精品解析：湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024－2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试卷 亲爱的同学： 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1．本试卷全卷共6页，三大题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的姓名，准考证号填写在“答题卡”相应位置． 3．答选择题时，选出每小题正确答案后，用2B铅笔将“答题卡”上对应题目答案标号涂黑．如需改动，请先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在“试卷”上无效． 4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上，答在“试卷”上无效． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列事件属于随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 购买一张彩票中奖 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 煮熟的鸭子飞了 2. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于一元二次方程的根说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个负的实数根 4. 如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到对应，若点恰好在边上，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 解一元二次方程，配方后正确是（ ） A. B. C. D. 7. 经过一个“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．某一定时间内随机有三人经过该路口，则恰好有两人左拐的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（ ） A. B. 或 C. D. 9. 观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解可以是（ ） 1.9 2 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0 0.44 0.69 0.96 1.25 1.56 1.89 2.24 2.61 A. 1.93 B. 2 C. 2.73 D. 2.81 10. 如图（1）是一款中药碾槽，碾槽底部为近似圆弧形（本题以圆弧记），槽内可以安放一个带轴的碾轮．将中药放入碾槽中，使碾轮滚动，可将中药粉碎，碾槽截面平面示意图如图（2）．设碾轮中心轴的截面图圆心为，当碾轮经过碾槽最低点时，恰好与相切于点，并且此时切点与点的距离刚好为，若所在圆半径为，且的长度为，则点，间的距离大约是（结果精确到，，）． A. 19.4 B. 20.6 C. 21.8 D. 22.0 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ___________． 12. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到抛物线是______． 13. 如今，二维码已逐渐进入了人们的生活，为民众提供了极大的便利．如图，已知面积为的正方形二维码，想估算出二维码黑色部分的面积，可以用投针实验在正方形区域内随机扎100个小孔点，若有40个小孔点在空白部分内，则黑色部分的面积约为______． 14. 一个直角三角形两条直角边的长，是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为______． 15. 如图，中，，，点在上，以A为切点，为切线经过点A，点在上，且，则的长是______． 16. 已知拋物线（，，常数且）过和两点，且，下列四个结论： ①； ②； ③若关于的方程有实数根，则； ④若抛物线过点，则． 其中正确的结论序号有______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值及此方程两实数根． 18. 如图，在中，，，将绕着点顺时针方向旋转得，，相交于点． （1）求和大小； （2）若，则直接写出的大小． 19. 一个不透明的布袋里有分别标有汉字“湖”“北”“汉”“阳”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇匀再摸． （1）若从中任摸一个球，直接写出摸出球上的汉字刚好是“汉”的概率； （2）小红从中任摸一球，不放回，再从中任摸一球，请用树状图或列表法，求小红摸出的两个球上的汉字恰好能组成“汉阳”的概率． 20. 如图，正六边形内接于． （1）如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； （2）如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、两点为格点，过、两点的圆交格线于点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）如图（1），先画圆心，再将线段绕点旋转180°，使点的对应点为，画出旋转后的线段； （2）如图（2），先在图上画点，连，使评分，在经过点画圆的对称轴交直线于点，然后过点画圆的切线． 22. 郑钦文是我国网球运动员．她在一次击球过程中，在点处发球，将网球从点正上方的点发出，球的运行轨迹是一条抛物线，网球运行的水平距离为时，网球达到最大高度，以点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，已知球网与原点的水平距离约为，球网高度为，球场的边界距原点的水平距离约为．设网球运动高度与运行的水平距离． （1）若，时， ①求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； ②如果球能过网，求它的落点离边界的距离； （2）若在距地面处将球击打出去，让球一定能越过球网（不接接触球网），又不出边界（可压边界），直接写出的取值范围． 23. 在和中，，，，连，，分别为，的中点，为中点，连，． （1）如图1，求证：； （2）如图1，探究线段，间的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）当，，绕点旋转过程中，若，，三点在同一条直线上，请画出旋转后的对应图形，并直接写出，两点的距离． 24. 已知如图1，平面直角坐标系中，为原点，经过点的抛物线交轴正半轴于点，与直线有两个交点，，它们的横坐标为，，且． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）如图2，将抛物线的顶点平移到原点，得新抛物线，直线交抛物线于点，（点横坐标小于），若与的交点为，过点作轴平行线交抛物线于点，试说明直线总经过定点，并求这个定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试卷 亲爱的同学： 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1．本试卷全卷共6页，三大题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的姓名，准考证号填写在“答题卡”相应位置． 3．答选择题时，选出每小题正确答案后，用2B铅笔将“答题卡”上对应题目答案标号涂黑．如需改动，请先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在“试卷”上无效． 4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上，答在“试卷”上无效． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列事件属于随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 购买一张彩票中奖 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 煮熟的鸭子飞了 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：、明天太阳从东方升起是必然事件，不符合题意； 、购买一张彩票，中奖是随机事件，符合题意； 、任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，不符合题意； 、煮熟的鸭子飞了是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 2. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 3. 下列关于一元二次方程的根说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个负的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据方程得出，即可得到答案． 【详解】解：， ， 有两个不相等实数根， 故选：C． 4. 如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．结合等腰三角形三线合一的性质和平角的定义分析即可． 【详解】解：A、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； B、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； C、由，可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； D、不能判断出直线是切线，符合题意； 故选：D． 5. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到对应，若点恰好在边上，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，利用勾股定理求出，根据旋转的性质可得，，由，即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由旋转的性质得，， ∵点恰好在边上， ∴， 故选：B． 6. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴ 故选：A． 7. 经过一个“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．某一定时间内随机有三人经过该路口，则恰好有两人左拐的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用树状图求事件的概率，概率的计算公式，正确理解题意并列举所有可能的情况是解题的关键．用树状图列举出所有等可能的情况，计算恰好有两人左拐的次数，利用概率计算公式求解． 【详解】树状图如下： 共有8种等可能的情况，其中恰好有两人左拐的有3种， ∴恰好有两人左拐的概率为， 故选：B． 8. 已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数图象对称性是解题的关键．根据二次函数图象的对称性，由图象过点，对称轴为直线，可得图象与x轴的另一个交点坐标为，再由二次函数图象性质得出函数值时，自变量x的取值范围． 【详解】解：∵图象过点，对称轴为直线，且， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为， 由二次函数图象性质可知， 当函数值时， 自变量x的取值范围是． 故选：D． 9. 观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解可以是（ ） 1.9 2 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0 0.44 0.69 0.96 1.25 1.56 1.89 2.24 2.61 A. 1.93 B. 2 C. 2.73 D. 2.81 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据表格，找出使的值最接近的x的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，，当时，， ∵原方程为， ∴一元二次方程的一个解在范围内， ∴一元二次方程的一个近似解可以是， 故选：C． 10. 如图（1）是一款中药碾槽，碾槽底部为近似圆弧形（本题以圆弧记），槽内可以安放一个带轴碾轮．将中药放入碾槽中，使碾轮滚动，可将中药粉碎，碾槽截面平面示意图如图（2）．设碾轮中心轴的截面图圆心为，当碾轮经过碾槽最低点时，恰好与相切于点，并且此时切点与点的距离刚好为，若所在圆半径为，且的长度为，则点，间的距离大约是（结果精确到，，）． A. 19.4 B. 20.6 C. 21.8 D. 22.0 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、弧长公式、切线的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键，设所在的圆心为，由求出，进而得到是等边三角形，再根据特殊角，则，建立方程求解即可． 【详解】解：如图， 设所在的圆心为，所对的圆心角的度数为， ∵所在圆半径为，且的长度为， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 由题易知点F是中点， ∴， 设，则， 根据题意：， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． 12. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到抛物线是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．根据二次函数的平移性质求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到抛物线是，即， 故答案为：． 13. 如今，二维码已逐渐进入了人们的生活，为民众提供了极大的便利．如图，已知面积为的正方形二维码，想估算出二维码黑色部分的面积，可以用投针实验在正方形区域内随机扎100个小孔点，若有40个小孔点在空白部分内，则黑色部分的面积约为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用正方形的面积乘以点落在黑色部分的频率即可得出答案． 【详解】解∶黑色部分的面积约为， 故答案为∶． 14. 一个直角三角形的两条直角边的长，是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求线段长，解一元二次方程，根据题意求出一元二次方程的两根是解决问题的关键．由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理即可得到直角三角形斜边的长． 【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得或， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 15. 如图，中，，，点在上，以A为切点，为切线的经过点A，点在上，且，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】设交于点I，连接，由切线的性质得，而，求得，则，，所以可证明，而，则，取的中点E，连接，则，可证明垂直平分，由，求得，则，所以，由即可求得的长． 【详解】解：设交于点I，连接，则， ∵为切线的经过点A， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 取的中点E，连接，则， ∵， ∴点O、点E都在的垂直平分线上， ∴OE垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 16. 已知拋物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论： ①； ②； ③若关于的方程有实数根，则； ④若抛物线过点，则． 其中正确的结论序号有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由拋物线过和两点，且，可求出抛物线对称轴范围，即可判断②；根据当时，，结合，可判断①；将抛物线解析式化为交点式为，令，即，由有实数根， 可知有实数根，则，即，可判断③；由抛物线过点，，求出的值，再结合，解不等式组即可判断④． 【详解】解：∵拋物线过和两点，且， 则， ∴， ∴对称轴为直线，②正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴当时，， ∵， ∴，①正确，故符合要求； ∵抛物线（a，b，c是常数且）过和两点， ∴抛物线的交点式为， 令，即， ∵有实数根， ∴有实数根， ∴，即，③错误，故不符合要求； ∵抛物线过点，，则， 两式相减：，则， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴，④正确，故符合要求； 故答案为：①②④． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值及此方程两实数根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据题意得到，求出的值，再利用公式法解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 此时， 即． 18. 如图，在中，，，将绕着点顺时针方向旋转得，，相交于点． （1）求和的大小； （2）若，则直接写出的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识；熟练掌握旋转的性质和平行线的性质，求出的度数是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出，由旋转的性质可得，再根据邻补角的定义求出，由四边形内角和为即可解答； （2）由旋转的性质可得，，再由平行线的性质得，进而推出，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得的度数，结合（1）即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴； 【小问2详解】 解：由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 19. 一个不透明的布袋里有分别标有汉字“湖”“北”“汉”“阳”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇匀再摸． （1）若从中任摸一个球，直接写出摸出球上的汉字刚好是“汉”的概率； （2）小红从中任摸一球，不放回，再从中任摸一球，请用树状图或列表法，求小红摸出的两个球上的汉字恰好能组成“汉阳”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先画出树状图，然后再根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵口袋里装有分别标有汉字“湖”“北”“汉”“阳”的四个小球， ∴任取一个球，球上的汉字刚好是“汉”的概率是； 【小问2详解】 解：由题意，树状图如下： 共有12种等可能结果，其中摸出的两个球上的汉字恰好能组成“汉阳”的情况有2种， ∴摸出的两个球上的汉字恰好能组成“汉阳”的概率是． 20. 如图，正六边形内接于． （1）如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； （2）如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，过点O作于点H，易证是等边三角形，得到，易求出，再利用勾股定理求出，再用即可得出结果； （2）在上截取，连接，求得，根据圆周角定理得到，求得，同理，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到． 【小问1详解】 解：连接，过点O作于点H， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， 多边形是正六边形， ∴， ∴ ∴ 同理 ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在与中， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，不规则图形的面积，正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，正确地作 出辅助线是解题的关键． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、两点为格点，过、两点的圆交格线于点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）如图（1），先画圆心，再将线段绕点旋转180°，使点的对应点为，画出旋转后的线段； （2）如图（2），先在图上画点，连，使评分，在经过点画圆的对称轴交直线于点，然后过点画圆的切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由网格可知，，则为的直径，与垂直平分线的交点为圆心，连接并延长，与交于点，线段即为所求作； （2）根据网格的特点确定点，连接，连接并延长，交直线于点，取线段与网格的交点，此时点为的中点，连接并延长交点所在的网格线于点，易证，即，即为圆的切线． 【小问1详解】 解：如图即为所求作； 【小问2详解】 解：如图即为所求作． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，旋转作图，圆的性质，圆的切线的性质，全等三角形的应用，掌握相关知识点正确作图是解题关键． 22. 郑钦文是我国网球运动员．她在一次击球过程中，在点处发球，将网球从点正上方的点发出，球的运行轨迹是一条抛物线，网球运行的水平距离为时，网球达到最大高度，以点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，已知球网与原点的水平距离约为，球网高度为，球场的边界距原点的水平距离约为．设网球运动高度与运行的水平距离． （1）若，时， ①求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； ②如果球能过网，求它的落点离边界的距离； （2）若在距地面处将球击打出去，让球一定能越过球网（不接接触球网），又不出边界（可压边界），直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②它的落点离边界的距离为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解一元一次不等式，掌握待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决实际问题是解题关键． （1）①利用待定系数即可解答； ②令二次函数解析式函数值，求出x值，即可得出结论； （2）根据球一定能越过球网（不接接触球网），又不出边界（可压边界），列出不等式组即可求出结论． 【小问1详解】 解：①当，时， 由题意可知：点A的坐标为， 设与的关系式为：，且顶点坐标为， 将点和代入解析式中，得， 解得：， ∴与的关系式为； ②令， 整理得：， 解得：（舍去）， 则， 答：它落点离边界的距离为； 【小问2详解】 解：根据题意：在抛物线的图象上， ∴， 解得：，即， 若球一定能越过球网，则当时， ； ∴， 解得：； 若不出边界，即抛物线与x轴的右交点在的左侧或重合， 即当时，； ∴， 解得； 综上，若球网（不接接触球网），又不出边界（可压边界），h的取值范围为． 23. 在和中，，，，连，，分别为，的中点，为中点，连，． （1）如图1，求证：； （2）如图1，探究线段，间的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）当，，绕点旋转过程中，若，，三点在同一条直线上，请画出旋转后的对应图形，并直接写出，两点的距离． 【答案】（1）见解析 （2），；理由见解析 （3）2或1 【解析】 【分析】（1）根据可证明； （2）由三角形中位线定理得出，，，，由全等三角形的性质得出，，证出，则可得出结论； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：，；理由如下： ∵F，G，H分别是，，的中点， ∴是中位线，是中位线， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：分以下两种情况： 当A，E，D位于点C的上方， 由（1）可知，， ∴， 由（2）可知为的中位线， ∴，， ∴， ∵，为中点， ∴，， ∴，， ∴，C，H，G三点共线， ∴， ∴， ∴； 当A，E，D位点C的下方，同理可得，， ∴． 综上所述，的长为2或1． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用全等三角形的性质是解本题的关键． 24. 已知如图1，平面直角坐标系中，为原点，经过点的抛物线交轴正半轴于点，与直线有两个交点，，它们的横坐标为，，且． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）如图2，将抛物线的顶点平移到原点，得新抛物线，直线交抛物线于点，（点横坐标小于），若与的交点为，过点作轴平行线交抛物线于点，试说明直线总经过定点，并求这个定点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）联立抛物线与直线，得到，解得，结合题意进而得到，即，求出，进而得到；即可得到，求出直线的解析式，过点C作x轴的垂线，交于点，求出点E的坐标，根据的面积为代入数据即可解答； （3）由（1）知抛物线的解析式为，将抛物线的顶点平移到原点，得新抛物线的解析式为，联立直线与新抛物线的解析式，求出，联立直线与的解析式，求出点的横坐标为，进而得到，再求出直线的解析式为，即当时，，直线总经过定点． 【小问1详解】 解：根据题意，将点，代入抛物线， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：联立抛物线与直线，得到， 解得，， ∵抛物线与直线有两个交点，，它们的横坐标为，，且， ∴，， ∴， ∴； ∴直线， ∴，则， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 过点C作x轴的垂线，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：由（1）知抛物线的解析式为，顶点坐标为， 将抛物线的顶点平移到原点，得新抛物线的解析式为， 联立直线与新抛物线的解析式，得， 解得， 联立直线与的解析式，得， 解得， ∴点的横坐标为， ∵轴，交抛物线于点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 联立， 整理得， ∴， ∴，， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴直线总经过定点． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数与二次函数综合运用，图形的面积计算，一元二次方程根与系数关系，抛物线的平移变换等，熟练掌握待定系数法和根与系数关系是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $