专题07 平面向量的应用9题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题07 平面向量的应用9题型分类 一、向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 二、向量在平面几何中常见的应用 已知． 证明线段平行、点共线问题及相似问题 常用向量共线的条件： ． 证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等 常用向量垂直的条件： （其中为非零向量）． 求夹角问题，若向量与的夹角为 利用夹角公式： （其中为非零向量）． 求线段的长度或说明线段相等 可以用向量的模： ，或（其中两点的坐标分别为． 对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题． 三、向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. （一） 利用向量证明平面几何问题 1、向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2、用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 (1)利用线性运算证明的四个步骤:①选取基底.②用基底表示相关向量.③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.④把几何问题向量化. (2)利用坐标运算证明的四个步骤:①建立适当的平面直角坐标系.②把相关向量坐标化.③用向量的坐标运算找出相应关系.④把几何问题向量化. 题型1：用向量证明线段垂直 1．（2025高一·全国月考）如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：. 2．（2025高一·河南信阳·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 3．（2025高一·山东济南月考）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 4．（2025高一·湖南常德月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 5．（2025高三·全国月考）如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.    6．（2025高一·陕西西安·期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 7．（2025高一·上海月考）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H． （1）证明：； （2）当点C在BG的什么位置时，最小？ 题型2：用向量证明平行问题 8．（2025高一·全国月考）在中，点，分别在线段，上，，.求证：. 9．（2025高一·全国·随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.    10．（2025高一·全国月考）在四边形中， ，是上的点，且. 求证： . 11．（2025高三·全国月考）在四边形中，若，且，则四边形是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．菱形 12．（2025高二·山东泰安月考）在四边形中，，则四边形的形状是 . （二） 利用向量解决平面几何求值问题 (1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 题型3：平面几何的长度问题 13．（2025高一·河北沧州月考）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 14．（2025高一·河北石家庄月考）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 . 15．（2025高一·江西上饶月考）在菱形ABCD中，O为菱形ABCD内一点. (1)用，，，表示； (2)若，，求，. 16．（2025高一·福建·期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·全国·模拟预测）已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 18．（2025高一·全国月考）如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论. 19．（2025高一·全国月考）在梯形中，，，点E，F分别是，的中点，求证：. 题型4：平面几何的角度问题 20．（2025高一·山东菏泽·期末）如图，在中，已知，，，且.求. 21．（2025高一·全国月考）已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：. 22．（2025高一·福建福州·期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 23．（2025高一·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 题型5：判断三角形的形状 24．（2025高一·江苏无锡·期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 25．（2025高一·江苏镇江·期末）已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 26．（2025高一·湖南常德·期中）在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 27．（2025高二·云南大理·期末）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 28．（2025高一·重庆月考）在中，，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非等边）三角形 题型6：平面几何中的最值问题 29．（2025高三·江苏常州月考）如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（    ）    A． B．-1 C． D．2 30．（2025高三·贵州贵阳月考）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．7 31．（2025高一·重庆开州月考）如图所示，在中，，，P为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．（2025高三·上海浦东新月考）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（    ）    A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为16 （三） 向量在物理中的应用 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型. (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值. (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象. 题型7：力的合成 33．（2025高二·广东佛山·期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（    ）（重力加速度） A． B． C． D． 34．（2025·浙江温州·模拟预测）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A．25 B．5 C． D． 35．（2025高二·江西·期中）在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为的物品，在另一个秤盘中放入重量的砝码，天平平衡．根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则的大小为 ． 36．（2025高一·全国·随堂练习）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）． 37．（2025高一·全国·随堂练习）如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．    题型8：速度、位移的合成 38．（2025高一·全国·随堂练习）飞机从A地向西北飞行200km到达B地后，又从B地向东飞行km到达C地，再从C地向南偏东60°飞行km到达D地，求飞机从D地飞回A地的位移． 39．（2025高一·全国·随堂练习）如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．    (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 题型9：功、动量的计算 40．（2025高一·全国·随堂练习）质量kg的物体，在4.0N的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3s，求水平力在3s内对物体做的功． 41．（2025高一·全国月考）质量的木块，在平行于斜面向上的拉力的作用下，沿倾斜角的光滑斜面向上滑行的距离. （1）分别求物体所受各力对物体所做的功； （2）在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？ 一、单选题 1．（2025高三·江西月考）质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国月考）共点力，作用在物体M上，产生位移，则共点力对物体做的功为（    ）． A． B．lg5 C．1 D．2 3．（2025高一·全国月考）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 4．（2025高一·上海月考）一个人骑自行车行驶速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一·全国月考）一物体受到相互垂直的两个力的作用，两力大小都为 N，则两个力的合力的大小为（    ） A．5 N B． N C． N D． N 6．（2025高一·甘肃临夏·期末）在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2025高一·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 8．（2025高一·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 9．（2025高三·海南海口·期末）已知是平行四边形所在平面内一点，且，，则有（   ） A． B． C． D． 10．（2025高三·湖南长沙月考）已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（   ） A． B．0 C．12 D． 11．（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ）. A． B． C． D．2 12．（2025高一·四川凉山月考）在中，若，则的形状为 （    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法判断 13．（2025高一·全国月考）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 14．（2024·四川泸州·模拟预测）已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 15．（2025高三·全国月考）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 16．（2025高三·湖南月考）已知为圆的直径且，为圆上的动点且与，均不重合，等边三角形与共面且点，位于的异侧，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 17．（2025高三·江苏苏州月考）如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点在正五角星的内部含边界，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（2025高三·河南月考）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 19．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆和外切也形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 20．（2025·湖北·模拟预测）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ） A． B． C．若，则 D． 21．（2025高三·贵州贵阳月考）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 22．（2025高三·全国月考）（多选）如图，以为圆心，半径为1的圆始终内切于四边形，且，，则当增大时，下列说法正确的有（    ） A．单调递减 B．恒为定值 C．单调递减 D． 23．（2025高一·湖南常德月考）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 24．（2025高一·吉林通化月考）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 三、填空题 25．（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点的三个力使物体处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 ．（牛顿是物理的力学单位） 26．（2025高一·全国·期中）两个力，作用于同一个质点，使该质点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为 ． 27．（2025高一·福建厦门·期末）若平面上的三个力作用于同一点，且处于平衡状态．已知，且与的夹角为，则与的夹角为 ． 28．（2025高三·天津河东·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 29．（2025高三·天津·期末）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则 ，的最小值为 ． 30．（2025高一·全国·单元测试）在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的 心． 31．（2025高三·江苏苏州月考）已知非零向量满足：，设，若存在，使得，则的取值范围是 ． 四、解答题 32．（2025高一·全国月考）如图，一辆小车在拉力的作用下产生了位移，由上节知识可知，拉力所做的功.对应图中的哪个量？拉力所做的功还可以如何描述？    33．（2025高一·全国月考）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点，求，的合力对质点所做的功． 34．（2025高一·湖北随州月考）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知,,与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小. 35．（2024高一·全国月考）如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：    36．（2025高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 37．（2025高一·全国月考）如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 38．（2025高一·全国月考）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 39．（2025高一·山东德州月考）如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题07 平面向量的应用9题型分类 一、向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 二、向量在平面几何中常见的应用 已知． 证明线段平行、点共线问题及相似问题 常用向量共线的条件： ． 证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等 常用向量垂直的条件： （其中为非零向量）． 求夹角问题，若向量与的夹角为 利用夹角公式： （其中为非零向量）． 求线段的长度或说明线段相等 可以用向量的模： ，或（其中两点的坐标分别为． 对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题． 三、向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. （一） 利用向量证明平面几何问题 1、向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2、用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 (1)利用线性运算证明的四个步骤:①选取基底.②用基底表示相关向量.③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.④把几何问题向量化. (2)利用坐标运算证明的四个步骤:①建立适当的平面直角坐标系.②把相关向量坐标化.③用向量的坐标运算找出相应关系.④把几何问题向量化. 题型1：用向量证明线段垂直 1．（2025高一·全国月考）如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】把看做两组基底向量，，采用向量数量积公式，再结合角度关系进行转化求解，进而得证 【解析】因为是的中点，所以. 又因为， 所以 ， 所以，即. 【点睛】找准基底向量是解决此题的关键，“中点、垂直”等字样可帮助我们快速建立基底，在表示向量夹角时，一定要注意是两向量共起点的夹角 2．（2025高一·河南信阳·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得； （2）以，为基底表示出，结合已知求可证. 【解析】（1），由题意得， 所以． （2）由题意，． ∵，，∴． ∴， ∴． 3．（2025高一·山东济南月考）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标； （2）求出F的坐标，证明即可． 【解析】（1）如图， ∵，，， ∴，则由重心坐标公式，得； （2）． 易知的外心F在y轴上，可设为． 由，得， ∴，即． ∴． ∴， ∴，即． 4．（2025高一·湖南常德月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【解析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 5．（2025高三·全国月考）如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.    【答案】证明见解析 【分析】根据平面向量的运算性质设，，转化求解，结合平面向量的数量积运算即可证明结论. 【解析】证明：如图，    设，， 则，，，， ∴， ∴，∴. 6．（2025高一·陕西西安·期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【答案】(1). (2)证明见解析. 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得. （2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得. 【解析】（1）. （2）， ，. 7．（2025高一·上海月考）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H． （1）证明：； （2）当点C在BG的什么位置时，最小？ 【答案】（1）证明见解析；（2）点C在BG的中点. 【分析】（1）建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用向量法证明 （2）建立直角坐标系，利用向量几何均值不等式求解即可. 【解析】以B为原点，BE所在所在直线为x轴，以BG所在直线为y轴，建立直角坐标系．设，，且a<b， ∴、、，，∴，， ∴，∴，即． （2）易知，， ∴，当且仅当时取等号， ∴点C在BG的中点时，最小． 题型2：用向量证明平行问题 8．（2025高一·全国月考）在中，点，分别在线段，上，，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】设，，即可表示出，再由，，即可表示出，从而得到，即可得证； 【解析】证明：设，，则. 又，.所以，. 在中，， 所以，即与共线，故. 9．（2025高一·全国·随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.    【答案】证明见解析 【分析】用向量证明，从而证明四边形EFGH为平行四边形. 【解析】因为点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点， 所以 所以， 又因为与不共线，所以，且， 所以四边形EFGH为平行四边形. 