精品解析：2024-2025学年深圳市龙岗区2月校联考九年级中考一模数学试卷

2025年（2月）深圳市中考第一次适应性联合测试 九年级数学（上册 十下册第一章~第二章） 说明：全卷共4页，满分100分，考试时长90分钟．请在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看到的图形是一个等腰三角形和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正上方中间位置，即看到的图形如下： 故选：A． 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，将方程化为标准形式后因式分解，利用零乘积性质求解即可． 【详解】解：∵, ∴, ∴, ∴或, ∴方程的根为,． 故选：A． 3. 已知，，，成比例线段．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，解题的关键是掌握：若四条线段，，，成比例，则（或），是有顺序的，位置不能随意颠倒．据此列式解答即可． 【详解】解：∵，，，成比例线段，且，，， ∴，即， ∴． 故选：B． 4. 在中，，那么的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数的值，三角形内角和定理，根据三角形内角和定义求出，再由特殊三角函数的值即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故选：A． 5. 数学活动课上，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点，小颖同学利用尺规按如下步骤操作：①以为圆心，以长为半径画弧；②以为圆心，以长为半径画弧；两弧交于点，分别连接，．小颖认为：若，则四边形是菱形，她判定四边形为菱形的依据是（ ） A. 两组对边平行 B. 四条边相等 C. 对角线互相垂直且平分 D. 两组对边相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形综合．熟练掌握平行四边形的性质，菱形的判定，是解题的关键．根据菱形的判定，以及平行四边形的性质定理判定即得． 【详解】解：由作图知，， ∵在平行四边形中， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴她判定四边形为菱形的依据是四条边相等． 故选：． 6. 如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，，若测得，则塔高是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据等腰三角形的性质得D为的中点，利用锐角三角函数即可解决问题． 【详解】解：由题意可知：， ∴点D为的中点， ∵米， ∴米， ∴（米）． 故选：C． 7. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，茗茗同学从中得到启发，在活动课上做“小孔成像”实验，他认为小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，也可以利用数学知识解决隐藏在其中的问题．如图，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（ ） A. 蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B. C. 蜡烛火焰长 D. 线段的中点与线段的中点的连线不一定经过点O 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形，A选项正确； 由题意得：， ∴， ∵， ∴，B选项正确； ∴， ∴， 解得：， ∴蜡烛火焰长，C选项正确； 线段的中点与线段的中点的连线一定经过点O，D选项错误． 故选：D． 8. 已知二次函数的图像与轴分别交于点，，与一次函数的图像分别交于点，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，令，求出点，的坐标，再由二次函数与一次函数的解析式联立方程组求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式计算即可．解题的关键是求出，，三点的坐标． 【详解】解：对于一次函数， 当时，得：， 解得：， ∵二次函数的图像与轴分别交于点，， 当时，得：， 解得：或， ∴，， ∵二次函数的图像与一次函数的图像分别交于点，， ∴， 解得：或， ∴， ∴， ∴的面积是． 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，其中，则的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据合比的性质得，进而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 10. 一个盒子中有12个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计盒子中白球有______个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，分式方程的应用，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中白球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋子中白球约有x个， ∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近， ∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中白球约有8个， 故答案为：8． 11. 已知点，在二次函数的图像上，则、的大小关系是：_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算和时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， ∴， 故答案为： 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x 轴正半轴上和 y轴正半轴上，反比例函数上 的图像经过的中点D，若矩形的面积为12，则k 的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，正确表示点B的坐标是解题的关键． 设点，则，根据矩形的面积为12，得出，即可得出答案． 【详解】解：点D是的中点，四边形是矩形， 设点，则， 矩形的面积为12， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，点E，F分别在边，上，与交于点Q，若，，，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的判定与性质，过作交直线于，连接，由和可得是等腰直角三角形，由，得到，由得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：过作交直线于，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∵， ∴， 中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的运算，正确记忆特殊三角函数值是解决此题的关键．先将特殊三角函数值代入，然后再进行实数运算即可得解． 【详解】解： ． 15. （1）解方程： （2）茗茗同学在解关于x 的方程时，过程如下： 第一步：，，， 第二步： 第三步：当（即）时，；当时方程无解 你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是________________． 你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是______________． 【答案】（1），；（2）没有考虑的情况；当时， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程-公式法直接求解即可； （2）根据一元二次方程的定义，公式法的条件即可求出答案． 【详解】解：（1）这里， ， ，； （2）茗茗同学的解方程过程忽视的问题是没有考虑的情况； 在上述解题过程中应该增加的一个步骤是当时，方程， 解得：； 故答案为：没有考虑的情况；当时，． 16. 深圳市某学校为了贯彻落实党的相关精神，引导全体师生了解和掌握社会主义核心价值观的基本内容和实践要求，更加深入地理解社会主义核心价值观的内涵，增强对国家、社会和公民个人层面价值观念的认同感，特意举办了社会主义核心价值观知识竞赛．以下是社会主义核心价值观的具体内容 国家层面：富强、民主、文明、和谐； 社会层面：自由、平等、公正、法治； 个人层面：爱国、敬业、诚信、友善． （1）初赛时，小军同学从会主义核心价值观十二个方面的知识中随机抽取了其中一个方面的知识，恰好抽中“富强”的概率为________． （2）复赛时，抽签只分为三大类：国家层面（A）、社会层面（B）、个人层面（C）．小军同学抽签后，把签放回去，重新洗均匀，小刚同学再抽签，利用画树状图或列表的方法求两人抽到相同的签的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式． （1）直接根据概率公式计算； （2）利用树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两人抽到相同的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：恰好抽中“富强”的概率为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：树状图如图 由图可知共有9种等可能的情况，两个人抽到相同签情况共有3种， ． 答：两个人抽到相同签的概率为． 17. 如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直平分，可得，，根据平行四边形的性质可得，推出，证明，得到，得到四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）由可得，推出，根据题意可推出是的中位线，得到，根据三角函数求出，，进而得到，作，垂足为，进而求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：垂直平分， ，， 四边形是平行四边形 ， ， 在与中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； 【小问2详解】 解：， ， ， 四边形为菱形， 为的中点， ∵为线段的中点， 是三角形的中位线． ， ， ，， ，， 如图，作，垂足为，则， ， 则． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角函数，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 18. 九年级的茗茗同学在春节放假期间参加社会实践活动，参加了街道的盆栽售卖活动，某种年橘盆栽的进价为每盆40元，售价为每盆50元，由于正值春节假期，顾客较多，每天可卖出220盆，经调查发现，如果每盆年橘的售价每上涨1元，则每天少卖10盆． （1）每盆年橘的售价上涨多少元时，每天的销售利润为2520元？ （2）每盆年橘的售价上涨多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每盆年橘的售价上涨4元或者8元，每天的销售利润为2520元 （2）每件商品的售价上涨6元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意， （1）设每件商品的售价上涨元（为正整数），则销售量为件，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设每个月的销售利润为元，根据题意得到，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件商品的售价上涨元（为正整数），则销售量为件 根据题意得， 解得：或 答：每盆年橘的售价上涨4元或者8元，每天的销售利润为2520元； 【小问2详解】 解：设每个月的销售利润为元 根据题意得：， 当时，有最大值，最大值为2560元． 答：每件商品的售价上涨6元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元． 19. 为响应国家节能减排的号召，广东新农村建设把主要村道道路上安装了太阳能路灯．如图（a）所示是行人在某村村道路灯下的影子，图（b）是该村村道上安装的两盏高度不同的太阳能路灯的示意图，其中电线杆的高度为，电线杆的高度为，的长为．身高的聪聪同学（）在两盏路灯之间走动，他在 B，D 两盏路灯下形成的影长分别记作和．（A，E，C，M，N在同一直线上，电线杆和人均垂直于地面） （1）请在图（b）中画出聪聪同学在路灯D照射下形成的影长； （2）当聪聪同学站在两盏路灯的中间（即E为的中点）时，请求出影长； （3）若影长端点N处有一个竹竿，它在路灯B 的照射下其影长端点恰好与点M重合，同时影长端点M处也有一个竹竿，它在路灯D的照射下其影长端点恰好与点N重合．（竹竿，均垂直于地面）请回答下列问题： ①设的长为，则的长为 _______（请用含有x的代数式来表示）； ②请判断的值是否为定值？若是，请求出此定值 ；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①或；②是， 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用． （1）连接并延长交与点N即可． （2）先得出，，由相似三角形的性质得出，，分别求出和，最后根据代入计算即可． （3）①根据题意画出图形， 设，由（2）可知，，由全等三角形的性质得出，，再根据，进而可得出，再证明，即可由全等三角形的性质得出． ②方法一：根据，直接计算即可． 方法二：证明，，由相似三角形的性质得出，，进而可得出，然后求解即可． 【小问1详解】 解：图中线段为所求． 【小问2详解】 解：当米时， ∵， ∴，， ，， 即，， 解得：，， ∴． 【小问3详解】 解：①根据题意画出图形： 设， 由（2）可知，， ，， 即，， 解得：，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得：或， ②方法一：同①可求得， ∵， ∴， ， ， ， ． 方法二： ∵， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ， ∴． 20. 如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，连接，． （1）如图（），若，分别是边，的中点，连接，则______ （2）当时，请回答下列问题： ①如图（），求的值； ②如图（），若平分时，求的值； ③如图（），若时，求的值． 