α B.α⊥β，且l⊥β C.α与β相交，且交线垂直于l D.α与β相交，且交线平行于l 3.如图，在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝BC＝CD＝1，则AD＝（　　） A.1 B. C. D.2 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，平面AB1D1到平面BC1D的距离为（　　） A. B. C. D.2 5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点C1到平面EBD的距离为（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（　　） A.PB⊥BC B.PD⊥CD C.PD⊥BD D.PA⊥BD 7.〔多选〕如图，ABCD是矩形，沿对角线BD将△ABD折起到△A'BD，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（　　） A.A'C⊥BD B.A'D⊥BC C.A'C⊥BC D.A'D⊥A'B 8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，则EF与AA1的位置关系是　　　　. 9.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，则AD到平面PBC的距离为　　　　. 10.斜边为AB的Rt△ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图.若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l. 11.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（　　） A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH 12.〔多选〕如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把△ABC折起来，则（　　） A.在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'C B.三棱锥A-DB'C的体积的最大值为 C.当∠B'DC＝60°时，点A到B'C的距离为 D.当∠B'DC＝90°时，点C到平面ADB'的距离为 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是　　　　. 14.如图，已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为的中点，点P为圆柱上底面圆O1上一点，PA⊥平面ABC，PA＝AB，过点A作AE⊥PC，交PC于点E. （1）求证：AE⊥PB； （2）若点C到平面PAB的距离为1，求圆柱OO1的表面积. 15.如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC＝，AC＝2. （1）证明：BC⊥平面PAB； （2）在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD？若存在，求出PD的值，若不存在，请说明理由. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　直线与平面垂直的性质 1.B　如图，设AB的中点为点M，分别过点A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1.则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，所以MM1＝4，即所求距离为4. 2.D　由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l.故选D. 3.C　因为BC⊥CD，AB＝BC＝CD＝1，所以BD＝＝，又AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以AB⊥BD，因此AD＝＝.故选C. 4.C　由题意知两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，由等体积法可得＝，即××22×sin 60°·h＝××××，解得h＝，即平面AB1D1到平面BC1D的距离为. 5.D　＝··DC＝××1×2×2＝，在△BED中，由题意及图形结合勾股定理可得BE＝DE＝，BD＝2，则由余弦定理可得cos∠BED＝＝＝，则sin∠BED＝＝.则S△BDE＝BE·DE·sin∠BED＝×××＝.设点C1到平面EBD的距离为d，由＝，得＝×d，解得d＝. 6.ABD　PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BD，D正确；⇒BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB，故A正确；同理B正确；C不正确. 7.BCD　∵ABCD是矩形，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，∴A'O⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，∴BC⊥A'O，又BC⊥CD，且DC∩A'O＝O，∴BC⊥平面A'CD，从而BC⊥A'D，BC⊥A'C.显然，由矩形ABCD，易知A'B⊥A'D.故B、C、D正确. 8.平行　解析：如图，因为AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于平面BB1D1D，所以EF与BB1不相交，所以EF∥BB1，又AA1∥BB1，所以EF∥AA1. 9.　解析：因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因为∠ABC＝90°，即AB⊥BC，因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，因为PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝2，设点A到平面PBC的距离为d，则由V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC得PA·S△ABC＝d·S△PBC，所以×2××2×2＝d××2×2，解得d＝，所以AD到平面PBC的距离为. 10.证明：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC. 又因为△ABC为直角三角形，所以BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC. 又因为AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF. 又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC. 又PB⊂平面PBC，所以AF⊥BP.又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF.而l⊥平面AEF，所以PB∥l. 11.B　因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以EG∥FH，即E，F，H，G四点共面.因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面EFHG，因为GH⊂平面EFHG，所以PQ⊥GH.故选B. 12.ABC　因为AD⊥DC，AD⊥DB'，且DC∩DB'＝D，DC，DB'⊂平面DB'C，所以AD⊥平面DB'C，故A正确；当DB'⊥DC时，△DB'C的面积最大，此时三棱锥A-DB'C的体积也最大，最大值为××××＝，故B正确；当∠B'DC＝60°时，△DB'C是等边三角形，设B'C的中点为E，连接AE（图略），则AE⊥B'C，即AE为点A到B'C的距离，AE＝＝，故C正确；当∠B'DC＝90°时，CD⊥DB'，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB'，则CD就是点C到平面ADB'的距离，CD＝，故D不正确. 13.（0，1]　解析：连接DM，如图，因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CM.又PM⊥CM，且PD∩PM＝P，所以CM⊥平面PDM，所以CM⊥DM，所以以DC为直径的圆与AB有交点，所以0＜a≤1. 14.解：（1）证明：因为AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为的中点，所以BC⊥AC， 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC， 又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC， 因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE， 又因为AE⊥PC，且PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC， 因为PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB. （2）因为点C到平面PAB的距离为1且C为的中点，所以PA＝AB＝2，所以圆柱OO1的表面积S＝2×π×12＋2π×1×2＝6π. 15.解：（1）证明：由题知AB＝1，BC＝，AC＝2. 则AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC， 又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC， 因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB. （2）在线段PC上存在点D，当PD＝时，使得AC⊥BD. 理由如下：如图，在平面ABC内，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在平面PAC内，过点E作DE∥PA，交PC于点D，连接BD， 由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以DE⊥AC，又因为DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面DBE，所以AC⊥平面DBE， 又因为BD⊂平面DBE，所以AC⊥BD， 在△ABC中，BE＝＝， 所以AE＝，CE＝， 所以＝，所以CD＝，PD＝. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $