6.限时练特殊平行四边形的基本证明及计算（计算通关本）（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（人教版）

2025春季学期 《学练优》·八年级数学下·RJ 6.限时练：特殊平行四边形的基本证明及计算 1. （12分）已知：如图，AB∥CD，AB＝AD＝ CD，AC与BD相交于点E，且CF∥BE，∠F＝ 90°.求证：四边形BECF为矩形. 2 3 4 5 6 7 8 1 证明：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是 平行四边形. ∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱 形.∴AC⊥BD. ∵CF∥BE，∴CF⊥AC. ∴∠BEC＝∠FCE＝ 90°. ∵∠F＝90°，∴四边形BECF为矩形.（12分） 证明：∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. ∵CF∥BE，∴CF⊥AC. ∴∠BEC＝∠FCE＝90°. ∵∠F＝90°，∴四边形BECF为矩形.（12分） 2 3 4 5 6 7 8 1 2. （12分）如图，已知BD为▱ABCD的对角线.BD的垂直平分线分别交AD，BC，BD于点E，F，O，连接BE，DF，求证：四边形BEDF为菱形. 2 3 4 5 6 7 8 1 证明：∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，BF＝ DF， ∠BOE＝∠DOE＝90°. ∴∠EBO＝∠EDO. ∵∠BEO＋∠EBO＝∠DEO ＋∠EDO＝90°，∴∠BEF＝∠DEF. ∵四边形 ABCD是平行四边形，∴DE∥BF. ∴∠DEF＝ ∠BFE. ∴∠BEF＝∠BFE. ∴BE＝BF. ∴DE＝BE＝BF＝DF. ∴四边形BEDF为菱形.（12分） 证明：∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE， BF＝ DF， ∠BOE＝∠DOE＝90°. ∴∠EBO＝∠EDO. ∵∠BEO＋∠EBO＝∠DEO ＋∠EDO＝90°， ∴∠BEF＝∠DEF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DE∥BF. ∴∠DEF＝∠BFE. ∴∠BEF＝∠BFE. ∴BE＝BF. ∴DE＝BE＝BF＝DF. ∴四边形BEDF为菱形.（12分） 2 3 4 5 6 7 8 1 3. （12分）如图，在正方形ABCD中，P是对角线 AC上的点，连接BP，DP. （1）求证：BP＝DP； （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAP＝∠BAP＝45°. 又∵AP＝AP，∴△ABP≌△ADP （SAS）. ∴BP＝DP. （6分） 2 3 4 5 6 7 8 1 （1）证明：∵四边形ABCD是正方 形， ∴AD＝AB，∠DAP＝∠BAP＝45°. 又∵AP＝AP，∴△ABP≌△ADP （SAS）.∴BP＝DP. （6分） （2）如果AB＝AP，求∠ABP的度数. （2）解：∵AB＝AP， ∴∠ABP＝∠APB. 又∵∠BAP＝45°， ∴∠ABP＝ ＝67.5°. （12分） 2 3 4 5 6 7 8 1 4. （12分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝ 60°，E是CD边上一点，作等边三角形BEF，连 接AF. 2 3 4 5 6 7 8 1 （1）证明：∵四边形ABCD是菱 形，∴AB＝BC. ∵△BEF是等边三角形， ∴BE＝BF，∠FBE＝60°. 又∵∠ABC＝60°，∴∠EBF＝ ∠ABC. ∴∠ABF＝∠CBE. ∴△ABF≌△CBE（SAS）. （1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC. ∵△BEF是等边三角形， ∴BE＝BF，∠FBE＝60°. 又∵∠ABC＝60°，∴∠EBF＝∠ABC. ∴∠ABF＝∠CBE. ∴△ABF≌△CBE（SAS）. ∴CE＝AF. （6分） （1）求证：CE＝AF； 2 3 4 5 6 7 8 1 （2）若EF与AD交于点P，∠DPE＝48°，求 ∠CBE的度数. （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC. 如图，过点E作EH∥AD交AB于点H， 则EH∥BC. ∴∠DPE＝∠PEH，∠CBE＝∠BEH. ∵∠BEF＝60°， ∴∠CBE＝60°－∠DPE＝12°.（12分） 2 3 4 5 6 7 8 1 5. （12分）如图，四边形ABCD是平行四边形. （1）尺规作图：作对角线AC的垂直平分线MN （保留作图痕迹）； （1）解：如图，直线MN即为所求.（6分） （1）解：如图，直线MN即为所求. （6分） 2 3 4 5 6 7 8 1 （2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求 证：四边形AFCE是菱形. （2）证明：如图，设AC与EF 交于点O. 由作图可知， EF垂直平分线段AC，∴OA＝ OC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥CF. ∴∠OAE＝∠OCF. 2 3 4 5 6 7 8 1 ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）.∴AE＝CF. ∴四边形AFCE是平行四边形. ∵AC⊥EF， ∴四边形AFCE是菱形.（12分） ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）.∴AE＝CF. ∴四边形AFCE是平行四边形. ∵AC⊥EF， ∴四边形AFCE是菱形.（12分） 2 3 4 5 6 7 8 1 6. （12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是 △ABC的角平分线，点O为AC的中点，连接DO并 延长到点E，使OE＝OD，连接AE，CE. 2 3 4 5 6 7 8 1 解：（1）四边形ADCE是矩形.理由： ∵点O为AC的中点，∴AO＝CO. 又 ∵OE＝OD，∴四边形ADCE是平行四 边形. ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC. ∴四边形ADCE是矩形.（6分） 解：（1）四边形ADCE是矩形.理由： ∵点O为AC的中点，∴AO＝CO. 又∵OE＝OD， ∴四边形ADCE是平行四边形. ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC. ∴四边形ADCE是矩形.（6分） （1）判断四边形ADCE的形状，并说明理由. 2 3 4 5 6 7 8 1 （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正 方形？请说明理由. 解：（2）当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形 ADCE是正方形. 理由： ∵△ABC是等腰直角三角形，AD平分∠BAC， 解：（2）当△ABC满足∠BAC＝90°时， 四边形ADCE是正方形. 理由： ∵△ABC是等腰直角三角形， AD平分∠BAC， 2 3 4 5 6 7 8 1 ∴AD＝CD＝ BC. 由（1）知，四边形ADCE是矩形， ∴四边形ADCE是正方形.（12分） ∴AD＝CD＝ BC. 由（1）知，四边形ADCE是矩形， ∴四边形ADCE是正方形.（12分） 2 3 4 5 6 7 8 1 7. （14分）将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图 所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对 角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上. 2 3 4 5 6 7 8 1 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， 四边形EFGH是菱形， ∴AD＝CD，ED＝GD， ∠A＝∠C＝90°. ∴Rt△ADE≌Rt△CDG（HL）.（6分） （1）求证：△ADE≌△CDG； 2 3 4 5 6 7 8 1 （2）若AE＝BE＝2，求BF的长. （2）解：如图，过E作EQ⊥DF于Q， 则∠EQB＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝90°，AD＝AB ＝AE＋EB＝2＋2＝4， ∠EBQ＝∠CBD＝45°. 2 3 4 5 6 7 8 1 ∴∠QEB＝45°＝∠EBQ. ∴EQ＝BQ. ∵BE＝2，∴2EQ2＝22. ∴EQ＝BQ＝ （负数已舍去）. 在Rt△DAE中，由勾股定理得DE＝ ＝ ＝2 . ∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝DE＝2 . ∴∠QEB＝45°＝∠EBQ. ∴EQ＝BQ. ∵BE＝2，∴2EQ2＝22. ∴EQ＝BQ＝ （负数已舍去）. 在Rt△DAE中，由勾股定理得DE＝ ＝ ＝2 . ∵四边形EFGH是菱形， ∴EF＝DE＝2 . 2 3 4 5 6 7 8 1 ∴QF＝ ＝ ＝ 3 . ∴BF＝QF－QB＝3 － ＝2 .（14分） ∴QF＝ ＝ ＝3 . ∴BF＝QF－QB＝3 － ＝2 .（14分） 2 3 4 5 6 7 8 1 8. （14分）如图，在正方形ABCD中，G是对角线 BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD， GF⊥BC，E，F分别为垂足.连接EF，AG，并延 长AG交EF于点H. 2 3 4 5 6 7 8 1 （1）证明：在正方形ABCD中， AD⊥CD，GE⊥CD， ∴∠ADE＝∠GEC＝90°. ∴AD∥GE. ∴∠DAG＝∠EGH. （6分） （1）证明：在正方形ABCD中， AD⊥CD，GE⊥CD， ∴∠ADE＝∠GEC＝90°. ∴AD∥GE. ∴∠DAG＝∠EGH. （6分） （1）求证：∠DAG＝∠EGH； 2 3 4 5 6 7 8 1 （2）解：AH⊥EF，理由如下： 如图，连接GC交EF于点O. ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ADG＝∠CDG＝45°. 又∵DG＝DG，AD＝CD， ∴△ADG≌△CDG（SAS）. ∴∠DAG＝∠DCG. 在正方形ABCD中，∠ECF＝90°， （2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由. 2 3 4 5 6 7 8 1 又∵GE⊥CD，GF⊥BC， ∴四边形FCEG为矩形.∴OE＝OC. ∴∠OEC＝∠OCE. ∴∠DAG＝∠OEC. 由（1）得∠DAG＝∠EGH， ∴∠EGH＝∠OEC. ∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC ＝90°. ∴∠GHE＝90°. ∴AH⊥EF. （14分） 又∵GE⊥CD，GF⊥BC， ∴四边形FCEG为矩形.∴OE＝OC. ∴∠OEC＝∠OCE. ∴∠DAG＝∠OEC. 由（1）得∠DAG＝∠EGH， ∴∠EGH＝∠OEC. ∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC ＝90°. ∴∠GHE＝90°. ∴AH⊥EF. （14分） 2 3 4 5 6 7 8 1 $$