6.2平面向量的线性运算【四个基础题型+两个提升题型】题型讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

【6.2第一讲向量的线性运算】 【思维导图】 【题型归纳】 【题型一：向量的线性运算】 知识讲解 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 (1) (2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 例题精选 一、单选题 1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正方形ABCD的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高三上·广东东莞·阶段练习）在平行四边形中，，若，则=（    ） A． B． C． D．3 相似练习 二、多选题 4．（21-22高一上·辽宁葫芦岛·期末）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（20-21高一下·广东肇庆·期末）在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）若为的外心，且，则的内角等于 ． 【题型二：利用向量的线性运算求参数】 知识讲解 求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数值 例题精选 1．（23-24高三下·山西·阶段练习）已知是的边上一点，若，则（    ） A． B． C．0 D． 2．（24-25高三上·安徽宣城·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为所在平面内的点，且.若，则（    ） A． B．3 C． D． 相似练习 4．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（      ） A． B． C． D． 5．（2023·山东·模拟预测）在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 6．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）在中，已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型三：三点共线和向量共线】 知识讲解 向量共线定理：如果且，则；反之若且，则一定存在唯一实数，使． 例题精选 1．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，不共线，，，如果，那么（    ）． A．且与同向 B．且与反向 C．且与同向 D．且与反向 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 相似练习 4．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 ． 三、解答题 5．（24-25高一下·广东湛江·开学考试）设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值 6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，已知．若，证明：三点共线．    【题型四：共线向量定理的应用】 知识讲解 平面向量共线定理推论：若点互不重合，是三点所在平面上的任意点，且，则三点共线是的充要条件. 证明1.由三点共线. 由得. 即，共线，故A，B，C三点共线. 证明2.由三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 【常用结论】 要点注释：已知在线段上，且，则 例题精选 一、单选题 1．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知为的重心，线段上一点满足，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，在中，已知，P为上一点，且满足，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 相似练习 二、多选题 4．（23-24高一下·福建漳州·期中）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 三、填空题 5．（2025高三·全国·专题练习）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为 . 四、解答题 6．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 7．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 【题型五：等和线的应用】 知识讲解 等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1） 当等和线恰为直线AB时，k=1； （2） 当等和线在O点和直线AB之间时，； （3） 当直线AB在点O与等和线之间时，； （4） 当等和线过O点时，k=0； （5） 若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 三、证明步骤 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 例题精选 1.如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 2.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ） A． B．2 C． D．1 相似练习 1.给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______. 2.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 【题型六：向量的“四心”问题】 知识讲解 三角形四心的的向量性质 1. 若O为重心（三条中线的交点） (1)； (2)； (3)动点满足,则的轨迹一定通过的重心 (4)动点满足,则动点的轨迹一定通过的重心 2. 若O为△ABC垂心（三条高的交点） (1) (2) (3)动点满足,则动点的轨迹一定通过的垂心 3. 若O为△ABC内心（三条角平分线的交点） (1) (2) (3)动点满足,则的轨迹一定通过的内心 (4) 4. 若O为△ABC外心（三条中垂线的交点） (1)； (2)动点满足,,则动点的轨 迹一定通过的外心; (3)若,则是的外心. 例题精选 一、单选题 1．（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 2．（21-22高一下·山东济宁·期中）已知△ABC，点G、M满足，，则(    ) A． B． C． D． 3．（21-22高一下·河南开封·阶段练习）已知点是所在平面内的一个动点，满足（，则射线经过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 相似练习 二、多选题 4．（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知P是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ）． A．若，则P是的重心 B．若P与C不重合，，则P在的高线所在的直线上 C．若，则P在的延长线上 D．若且，则的面积是面积的 5．（21-22高一上·江苏常州·期末）若M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则M是边BC的中点 B．若，则M是边BC的中点 C．若，则点M是△ABC的重心 D．若，且，则△MBC的面积是△ABC面积的 6．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知直角三角形满足，，则下列结论正确的是（    ） A．若点为的重心，则； B．若点为的外心，则； C．若点为的垂心，则； D．若点为的内心，则． 三、填空题 7．（2024高三·全国·专题练习）M，N分别为的边AB，AC上的点，且满足，，若，且，则MN恒过的 （填“五心”中的一个） 8．（21-22高一下·宁夏银川·期中）已知为所在平面内一点，有下列结论： ①若为的内心，则存在实数使； ②若，则为的外心； ③若，则为的内心； ④若，则与的面积比为． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 课后针对训练 一、单选题 1．（20-21高三上·北京朝阳·期中）如图，在中，是的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西南昌·期中）若点为所在平面内，且满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）如图，平行四边形中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 5．（24-25高三上·北京·期中）已知，是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（   ） A．且 B．存在相异实数，使 C．当时， D．已知梯形，其中 三、填空题 8．（24-25高三下·北京海淀·开学考试）已知平面上不共线的四点，若，则 9．（21-22高三上·辽宁大连·期中）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值为 ． 10．（20-21高一下·山东枣庄·期中）如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则 ． 四、解答题 11．（22-23高一下·山东·期中）在中，点分别在边和边上，且，，交于点，设．    (1)若，求实数； (2)试用表示； (3)点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置． 12．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知，如图，在中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，. (1)分别用来表示和 (2)求的最小值 2024-2025学年高一数学通关宝典讲义系列 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$【6.2第一讲向量的线性运算】 【思维导图】 【题型归纳】 【题型一：向量的线性运算】 知识讲解 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 (1) (2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 例题精选 一、单选题 1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】. 故选：C. 2．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正方形ABCD的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的线性运算结合向量的模长概念即可求解. 【详解】. 故选：D. 3．（20-21高三上·广东东莞·阶段练习）在平行四边形中，，若，则=（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】由题意分析可知，四边形为菱形且，然后求解. 【详解】，则平分，则四边形为菱形. 且，由，则, 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意为上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题. 相似练习 二、多选题 4．（21-22高一上·辽宁葫芦岛·期末）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 【详解】由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心， 因为，故A错误； 由, 故B错误； 因为, 故C正确； 因为 , 故D正确. 故选：CD 5．（20-21高一下·广东肇庆·期末）在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对A，B，由向量的加法法则即可判断；对C，D，由向量的加法法则以及三角形重心的性质即可判断. 【详解】解：如图所示： 对A，， 又， 即，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，设为与的交点， 由题意可得：是的重心， 故， ，故C正确； 对D，，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 6．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）若为的外心，且，则的内角等于 ． 【答案】 【分析】由向量加法的平行四边形法则，结合三角形外心的性质求解即得. 【详解】由，得四边形是平行四边形， 由点是的外心，得，则是菱形， 因此都是正三角形，则， 所以. 故答案为：    【题型二：利用向量的线性运算求参数】 知识讲解 求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数值 例题精选 1．