专题04 平面向量基本定理与正交分解及坐标表示9题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题04 平面向量基本定理与正交分解及坐标表示9题型分类 一、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 二、基底的性质 (1)不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底. 由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底． (2)不唯一性 对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示． (3)如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到． 三、平面向量运算的正交分解 1、向量的分解 一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解． 2、向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底． 四、平面向量运算的坐标表示 1、向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 注：关于平面向量的坐标表示 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标． (3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 2、向量与坐标的关系 设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 注：点的坐标与向量的坐标 (1)区别： (ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)； (ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向． (2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同． （一） 平面向量的基底 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 题型1：平面向量基本定理的理解 1．（2025高二·河北衡水·周测）下面三种说法中正确的是（    ） ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③零向量不可作为基中的向量. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型2：平面向量基底的判断 2．（2025高一·全国月考）已知向量，不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（2025高一·重庆北碚月考）设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 （二） 用基底表示向量 1．用基向量表示向量的三个依据 (1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则； (2)向量减法的几何意义； (3)数乘向量的几何意义． 2．关于基底的一个结论 设e1，e2是平面内的一个基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0.　　 题型3：用基底表示向量 4．（2025高一·全国月考）如图，平行四边形ABCD中，，，M是的中点，以为基底表示向量    5．（2025高一·全国月考）在中，点D在BC边上，且.设，，则可用基底，表示为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南模拟预测）在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点.设，，则（    ） A． B． C． D．    7．（2025·全国模拟预测）在中，点D，E分别是，的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三·河北保定月考）如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点． 记 ，，则（    ）    A． B． C． D． 9．（2025高一·广东佛山·期中）如图，在中，，点是的中点．设，，则（    ）    A． B． C． D． 10．（山西省朔州市平鲁区李林中学2024届高三学期开学摸底数学试题）如图，在中，设，，，，则（    ）    A． B． C． D． （三） 平面向量基本定理的应用 利用平面向量基本定理解题的策略： （1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算． （2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式． 题型4：平面向量基本定理求参数 11．（2025高一·广东广州月考）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 12．（2025高三·山东月考）如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 13．（2025高三·山东青岛·期中）如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为（    ）    A． B． C． D． 14．（2025高三·湖南益阳月考）如图，在中，为上一点，，为上一点，，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 题型5：平面向量基本定理的应用 15．（2025高三·宁夏银川·期中）在中，D为上一点，若（，），当取得最小值时，三角形与三角形的面积比值为（    ） A． B． C． D． 16．（2025高一·广西玉林月考）如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（    ）    A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3 17．（2025高三·北京月考）如图，在中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点（不含端点），CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，，，则的最小值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 18．（2025高一·江苏苏州·期中）点是所在平面内一点且满足，则下列说法正确的个数有（    ） ①若，则点是边的中点；②若点是边上靠近点的三等分点，则；③若点在边的中线上且，则点是的重心；④若，则与的面积相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （四） 平面向量的坐标表示概念辨析 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 题型6：平面向量正交分解的理解 19．（2025高一·全国月考）下列可作为正交分解的基底的是 A．等边三角形中的和 B．锐角三角形中的和 C．以角A为直角的直角三角形中的和 D．钝角三角形中的和 20．（2025高二·全国月考）向量的坐标表示为 ；坐标为的向量，用正交分解表示为 . 21．（2025高一·全国月考）已，分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，为坐标原点，设，则点位于第 象限. 