4.限时练平行四边形的基本证明及计算（计算通关本）（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（人教版）

2025春季学期 《学练优》·八年级数学下·RJ 4.限时练：平行四边形的 基本证明及计算 1. （10分）已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD， AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形. 2 3 4 5 6 7 8 1 证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝ ∠CDB＝90°. 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）.∴AB＝CD. 又∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形. （10分） 证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°. 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）.∴AB＝CD. 又∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形.（10分） 2 3 4 5 6 7 8 1 2. （10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC， ∠B＝∠C. E是边BC上一点，且DE＝DC. 求 证：四边形ABED是平行四边形. 2 3 4 5 6 7 8 1 证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C. ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC. ∴AB∥DE. ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形.（10分） 证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C. ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC. ∴AB∥DE. ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形.（10分） 2 3 4 5 6 7 8 1 3. （10分）（一题多解）如图，在▱ABCD中， AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF， CE，求证：四边形AECF是平行四边形. 2 3 4 5 6 7 8 1 证明：方法一：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠ABD＝∠CDB. ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°，AE∥CF. ∴△ABE≌△CDF. ∴AE＝CF. ∴四边形AECF为平行四边形.（10分） 证明：方法一：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠ABD＝∠CDB. ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°，AE∥CF. ∴△ABE≌△CDF. ∴AE＝CF. ∴四边形AECF为平行四边形.（10分） 2 3 4 5 6 7 8 1 方法二：连接AC交BD于点O. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝CO. ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°. 又∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF. ∴OE＝OF. ∴四边形AECF为平行四边形.（10分） 方法二：连接AC交BD于点O. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝CO. ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°. 又∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF. ∴OE＝OF. ∴四边形AECF为平行四边形.（10分） 2 3 4 5 6 7 8 1 4. （12分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC 边上一点，F在BC的延长线上，且∠BAE＝∠CDF. 2 3 4 5 6 7 8 1 （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC. ∴∠B＝∠DCF. 又∵∠BAE＝∠CDF， ∴△ABE≌△DCF（ASA）. （6分） （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC. ∴∠B＝∠DCF. 又∵∠BAE＝∠CDF， ∴△ABE≌△DCF（ASA）. （6分） （1）求证：△ABE≌△DCF； 2 3 4 5 6 7 8 1 （2）若AD＝6，点E为BC的中点，求BF的长. （2）解：∵BC＝AD＝6， 且点E为BC的中点， ∴BE＝CE＝ BC＝ ×6＝ 3. 由（1）得△ABE≌△DCF， ∴BE＝CF＝3. ∴BF＝BC＋CF＝6＋3＝9. ∴BF的长为9.（12分） 2 3 4 5 6 7 8 1 5. （12分）如图，过△ABC的顶点B作BD∥AC， 以B为圆心，AC的长为半径画弧，交BD于点E， 连接CE. 2 3 4 5 6 7 8 1 解：（1）四边形ABEC是平 行四边形，理由如下： ∵BD∥AC，BE＝AC， ∴四边形ABEC是平行四边 形.（6分） 解：（1）四边形ABEC是平行四边形， 理由如下： ∵BD∥AC，BE＝AC， ∴四边形ABEC是平行四边形.（6分） （1）所画的四边形ABEC是平行四边形吗？请说明 理由. 2 3 4 5 6 7 8 1 （2）若∠ABC＝50°，求∠BCE的度数. 解：（2）∵四边形ABEC是平行四边形， ∴CE∥AB. ∴∠BCE＝∠ABC＝50°.（12分） 解：（2）∵四边形ABEC是平行四边形， ∴CE∥AB. ∴∠BCE＝∠ABC＝50°.（12分） 2 3 4 5 6 7 8 1 6. （14分）在▱ABCD中，AD＝8，AE平分 ∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点 F，且EF＝2，求AB的长. 2 3 4 5 6 7 8 1 解：分两种情况：①如图①，在▱ABCD中， ∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB， CD∥AB， ∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC. ∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交 BC于点F， ∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF. ∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF. 解：分两种情况：①如图①，在▱ABCD中， ∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB， CD∥AB， ∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC. ∵AE平分∠BAD交BC于点E， DF平分∠ADC交BC于点F， ∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF. ∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF. 2 3 4 5 6 7 8 1 ∴AB＝BE，CF＝CD. ∵EF＝2，∴BC＝BE＋CF－EF＝2AB－EF＝ 8. ∴AB＝5. ∴AB＝BE，CF＝CD. ∵EF＝2，∴BC＝BE＋CF－EF＝2AB－EF＝ 8. ∴AB＝5. 2 3 4 5 6 7 8 1 ②如图②，同理可得AB＝BE，CF＝CD. ∵EF ＝2， ∴BC＝BE＋CF＋EF＝2AB＋EF＝8.∴AB＝3. 综上所述，AB的长为3或5.（14分） ②如图②，同理可得AB＝BE，CF＝CD. ∵EF＝2， ∴BC＝BE＋CF＋EF＝2AB＋EF＝8.∴AB＝3. 综上所述，AB的长为3或5.（14分） 2 3 4 5 6 7 8 1 7. （16分）如图，在△ABC中，点D，E分别是 BC，AC的中点，延长BA至点F，使得AF＝ AB，连接DE，AD，EF，DF. 2 3 4 5 6 7 8 1 （1）证明：∵点D，E分别是 BC，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ∴DE∥AB，DE＝ AB. ∵AF＝ AB，∴DE＝AF. ∴四边形ADEF是平行四边形.（8 分） （1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ∴DE∥AB，DE＝ AB. ∵AF＝ AB，∴DE＝AF. ∴四边形ADEF是平行四边形.（8分） （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； 2 3 4 5 6 7 8 1 （2）若AB＝6，AC＝8，BC＝10，求EF的长. （2）解：∵AB＝6，AC＝8，BC ＝10， ∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直 角三角形，∠BAC＝90°. ∴∠FAE＝90°.∵点E是AC的中 点，∴AE＝ AC＝4. （2）解：∵AB＝6，AC＝8，BC ＝10， ∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直角三角形， ∠BAC＝90°. ∴∠FAE＝90°. ∵点E是AC的中点，∴AE＝ AC＝4. ∵AF＝ AB＝3， ∴EF＝ ＝5.（16分） 2 3 4 5 6 7 8 1 8. （16分）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条 直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处， 折痕为EF. 求证： 2 3 4 5 6 7 8 1 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠BCD. 由折叠可得∠A＝∠ECG， ∴∠BCD＝∠ECG. ∴∠BCD－∠ECF ＝∠ECG－∠ECF. ∴∠ECB＝∠FCG. （8分） （1）∠ECB＝∠FCG； 2 3 4 5 6 7 8 1 （2）△EBC≌△FGC. 证明：（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B，AD＝BC. 由折叠可得∠D＝ ∠G，AD＝CG. ∴∠B＝∠G，BC＝CG. 又∵∠ECB＝∠FCG， ∴△EBC≌△FGC（ASA）.（16分） 证明：（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B，AD＝BC. 由折叠可得∠D＝ ∠G，AD＝CG. ∴∠B＝∠G，BC＝CG. 又∵∠ECB＝∠FCG， ∴△EBC≌△FGC（ASA）.（16分） 2 3 4 5 6 7 8 1 $$