10．（2025高一·全国月考）在四边形中， ，是上的点，且. 求证： . 【答案】见解析. 【分析】利用，可得四边形是平行四边形，结合，即可证明. 【解析】∵，∴且∥， ∴四边形是平行四边形 ∴ ,∵，∴ 又∵∥ ∴四边形是平行四边形，∴ 又与方向相同 ∴ 11．（2025高三·全国月考）在四边形中，若，且，则四边形是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据题意，求得，得到四边形为平行四边形，再由，得到四边形的对角线互相垂直，即可得到答案. 【解析】因为，可得，所以， 即且，所以四边形为平行四边形， 又由，可得四边形的对角线互相垂直， 所以四边形为菱形. 故选：D. 12．（2025高二·山东泰安月考）在四边形中，，则四边形的形状是 . 【答案】矩形 【分析】根据向量数量积可得垂直，根据向量相等可证平行. 【解析】由可知,进而， 由可得且，所以四边形为矩形， 故答案为：矩形 （二） 利用向量解决平面几何求值问题 (1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 题型3：平面几何的长度问题 13．（2025高一·河北沧州月考）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，，，，计算得到答案. （2），，计算得到答案. 【解析】（1）； ， ，故， . （2）， . 14．（2025高一·河北石家庄月考）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 . 【答案】 【分析】设D为的中点，则，再由向量数量积的运算性质求解即可. 【解析】设D为的中点，则， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 15．（2025高一·江西上饶月考）在菱形ABCD中，O为菱形ABCD内一点. (1)用，，，表示； (2)若，，求，. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据菱形对边所在向量相等，利用向量的线性运算即可求解； （2）根据菱形的性质求出与的数量积，然后求模的平方再开方即可求解. 【解析】（1）因为四边形为菱形，所以， 则，所以. （2）因为，， 所以， 则， . 16．（2025高一·福建·期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可. 【解析】如图所示，由题意可得： ， 即，解之得. 故选：A 17．（2025·全国·模拟预测）已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用平面向量基底表示，找到的关系求解即可. 【解析】设， 则， 由， 得，又已知，且， 则有， 故. 故选：A. 18．（2025高一·全国月考）如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论. 【答案】，证明见解析. 【分析】由于是对角线上的两点，要判断之间的关系，只需分别判断与之间的关系即可. 【解析】设，，，则. 由，可设， 又，，可设， ∵， ∴， 综上，有，即， 由于与不共线，则，解得， ∴.同理，，. ∴. 19．（2025高一·全国月考）在梯形中，，，点E，F分别是，的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由题意可知，又，，且与同向， 则，即可求证 【解析】因为点E，F分别是，的中点， 所以，. 所以. 因为， 所以 ， 所以. 因为，，且与同向， 所以， 即. 题型4：平面几何的角度问题 20．（2025高一·山东菏泽·期末）如图，在中，已知，，，且.求. 【答案】 【分析】根据向量线性运算结合已知可得故，，平方后利用数量积的运算法则求得，再利用向量的夹角公式即可求得答案. 【解析】由题意得，的夹角为， ，则， 又，所以， 故，同理 于是 ， ， ， . 21．（2025高一·全国月考）已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，证明的夹角与的夹角相等，从而证得结论。 【解析】如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系. 设，则，. 设，则. 又因为，，所以， 所以，解得 ，所以. 所以. 又因为， 所以，. 又因为，所以.    【点睛】本题考查向量数积在平面几何图形中的运用，考查坐标化思想方法的运用和基本的运算求解能力，注意向量的夹角的定义，即两个向量必需要有相同的起点。 22．（2025高一·福建福州·期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由向量的运算得出，进而得出和的值； （2）由向量的运算得出，，进而得出，，，再由数量积公式求解即可. 【解析】（1）根据题意，梯形中，，，E为的中点 则 又由可得， （2）是与所成的角，设向量与所成的角为 ，则 ，则 则， 因为 所以 所以与所成角的余弦值为. 23．（2025高一·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【答案】(1)四边形为梯形，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据向量线性运算判断的关系即可； （2）利用向量数量积先求，和，然后由向量夹角公式可得. 【解析】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形． （2）因为， 所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以．      题型5：判断三角形的形状 24．（2025高一·江苏无锡·期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由已知平方可得，得出可判断. 【解析】，， 则， ，，则△ABC为直角三角形. 故选：B. 25．（2025高一·江苏镇江·期末）已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由三角形重心、外心性质得到是三角形的重心、外心，从而得到三角形为等边三角形. 【解析】因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心， 所以三角形是等边三角形. 故选：D. 26．（2025高一·湖南常德·期中）在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 【答案】A 【分析】由数量积的运算律得到，即可得到，再由数量积的定义求出，即可判断. 【解析】因为，即，即， 所以，即，则， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，又，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形． 故选：A 27．（2025高二·云南大理·期末）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可. 【解析】由题意可知， 所以，即的形状是直角三角形. 故选：C 28．