题型7：平面向量的坐标表示概念辨析 22．（2024高一·全国月考）下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（2025高一·全国月考）已知向量=(1,0)，=(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得=(x,y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，则x1≠x2且y1≠y2； ③若x，y∈R，=(x,y)，且≠，则的始点是原点O； ④若x，y∈R，≠，且的终点坐标是(x,y)，则=(x,y)． 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （五） 求向量的坐标 1、在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．　　 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）． 2、始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角. 题型8：求向量的坐标 24．（2025高一·全国月考）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 25．（2025高一·全国月考）已知△ABC的三个顶点分别是，D为BC的中点，求向量的坐标 （六） 求点的坐标 求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． 题型9：求点的坐标 26．（2025高一·天津西青·期中）已知，则点的坐标为 . 27．（2025高一·全国月考）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．B点的坐标是 C．当B点是原点时，A点的坐标是 D．当A点是原点时，B点的坐标是 一、单选题 1．（2025高三·河南月考）如图，在中，已知为中点，则（    ） A． B． C． D．7 2．（2025高二·云南玉溪月考）在中，，，，，为线段上的点且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 3．（2025·安徽淮北模拟预测）在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025高一·辽宁·期末）如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·北京房山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 6．（2025高一·湖南常德月考）如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 7．（2025·新疆乌鲁木齐模拟预测）已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025高三·福建月考）在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 9．（2025高一·辽宁大连·期末）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 10．（2024高一·全国月考）下面几种说法中正确的有（　　） A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C．一个坐标对应于唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 11．（2025高三·全国月考）如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 12．（2025高一·辽宁葫芦岛·期末）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 三、填空题 13．（2025高一·上海月考）平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 14．（2025高一·全国月考）已知向量，点的坐标是，则点的坐标是 ． 15．（2024高一·全国月考）在平面直角坐标系中，分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，向量和是平面内的向量，且点坐标为，则下列说法正确的是 ．（填序号） ①向量可以表示为； ②只有当的起点在原点时； ③若，则终点的坐标就是向量的坐标． 16．（2025高三·湖北·期中）定义：已知平面向量，表示夹角为的两个单位向量，为平面上的一个定点，为平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则 . 四、解答题 17．（2025高一·全国月考）如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为、、． (1)写出向量，的坐标； (2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标． 18．（2025高一·全国月考）已知边长为2的正三角形，顶点A在坐标原点，边在x轴上，C在第一象限，D为的中点，分别求向量的坐标． 19．（2025高一·全国月考）如图，取与轴，轴同向的两个单位向量，作为基底，分别用，表示，，，并求出它们的坐标． 20．（2025高一·辽宁大连·期末）在中，点D为边上靠近A的三等分点，点M为形内一点.    (1)如图，若点M满足求与的面积之比； (2)若点O为的外心，点M满足延长线交于点N，求k的值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题04 平面向量基本定理与正交分解及坐标表示9题型分类 一、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 二、基底的性质 (1)不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底. 由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底． (2)不唯一性 对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示． (3)如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到． 三、平面向量运算的正交分解 1、向量的分解 一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解． 2、向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底． 四、平面向量运算的坐标表示 1、向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 注：关于平面向量的坐标表示 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标． (3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 2、向量与坐标的关系 设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 注：点的坐标与向量的坐标 (1)区别： (ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)； (ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向． (2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同． （一） 平面向量的基底 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 题型1：平面向量基本定理的理解 1．