28.2 解直角三角形及其应用（高效学习日日优）-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

堂清练习 1A2D3C4号5解：∠C90mA=青AB=15A-%-青C 专AB=号x15=12.∴AC=Va8-c=V1S-g=9.mB=8福-是=号 第2课时锐角的余弦和正切 名师讲坛 01要点领悟 2.(90°-∠A)余角正弦值(90°-∠A) 02典例导学 90CDBC4号 堂清练习 1.D2.A3.A4.125.解：由图知：AC=7,AB=9,∠C=90°，.BC= vaB-Ac=V0=7=E.inB-6-子amA-C-49 第3课时特殊锐角的三角函数值 名师讲坛 01要点领悟 1日竖驾g号号51201010 2 堂清练习 1B2.B3.C4.-0.215.解：原式=2×号+2X号-1+5=2.6解：AD 、BC.∠ADC=∠ADB=90.在R1△ABD中，cos∠BAD-温-092=号，-∠BAD= 45°.在Rt△ACD中，tan∠CAD=CD-10,5 AD 10 =√3，.∠CAD=60°，.∠BAC=∠BAD+ ∠CAD=105. 28.2解直角三角形及其应用 28.2.1解直角三角形 堂清练习 1.C2.D3.244.45°645°5.解：(1)：∠C=90°，∠A=60°，∴.∠B=90° ∠A=0mA=2=号a=g=9×10=58.:nB=2=}6=c 1 10=5；(2∠C=90,tamB=6=815=3,∠B=60,+∠A30 a8√5 2a=165..∠A=30°，∠B=60°，c=16√/5. 28.2.2应用举例 第1课时与视角有关的实际问题 名师讲坛 01方法技巧 直角直角 02典例导学 900.11.5日9日MN40205(205+1.5)(205+1.5) 堂清练习 1.10.22.(5√3+5)3.解：设AP=xm,在Rt△APB中，∠APB=35°，∴.AB=AP· tan35°≈0.7x(m).BC=32m,∴.AC=AB+BC=(32+0.7x)m,在Rt△APC中， ∠APC=42∴1an42°=AS-0.7+32≈0.9.x=160,经检验：x=160是原方程的根， AP .AB=0.7x=112(m).答：这座山AB的高度约为112m. 第2课时与方向角、坡度有关的实际问题 名师讲坛 01要点领悟 1.平行2.斜坡正切值 02典例导学 EAC50BCBC吾AB吾x121212 堂清练习 1.C2.203.解：过点P作PC⊥AB交AB于点C,则∠ACP=∠BCP=90°.由题意得 -186 ZA=72,∠B=40.在R△ACP中，simA三P,PC=PA·sinA≈100X0.95 95(n mile).在Rt△PCB中，sinB BPB=PC=95 PC sinB-sin40≈l48(n mile).答：B处距离 灯塔P约148 n mile. 第二十九章投影与视图 29.1投影 名师讲坛 01要点领悟 4)正 EF 平行相同(2)不长短短长相同不同 02方法技巧 (1)不变缩短一点(2)不变改变线段 堂清练习 1.B2.平行投影中心投影3.平行4.②5.解：如图，线段AB和CD即为所求. B D B 第5题答图 第6题答图 6解：1如图线段BF即为所求：2)由题意得品-得∴品-得：得AB=8 答：旗杆AB的高是8m 29.2三视图 第1课时物体的三视图 名师讲坛 01要点领悟 长高高宽长宽 03解题策略 圆心实虚 堂清练习 1.A2.A3.C4.C5.解 主视图左视图俯视图 第2课时根据三视图确定几何体 名师讲坛 02典例导学 B 堂清练习 1.A2.C3.C4.B5.解：画图如下： 主视图左视图 第3课时 由三视图确定几何体的表面积或体积 名师讲坛 01要点领悟 形状长 02典例导学 636810363348 堂清练习 1.B2.A3.244.24π5.30π6.解：由三视图知，这个几何体是一个长方体，该长方 体的底面是边长为3cm的正方形，高是4cm,则这个几何体的表面积是2×(3×3十3× 4+3×4)=66(cm). 18728.2解直角三角形及其应用 28.2.1解直角三角形 堂清练习 名师讲坛 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7,则 01要点领悟 BC的长为 () 1.解直角三角形时，应求出所有 A.7sin35° B.、7 C.7c0s35° D.7tan35° 的未知元素 c0s359 2.解直角三角形时，为了理清各 边、各角，一般是先画出一个直 2在Rt△ABc中.∠C=90sinA=子，BC-6,则 角三角形示意图，按照题意标 AB的长为 ( 明哪些元素是已知的，哪些元 A.4 B.6 C.8 D.10 素是未知的，然后确定锐角，再 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32, 确定它的对边和邻边，并将直 则AC= .(参考数据：sin37°≈0.60， 角三角形的边和角与三角函数 cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 联系起来，从而迅速求解 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6√2，BC=6,则 3.