（23-24高三下·山西·阶段练习）已知是的边上一点，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算可得，进而可得，代入运算即可. 【详解】由题意可得：， 可知，所以. 故选：B. 2．（24-25高三上·安徽宣城·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用向量加减的运算法则得，结合已知即可得答案. 【详解】由题设，则， 即，则， 又，所以. 故选：C 3．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为所在平面内的点，且.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理将用表示，求得，即可得出答案. 【详解】    因为， 则， 所以， 所以， 所以，， 故. 故选：A. 相似练习 4．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过向量的线性运算化简向量即可求解. 【详解】，所以，， 所以. 故选：A. 5．（2023·山东·模拟预测）在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可. 【详解】 ， 所以，所以. 故选：D. 6．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）在中，已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算利用表示可得，解出，再利用即可求解. 【详解】由题意可得， 解得， 所以，即， 所以， 故选：A 【题型三：三点共线和向量共线】 知识讲解 向量共线定理：如果且，则；反之若且，则一定存在唯一实数，使． 例题精选 1．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量共线建立等式，解得的值. 【详解】因为与共线，所以存在实数使得，， 所以，即． 因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得， 故选：C． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，不共线，，，如果，那么（    ）． A．且与同向 B．且与反向 C．且与同向 D．且与反向 【答案】D 【分析】由题意可得向量是非零向量，根据向量共线定理，建立方程，可得答案. 【详解】由，不共线可知，，∴， ∵，， ∴存在实数，使得，即， ∴，∴． 综上，，与反向， 故选：D． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解. 【详解】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为4. 故选：B 4．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 ．相似练习 【答案】2 【分析】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可. 【详解】因为是两个不共线的单位向量，， 若与共线，可设，即，则，解得： 故答案为：2 三、解答题 5．（24-25高一下·广东湛江·开学考试）设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【详解】（1）由， 得， ， 所以，且有公共点B， 所以三点共线. （2）由与共线， 则存在实数，使得， 即， 又是不共线的两个非零向量，因此， 解得，或， 实数k的值是. 当时，与反向共线 6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，已知．若，证明：三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】利用向量共线定理即可证明． 【详解】因为， 所以． 又，所以． 因为， ， 所以， 又有公共点A，所以三点共线． 【题型四：共线向量定理的应用】 知识讲解 平面向量共线定理推论：若点互不重合，是三点所在平面上的任意点，且，则三点共线是的充要条件. 证明1.由三点共线. 由得. 即，共线，故A，B，C三点共线. 证明2.由三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 【常用结论】 要点注释：已知在线段上，且，则 例题精选 一、单选题 1．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，其中，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为在边上（不包含端点），不妨设，其中， 即， 所以，， 又因为，则，，其中、均为正数， 且有， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故则的最小值是. 故选：A. 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知为的重心，线段上一点满足，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用重心及向量的中线公式得到，结合条件及向量共线的推论，即可求出结果. 【详解】如图，因为为的重心，所以在中线上，且， 又，所以， 设，所以， 又，所以，又三点共线， 所以，得到，所以， 故选：B. 3．（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，在中，已知，P为上一点，且满足，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三点共线可得，且，结合题意可得，根据平面向量基本定理列式求解即可. 【详解】因为三点共线，则，且， 又因为，即，则， 且，则，解得. 故选：A. 相似练习 二、多选题 4．（23-24高一下·福建漳州·期中）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 【答案】BC 【分析】先利用向量的线性运算判断AC，再利用三点共线得到，进而利用基本不等式与“1”的妙用即可得解. 【详解】如图所示，因为，则，即， 所以，故A错误； 又因为， 所以，故C正确； 因为三点共线，则， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误； 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确. 故选：BC. 三、填空题 5．（2025高三·全国·专题练习）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为 . 【答案】/ 【分析】把用表示，然后由三点共线定理得出结论． 【详解】由题意 ， 因为，，三点共线，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题 6．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得. （2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由，，，， 得，又、、三点共线，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取最小值. 7．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，为的中点，所以， 又为的中点，所以； ，即， ； 故，. （2）由，，， 得，， 所以 ， 因为E，F，G三点共线，则 ， 则， 当且仅当，即，时取等号所以的最小值3. 【题型五：等和线的应用】 知识讲解 等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1） 当等和线恰为直线AB时，k=1； （2） 当等和线在O点和直线AB之间时，； （3） 当直线AB在点O与等和线之间时，； （4） 当等和线过O点时，k=0； （5） 若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 三、证明步骤 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 例题精选 1.如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 【解析】如图,取的四等分点(靠近点),作出直线,则,令. 所以点在与直线平行的直线上,设交直线于,则 当重合时,取最大值4; 当重合时,取最小值1;综上可知,. 2.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ） A． B．2 C． D．1 【详解】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴，∴ 相似练习 1.给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______. 【解析】（1）AB交CO于D，设,，易证 ，当时，取最大值，； （2）取OA中点E，则 OC交BE于F，设,，易证 ，当时，取最大值， 2.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 【解析】取AD中点F，则，直线FP交AE于G， 设 ∵ FPG三点共线 ，∴， 当P在中点时，G与E重合，此时t取到最小值， 【题型六：向量的“四心”问题】 知识讲解 三角形四心的的向量性质 1. 若O为重心（三条中线的交点） (1)； (2)； (3)动点满足,则的轨迹一定通过的重心 (4)动点满足,则动点的轨迹一定通过的重心 2. 若O为△ABC垂心（三条高的交点） (1) (2) (3)动点满足,则动点的轨迹一定通过的垂心 3. 若O为△ABC内心（三条角平分线的交点） (1) (2) (3)动点满足,则的轨迹一定通过的内心 (4) 4. 若O为△ABC外心（三条中垂线的交点） (1)； (2)动点满足,,则动点的轨 迹一定通过的外心; (3)若,则是的外心. 例题精选 一、单选题 1．（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得平分，平分，结合三角形内心定义判断即得. 【详解】在中，由，得， 即，由，同理得， 显然，即与不重合，否则，同理， 则，即，， 于是平分，同理平分， 所以点P是的内心. 故选：D 2．（21-22高一下·山东济宁·期中）已知△ABC，点G、M满足，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可知为的重心，然后结合向量的线性运算及三角形重心的性质可求． 【详解】满足，∴为的重心， ∴＝＝， 又∵， ∴ ． 故选：A． 3．（21-22高一下·河南开封·阶段练习）已知点是所在平面内的一个动点，满足（，则射线经过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据，的几何意义及向量加法运算法则得到射线在角A的平分线所在射线上，从而得到答案. 【详解】，分别表示的是方向上的单位向量，由向量加法运算法则可知：射线在角A的平分线所在射线上，故射线经过的内心. 故选：A 相似练习 二、多选题 4．（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知P是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ）． A．若，则P是的重心 B．若P与C不重合，，则P在的高线所在的直线上 C．若，则P在的延长线上 D．若且，则的面积是面积的 【答案】ABD 【分析】利用三角形重心定义判断A；利用垂直关系的向量表示判断B；利用向量线性运算及向量共线的意义判断C；确定点P的轨迹结合三角形面积公式判断D作答. 【详解】对于A，取边的中点，连接，则，而， 即有，因此P是的重心，A正确； 对于B，，由，得， 有，点P在的高线所在的直线上，B正确； 对于C，由，得，即有，则点P在的延长线上，C错误； 对于D，由，得，令，则， 而，因此点是直线上任意一点，由知， 线段上的点到直线距离等于点到直线距离的， 即点在与直线平行，并且到直线距离等于点到直线距离的的直线上， 因此边上的高是边上的高的，即，D正确. 故选：ABD    5．（21-22高一上·江苏常州·期末）若M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则M是边BC的中点 B．若，则M是边BC的中点 C．若，则点M是△ABC的重心 D．若，且，则△MBC的面积是△ABC面积的 【答案】ACD 【分析】对A，根据中点的性质即可判断；对B，根据向量的运算得到，即可判断；对C，根据重心的性质即可判断；对D，根据向量的运算得到，即可求解. 【详解】对于A，由，得，即， 因此点M是边BC的中点，故A正确； 对于B，，， 则点在边的延长线上，所以B不正确； 对于C，设中点，则,， 由重心性质可知C正确；    对于D，，且 ， 设分别取AB，的中点为N，，则， 即点 M在过AB中点且平行BC的直线上即M在上， 在的中位线上， 的面积是的，选项D正确.    故选：ACD. 6．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知直角三角形满足，，则下列结论正确的是（    ） A．若点为的重心，则； B．若点为的外心，则； C．若点为的垂心，则； D．若点为的内心，则． 【答案】ABD 【分析】根据直角三角形图像特征及重心，外心，垂心，内心的定义结合判断各个选项即可. 【详解】对于A ，设BC 的中点为 D ，则, 点为的重心，，A正确， 对于B ，直角三角形满足,点为的外心，O 为 BC 的中点， ，B正确， 对于C，直角三角形 满足 A =90°, 点为的垂心，的垂心O 与 A 重合，．C错误; 对于D，设直角三角形内切圆的半径为 r ,, 如下图，   OE = OF =1, 四边形 AEOF 为正方形， ,D正确． 故选： ABD . 三、填空题 7．（2024高三·全国·专题练习）M，N分别为的边AB，AC上的点，且满足，，若，且，则MN恒过的 （填“五心”中的一个） 【答案】重心 【分析】设G为的重心，根据题意可得，再结合三点共线的结论分析判断. 【详解】因为，， 则，， 设G为的重心，则， 又因为，且，即，可得， 所以G，M，N三点共线，故MN恒过的重心． 故答案为：重心. 8．（21-22高一下·宁夏银川·期中）已知为所在平面内一点，有下列结论： ①若为的内心，则存在实数使； ②若，则为的外心； ③若，则为的内心； ④若，则与的面积比为． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】① 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量共线定理，三角形的重心性质分别检验各选项即可判断． 【详解】解：设中点， 对于①若为的内心，所以在的角平分线上， 因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，令，所以在的角平分线上，即与共线， 所以存在实数使，即，故①正确； 对于②，若， 则， 所以在中线上且，即为三角形重心，故②错误； 对于③，，所以为的外心，故③错误； 若，则， 即， 所以为上靠近的三等分点， 所以， 故与的面积比为，故④错误． 故答案为：① 课后针对训练 一、单选题 1．（20-21高三上·北京朝阳·期中）如图，在中，是的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西南昌·期中）若点为所在平面内，且满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）如图，平行四边形中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 5．（24-25高三上·北京·期中）已知，是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（   ） A．且 B．存在相异实数，使 C．当时， D．已知梯形，其中 三、填空题 8．（24-25高三下·北京海淀·开学考试）已知平面上不共线的四点，若，则 9．（21-22高三上·辽宁大连·期中）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值为 ． 10．（20-21高一下·山东枣庄·期中）如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则 ． 四、解答题 11．（22-23高一下·山东·期中）在中，点分别在边和边上，且，，交于点，设．    (1)若，求实数； (2)试用表示； (3)点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置． 12．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知，如图，在中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，. (1)分别用来表示和 (2)求的最小值 2024-2025学年高一数学通关宝典讲义系列 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D D D C C AB 1．C 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】因为是的中点，，， 所以 . 故选：C. 2．D 【分析】利用向量的运算，确定点位置，根据长度关系可求面积之比. 【详解】如图所示， 因为， 所以可得， 所以与共线，且， 所以. 故选：D. 3．D 【分析】先由题得，，接着由几何图形结构特征结合向量加减法运算法则即可计算求解. 【详解】由题得，， 所以 ， 所以. 故选；D. 4．D 【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【详解】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 5．C 【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断. 【详解】若，则，， 所以，， 当时，，所以是充分条件， 因为，只有当与反向时，等号成立，即， 此时，所以是必要条件， 综上可知，“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C 6．C 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C 7．AB 【分析】根据向量的加减运算计算化简得出是否共线判断各个选项即可. 【详解】A．联立和消去向量可得出，且共线； B．都是非零向量，且都不为共线； C．当时，满足，此时对任意的向量都有得不出共线； D．与不一定平行，得不出共线． 故选：AB. 8． 【分析】根据向量的线性运算得到，即可得解. 【详解】由，得，即， 所以， 所以，即， 故答案为： 9．9 【分析】利用平面向量共线的结论，得到，然后用“1”的代换后，用基本不等式即可解得． 【详解】是线段上一点，三点共线， ，且， ， 当且仅当即时取等号． 的最小值为9． 故答案为：9． 10． 【分析】首先连接，再利用向量加法的几何意义求解即可. 【详解】连接，如图所示： 所以，则. 故答案为： 11．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，存在实数，使得，结合三点共线，得出方程，即可求解； （2）由（1）中，，进而得到答案； （3）设，求得和，结合，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解:在中，由，可得，且， 因为，则， 又因为三点共线，可得，解得. （2）解：由（1）中，， 因为， 当时，可得. （3）解：设，所以， 因为，又因为三点共线，所以， 所以，解得，所以满足， 12．(1)； (2) 【分析】（1）平面向量基本定理的运用，根据已知条件，结合向量的线性运算即可求解. （2）根据已知条件，结合三点共线性质和基本不等式中“1”的妙用即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为， 所以. （2）由（1）， 因为，， 所以， 因为三点共线， 所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. $$