6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.(多选题)下列各对向量不共线的是(　　) 　　 　　　　　　　　　　　　　　 A.a=(2,3),b=(3,-2) B.a=(2,3),b=(4,-6) C.a=(,-1),b=(1,) D.a=(1,),b=(,2) 2.向量a=(2,3),b=(1,-1),则2a+b=(　　) A.10 B.(5,5) C.(5,6) D.(5,7) 3.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于(　　) A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6) D.(-2,0) 4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb(m,n∈R)共线,则等于(　　) A.-2 B.2 C.- D. 5.已知四边形ABCD的三个顶A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶D的坐标为(　　) A. B. C.(3,2) D.(1,3) 6.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　　.  7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,则3a+2b=　　　　　　　.  8.已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=　　　　　.  9.(2021天津南开校级月考)已知a=(x+3,x2-3x-4),A(1,2),B(3,2). (1)若=a,求x的值; (2)若∥a,求x的值. 10.已知点A(-1,2),B(2,8),及=-,求点C,D和的坐标. 11.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M,N的坐标及的坐标. 12. 如图,已知在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标. 关键能力提升练 13.(多选题)已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2).若a,b共线,则y的值可以是(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 14.已知点A(,1),B(0,0),C(,0),∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,设=λ,则实数λ等于(　　) A.2 B. C.-3 D.- 15.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“􀱇”,向量a􀱇b=(a1,b1)􀱇(a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=,n=,点P(x,y)在y=sin x的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足=m􀱇+n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最小值为 (　　) A.-1 B.-2 C.2 D. 16.设向量绕点O逆时针旋转得向量,且2=(7,9),且向量=　　　　　.  17.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).若ma+4b与a-2b共线,则m的值为　　　　　.  18.(2021江苏南京期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,1),B(-2,2),C(-1,4). (1)以线段AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,求向量的坐标; (2)设实数t满足(AB-t)∥,求t的值. 19.已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量的坐标. 学科素养创新练 20.已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7). (1)当k为何值时,a∥(b+c)? (2)当k=1时,求满足条件c=ma+nb的实数m,n的值. 6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.(多选题)下列各对向量不共线的是(　　) 　　 　　　　　　　　　　　　　　 A.a=(2,3),b=(3,-2) B.a=(2,3),b=(4,-6) C.a=(,-1),b=(1,) D.a=(1,),b=(,2) 答案ABC 解析A,B,C中各对向量均不满足向量共线定理,D中b=a,两个向量共线. 2.向量a=(2,3),b=(1,-1),则2a+b=(　　) A.10 B.(5,5) C.(5,6) D.(5,7) 答案B 解析∵向量a=(2,3),b=(1,-1),∴2a+b=(5,5),故选B. 3.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于(　　) A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6) D.(-2,0) 答案D 解析∵a-3b+2c=0, ∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0), 即 即c=(-2,0).故选D. 4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb(m,n∈R)共线,则等于(　　) A.-2 B.2 C.- D. 答案C 解析因为向量a=(2,3),b=(-1,2), 所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n). 因为a-2b与非零向量ma+nb共线, 所以,解得14m=-7n,=-. 5.已知四边形ABCD的三个顶A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶D的坐标为(　　) A. B. C.(3,2) D.(1,3) 答案A 解析设顶点D的坐标为(x,y), 因为=(4,3),=(x,y-2),且=2, 所以所以所以选A. 6.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　　.  答案 解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ), 由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=. 7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,则3a+2b=　　　　　　　.  答案(14,7) 解析因为向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b, 所以1·m-2×2=0,解得m=4.所以b=(4,2). 故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7). 8.已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=　　　　　.  答案9或 解析　=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2). 因为A,B,C共线,所以共线, 所以-2(n+2)=(1-m)(5-n). ① 又m=2n, ② 解①②组成的方程组得 所以m+n=9或m+n=. 9.(2021天津南开校级月考)已知a=(x+3,x2-3x-4),A(1,2),B(3,2). (1)若=a,求x的值; (2)若∥a,求x的值. 解(1)=(2,0),因为=a, 所以解得x=-1. (2)因为∥a,所以x2-3x-4=0,解得x=-1或4. 10.已知点A(-1,2),B(2,8),及=-,求点C,D和的坐标. 解设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6). ∵=-,∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6),即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2). ∴ ∴点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0). 故=(-2,-4). 11.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M,N的坐标及的坐标. 解a==(5,-5),b==(-6,-3),c==(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵a=mb+nc,∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8). ∴ (3)设M(x1,y1),由=3c, 得(x1+3,y1+4)=3(1,8),∴ ∴x1=0,y1=20.∴M(0,20). 设N(x2,y2),由=-2b, 得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3). ∴解得 ∴N(9,2).∴=(9,-18). 12. 如图,已知在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标. 解因为(0,5)=, 所以C.因为(4,3)=, 所以D. 设M(x,y),则=(x,y-5),-(0,5)=. 因为,所以-x-2(y-5)=0, 即7x+4y=20. ① 因为, 所以x-4=0,即7x-16y=-20. ② 联立①②,解得x=,y=2,故点M的坐标为. 关键能力提升练 13.(多选题)已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2).若a,b共线,则y的值可以是(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案ABC 解析∵a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线, ∴2(y2-2)-(-1)x2=0, ∴x2=4-2y2≥0,整理得y2≤2,解得-≤y≤. ∴y的取值范围是[-]. 14.已知点A(,1),B(0,0),C(,0),∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,设=λ,则实数λ等于(　　) A.2 B. C.-3 D.- 答案C 解析如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,||=1, ∴||=. ∵=λ,λ<0, ∴|λ|==3. ∴λ=-3. 15.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“􀱇”,向量a􀱇b=(a1,b1)􀱇(a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=,n=,点P(x,y)在y=sin x的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足=m􀱇+n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最小值为 (　　) A.-1 B.-2 C.2 D. 答案B 解析由题意知,点P的坐标为(x,sin x), 则=m􀱇+n=.又因为点Q在y=f(x)的图象上运动,所以点Q的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin.所以函数y=f(x)的最小值为-2. 16.设向量绕点O逆时针旋转得向量,且2=(7,9),且向量=　　　　　.  答案 解析设=(m,n),则=(-n,m), 所以2=(2m-n,2n+m)=(7,9),即解得因此. 17.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).若ma+4b与a-2b共线,则m的值为　　　　　.  答案-2 解析因为ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1),向量ma+4b与a-2b共线,所以-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2. 18.(2021江苏南京期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,1),B(-2,2),C(-1,4). (1)以线段AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,求向量的坐标; (2)设实数t满足(AB-t)∥,求t的值. 解(1)由向量加法的平行四边形法则知, =(-5,1)+(-4,3)=(-9,4). (2)-t=(-5,1)-(-t,4t)=(t-5,1-4t),=(-1,4)-(-2,2)=(1,2). 因为(-t)∥,所以(t-5)×2=1-4t, 解得t=. 19.已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量的坐标. 解如 图所示,以点O为原点,所在直线为x轴,建立平面直角坐标系. ∵||=1,∠AOB=150°, ∴B(-cos 30°,sin 30°), ∴B. ∵||=3, ∴C(-3sin 30°,-3cos 30°), 即C.又A(2,0), ∴-(2,0)=, =. 学科素养创新练 20.已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7). (1)当k为何值时,a∥(b+c)? (2)当k=1时,求满足条件c=ma+nb的实数m,n的值. 解(1)∵a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7), ∴b+c=(10,k+7), 又a∥(b+c), ∴1×(k+7)-2×10=0,解得k=13, ∴当k=13时,a∥(b+c). (2)当k=1时,b=(2,1). c=ma+nb,即(8,7)=(m+2n,2m+n), ∴解得 7 学科网（北京）股份有限公司 $$