在直角三角形中，计算边时可 ∠B= ,AC= ,∠A= 用以下口诀： 5.(教材P73例1变式)在Rt△ABC中，∠C=90°. 有斜求对乘正弦，有斜求邻乘 (1)若c=10,∠A=60°，求a,b的值； 余弦，无斜求对乘正切. 02方法技巧 (2)若a=8√5，b=8√15，求∠A,∠B和c的值. 1.解直角三角形的思路可概括为 “有斜（斜边）用弦（正弦、余 弦)，无斜（斜边）用切（正切） 宁乘勿除，取原避中”（尽量取 原始数据，少用中间数据)； 2.解非直角三角形的方法：运用 “化斜为直”的思想求解，即先 作高构造直角三角形，再分别 解这两个直角三角形， 17 28.2.2应用举例 第1课时 与视角有关的实际问题 堂清练习 名师讲坛 1.如图，测角仪CD竖直放在距建筑物 01方法技巧 AB底部5m的位置，在D处测得 与仰角、俯角有关的问题，先 根据题意抽象出含仰角或俯角的 建筑物顶端A的仰角为60°.若测角 三角形，然后将实际问 仪的高度是1.5m,则建筑物AB的 题中的数量关系转化为直角三角 D160 形中各边、角之间的关系，当图中 高度约为 m(结果保留小数C-5m一 没有直角三角形时，应添加适当 的辅助线，把它们分割或添补成 点后一位). 三角形，再根据三角函 2.如图，小明在窗台C处，测得大 数求解， 02典例导学 树AB的顶部A的仰角为45°， 【例】星期天，身高均为1.6米的 测得大树AB的底部B的俯角为 小红、小涛来到一个公园，用他们 所学的知识测算一座塔的高度. 30°.已知窗台C处离地面的距离 如图，小红站在A处测得她看塔 CD为5m,则大树的高度为 m(结果 顶C的仰角a为60°，小涛站在B 处测得塔顶C的仰角3为30°，他 保留根号). 们测出A,B两点之间的距离为 40米，假设他们的眼睛离头顶都是 3.（2023·徐州改编)如图，某座山AB的顶部有一 10厘米，求塔高（结果保留根号）. 座通讯塔BC,且点A,B,C在同一条直线上.从 地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B 的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32m,求 B 这座山AB的高度（结果取整数）.（参考数据： 【解】过点C作CP⊥BA交NM 的延长线于P,交BA的延长线 tan35°≈0.70，tan42°≈0.90) 于O,则∠CPM ∠COA.由题意可知PO=AM BN=1.6- m. a +∠MCV=60°， ∴.∠MCN=609 =30°= ,∴.CM= =40m. 在Rt△CPM中，sina= P3542 sin60',cp 2 m,∴.CO= m. 答：塔高为 m. 【点津】解决视角问题时先从实际问 题中抽象出含视角的直角三角形，然 后利用解直角三角形知识求解 18 第2,3课时与方向角、坡度有关的实际问题 堂清练习 名师讲坛 1.如图，一艘海轮位于灯塔P的 01要点领悟 北偏东55°方向，距离灯塔2 1.解决方向角问题时，要注意同 方向的方位线是互相 海里的点A处，如果海轮沿 的，此外也可利用正南、正北、 正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距 正西、正东方向线构造直角进 离AB长是 一步转化角. 2.坡角是水平线与 的夹 A.2海里 B.2sin55°海里 角，坡度是坡角的 C.2c0s55°海里 D.2tan55°海里 而不是坡角的度数. 2.某水库拦水坝的横断面如图所 02典例导学 示，迎水坡的坡比是1：√，坝 【例】为做好防汛工作，防汛指挥 部决定对某水库的水坝进行加高 高BC=10m,则迎水坡AB的 加固，专家提供的方案是：水坝加 坡长是 m. 高2m(即CD=2m),背水坡DE 3.(2023·通辽)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏 的坡度i=1:1(即DB：EB= 1:1),如图，已知AE=4m,∠EAC 东72°方向，距离灯塔100 n mile的A处，它沿正 =130°，求水坝原来的高度BC. 南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏 (参考数据：sin50°≈0.77，cos50° 东40°方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多 ≈0.64，tan50°≈1.2) 远（结果取整数）？（参考数据：sin72°≈0.95， cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64， ∠130° B c0s40°≈0.77，tan40°≈0.84) 【解】设BC=xm,在Rt△ABC 中，∠CAB=180°-∠ ,AB=( ) tan50 1.2 :40 x,在Rt△EBD中， i=DB:EB=1:1,∴BD=EB. .CD+BC=AE+ 即 2+x=4+ ,解得x= ..BC= m.故水坝 原来的高度BC为 m. 【点津】解决坡度、坡角问题，常作 高将其转化为直角三角形问题. 19