（2025高一·重庆月考）在中，，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非等边）三角形 【答案】D 【分析】结合条件利用数量积的运算律得，再根据数量积的定义求得，即可判断三角形的形状. 【解析】因为，所以，所以， 所以，所以，即， 又，所以，所以， 所以为等腰非等边三角形. 故选：D 题型6：平面几何中的最值问题 29．（2025高三·江苏常州月考）如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（    ）    A． B．-1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用向量加法运算及数量积定义得，然后利用二次函数求解最值即可， 【解析】由题意，，， ，所以， 所以，即平分， 由可得 ， 所以当时，有最小值为. 故选：A 30．（2025高三·贵州贵阳月考）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【分析】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，所以，，，分别表示出，，再由向量的模长公式代入即可得出答案. 【解析】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设，，因为，， 所以，，，所以，， ，所以， 所以， 所以当，即时，的最小值为7， 故选：D． 31．（2025高一·重庆开州月考）如图所示，在中，，，P为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形面积得出，设，得出，再由结合基本不等式得出的最小值. 【解析】因为，所以，，设，（），则，则，，所以，当且仅当时，取等号. 故选：B 32．（2025高三·上海浦东新月考）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（    ）    A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为16 【答案】B 【分析】过作直径，利用向量加减几何意义得判断A；若为中点，连接，应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、圆的性质得，进而求范围判断B；根据垂直关系及、数量积得运算律化简判断C；若为中点，连接，圆的性质易得，应用基本不等式及求最值，注意取值条件判断D. 【解析】如图，过作直径， 由题意， 所以 为定值，A对； 若为中点，连接，则 ， 由题意，则，B错； 若，故， 则， 又，则，同理可得，故，C对； 因为，则当弦均与重合时，此时有最大值，为16，故D正确.    故选：B 【点睛】关键点点睛：根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关系，再由圆的性质、基本不等式判断各项正误. （三） 向量在物理中的应用 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型. (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值. (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象. 题型7：力的合成 33．（2025高二·广东佛山·期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（    ）（重力加速度） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据降落伞在匀速下落的过程中力的平衡可列式求解，即得答案. 【解析】设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小， 则，故， 故选：C 34．（2025·浙江温州·模拟预测）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用条件，先求出两个力的合力及，再利用功的计算公式即可求出结果. 【解析】因为，，所以，又，，所以，故. 故选：A. 35．（2025高二·江西·期中）在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为的物品，在另一个秤盘中放入重量的砝码，天平平衡．根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则的大小为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得且，平方后利用数量积公式展开即可得解． 【解析】依题意，且， 所以， 即，解得． 故答案为：． 36．（2025高一·全国·随堂练习）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）． 【答案】答案见解析 【分析】首先分析物体的受力，再计算各个力所做的功. 【解析】物体受三个力，重力，斜面对物体的支持力，摩擦力， 且重力可分解为沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，则重力与位移之间的夹角， 则重力对物体做的功， 支持力与位移方向垂直，做功为， 摩擦力与位移方向相反，对物体做功 ．    37．（2025高一·全国·随堂练习）如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．    【答案】 【分析】作图，进行力（向量）的分解，即可得出答案. 【解析】    设细绳作用力为，则， 如图，对力进行分解，可得. 根据力的平衡可知，物重G的大小为. 题型8：速度、位移的合成 38．（2025高一·全国·随堂练习）飞机从A地向西北飞行200km到达B地后，又从B地向东飞行km到达C地，再从C地向南偏东60°飞行km到达D地，求飞机从D地飞回A地的位移． 【答案】大小为，方向为南偏西 【分析】作图，根据已知结合几何关系，即可得出答案. 【解析】    如图，飞机从运动到的过程， 由已知可得，，，且， 所以，，. 过点作， 因为， 所以，， 所以，. 由勾股定理可得，， ，所以. 所以，飞机从D地飞回A地的位移大小为，方向为南偏西. 39．（2025高一·全国·随堂练习）如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．    (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 【答案】(1)答案见解析 (2)船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为 【分析】（1）直接利用向量加法的平行四边形法则作图即可； （2）利用勾股定理求解船速的实际大小，在求解直角三角形即可得方向. 【解析】（1）如图所示，表示船速，表示水速， 以为邻边作平行四边形， 则表示该船实际航行的速度；    （2）由题意， 在中，， 则，，所以， 所以船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为. 题型9：功、动量的计算 40．（2025高一·全国·随堂练习）质量kg的物体，在4.0N的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3s，求水平力在3s内对物体做的功． 