【答案】（1） （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）连接、相交于点，由菱形的性质得，，，，进而得，由勾股定理得，从而，再根据三角形的中位线判定及性质即可得解． （2）①过点作于点，直角三角形的性质及勾股定理，从而，利用勾股定理即可得解； ②将延长交延长线于点，由角平分线的定义得，又根据菱形性质得，进而得，，，再证明，根据相似三角形的性质即可得解； ③延长与延长线交于点，过作于点，由①可得：设，则，．证利用相似三角形的性质得，进而得，，于是，利用勾股定理即可得解． 【小问1详解】 解：如图，连接、相交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，分别是边，的中点， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴由勾股定理可得：，； ②将延长交延长线于点， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ③延长与延长线交于点，过作于点， 由①可得： ∵， ∴ 设， ∴， ∴ ∴． ∵四边项是菱形， ∴， ∴ ∴ ∴即 ∴ ∴ 解得， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形函数解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，度直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握三角形函数解直角三角形，勾股定理，菱形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年（2月）深圳市中考第一次适应性联合测试 九年级数学（上册 十下册第一章~第二章） 说明：全卷共4页，满分100分，考试时长90分钟．请在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，成比例线段．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，那么的值是（ ） A. B. 1 C. D. 5. 数学活动课上，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点，小颖同学利用尺规按如下步骤操作：①以为圆心，以长为半径画弧；②以为圆心，以长为半径画弧；两弧交于点，分别连接，．小颖认为：若，则四边形是菱形，她判定四边形为菱形的依据是（ ） A. 两组对边平行 B. 四条边相等 C. 对角线互相垂直且平分 D. 两组对边相等 6. 如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，，若测得，则塔高是（ ） A. B. C. D. 7. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，茗茗同学从中得到启发，在活动课上做“小孔成像”实验，他认为小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，也可以利用数学知识解决隐藏在其中的问题．如图，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（ ） A. 蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B. C. 蜡烛火焰长 D. 线段的中点与线段的中点的连线不一定经过点O 8. 已知二次函数的图像与轴分别交于点，，与一次函数的图像分别交于点，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，其中，则的值为______． 10. 一个盒子中有12个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计盒子中白球有______个． 11. 已知点，在二次函数的图像上，则、的大小关系是：_________ 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x 轴正半轴上和 y轴正半轴上，反比例函数上 的图像经过的中点D，若矩形的面积为12，则k 的值为______． 13. 如图，在中，，，点E，F分别在边，上，与交于点Q，若，，，则的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算： 15. （1）解方程： （2）茗茗同学在解关于x 的方程时，过程如下： 第一步：，，， 第二步： 第三步：当（即）时，；当时方程无解 你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是________________． 你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是______________． 16. 深圳市某学校为了贯彻落实党的相关精神，引导全体师生了解和掌握社会主义核心价值观的基本内容和实践要求，更加深入地理解社会主义核心价值观的内涵，增强对国家、社会和公民个人层面价值观念的认同感，特意举办了社会主义核心价值观知识竞赛．以下是社会主义核心价值观的具体内容 国家层面：富强、民主、文明、和谐； 社会层面：自由、平等、公正、法治； 个人层面：爱国、敬业、诚信、友善． （1）初赛时，小军同学从会主义核心价值观十二个方面的知识中随机抽取了其中一个方面的知识，恰好抽中“富强”的概率为________． （2）复赛时，抽签只分为三大类：国家层面（A）、社会层面（B）、个人层面（C）．小军同学抽签后，把签放回去，重新洗均匀，小刚同学再抽签，利用画树状图或列表的方法求两人抽到相同的签的概率． 17. 如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 18. 九年级的茗茗同学在春节放假期间参加社会实践活动，参加了街道的盆栽售卖活动，某种年橘盆栽的进价为每盆40元，售价为每盆50元，由于正值春节假期，顾客较多，每天可卖出220盆，经调查发现，如果每盆年橘的售价每上涨1元，则每天少卖10盆． （1）每盆年橘的售价上涨多少元时，每天的销售利润为2520元？ （2）每盆年橘的售价上涨多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 19. 为响应国家节能减排的号召，广东新农村建设把主要村道道路上安装了太阳能路灯．如图（a）所示是行人在某村村道路灯下的影子，图（b）是该村村道上安装的两盏高度不同的太阳能路灯的示意图，其中电线杆的高度为，电线杆的高度为，的长为．身高的聪聪同学（）在两盏路灯之间走动，他在 B，D 两盏路灯下形成的影长分别记作和．（A，E，C，M，N在同一直线上，电线杆和人均垂直于地面） （1）请在图（b）中画出聪聪同学在路灯D照射下形成的影长； （2）当聪聪同学站在两盏路灯的中间（即E为的中点）时，请求出影长； （3）若影长端点N处有一个竹竿，它在路灯B 的照射下其影长端点恰好与点M重合，同时影长端点M处也有一个竹竿，它在路灯D的照射下其影长端点恰好与点N重合．（竹竿，均垂直于地面）请回答下列问题： ①设的长为，则的长为 _______（请用含有x的代数式来表示）； ②请判断的值是否为定值？若是，请求出此定值 ；若不是，请说明理由． 20. 如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，连接，． （1）如图（），若，分别是边，的中点，连接，则______ （2）当时，请回答下列问题： ①如图（），求的值； ②如图（），若平分时，求的值； ③如图（），若时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $