专题05 平面向量线性运算的坐标表示10题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题05 平面向量线性运算的坐标表示10题型分类 一、平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 1.向量加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2). 2.向量减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2). 3.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 4.若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 二、平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 三、平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. 则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. （一） 平面向量加法运算的坐标表示 平面向量坐标运算的技巧 (1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． (2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算． 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）． 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2）． (3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．　 题型1：平面向量加法运算的坐标表示 1．（2025高二·新疆·学业考试）若向量，，则向量的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标运算可得答案. 【解析】向量，， 则向量. 故选：A. 2．（2025高一·陕西西安月考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的坐标运算即可得解. 【解析】因为，， 所以. 故选：D. 3．（2025高二·内蒙古呼伦贝尔月考）若，求 【答案】 【分析】根据平面向量的坐标表示和加法法则计算出答案. 【解析】， . 4．（2025高一·辽宁辽阳·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法的坐标表示，求出的坐标 【解析】. 故选：B. 5．（2025·新课标Ⅰ）（2015新课标全国Ⅰ文科）已知点，向量，则向量 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】试题分析：,选A. 考点：向量运算 （二） 平面向量减法运算的坐标表示 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），a–b=（x1–x2，y1–y2） 题型2：平面向量减法运算的坐标表示 6．（2024高二·北京·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的坐标运算求解即可. 【解析】， . 故选：C. 7．（2025高三·北京昌平·期中）已知向量，满足，，则 . 【答案】 【分析】首先计算出，，再进行线性运算即可. 【解析】因为，， 两式相加得，即， 所以， 故答案为：. （三） 平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用 1向量的坐标运算主要是利用加法、减法运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用. 2若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 题型3：平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用 8．（2025高二·安徽安庆月考）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可. 【解析】设第四个顶点为， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 故选：A 9．（2025高二·甘肃天水月考）如图，在正方形网格中，向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为轴，为轴建立坐标系，求出各点坐标即可判断选项． 【解析】以为轴，为轴建立坐标系，则，． ，，，． ． 令．得到，，，． 解得，．所以． 故选：． （四） 平面向量的数乘运算的坐标运算 （1）相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程组. （2）进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求点P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点P为终点的向量的坐标. 题型4：平面向量的线性运算的坐标表示 10．（2025高一·西藏林芝·期末）已知向量，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用平面向量的加法法则，直接计算可得答案. 【解析】向量，，则. 故选:C 11．（2025高一·西藏月考）已知向量，若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标运算求解. 【解析】由题意可得, 所以解得, 所以. 故选:A. 题型5：根据线性运算的结果求参数 12．（2025高一·四川眉山·期中）已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出，的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数，. 【解析】设，，又，， 所以，且， 解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B. 13．（2025高一·山东菏泽·期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，标注相关点的坐标，进而可得坐标，结合，应用向量线性运算的坐标表示列方程求出即可. 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，又为的中点，    ∴，则， 由，得：， ∴，解得，则 故选：B. 14．（2025·河北模拟预测）在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法列关于的方程，解之即可求得的值. 【解析】在正六边形ABCDEF中，以A为原点， 分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 不妨令，则， , 由，可得，解之得 故选：B 15．（2025高一·湖北恩施·期末）过，的直线与x轴交于点P，设，则 【答案】 【分析】首先设，再根据向量相等，转化为方程组，即可求解. 【解析】设，则，， 则，得，， 故答案为： 16．（2025高一·天津南开·期末）如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解. 【解析】 建立如图示坐标系，由则有： 因为E为上一点，可设 所以. 因为，所以，即，解得：，所以. 由得： ，解得：，所以. 故选：D 题型6：线段的定比分点问题 17．（2025高三·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【解析】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 18．（2025高一·宁夏石嘴山月考）已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，可得，即求． 【解析】点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 19．（2025高三·全国月考）已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为 . 【答案】 【分析】由题 可得，可得，即求． 【解析】点在线段的延长线上，且， ， ,,,． 所以点P的坐标为. 故答案为：. 20．（2025高一·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【解析】由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选:B． （五） 向量共线的坐标运算及应用 （1）向量共线的判定方法 ①利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. ②利用向量共线的坐标表达式直接求解． 若 ，向量平行的条件：或x1y2－x2y1＝0 （2）三点共线的实质与证明步骤 ①实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行． ②证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．　　　　 题型7：由坐标判断向量是否共线 21．（2025高一·北京月考）已知向量，，那么与共线的一个向量是（    ） A．（6，4） B．（4，6） C．（0，4） D．（1，6） 【答案】A 【分析】首先利用向量线性运算的坐标表示求出对应坐标，再由各选项坐标对应的向量，结合平面向量共线定理判断是否与共线即可. 【解析】由题设，，显然，A正确， 对于B、C、D，不存在使坐标所对应的向量等于. 故选：A 22．（2025高三·上海浦东新月考）设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】先得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案. 【解析】若，则，即，故，充分性成立， 不妨设，此时，但不满足，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 23．（2025高一·全国·随堂练习）已知、、三点的坐标分别为、、，判断向量与是否共线． 【答案】共线，理由见解析 【分析】求出向量与的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出结论. 【解析】解：已知、、， 所以，，，则，所以，向量与共线. 题型8：由向量共线（平行）求参数 24．（2025高三·江苏南通·期末）若向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】由题意，则“”是“”的充要条件. 故选：C． 25．（2025高三·广东湛江·期末）已知向量，，若，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量平行的充要条件即可得解. 【解析】因为，所以，所以. 故选：B. 26．（2025高三·江西赣州月考）已知向量 ，若与共线且同向，则实数λ的值为（    ） A．2 B．4 C． D．或4 【答案】C 【分析】通过向量共线且同向，即可求出实数的值并检验即可得解. 【解析】因为，，且与共线且同向， 所以，解得或， 当时，，则，满足题意； 当时，，则，不满足题意； 综上，. 故选：C． 27．（2025高三·湖北黄冈月考）已知向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出与后，结合向量共线的坐标运算即可得. 【解析】由，，则，， 由与共线，则有， 化简得，即. 故选：A. 28．（2025·四川成都模拟预测）已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标表示可得，再结合基本不等式中的巧用“1”即可求解. 【解析】若存在非零实数使得，即，又，， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故选 ：B 题型9：用坐标解决三点共线问题 29．（2025高一·全国·随堂练习）判断下列各组三点是否共线： (1)，，； (2)，，； (3)，，. 【答案】(1)A，B，C三点不共线. (2)D，E，F三点共线 (3)G，H，L三点共线 【分析】根据点的坐标确定向量的坐标，再根据向量共线定理即可判断. 【解析】（1）因为， 所以，所以与不共线，所以A，B，C三点不共线. （2）因为，所以， 因为直线DE与DF有公共点D，所以D，E，F三点共线. （3）因为，所以， 因为直线GH与GL有公共点G，所以G，H，L三点共线. 30．（2025高一·全国月考）已知三点共线，求x的值． 【答案】． 【分析】利用向量与共线的坐标表示求解． 【解析】因为A，B，C三点共线，所以与共线． 而，． 所以，整理得，解得． 31．（2025高三·上海黄浦月考）若三点不能构成三角形，则 . 【答案】 【分析】三点不能构成三角形转化为三点共线，利用向量共线的坐标表示求解即可. 【解析】当三点共线，即时，三点不能构成三角形. 由已知得， ， 由得，，解得. 故答案为：. 32．（2025高三·天津河北·期中）设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 . 【答案】 2 【分析】由题意求得，根据三点共线可得向量共线，利用向量共线的条件可得的值，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【解析】由，，可得， 由于，，三点共线，故共线， 所以，即， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故答案为：2； （六） 利用向量共线解决几何问题 （1）向量共线在几何中的应用可分为两个方面：①已知两向量共线，求点或向量的坐标；②证明或判断三点共线、直线平行. （2）解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行. 题型10：利用向量共线解决几何问题 33．（2025高一·全国月考）如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标. 【答案】(3，3) 【分析】设P(x，y)，可得，根据共线向量的坐标表示即可求出 x、y的值. 【解析】设P(x，y)，则=(x，y)，因为=(4，4)， 且共线，所以，即x=y. 又=(x-4，y)，=(-2，6)，且共线， 则得(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3， 所以点P的坐标为(3，3). 34．（2025高三·全国月考）已知点 ，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为 . 【答案】(3,3) 【分析】法一：利用向量的共线可设，表示出的坐标，根据向量共线列出方程，即可求得答案； 法二：设点P(x,y)，进而表示出相关向量的坐标，根据向量共线，列出方程，求得答案. 【解析】法一:由O，P，B三点共线，可设, 则, 又， 由共线，得， 解得 ，所以, 所以点P的坐标为(3,3), 故答案为： 法二:设点P(x,y)，则 ，因为，且 与共线， 所以 ，即x=y. 又 ， ，且共线， 所以 ，解得x=y=3， 所以点P的坐标为(3,3)， 故答案为： 一、单选题 1．（2025高一·全国月考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标运算直接求解. 【解析】由题意得，， 所以． 故选：B 2．（2025高一·全国月考）若向量，是一组基底，向量，则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则向量在另一组基底，下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量基本定理和平面向量的坐标运算即可求得. 【解析】由已知条件知,，即， 设，则，所以， 解得：， 向量在基底，下的坐标为：． 故选：D． 3．（2025高一·全国月考）已知向量，，若满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标运算直接得解. 【解析】因为，，且满足， 所以， 故选：A. 4．（2025高一·全国月考）若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算得出选项. 【解析】, 因为不共线，所以基底表示向量系数 唯一，B正确. 故选：B. 5．（2025高一·全国月考）在中，若，，对角线的交点为O，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，再由求出. 【解析】． 故选：B 6．（2025高一·重庆巴南月考）如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：由平面向量的加、减、数乘运算，以及平面向量基本定理，可表示， 解法二：以为原点，分别为轴的正方向建系，由，结合坐标运算，求得，可表示． 【解析】解法一：依题意①，②，③， 由②③式解得，， 代入①式得． 解法二：以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系， 设，则， 由，有， 有，解得，得． 故选：A． 7．（2025高一·上海·单元测试）若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设的坐标，进而根据条件进行运算即可求解. 【解析】因为在线段的延长线上，且 所以 因为，假设 可得 由此可得，解得 所以点 故选：D. 8．（2024高三·全国月考）已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【解析】点、，且， 设点的坐标为，则， 所以，，，求得，，故点的坐标为， 故选：A． 9．（2025高三·全国月考）已知点，，向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定比分点公式求解即可. 【解析】依题意，由定比分点公式得， 所以，即, 所以， 故选:C 10．（2025高三·内蒙古赤峰·期末）如图，四点在边长为1的正方形网格的格点处．若．则（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解. 【解析】建立平面直角坐标系，如图.    则,,,, 所以,,, 由可得， 即，解得，，所以. 故选：A. 11．（2025高三·全国月考）若且P是线段的一个三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由或求解即可； 【解析】由题意得或． 设，则， 当时，，所以，即； 当时，，所以，即． 故选：D 12．（2024高三·江苏月考）已知为的外心，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图形在坐标平面内的位置，求出点和点的坐标，得的坐标，由，列方程组求出和即可；或利用图形关系结合解三角形知识及平面向量基本定理即得. 【解析】解法一： 若，则有，如图所示， 设的外心，由，得，解得， 由，得，解得， 得，则， 又，， 由，即， 得，解得， 故. 方法二： 过点作于，过点作于， 过点作交的延长线于，交的延长线于， 因为则， 由余弦定理，，则， 而三角形的外接圆的半径为， 所以， 且，所以， 所以，得所以， 故， 由于三点共线，有，因此． 故选：D 13．（2025高一·山东临沂·期中）已知中，，点O为的内心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意是直角三角形，建立平面直角坐标系利用向量的坐标运算即可得出结论. 【解析】根据题意可知，所以是以为直角的直角三角形； 以为坐标原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 可得，因此 不妨设的内切圆半径为，易知，解得； 即可得； 所以； 设，可得，解得； 所以. 故选：B 14．（2025高一·全国·单元测试）如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，求出点的坐标，结合平面向量的基本定理建立方程求解即可. 【解析】由题意，得，故以为坐标原点，OC，OA所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，. 因为， 所以， 即则所以. 故选：A 15．（2025·贵州遵义模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点顺时针方向旋转后得到向量，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示直角坐标系，利用向量的坐标表示求解即可； 【解析】    由图可得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设每个小正方形的边长为1， ， 所以， 因为，即， 所以， 所以. 故选：A. 16．（2025高三·青海玉树月考）已知，若表示向量的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意有，结合已知向量坐标及线性运算的坐标表示求向量. 【解析】由题设，， 由向量的有向线段首尾相接能构成三角形， 所以，则. 故选：D 二、多选题 17．（2025高一·江苏月考）（多选题）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　） A．－2 B． C．1 D．－1 【答案】ABD 【分析】先求与，使之共线并求出的值，则A，B，C三点不共线即可构成三角形，因此取共线之外的值即可． 【解析】因为， ． 假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形. 故选：ABD． 18．（2025高一·陕西西安月考）设是不共线的两个平面向量，已知，其中，，若三点共线，则角的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，可得存在实数，使得，列出方程，求得，即可求解. 【解析】由题意知，向量是不共线的两个平面向量，所以， 因为三点共线，所以存在实数，使得， 可得，所以，解得， 又因为，所以或. 故选：CD. 19．（2025高三·江苏盐城月考）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】求出的坐标，根据共线向量的坐标表示验证即可. 【解析】因为，所以. 若向量满足，则该向量与平行，检验易知A，D符合题意. 故选：AD. 20．（2025高三·全国月考）在下列各组向量中，不可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过向量是否共线，逐项判断即可； 【解析】对于A，易知，共线，所以不可以； 对于B，由，所以不共线，可以； 对于C，易知，共线，不可以； 对于D，易知，共线不可以； 故选：ACD 三、填空题 21．（2025高一·全国月考）已知，，则点坐标为 ． 【答案】/ 【分析】设，利用向量的线性坐标运算列式求解即可. 【解析】设，则 ，， 由，得解得故． 故答案为： 22．（2025高一·北京·期末）已知向量，，若存在，使得与的方向相反，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由两向量方向相反可知，由此可构造方程组求得，由可求得满足题意的的范围. 【解析】∵与方向相反，∴，∴，∴， 由得，∴实数t的取值范围是. 故答案为： 23．（2025高三·全国月考）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】由题可得，可得，求解即可 【解析】设点为坐标原点， 点在线段的延长线上，且，， 即，． 点的坐标为． 故答案为： 24．（2025高一·辽宁大连·期末）平面直角坐标系内点，，，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为 . 【答案】 【分析】首先根据三点共线可求得，可求.再根据向量共线定理与向量加法运算即可求解. 【解析】，， ，. ∵O、A、B三点共线， ，解得或（舍去）. ，，. 设线段AB上靠近点A的三等分点为C， 则，. 故答案为：. 25．（2025·湖南岳阳模拟预测）已知向量.若，则 . 【答案】 【分析】用向量平行的坐标表示计算即可； 【解析】，， 因为，所以，即. 故答案为：. 26．（2025高三·全国月考）已知向量，若，则 ． 【答案】6 【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【解析】因为， 所以， 由，所以，解得． 故答案为：6 27．（2025高一·北京·期末）在直角梯形ABCD中，，，，分别为的中点，以为圆心、为半径的圆交于，点在劣弧上，且．若，则 ． 【答案】/ 【分析】建立直角坐标系，则，根据，求出，即可得解. 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系： ，分别为的中点，， 以为圆心，为半径的圆交于，点在劣弧上，且， 所以即， 由，得， 所以，所以，所以. 故答案为： 28．（2025高一·全国月考）已知两点，，点，且，则 ， ． 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示可得结果. 【解析】由题意得，，， ∵，∴， ∴解得 故答案为：；. 四、解答题 29．（2025高一·全国月考）已知，，．设，且. (1)求； (2)求满足的实数，； (3)求，的坐标及向量的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)，，． 【分析】（1）分别求出向量、、，即可求出； （2）根据题意建立关于，的方程组，即可解出，； （3）根据平面向量减法法则求出，，即可求出，的坐标，从而求出向量的坐标. 【解析】（1）由题意得， ，， 所以； （2）解法一：因为，所以，解得； 解法二：∵，所以，又且与不共线， 所以； （3）设为坐标原点，∵＝－， ∴，∴． 又，∴， ∴．∴． 30．（2025高一·全国月考）如图，的三个顶点的坐标分别为，，，是边AB的中点，是CD上的一点，且，求点的坐标. 【答案】 【分析】先求出点的坐标，由题设条件得，利用线段的定比分点公式即可求得点的坐标. 【解析】是AB的中点，点的坐标为， ，， 设点坐标为，由线段的定比分点坐标公式可得， ，， 即点的坐标为. 31．（2025高一·江西宜春·期中）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知有，结合三点共线有，得，根据已知列方程求参数即可； （2）根据已知得，结合的坐标表示求点坐标. 【解析】（1）由题意，， 由三点共线，存在实数k，使得， 即，得， 是平面内两个不共线的非零向量， ，解得． （2）， 由四点按逆时针顺序构成平行四边形，则， 设，则，， 所以，解得，即点A的坐标为． 32．（2025高一·北京西城·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. (1)以为基底表示和； (2)将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，且与共线，求实数的值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何图形求得结果. （2）利用向量坐标表示及共线向量的坐标表示列式求解. 【解析】（1）在中，对角线相交于点，则； 由，得. （2）由，得， 由与共线，得，所以. 33．（2025高一·辽宁葫芦岛·期末）在中，是重心，直线过点，交于点，交于点. (1)求； (2)若为正实数，求的最小值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）法一，由重心坐标公式即可求解；法二，由可求解； （2）由三点共线得到，再结合基本不等式即可求解； 【解析】（1）设点，由中心坐标公式得： ， ， 又， 所以，， 故 法二： 根据题意：， 所以，. （2）由， 得， 所以 因为三点共线， 所以. 则 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题05 平面向量线性运算的坐标表示10题型分类 一、平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 1.向量加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2). 2.向量减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2). 3.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 4.若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 二、平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 三、平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. 则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. （一） 平面向量加法运算的坐标表示 平面向量坐标运算的技巧 (1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． (2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算． 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）． 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2）． (3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．　 题型1：平面向量加法运算的坐标表示 1．（2025高二·新疆·学业考试）若向量，，则向量的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（2025高一·陕西西安月考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二·内蒙古呼伦贝尔月考）若，求 4．（2025高一·辽宁辽阳·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·新课标Ⅰ）（2015新课标全国Ⅰ文科）已知点，向量，则向量 A． B． C． D． （二） 平面向量减法运算的坐标表示 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），a–b=（x1–x2，y1–y2） 题型2：平面向量减法运算的坐标表示 6．（2024高二·北京·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·北京昌平·期中）已知向量，满足，，则 . （三） 平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用 1向量的坐标运算主要是利用加法、减法运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用. 2若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 题型3：平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用 8．（2025高二·安徽安庆月考）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025高二·甘肃天水月考）如图，在正方形网格中，向量，满足，则（    ） A． B． C． D． （四） 平面向量的数乘运算的坐标运算 （1）相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程组. （2）进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求点P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点P为终点的向量的坐标. 题型4：平面向量的线性运算的坐标表示 10．（2025高一·西藏林芝·期末）已知向量，，则等于（     ） A． B． C． D． 11．（2025高一·西藏月考）已知向量，若，则=（    ） A． B． C． D． 题型5：根据线性运算的结果求参数 12．（2025高一·四川眉山·期中）已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 13．（2025高一·山东菏泽·期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 14．（2025·河北模拟预测）在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足，则（    ） A．1 B． C． D． 15．（2025高一·湖北恩施·期末）过，的直线与x轴交于点P，设，则 16．（2025高一·天津南开·期末）如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 题型6：线段的定比分点问题 17．（2025高三·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 18．（2025高一·宁夏石嘴山月考）已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 19．（2025高三·全国月考）已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为 . 20．（2025高一·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 （五） 向量共线的坐标运算及应用 （1）向量共线的判定方法 ①利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. ②利用向量共线的坐标表达式直接求解． 若 ，向量平行的条件：或x1y2－x2y1＝0 （2）三点共线的实质与证明步骤 ①实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行． ②证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．　　　　 题型7：由坐标判断向量是否共线 21．（2025高一·北京月考）已知向量，，那么与共线的一个向量是（    ） A．（6，4） B．（4，6） C．（0，4） D．（1，6） 22．（2025高三·上海浦东新月考）设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 23．（2025高一·全国·随堂练习）已知、、三点的坐标分别为、、，判断向量与是否共线． 题型8：由向量共线（平行）求参数 24．