18.1.1 第2课时 平行四边形的对角线的特征（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（人教版）

2025春季学期 《学练优》·八年级数学下·RJ 第十八章　平行四边形 18.1　平行四边形 18.1.1　平行四边形的性质 第2课时　平行四边形的对角线的特征 目 录 CONTENTS 01 A 基础巩固 02 B 综合运用 03 C 拓广探索 知识点一　平行四边形的对角线互相平分 1. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O. 第1题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 （1）下列结论一定正确的是（　B　） A. AC＝BD B. OA＝OC C. AC⊥BD D. ∠ADC＝∠BCD （2）在▱ABCD中，全等三角形共有（　C　） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 B C 第1题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 （3）若AD＝6，AC＋BD＝16，则△BOC的周长 为（　D　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 D 第1题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 2. （2024·武汉黄陂区期中）如图，在▱ABCD中， AC＝8，BD＝12，则BC边的长不可能是 （　D　） A. 3 B. 5 C. 8 D. 10 第2题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 变式设问 在上述条件下，设AB＝x，则x的取值范围为 ⁠ ⁠. 2＜ x＜10　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 3. （2024·北京丰台区期中）如图，在▱ABCD中， 对角线AC，BD相交于点O，BA⊥AC于点A，AC ＝6，BD＝10，求平行四边形ABCD的边BC的长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 解：由平行四边形的性质可知AO＝ AC＝3，BO ＝ BD＝5.在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝ ＝4.在Rt△ABC中，由勾股定理得BC ＝ ＝2 . 解：由平行四边形的性质可知AO＝ AC＝3， BO＝ BD＝5.在Rt△AOB中， ＝4.在Rt△ABC中， 由勾股定理得BC ＝ ＝2 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 4. （2024·济南历城区二模）如图，在▱ABCD中， 过对角线BD的中点O作直线EF，分别交DA的延 长线，AB，DC，BC的延长线于点E，M，N， F. 求证：AE＝CF. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∴∠E＝∠F. 又∵O为 对角线BD的中点，∴OD＝OB. 在△DOE和 △BOF中， ∴△DOE≌△BOF （AAS）. ∴DE＝BF. ∴DE－AD＝BF－BC. ∴AE＝ CF. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∴∠E＝∠F. 又∵O为对角线BD的中点，∴OD＝OB. 在△DOE和△BOF中， ∴△DOE≌△BOF （AAS）. ∴DE＝BF. ∴DE－AD＝BF－BC. ∴AE＝CF. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 知识点二　平行四边形的面积 5. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，若 S△BOC＝3，则S△AOD＝ ，S△AOB＝ ⁠， S▱ABCD＝ ⁠. 3　 3　 12　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 6. 等积转化如图，在▱ABCD中，过点D作 DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为 F. 若AB＝6，AC＝8，DE＝4，求BF的长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 解：在▱ABCD中，S△ABC＝ S▱ABCD. ∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴ AC·BF＝ AB·DE. ∵AB＝6，AC＝8，DE＝4，∴8BF＝6×4.解得 BF＝3.故BF的长为3. 解：在▱ABCD中，S△ABC＝ S▱ABCD. ∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴ AC·BF＝ AB·DE. ∵AB＝6，AC＝8，DE＝4，∴8BF＝6×4. 解得BF＝3.故BF的长为3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 图形变式 （2024·镇江京口区模拟）如图，在▱ABCD中， AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，BC＝5，AB＝ 4，AE＝3，则AF的长为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 7. （2024·赣州期中）如图，在▱ABCD中，AC， BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE. 若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为 （　D　） A. 28 B. 24 C. 21 D. 14 第7题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 8. （2024·北京东城区期中改编）如图，▱ABCD的 对角线AC，BD相交于点O. 若AB＝4，AC＝6， BD＝10，则AD的长为 ⁠. 第8题图 2 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 9. 如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA 上任意一点，连接PB. 以PO，PB为邻边作平行四 边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值 为 ⁠. 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 10. （2024·乐清期中）如图，已知在▱ABCD中， 对角线AC，BD交于点O，E，F分别是线段OB， OD的中点，连接AE，CF. （1）求证：AE＝CF； （1）证明：在▱ABCD中，AB ＝CD，AB∥CD，BO＝DO， AO＝CO，∴∠ABD＝∠CDB. ∵点E，F分别为OB，OD的中 点，∴BE＝ BO，DF＝ DO. ∴BE＝DF. ∴△ABE≌△CDF （SAS）.∴AE＝CF. （1）证明：在▱ABCD中，AB ＝CD，AB∥CD， BO＝DO， AO＝CO，∴∠ABD＝∠CDB. ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BE＝ BO， DF＝ DO. ∴BE＝DF. ∴△ABE≌△CDF（SAS）. ∴AE＝CF. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 （2）方程思想若AC⊥CD，∠BOC ＝135°，BC＝ ，求BD的长. （2）解：∵AB∥CD， AC⊥CD，∴AC⊥AB，则 ∠BAC＝90°.又∵∠BOC＝ 135°，∴∠ABO＝∠AOB＝ 45°.∴AO＝AB. （2）解：∵AB∥CD， AC⊥CD，∴AC⊥AB， 则∠BAC＝90°.又∵∠BOC＝ 135°， ∴∠ABO＝∠AOB＝45°.∴AO＝AB. 设AB＝x，则AO＝CO＝x，AC＝2x. 在Rt△ABC中，AB2＋AC2＝BC2， 则x2＋（2x）2＝（ ）2，解得x＝1.∴AB＝AO＝1. .∴BD＝2BO＝2 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 11. 一题多变如图①，E为▱ABCD的边AD上任意 一点，▱ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积 为 ⁠. 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 对称法如图②，四边形ABCD是平行四边形.若S▱ABCD＝12，则S阴影＝ ⁠. 变式2 如图③，点E在平行四边形ABCD的对角线BD上， 设S1＝S△ABE，S2＝S△BCE，则S1与S2之间的大小关 系为 ⁠. 3　 S1＝S2　 变式1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 变式3 （2024·吕梁期中改编）如图④，在▱ABCD中，过 对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG ＝3BG，S▱BEPG＝1.5，则S▱AEPH＝ ⁠. 4.5　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 方法归纳 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 $$