第六章 平面向量及其应用单元卷特训-2024-2025学年《高分引擎》高一数学热难点精讲与单元卷特训（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用单元卷特训 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，若，则实数m等于（    ） A．－ B． C．－或 D．0 【答案】C 【详解】由知：1×2－m2＝0，即或. 故选：C. 2．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于是边上的中点，则. . 故选：B. 3．正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 4．一艘海轮从处出发， 以每小时 40 海里的速度沿东偏南方向直线航行， 30 分钟后 到达 B 处．在 C 处有一座灯塔， 海轮在 A 处观察灯塔， 其方向是东偏南， 在 B 处观察 灯塔， 其方向是北偏东，那么 B、C 两点间的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【详解】依题意，如图，在中， ，则， 由正弦定理得，即 ，因此（海里）， 所以两点间的距离是 海里． 故选：A 5．已知向量，，那么等于（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】，， . 故选：A. 6．甲船在A处，乙船在甲船北偏东60°方向的B处，甲船沿北偏东方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，且甲船的航速是乙船航速的倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示：设在点处相遇，设，则，    由题知：， 由正弦定理得：，解得. 因为，所以，即. 故选：B 7．已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，所以； 因为，所以，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，则是直角三角形， 故选：B 8．已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在平面内一点，作，，，则，则， 因为，则，故为等腰直角三角形，则， 取的中点，则， 所以，，所以，， 因为， 所以，，则， 所以，. 当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则向量与向量的夹角的余弦值为 D．若，则向量在向量上的投影向量为 【答案】AC 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，B错误； 对于C，若，则，又，则，C正确； 对于D，若，则，又，于是， 则向量在向量上的投影向量为，D错误. 故选：AC 10．的内角的对边分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则符合条件的有两个 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，，根据正弦定理得， 整理得，故A正确； 对于B，因为，由正弦定理得， 所以，因为，所以，即为钝角， 所以是钝角三角形，故B正确； 对于C，由， 由正弦定理可得， 即，所以或， 所以或，所以是直角三角形或等腰三角形，故C错误； 对于D，由正弦定理得，即， 因为，所以，为锐角， 所以存在满足条件的有两个，D正确. 故选：ABD 11．已知非零向量的夹角为，定义新运算：，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上投影向量的模为 C． D． 【答案】AC 【详解】对于A项，当时，， 而，即此时有，故A正确； 对于B项，因为， 在上投影向量的模为，而，故B错误； 对于C项，因为， 所以 ， 又，，所以，故C正确； 对于D项，因为的值是非负的， 而的值可能是负数，故D错误． 故选：AC． 【点睛】思路点睛：本题主要考查新定义平面向量的运算，和平面向量的数量积运算的综合运用，属于难题. 解题的思路在于弄清与的联系和区别，准确把握，通过解方程，找两者的相关点，以及等式两边运算结果的一致性一一判断选项即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的 .（填：内心，外心，垂心，重心） 【答案】外心 【详解】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 故答案为：外心 13．已知分别为三个内角的对边，若，，则= . 【答案】/ 【详解】由余弦定理，则， 又，所以， 故答案为：. 14．在中，已知分别为的中点，与相交于点，则 . 【答案】/ 【详解】   是向量为向量与的夹角， 为边上的中线，， ，可得. ， ， ， 则， 所以， 即得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知向量与的夹角为60°，＝1，． (1)求及； (2)求. 【答案】(1)2，1； (2). 【详解】（1）由题设，则 （2）由 ， 所以. 16．在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. （2）解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 17．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)若，求的面积． 【答案】【小题1】 【小题2】 【详解】（1），可得 又 （2）由正弦定理得，， 由余弦定理，,可得，， 联立方程组整理得，，所以或（舍）． 18．如图，在中，为边上一点，且． (1)设，求实数、的值； (2)若，求的值； (3)设点满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以； （2） ； （3）因为，所以， 因为，， ,, 所以, , 所以,即，得证. 19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得， 又，所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为，所以，故， 又，所以， 因为，所以． （2）由（1）得， 所以由余弦定理得， 记，则， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，即， 故，则， 所以，即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用单元卷特训 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，若，则实数m等于（    ） A．－ B． C．－或 D．0 2．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 4．一艘海轮从处出发， 以每小时 40 海里的速度沿东偏南方向直线航行， 30 分钟后 到达 B 处．在 C 处有一座灯塔， 海轮在 A 处观察灯塔， 其方向是东偏南， 在 B 处观察 灯塔， 其方向是北偏东，那么 B、C 两点间的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 5．已知向量，，那么等于（    ） A． B． C．1 D．0 6．甲船在A处，乙船在甲船北偏东60°方向的B处，甲船沿北偏东方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，且甲船的航速是乙船航速的倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则（    ） A． B． C． D． 7．已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 8．已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则向量与向量的夹角的余弦值为 D．若，则向量在向量上的投影向量为 10．的内角的对边分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则符合条件的有两个 11．已知非零向量的夹角为，定义新运算：，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上投影向量的模为 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的 .（填：内心，外心，垂心，重心） 13．已知分别为三个内角的对边，若，，则= . 14．在中，已知分别为的中点，与相交于点，则 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知向量与的夹角为60°，＝1，． (1)求及； (2)求. 16．在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 17．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)若，求的面积． 18．如图，在中，为边上一点，且． (1)设，求实数、的值； (2)若，求的值； (3)设点满足，求证：． 19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$