（2025高三·江苏南通·期末）若向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（2025高三·广东湛江·期末）已知向量，，若，则（    ） A．8 B． C． D． 26．（2025高三·江西赣州月考）已知向量 ，若与共线且同向，则实数λ的值为（    ） A．2 B．4 C． D．或4 27．（2025高三·湖北黄冈月考）已知向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 28．（2025·四川成都模拟预测）已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 题型9：用坐标解决三点共线问题 29．（2025高一·全国·随堂练习）判断下列各组三点是否共线： (1)，，； (2)，，； (3)，，. 30．（2025高一·全国月考）已知三点共线，求x的值． 31．（2025高三·上海黄浦月考）若三点不能构成三角形，则 . 32．（2025高三·天津河北·期中）设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 . （六） 利用向量共线解决几何问题 （1）向量共线在几何中的应用可分为两个方面：①已知两向量共线，求点或向量的坐标；②证明或判断三点共线、直线平行. （2）解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行. 题型10：利用向量共线解决几何问题 33．（2025高一·全国月考）如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标. 34．（2025高三·全国月考）已知点 ，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为 . 一、单选题 1．（2025高一·全国月考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国月考）若向量，是一组基底，向量，则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则向量在另一组基底，下的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国月考）已知向量，，若满足，则（　　） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国月考）若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国月考）在中，若，，对角线的交点为O，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025高一·重庆巴南月考）如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·上海·单元测试）若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国月考）已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（2025高三·全国月考）已知点，，向量，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025高三·内蒙古赤峰·期末）如图，四点在边长为1的正方形网格的格点处．若．则（   ）    A．1 B．2 C． D． 11．（2025高三·全国月考）若且P是线段的一个三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 12．（2024高三·江苏月考）已知为的外心，若且，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一·山东临沂·期中）已知中，，点O为的内心，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025高一·全国·单元测试）如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 15．（2025·贵州遵义模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点顺时针方向旋转后得到向量，若，则（   ）    A． B． C． D． 16．（2025高三·青海玉树月考）已知，若表示向量的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 17．（2025高一·江苏月考）（多选题）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　） A．－2 B． C．1 D．－1 18．（2025高一·陕西西安月考）设是不共线的两个平面向量，已知，其中，，若三点共线，则角的值可以为（    ） A． B． C． D． 19．（2025高三·江苏盐城月考）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 20．（2025高三·全国月考）在下列各组向量中，不可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 21．（2025高一·全国月考）已知，，则点坐标为 ． 22．（2025高一·北京·期末）已知向量，，若存在，使得与的方向相反，则实数t的取值范围是 ． 23．（2025高三·全国月考）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是 ． 24．（2025高一·辽宁大连·期末）平面直角坐标系内点，，，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为 . 25．（2025·湖南岳阳模拟预测）已知向量.若，则 . 26．（2025高三·全国月考）已知向量，若，则 ． 27．（2025高一·北京·期末）在直角梯形ABCD中，，，，分别为的中点，以为圆心、为半径的圆交于，点在劣弧上，且．若，则 ． 28．（2025高一·全国月考）已知两点，，点，且，则 ， ． 四、解答题 29．（2025高一·全国月考）已知，，．设，且. (1)求； (2)求满足的实数，； (3)求，的坐标及向量的坐标． 30．（2025高一·全国月考）如图，的三个顶点的坐标分别为，，，是边AB的中点，是CD上的一点，且，求点的坐标. 31．（2025高一·江西宜春·期中）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 32．（2025高一·北京西城·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. (1)以为基底表示和； (2)将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，且与共线，求实数的值. 33．（2025高一·辽宁葫芦岛·期末）在中，是重心，直线过点，交于点，交于点. (1)求； (2)若为正实数，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$