【答案】 【分析】根据已知求出物体运动运动的加速度以及位移的大小，即可得出答案. 【解析】设物体运动了，加速度为， 由已知可得，kg，， 则由可得，， 所以，. 所以，水平力在3s内对物体做的功为. 41．（2025高一·全国月考）质量的木块，在平行于斜面向上的拉力的作用下，沿倾斜角的光滑斜面向上滑行的距离. （1）分别求物体所受各力对物体所做的功； （2）在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？ 【答案】（1）拉力，支持力不做功，重力；（2）. 【分析】（1）分析物体受力，按功的定义式求解每个力所做的功.（2）将（1）中的各值相加即可. 【解析】（1）木块受三个力的作用，重力，拉力和支持力，如图所示. 拉力与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为； 支持力与位移方向垂直，不做功，所以；重力对物体所做的功为. （2）物体所受各力对物体做功的代数和为. 一、单选题 1．（2025高三·江西月考）质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量坐标的意义求解. 【解析】设，5秒后P点的坐标为，则， 由题意有. 即 所以解得 故选: C 2．（2025高一·全国月考）共点力，作用在物体M上，产生位移，则共点力对物体做的功为（    ）． A． B．lg5 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据题意计算共点力的合力是，结合对物体做的功为计算出结果. 【解析】根据题意得：共点力的合力是， 对物体做的功为. 故选：D． 3．（2025高一·全国月考）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【解析】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 4．（2025高一·上海月考）一个人骑自行车行驶速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法法则进行计算即可，注意方向. 【解析】由向量的加法法则可知，逆风行驶的速度为， 故选：B. 5．（2024高一·全国月考）一物体受到相互垂直的两个力的作用，两力大小都为 N，则两个力的合力的大小为（    ） A．5 N B． N C． N D． N 【答案】D 【分析】根据合力与分力的关系，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【解析】因为一物体受到相互垂直的两个力的作用， 所以有， 所以两个力的合力的大小为： ， 故选：D 6．（2025高一·甘肃临夏·期末）在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据，得到四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形也为菱形即为正方形即可求解． 【解析】如图所示， ，四边形是平行四边形， 分别表示的单位向量， ，平方可得， ，， 四边形是矩形， 又平分，四边形是菱形， 四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5， 故选：D．    7．（2025高一·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 【答案】A 【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可. 【解析】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心； 取的中点分别为，连接， 则有， 所以三点共线，三点共线，三点共线， 即N为的重心； 由，即，同理， 所以为垂线的交点，故为的垂心. 故选：A 8．（2025高一·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由，可得，即可判断的形状. 【解析】因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 9．（2025高三·海南海口·期末）已知是平行四边形所在平面内一点，且，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当为中点时，可判断A；由，可判断B；计算可得判断C；计算可得可判断D. 【解析】当为中点时，，所以，故A错误； 因为，又，所以，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 10．（2025高三·湖南长沙月考）已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（   ） A． B．0 C．12 D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解. 【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 因为，，， 所以， 所以当时，取得最大值. 故选:D. 11．（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ）. A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】建立坐标系，写出点的坐标，设，，得到，求出最大值. 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 12．（2025高一·四川凉山月考）在中，若，则的形状为 （    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据向量数量积的定义可得，利用诱导公式得到，即可判断的范围，从而得解； 【解析】解：因为，所以，即，所以，因为，所以，即为钝角，故三角形为钝角三角形； 故选：B 13．（2025高一·全国月考）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】利用向量分解及直角三角形的性质得，根据余弦函数性质即可判断A；举反例判断B；将角的值代入计算判断CD. 【解析】如图所示，根据题意依次分析选项： 对于A，由于，且，则有，即. 又为定值，故越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，当时，，行李包不会处于平衡状态，即，B错误； 对于C，当时，有，则，C正确； 对于D，当时，有，则，D错误. 故选：C 14．（2024·四川泸州·模拟预测）已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由题设分别在以为原点，半径为的圆上运动，且，数形结合及向量加法的几何意义确定的范围，即可得答案. 【解析】由题设，分别在以为原点，半径为的圆上运动，且， 所以，若是的中点，则，而，如下图示， 由图知，，而，即. 所以的最小值是. 故选：D. 15．（2025高三·全国月考）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【分析】条件可转化为 ， ，结合数量积的定义证明 ， ，由此确定的位置. 【解析】因为 ， 所以 ， ， 即 ， ， 所以 ， ． 所以，， 又， 所以 ， ， 所以 在 的平分线上， 也在 的平分线上， 所以点 是 的内心． 故选：C． 16．（2025高三·湖南月考）已知为圆的直径且，为圆上的动点且与，均不重合，等边三角形与共面且点，位于的异侧，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先把转化成：，再求的最大值即可. 【解析】如图： 因为， 所以. 取中点，则， 因为，所以设，， 则，， 所以， 当时，为最大值. 此时为最大值. 故选：D 17．（2025高三·江苏苏州月考）如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点在正五角星的内部含边界，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照PQ所处的位置分类，结合向量数量积的几何意义及图形特征可得点分别在图中的处时取最小值，利用黄金分割即可求解. 【解析】要使最小，它们夹角必定为钝角或平角，若，在五角星内， 只要延长与边界相交于点，在保持夹角不变情形下，，则， 所以，必定在五角星边界上先考察点位置，根据对称性，分两种情形： 1．点在边上： ①先考虑极端情形：若点与右顶点重合， 则在上投影向量的模最长且与反向的就是（即与重合），所以此时最小， ②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点在边上由向移动时，变小， 且在上投影向量的模也变小为，故变大，不合题意； 2．点在的边上： ①先考虑极端情形：若点与顶点重合，则此时，但注意到在上投影向量的模最长且反向的是， 且根据相交弦定理知：，所以此时 ②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点在边上由向移动时，变小，而在上投影向量的模会变大， 过作的垂线，垂足为，则，，，四点共圆， 由相交弦定理知， 所以此时， 综上，当，分别与顶点，重合时，取最小值 由于黄金分割比，而，则， 同理，则， 所以 , 故选：B 18．（2025高三·河南月考）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】取的中点，连接，由向量的加法和数量积结合图形运算即可； 【解析】 取的中点，连接（图略），则 ． 因为正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合， 所以，所以． 故选：B. 19．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆和外切也形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用待定系数法求出圆M的方程，进而得到，数形结合得到当与直线PA垂直的直线l和圆N相切，切点为B，且直线l的纵截距大于0时，最大，利用点到直线距离公式得到，结合向量投影求出最值. 【解析】根据题意可得，解得，，故圆M的方程为． ， 画图分析可知当与直线PA垂直的直线l和圆N相切，切点为B，且直线l的纵截距大于0时，最大． 直线的斜率为1，设l的方程为，由圆心到直线l的距离为， 解得或（舍去）． 故l的方程为，其与直线PA：的交点坐标为， 所以，所以， 即的最大值为． 故选：C 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 二、多选题 20．（2025·湖北·模拟预测）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】A选项，可举出反例，当不共线且为负数时，；B选项，根据定义得到B正确；C选项，根据题意得到共线；D选项，结合正弦函数的值域得到D正确. 【解析】对于A，，， 若不共线,且为负数，则，而， 此时，故A错误； 对于B，由定义知，，故B正确； 对于C，若，则，共线，故C错误； 对于D，由定义知，又， 故，当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：BD 21．（2025高三·贵州贵阳月考）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】建立直角坐标系，求出各点的坐标，利用向量逐项判断 【解析】如图建立直角坐标系， 则, 所以，故A错， ，故B对； ，故C对； ，故D对； 故选：BCD 22．（2025高三·全国月考）（多选）如图，以为圆心，半径为1的圆始终内切于四边形，且，，则当增大时，下列说法正确的有（    ） A．单调递减 B．恒为定值 C．单调递减 D． 【答案】ABD 【分析】建系，，，由过点分别作，，的垂线，交点为,得到，再结合两点间距离公式，得到，由平面向量数量积的坐标表示逐个判断即可； 【解析】 如图建立平面直角坐标系，则，，，设，， 其中，．过点分别作，，的垂线，交点为, 易知， 所以， 所以，即．而，， 且，， 当增大时，也增大，所以ABD正确，C错误； 故答案为：ABD． 23．（2025高一·湖南常德月考）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用三角形的外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可. 【解析】由是的重心可得， 所以，故A项错误； 过的外心分别作， 的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则 ，故B项正确； 因为是的重心，所以有，故， 由欧拉线定理可得，故C项正确： 如图(2)，由于，所以，故D错误． 故选:BC. 24．（2025高一·吉林通化月考）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ABC 【分析】对A：取边中点，连接，结合奔驰定理，可得，进而可判断A； 对B：设内切圆半径为，进而用表示出，再结合奔驰定理可判断B； 对C：设外接圆半径为，根据圆的性质结合题意可得，，，从而可用表示出，进而可判断C； 对D：延长、、交、、于点、、，根据题意，结合奔驰定理可得，.从而可设，，则，，代入即可求解，进而可判断D. 【解析】对A：如图： 取边中点，连接，由， 所以，所以、、三点共线，且，所以为的重心，故A正确； 对B：如图： 因为则为内心，可设内切圆半径为，则有，，， 所以，故B 正确； 对C：如图： 因为为的外心，设外接圆半径为，有，， 所以，，故， 所以. 故C正确； 对D：由为的垂心，，所以. 如图： 则，. 设，，则，， 所以. 所以.故D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：奔驰定理与三角形的“心”： 若为所在平面上一点，则（奔驰定理） （1）为的重心. （2）为的内心. （3）为的外心. （4）为的垂心. 三、填空题 25．（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点的三个力使物体处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 ．（牛顿是物理的力学单位） 【答案】 【分析】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案. 【解析】由题意知三力平衡得，化简得， 两边同平方得，即， 即，解得. 故答案为：. 26．（2025高一·全国·期中）两个力，作用于同一个质点，使该质点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为 ． 【答案】－5 【分析】根据题意，先求其合力和位移，再根据功的计算公式计算即可. 【解析】两个力，作用于同一个质点， 其合力大小为， 从点移到点，其位移， 则这两个力的合力对质点所做的功为． 故答案为：. 27．（2025高一·福建厦门·期末）若平面上的三个力作用于同一点，且处于平衡状态．已知，且与的夹角为，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】以和的公共起点为原点，以的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系．设，由题意可得，由，可得，再由数量积公式及夹角公式即可求解. 【解析】如图以和的公共起点为原点，以的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系． 设， 因为且与的夹角为， 可得， 所以． 因为三个力作用于同一点，且处于平衡状态， 所以， 即，则， 所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以， 所以与的夹角为． 故答案为：. 28．（2025高三·天津河东·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，求出各边长，建立平面直角坐标系，得到，求出，设，，故，求出，故，从而得到最小值. 【解析】过点作⊥于点， 因为等腰梯形中，， 所以，由勾股定理得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 是腰的中点，故， 所以， 设，，， 则，故，， 故， ， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 29．（2025高三·天津·期末）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则 ，的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】由平行四边形的面积为，，可得，由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值. 【解析】因为平行四边形的面积为，， 所以，得， 如图，连接，则， 因为，又为平行四边形，则 ， 所以， 因为三点共线， 所以，得， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：；. 30．（2025高一·全国·单元测试）在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的 心． 【答案】垂 【分析】根据得到，然后得到，同理即可得到点H为的垂心． 【解析】因为， 所以，所以， 同理，，则点H为的垂心． 故答案为：垂. 31．（2025高三·江苏苏州月考）已知非零向量满足：，设，若存在，使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据和，求出，由得到，联立得到，故，换元得到，得到答案. 【解析】由题意得，即， 又，故， 所以，故①， 因为，所以②， 联立①②得，解得， 则 ， 令，则， 则， 故. 故答案为： 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 四、解答题 32．（2025高一·全国月考）如图，一辆小车在拉力的作用下产生了位移，由上节知识可知，拉力所做的功.对应图中的哪个量？拉力所做的功还可以如何描述？    【答案】，拉力所做的功等于拉力在位移方向上的分量与的乘积. 【分析】略 【解析】由题意可知， 拉力所做的功等于拉力在位移方向上的分量与的乘积. 33．（2025高一·全国月考）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点，求，的合力对质点所做的功． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量加法的坐标运算及数量积的坐标表示计算即得. 【解析】依题意，， 则． 所以对质点所做的功为 34．（2025高一·湖北随州月考）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知,,与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小. 【答案】(1)（1+）N. (2) 【分析】（1）根据力的平衡．利用数量积进行求解的大小； （2）解法一，根据力的平衡，利用数量积求解夹角；解法二，利用数量积进行求解夹角. 【解析】（1）因为三个力平衡，所以， 所以 , 故的大小为. （2）解法一：设与的夹角为θ， 则， 即=，解得， 因为，所以. 解法二：设与的夹角为θ，得， 因为，所以. 35．（2024高一·全国月考）如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：    【答案】证明见解析 【分析】利用平面向量的线性运算，选择用表示，结合向量的共线定理证明即可. 【解析】分别为中点，，， ； ，可设， ，又，， . 36．（2025高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 【答案】13 【分析】根据已知条件可得四边形ABCD为矩形，从而可求得答案. 【解析】因为在平行四边形ABCD中，，， 所以，，， 因为，，且， 所以，所以， 所以四边形ABCD为矩形，所以， 即． 37．（2025高一·全国月考）如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】以点B为原点建立平面直角坐标系，设，利用可得，由可得，继而可证明，即得证 【解析】证明：如图，以点B为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设 设，，，，则，， 所以，所以. 所以，. 因为E，D，F共线， 所以， 所以 化简得. 因为， 所以. 所以. 38．（2025高一·全国月考）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【解析】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 39．（2025高一·山东德州月考）如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是线段的中点 【分析】（1）记，利用向量的线性运算将表示为的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解； （2）将表示为的关系式，从而利用向量的数量积运算计算即可得证； （3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解. 【解析】（1）依题意，记， 因为，所以，， 因为， 所以， 则， 故. （2）因为，所以， 所以， 则，即. （3）因为，所以是的中点，故， 因为，所以，即， 所以是线段的中点. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$