（2025高二·河北衡水·周测）下面三种说法中正确的是（    ） ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③零向量不可作为基中的向量. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】利用平面向量基底的概念进行判断. 【解析】由于同一个平面内任意不共线的向量，都可以作为表示这个平面内所有向量的基，故①错误，②正确； 由于零向量与任何向量平行，所以零向量不可作为基中的向量，故③正确. 故选：B 题型2：平面向量基底的判断 2．（2025高一·全国月考）已知向量，不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】判断两向量是否为非零的不共线向量，若是可作为基底，若不是则不可以作为一组基底. 【解析】A选项，设，则，无解，故和是不共线的向量，可作为一组基底，A错误； B选项，∵， ∴和共线，不能作为一组基底，故B正确； C选项，设，则，无解，故和不共线，故可作为一组基底，C错误； D选项，设，则，无解，和不共线，可作为一组基底，D错误.. 故选：B 3．（2025高一·重庆北碚月考）设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据基底的知识确定正确答案. 【解析】依题意，不共线， A选项，不存在使， 所以和可以组成基底. B选项，不存在使， 所以和可以组成基底. C选项，， 所以和不能构成基底. D选项，不存在使， 所以和可以组成基底. 故选：C （二） 用基底表示向量 1．用基向量表示向量的三个依据 (1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则； (2)向量减法的几何意义； (3)数乘向量的几何意义． 2．关于基底的一个结论 设e1，e2是平面内的一个基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0.　　 题型3：用基底表示向量 4．（2025高一·全国月考）如图，平行四边形ABCD中，，，M是的中点，以为基底表示向量    【答案】 【分析】利用平面向量基本定理即可求得结果. 【解析】易知，显然； 可得； 故答案为： 5．（2025高一·全国月考）在中，点D在BC边上，且.设，，则可用基底，表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减运算法则、数乘运算即可求解. 【解析】因为，所以. 所以 故选：C 6．（2025·湖南模拟预测）在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点.设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由平面向量基本定理，代入计算，即可得到结果. 【解析】    如图，， 故选：C. 7．（2025·全国模拟预测）在中，点D，E分别是，的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，代入计算，即可得到结果. 【解析】由题意可知，，． 两式相减，得，所以． 故选：D． 8．（2025高三·河北保定月考）如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点． 记 ，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得. 【解析】在平行四边形中，和相交于点， 所以，又是的中点， 所以，所以， 所以. 故选：A 9．（2025高一·广东佛山·期中）如图，在中，，点是的中点．设，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算即可求得答案. 【解析】由题意在中，，点是的中点， 故 ， 故选：A 10．（山西省朔州市平鲁区李林中学2024届高三学期开学摸底数学试题）如图，在中，设，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则求解. 【解析】由题意, 故选：D． （三） 平面向量基本定理的应用 利用平面向量基本定理解题的策略： （1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算． （2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式． 题型4：平面向量基本定理求参数 11．（2025高一·广东广州月考）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由已知，点是线段的一个四等分点，得出与的关系，再由向量的线性运算即可求得，的值． 【解析】由可得， 所以， ，． 故选：C 12．（2025高三·山东月考）如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的线性运算法则，求得,进而求得的值，进一步计算即可. 【解析】如图：    因为 , 所以 故选： 13．（2025高三·山东青岛·期中）如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设，由向量的线性运算可得，再根据已知列等式计算即可求出. 【解析】由题意，是上一点，设， 则， 又，所以， 所以， 所以，解得. 故选：C 14．（2025高三·湖南益阳月考）如图，在中，为上一点，，为上一点，，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理得到，从而得到，求出答案. 【解析】因为，，所以，， 又，所以， 故. 故选：D 题型5：平面向量基本定理的应用 15．（2025高三·宁夏银川·期中）在中，D为上一点，若（，），当取得最小值时，三角形与三角形的面积比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三点共线的，结合基本不等式可得时，取得最小值，结合图形即可求与三角形的面积比. 【解析】由D为上一点，则，则 ， 当且仅当且，即，时等号成立，取得最小值. 则，则根据平面向量基本定理知，为靠近的三等分点， 则，则. 故选：B 16．（2025高一·广西玉林月考）如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（    ）    A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3 【答案】B 【分析】 设，得到，结合向量共线定理的推论得到，求出，求出答案. 【解析】因为为的中线，所以， 设，则， 故，所以， 因为，所以， 因为三点共线，可设，则， 故， 故，相加得， 解得，故. 故选：B 17．（2025高三·北京月考）如图，在中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点（不含端点），CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，，，则的最小值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】设，则，利用三角形相似得到，，表达出，利用基本不等式求出最值即可. 【解析】设，则， 因为M，N分别为AB，AC边上的中点，所以，， 故， 因为∽，所以， 设，则，， 故，故， 同理可得，， 因为∽，所以， 设，则， ，， 故，， 则 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 故选：C 18．