18.1.2平行四边形的判定解答题专项训练 2024—2025学年人教版数学八年级下册

2025年春八下数学人教版 第十八章：18.1.2平行四边形的判定 解答题专项训练 1.如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD垂足分别为点E，求证：四边形AECF是平行四边形 2.如图，▱ABCD的对角线相交于点O、直线MN经过点O．分别与AB，CD交于点M，N，连接AN，CM. 求证：四边形 AMCN是平行四边形 3.如图，ΔABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线 MN//BC交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F. 证明：EO＝FO． 4.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，，点E在边BC上，AB ，联结DE. （1）求证： （2）当时，求证：四边形ABCD是平行四边形 5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AC与BD交于点E，点E是BD 的中点，延长CD到点F，使.连接AF. （1）求证： （2）求证：四边形ABDF是平行四边形 6.如图，在等边三角形ABC中，.射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm／s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm／s的速度运动，设运动时间为t(s). （1）连结EF，当EF经过AC边的中点D时，求证： （2）当t为多少时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形？ 7.如图，在。ABCD中，E、F是对角线AC上的两点， （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）连接BD交EF于点O，当BELEF时，，求BD的长 8.如图，分别以RtΔABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ΔACD，等边ΔABE，已知 女，垂足为F，连接DF. （1）求证： （2）四边形ADFE是平行四边形吗？请说明理由 9.如图， CD⊥AB于点D,AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F，作EG⊥AB交CB于点G. （1）求证：ΔCEF是等腰三角形； （2）求证： CF=BG; 10.点D是ΔABC的边AC上一点，且，点E是BD的中点，若AE=4,求BC的长. 11.如图，点B是∠MAN的边AM上的定点，点C是边AN上的动点，将ΔABC绕点逆时针旋转得到ΔDBE，且点A的对应点D恰好落在边AB上，连结CE.当BC=AC时， （1）求证：四边形ABEC是平行四边形； （2）若AB=15,AD=18，求AC的长 12.如图，已知▱ABCD中，点M是BC的中点，线段AM、BD互相垂直，AM＝3，BD＝6，则该平行四 边形的面积为 13.如图，在平行四边形ABCD中，，E、F分别在CD和BC的延长线上，AEI BD， 则的长为 14.如图，已知在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. （1）求证： BE=CD: （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形 15.在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AD//BC， BO=DO （1）证明：四边形ABCD是平行四边形； （2）过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若，求∠ABC的度数 16.如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE=CF （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）连接BD交AC于点O，若BD=14 AE+CF=EF，求EG的长 17.如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC 于点F，交AB于点N. （1）求证：四边形BMDN是平行四边形； （2）已知AF=12, MC=13，求FN的长 18.▱ABCD中，BD是对角线，CE⊥CD交BD于E点，AFLAB交BD于F点，连接AE、CF.求证：四边形AECF是平行四边形 19.在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形 20.已知四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点F，延长CB至点E，连接AE、CF，且BE=DF.求证：四边形四边形AECF是平行四边形 答案 1.解 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC ∵∠ADB=∠DBC ∵AE⊥BD,CF⊥BD, ∴∠AED=≌ΔCBF ∴AE=CF ∵AE⊥BD,CF⊥BD ∴AE∥CF ∴四边形AECF是平行四边形 2.解 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD, OA=OC, ∴∠OAM=∠OCN, 在ΔOAM和ΔCON中， ∴ΔOAM≌ΔCON(ASA), ∴AM=CN, 又：∵AM//CN， 四边形AMCN是平行四边形 3.解 证明：∵EC平分∠ACB， ∴∠OCE=∠BCE. 又MN∥BC, ∴∠OEC=∠BCE ∴∠OEC=∠OCE ∴OE=OC 同理OF=OC， ∴ EO=FO 4.解 证明：(1)∵∠BAE=∠CAD ∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC, 即∠BAC=∠EAD. 在ΔABC与ΔAED中, AB=AE ∠BAC=∠EAD. AC=AD ∴ΔABC≌ΔAED(SAS). ∴BC=DE （2）由（1）可知ΔABC≌ΔAED ∴∠B=∠AED, BC=DE AC=AD, ∵AC=BC, ∴BC=AD=DE, ∴∠EAD=∠AED ∴∠B=∠EAD, ∵AB=AE, ∴∠AEB=∠B, ∴∠EAD=∠AEB, ∴AD//BC, ∴四边形ABCD是平行四边形 5.解 证明：（1）∵点E是BD的中点， ∴BE=DE, ∵AD//BC, ∴∠ADE=∠CBE, 在ΔADE和ΔCBE中， ∠ADE=∠CBE DE=BE ∠AED=∠CEB ∴ΔADE≌ΔCBE(ASA), ∴AE=CE; (2):∵AE=CE, BE=DE, ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD, AB=CD, ∵DF=CD, ∵DF=AB, 又∵DF//AB, ∴四边形ABDF是平行四边形 6.解 （1）证明∵AG//BC， ∴∠EAD=∠DCF, ∠AED=∠DFC, ∵D为AC的中点， ∴AD=CD, 在ΔADE和ΔCDF中, ∠EAD=∠FCD ∠AED=∠CFD AD=CD ∴ΔADE≌ΔCDF(AAS); （2）当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.理由如下： ①当点F在C的左侧时， 根据题意，得AE=t cm, BF=2t cm, 则CF=BC-BF=(6-2t)cm, ∵ 当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t=6-2t, 解得t=2 ②当点F在C的右侧时，根据题意，得AE=t cm, BF=2tcm, 则CF=BF-BC=(2t-6)cm, ∴ AG∥BC,，当AE＝CF时，四边形AEFC为平行四边形， 即t=2t-6, 解得t=6, 综上可得：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形 7.解 （1）证明：连接BD交AC于O ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC,OB=OD, ∵AE=CF, ∴OE=OF,∵OB=OD, 四边形BEDF是平行四边形； (2)∵BE⊥AC ∴在RtΔBEF中, ∴OE=OF=3, 在RtΔBEO中, ∴ 8.解 （1）证明∵RtΔABC中， ∴AB=2BC, ∵ΔABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB=AE,AB=2AF, ∴AF=BC, 在RtΔAFE和RtΔBCA中， AE=BA AF=BC ∴RtΔAEF≅RtΔBAC(HL); （2）四边形ADFE是平行四边形，理由如下： ∵ΔACD是等边三角形， ∴ AC=AD, ∴ ∴AD⊥AB, 又：EF⊥AB ∴EF⊥AD, 由（1）得： ΔAEF≌ΔBAC, ∴EF=AC, ∴EF=AD, ∴四边形ADFE是平行四边形 9.解 （1）证明：过E作EM//BC交AB于M， ∵EG//AB, ∴四边形EMBG是平行四边形， ∴BG=EM, ∠B=∠EMD, ∵CD⊥AB, ∴ ∴ ∴ ∵AE平分／CAB， ∴∠1=∠2, ∵∠3=∠4, ∴∠4=∠7, ∴CE=CF ∴ΔCEF是等腰三角形； （2）证明：∵ ∴ ∴∠ACD=∠B=∠EMD, 在ΔCAE和ΔMAE中 ∴ΔCAE≅ΔMAE(AAS) ∴CE=EM, ∵CE=CF, EM=BG, ∴CF=BG 10.解 证明：延长AE至F，使EF=A，连接BF、DF、CF，如图所示： 则AF=2AE, ∵点E是BD的中点， ∴BE=DE, ∴四边形ABFD是平行四边形， ∴AB//DF, AB=DF, BF=AD, ∴ ∴ ∵AB=CD, ∴DF=CD, ∴ΔCDF是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴∠BFC=∠ADF, 在ΔBCF和ΔAFD中， ∴ΔBCF≌ΔAFD(SAS), ∴BC=AF, ∴BC=2AE=8 11.