精品解析：湖南省宁远县第一中学崇德学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2025年宁远一中崇德学校高一数学3月份月考（3月7日） 注意事项： 1．本试卷共150分，考试时量120分钟． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解集合，由交集运算即可求解； 【详解】， 所以， 故选：D 2. 对于集合，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】考查集合的交集、并集运算和集合的包含关系，充要条件的判定. 【详解】，且， 故选：C. 3. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法以及共轭复数的定义，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：D. 4. 在中，，点E在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解. 【详解】因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用对数函数的值域得出范围，再应用特殊角的余弦函数值即可比较. 【详解】因为， ， ， 则的大小关系为. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式和余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】. 故选：B 7. 已知平面向量，满足：，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出的坐标，再根据投影向量的公式计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，两式相减可得， 所以， 所以在方向上的投影向量为， 故选：A. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出为奇函数，排除BD；再根据当趋向于时，趋向于0，C错误，A正确. 【详解】恒成立，故的定义域为R， ， 故为奇函数，BD错误； 当趋向于时，的增长速度远大于的速度， 故趋向于0，C错误，A正确. 故选：A 二、多选题 9. 下列各式中能化简为的是（ ） A. B. C D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面向量的加法与减法运算求解即可. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD 10. 已知向量，则下列向量与平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】求出的坐标，根据共线向量的坐标表示验证即可. 【详解】因为，所以. 若向量满足，则该向量与平行，检验易知A，D符合题意. 故选：AD. 11. 函数，则下列关于说法中正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 最大值是2 C. 是区间上的减函数 D. 图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二倍角余弦公式和辅助角公式化简函数，利用正弦函数的周期求解判断A；根据正弦函数的性质判断B；利用正弦函数的单调性判断C；由正弦函数的对称中心判断D. 【详解】 ， 则的最小正周期是，故选项A正确； 由三角函数的性质可知，即的最大值是，故选项B错误； 时，，因为在上单调递减， 故是区间上的减函数，故选项C正确； 令，解得， 故的图象的对称中心为，，令得， 所以图象不关于点中心对称，故选项D错误. 故选：AC 三、填空题 12. 复数的虚部为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的除法算计即可得解. 【详解】依题意，， 所以所求虚部为. 故答案为： 13. 已知函数恒过定点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】令求解即可. 【详解】令，则，又，所以过定点， 即，，所以 故答案为： 14. 已知为的外心，若，则的最大值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义结合三角恒等变换以及正弦定理边化角化简已知等式，可得，再利用二倍角公式化简，继而利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】依题意两边同时乘以得： ， ， 即， ， 即， 即，而， 则，， 又， . 故的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用数量积的几何意义以及三角恒等变换化简得到，继而求解即可. 四、解答题 15. 已知复数． （1）若，求； （2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数定义和复数的乘除运算法则化简求出，再求其模长即得； （2）利用复数的几何意义求出，和，由两向量的夹角公式即可求得. 【小问1详解】 【小问2详解】 依题意向量 于是有 为与的夹角， ， 16. 已知． （1）若点A，B，M三点共线，求t的值； （2）判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角． 【答案】（1） （2）为直角三角形，且B为直角，证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用平面向量平行的坐标运算计算求参； （2）应用平面向量垂直的坐标运算计算判断即可证明. 【小问1详解】 ， ∵A，B，M三点共线，∴与共线， 所以，解得． 【小问2详解】 是直角三角形，B为直角．证明如下： ∴， ∴，即为直角三角形，且B为直角． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角C的大小； （2）若，，求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由代入化简即可； （2）由余弦定理求得，再由面积公式即可求解； 【小问1详解】 由， 可得：, 化简得 又，所以 因此 【小问2详解】 由余弦定理得， ， ， ， ， 所以的面积为. 18. 如图，某景区有景点，经测量得，，. （1）求景点之间的距离； （2）现计划从景点处起始建造一条栈道，并在处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点的视角.为了节约修建成本，求栈道长度的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求得的值，即可得解； （2）设的外心为，连接交于点，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据圆外一点到圆上距离的最小值为点到圆心距离减去半径，利用余弦定理求得的值，即可得解. 【小问1详解】 在中由正弦定理可得，即， 解得， ，，为正三角形， ，即景点之间的距离为. 【小问2详解】 设的外心为，连接交于点，设外接圆的半径为， 则，解得， ,， 的最小值为， ，， ， ， ， ，即， 的最小值为，即栈道长度的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第二问关键是根据圆性质转化为求，从而只需求出的值. 19. 对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”. （1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由； （2）若是位差值为的位差奇函数，求的值； （3）若对于任意，都不是位差值为m的位差奇函数，求实数t的取值范围. 【答案】(1) 对于任意有为位差奇函数, 不存在有为位差奇函数.(2) ;(3) 【解析】 【分析】(1)根据题意计算与,判断为奇函数的条件即可. (2)根据是位差值为位差奇函数可得为R上的奇函数计算的值即可. (3)计算为奇函数时满足的关系,再根据对于任意都不是位差值为m的位差奇函数求解恒不成立问题即可. 【详解】(1)由,所以为奇函数. 故对于任意有为位差奇函数. 又,设. 此时,若为奇函数则恒成立.与假设矛盾,故不存在有为位差奇函数. (2) 由是位差值为的位差奇函数可得,为R上的奇函数.即为奇函数. 即,. (3)设 .由题意对任意的均不恒成立. 此时 即对任意的不恒成立. 故在无解.又,故. 故 【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题,需要根据题意求所给的位差函数的表达式分析即可.属于中等题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年宁远一中崇德学校高一数学3月份月考（3月7日） 注意事项： 1．本试卷共150分，考试时量120分钟． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对于集合，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 4. 中，，点E在上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，满足：，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列各式中能化简为的是（ ） A. B. C D. 10. 已知向量，则下列向量与平行的是（ ） A B. C. D. 11. 函数，则下列关于的说法中正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 最大值是2 C. 是区间上的减函数 D. 图象关于点中心对称 三、填空题 12. 复数的虚部为_______. 13. 已知函数恒过定点，则__________. 14. 已知为的外心，若，则的最大值为_____. 四、解答题 15. 已知复数． （1）若，求； （2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 16. 已知． （1）若点A，B，M三点共线，求t值； （2）判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角C的大小； （2）若，，求的面积 18. 如图，某景区有景点，经测量得，，. （1）求景点之间的距离； （2）现计划从景点处起始建造一条栈道，并在处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点的视角.为了节约修建成本，求栈道长度的最小值. 19. 对于函数，若存在实数m，使得为R上奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”. （1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由； （2）若是位差值为的位差奇函数，求的值； （3）若对于任意，都不是位差值为m的位差奇函数，求实数t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$