（2025高一·江苏苏州·期中）点是所在平面内一点且满足，则下列说法正确的个数有（    ） ①若，则点是边的中点；②若点是边上靠近点的三等分点，则；③若点在边的中线上且，则点是的重心；④若，则与的面积相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①转化为，即可判断；②选项转化为，进而根据平面向量基本定理即可判断；③分析可得点为边的中线的中点，即可判断；④可得点在直线上，点与点到边的距离相等即可判断. 【解析】①若，则， 即，即. 即点是边的中点，故①正确； ②由点是边上靠近点的三等分点， 所以，即， 即， 所以，故②错误； ③因为点在边的中线上，设为中点， 设， 又， 所以， 又，则， 所以，即， 所以点为边的中线的中点，故不是重心，故③错误； ④设，，则，， 故点在直线上，点与点到边的距离相等， 所以与的面积相等，故④正确. 故选：B. （四） 平面向量的坐标表示概念辨析 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 题型6：平面向量正交分解的理解 19．（2025高一·全国月考）下列可作为正交分解的基底的是 A．等边三角形中的和 B．锐角三角形中的和 C．以角A为直角的直角三角形中的和 D．钝角三角形中的和 【答案】C 【分析】逐项判断两向量是否垂直即可求解 【解析】选项A中，与的夹角为60°； 选项B中，与的夹角为锐角； 选项D中，与的夹角为锐角或钝角.故选项都不符合题意. 选项C中，与的夹角为90°，故选项C符合题意. 故选：C 【点睛】本题考查基底的概念与判断，是基础题 20．（2025高二·全国月考）向量的坐标表示为 ；坐标为的向量，用正交分解表示为 . 【答案】 【分析】根据向量的坐标表示，以及向量的正交分解，即可求解，得到答案. 【解析】根据向量的坐标表示，可得向量的坐标表示为， 坐标为的向量为，即坐标为的向量的正交分解为. 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的正交分解，其中解答中熟记向量的坐标表示方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 21．（2025高一·全国月考）已，分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，为坐标原点，设，则点位于第 象限. 【答案】四 【解析】由向量的正交分解可得点坐标，由横纵坐标的符号可确定所在象限. 【解析】由题意得： ，    位于第四象限 故答案为：四 【点睛】本题考查由向量的正交分解确定点所处的象限问题，属于基础题. 题型7：平面向量的坐标表示概念辨析 22．（2024高一·全国月考）下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示相关概念和性质得到答案. 【解析】向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误， 根据向量的坐标表示方法得到②③④正确． 故选：C 23．（2025高一·全国月考）已知向量=(1,0)，=(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得=(x,y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，则x1≠x2且y1≠y2； ③若x，y∈R，=(x,y)，且≠，则的始点是原点O； ④若x，y∈R，≠，且的终点坐标是(x,y)，则=(x,y)． 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平面向量的基本定理、向量的坐标表示，及向量始点、终点与向量坐标的关系，即可判断各项的正误. 【解析】由平面向量基本定理，存在唯一的一对实数x，y使，①正确； 举反例，=(1,0)≠(1,3)，但1=1，②错误； 由向量可以平移，所以=(x,y)与a的始点是不是原点无关，③错误； 当的终点坐标是(x,y)时，=(x,y)是以的始点是原点为前提的，④错误． 故选：A （五） 求向量的坐标 1、在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．　　 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）． 2、始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角. 题型8：求向量的坐标 24．（2025高一·全国月考）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 【答案】． 【分析】根据向量基本定理和向量坐标化即可得到答案. 【解析】因为， 又，所以． 因此在基下的坐标为． 25．（2025高一·全国月考）已知△ABC的三个顶点分别是，D为BC的中点，求向量的坐标 【答案】 【分析】由向量坐标表示概念及中点坐标公式可得答案. 【解析】，D是BC的中点，，即. 又，则. （六） 求点的坐标 求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． 题型9：求点的坐标 26．（2025高一·天津西青·期中）已知，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，从而可得，求出，从而得出点的坐标. 【解析】设点的坐标为， 因为， 即， 所以，所以， 即， 故答案为：. 27．（2025高一·全国月考）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．B点的坐标是 C．当B点是原点时，A点的坐标是 D．当A点是原点时，B点的坐标是 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算逐项判断即可. 【解析】由平面向量的坐标表示可知，当A点是原点时，B点的坐标是. 故选：D. 一、单选题 1．（2025高三·河南月考）如图，在中，已知为中点，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算得解. 【解析】在中，由为中点，得， 所以. 故选：C 2．（2025高二·云南玉溪月考）在中，，，，，为线段上的点且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】结合平面向量的线性运算，利用数量积的运算律求解即可. 【解析】因为，，又， 则， 又，，， 所以 .    故选：A 3．（2025·安徽淮北模拟预测）在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由面积比得，再利用三角形相似得到，从而利用向量的线性运算得到的关系，进而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【解析】根据题意，如图，连接，设与交于点， 过点作于点，过点作于点， 若面积是面积的2倍，即， 根据相似三角形的性质可知，， ， 设， ， 即，即， ， 当且仅当，即时取等号，的最小值为1. 故选：A. 4．（2025高一·辽宁·期末）如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的基本定理推导出，即，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解析】因为，则，所以，， 因为为的中点，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，， 因为，，则，， 所以，， 因为、不共线，所以，，所以，， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 5．（2025高一·北京房山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可. 【解析】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 6．（2025高一·湖南常德月考）如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算即得. 【解析】在中，点在线段上，且， 则， ，而，因此， 即，所以. 故选：A 7．（2025·新疆乌鲁木齐模拟预测）已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将向量、用基底表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【解析】如下图所示：                因为等边三角形的边长是，、分别是、的中点， 则， 由得，可得， 由平面向量数量积的定义可得， 因此， . 故选：B. 8．（2025高三·福建月考）在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算及三点共线求得，由此求得的值，即可得到结果. 【解析】 ∵，∴， ∴. ∵A，P，D三点共线，∴. ∵，∴. ∵E是边AB的中点，∴. ∵E，P，F三点共线，∴， ∴，解得，， ∴，即，，故. 故选：A. 9．（2025高一·辽宁大连·期末）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数. 【解析】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键. 二、多选题 10．（2024高一·全国月考）下面几种说法中正确的有（　　） A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C．一个坐标对应于唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 【答案】ABD 【分析】根据向量的定义和坐标的定义，即可判断选项. 【解析】A.相等向量的坐标相同，故A正确； B.根据向量坐标的定义，可知平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标，故B正确； C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误； D. 平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应，故D正确. 故选：ABD 11．（2025高三·全国月考）如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【分析】对于A，根据条件，利用几何关系得到，即可判断选项A的正误；选项B，先假设，从而可得，与题设条件相矛盾，即可判断选项B的正误；选项C，结合条件，利用向量的中线公式，即可求解；选项D，法一，设，根据条件，利用向量的线性质运算，再结合条件，即可求解；法二，利用共线向量定理的推论，再结合条件，即可求解. 【解析】对于选项A，因为，所以，且， 所以，所以，故选项A正确， 对于选项B，若，则为的中点，因为为的中点， 所以，与相交于点矛盾，故选项B错误， 对于选项C，因为为的中点，所以，故选项C正确， 对于选项D，解法一：由题意可设，， 所以， 又，所以，，所以，故选项D错误， 解法二：因为三点共线，所以，且， 又，，所以，，，故选项D错误， 故选：AC. 12．（2025高一·辽宁葫芦岛·期末）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 【答案】ACD 【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项. 【解析】对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于选择基底，将问题中相关的向量利用基本向量加以表示，再结合平面向量相关知识求解. 三、填空题 13．（2025高一·上海月考）平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 【答案】 【分析】根据向量的正交分解直接可得答案. 【解析】因为点，所以 故答案为： 14．（2025高一·全国月考）已知向量，点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】设点坐标为，表示出，即可求出. 【解析】设点坐标为，点的坐标是， ， 即，， 解得：，， 故点的坐标. 故答案为：. 15．（2024高一·全国月考）在平面直角坐标系中，分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，向量和是平面内的向量，且点坐标为，则下列说法正确的是 ．（填序号） ①向量可以表示为； ②只有当的起点在原点时； ③若，则终点的坐标就是向量的坐标． 【答案】①③ 【分析】根据题意，结合平面向量的基本定理和平面向量的坐标表示，即可求解. 【解析】由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数，使得，所以①正确； 当时，均有所以②错误，③正确． 故答案为：①③. 16．（2025高三·湖北·期中）定义：已知平面向量，表示夹角为的两个单位向量，为平面上的一个定点，为平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则 . 【答案】 【分析】由斜坐标的定义，，利用向量数量积的运算，求. 【解析】平面向量，表示夹角为的两个单位向量， 则有， 依题意，，则. 故答案为：. 四、解答题 17．（2025高一·全国月考）如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为、、． (1)写出向量，的坐标； (2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的坐标表示求解；（2）根据平行四边形中对边平行且相等的关系转化为向量的相等关系，利用坐标表示即可求解. 【解析】（1）， . （2）设，所以 四边形ABCD是平行四边形， 所以，所以解得， 所以. 18．（2025高一·全国月考）已知边长为2的正三角形，顶点A在坐标原点，边在x轴上，C在第一象限，D为的中点，分别求向量的坐标． 【答案】；；；. 【分析】根据给定条件求出正各顶点坐标，再利用坐标表示向量即可得解. 【解析】由所给图形，正的边长为2，则顶点，线段中点， 所以，，，． 19．（2025高一·全国月考）如图，取与轴，轴同向的两个单位向量，作为基底，分别用，表示，，，并求出它们的坐标． 【答案】答案见解析 【分析】应用基底表示向量再结合向量的坐标表示得出向量的坐标即可. 【解析】由图形可知，，，， 它们的坐标表示为，，. 20．（2025高一·辽宁大连·期末）在中，点D为边上靠近A的三等分点，点M为形内一点.    (1)如图，若点M满足求与的面积之比； (2)若点O为的外心，点M满足延长线交于点N，求k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长至使，可以得到四边形是平行四边形，然后根据，所以，又，所以，进而得到答案. （2）由，得，设，由及向量的运算法则可得，又因为，列得方程组，求解即可得的值. 【解析】（1）M是所在平面内一点，延长至使. ，， 连接，因为向量和向量平行且模相等，则四边形是平行四边形. 由于，所以，又，所以， 在平行四边形中，，所以与的面积之比为.    （2），. 设，，， ，， ， 又， ，解得. 所以.    学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$