解 （1）证明： ∵BC=AC ∴∠A=∠ABC, ∴∠BCD=∠A+∠ABC=2∠A, ∵ΔABC绕点B逆时针旋转得到ΔDBE， ∴AB=BD,BC=BE,∠ABD=∠CBE, ∴∠BDA=∠A,∠BCE=∠BEC, ∴∠A=∠BCE, ∵∠BCD=∠BCE+∠ECD, ∴∠ECD=∠A=∠BEC, ∴AB⊥CE,AC⊥BE, ∴四边形ABEC是平行四边形； （2）如图，过点B作BH⊥AD，垂足为H， ∵BD=BA,BH⊥AD, ∴ 在RtΔABH中，由勾股定理得： ∴ 设AC=BC=x，则CH=x-9, 在RtΔHCB中，由勾股定理得： 解得： 即AC的长为 12.解 连接DM， 四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC, ∴ΔABD的面积＝ΔBCD的面积， 点M是边BC的中点， ∴的面积， 线段AM、BD互相垂直， AM=3, BD=6 ∴四边形ABMD的面积 ×3=9 ∴ΔABD的面积=2/3×9=6, ∴四边形ABCD的面积=2×6=12 13.解 四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD, ∵AE∥DB, .四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=DE=CD, 即D为CE中点. ∴ ∵AB//CD, ∴ 过E作EH⊥BF于点H， ∵ ∴ΔCEH是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴EF=2EH=8 14.解 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，AB=CD ∴∠DAE=∠AEB ∵AE平分∠BAD ∴∠BAE=∠DAE, ∴∠BAE=∠AEB ∴BE=AB ∴BE=CD (2)∵BE=AB，BF平分∠ABE, ∴AF=EF 在ΔADF和ΔECF中， ∴ΔADF≌ΔECF(ASA) ∴DF=CF 又∵AF=EF, ∴四边形ACED是平行四边形 15.解 （1）证明：∵AD//BC ∴∠ADO=∠CBO 又∵∠AOD=∠BOC, OB=OD ∴ΔAOD≌ΔCOB(ASA) ∴AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵OB=OD，OE⊥BD, ∴BE=ED ∴, ∵, ∴ ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD, ∴ ∴ 16.解 （1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD, AB=CD, ∴∠GAE=∠HCF ∵点G，H分别是AB，CD的中点， ∴AG=CH 在ΔAGE和ΔCHF中， ∴ΔAGE≌ΔCHF(SAS), ∴GE=HF, ∠AEG=∠CFH ∴∠GEF=∠HFE ∴GE//HF, 又∵GE=HF, ∴四边形EGFH是平行四边形； （2）解：连接BD交AC于点O，如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD, ∵BD=14 ∴OB=OD=7 ∵AE=CF OA=OC ∴OE=OF ∵AE+CF=EF, AE=CF ∴2AE=EF=2OE ∴AE=OE 又∵点G是AB的中点 ∴EG是ΔABO的中位线， ∴ 17.解 （1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴CD//AB, ∵BM⊥AC,DN⊥AC, ∴DN//BM, ∴四边形BMDN是平行四边形； （2）解：四边形BMDN是平行四边形， ∴DM=BN ∵CD=AB,CD//AB, ∴CM=AN,∠MCE=∠NAF ∵ 在ΔCEM和ΔAFN中， ∴ΔCEM≌ΔAFN(AAS) ∴CM=AN=13, ∴在RtΔANF中， 18.解 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=CD AB//CD ∴∠ABF=∠CDE, ∵CE⊥CD,AF⊥AB, ∴CE//AF, ∴∠AFB=∠CED 在ΔABF和ΔCDE中， ∴ΔABF≌ΔCDE(AAS), ∴AF=CE, ∴四边形AECF是平行四边形 19.解 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC, AB=CD, ∵AE=CF ∴DF//BE, DF=BE ∴四边形BFDE是平行四边形 20.解 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC.且AD=BC ∵BE=DF, ∴AD+DF=CB+BE 即AF=CE, 又∵AF//EC, ∴四边形AECF是平行四边形 学科网（北京）股份有限公司 $$