6.2第2讲平面向量的数量积【5个基础题型+2个提升】讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

【6.2第二讲平面向量的数量积】 【题型梳理】 【题型一：数量积计算】 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 特别提醒: (1)“· ”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”； (2)数量积的结果为数量,不再是向量； (3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零. 1．（24-25高三上·吉林长春·期末）在中，，，，则（ ） A．3 B． C．－3 D． 【答案】D 【分析】直接利用向量数量积的定义计算即可. 【详解】因为在中，，，， 所以，. 故选：D. 2．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知单位向量的夹角为，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据向量的数量积的运算律求解，即可得答案. 【详解】因为单位向量的夹角为， 所以， 故选：B． 3．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将向量、用基底表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示： 因为等边三角形的边长是，、分别是、的中点， 则， 由得，可得， 由平面向量数量积的定义可得， 因此， . 故选：B. 4．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）如图所示，是直角三角形，，，点D是斜边的中点，点E是线段靠近点A的三等分点，则（ ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】用、作为一组基底表示、，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】依题意，，， 所以， 所以 . 故选：A． 5．（24-25高二下·云南玉溪·开学考试）在中，，，，，为线段上的点且，则（ ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】结合平面向量的线性运算，利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，又， 则， 又，，， 所以 . 故选：A 6．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在中，是直线上一点且，则（ ） A．-2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求出，再利用数量积的运算律及定义计算得解. 【详解】由，，得，由共线， 得，解得，则，， 所以. 故选：B 7．（24-25高三上·浙江杭州·期末）在中，已知，点O是的外心，则（ ） A．16 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】由已知得，则，代入数值计算即可． 【详解】如图，过点O作于D，可知， 则， 故选：C 8．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法1，将作为与的夹角，利用向量知识结合题目数据可得答案； 方法2，如图建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积坐标表示完成运算； 方法3，利用余弦定理计算可得答案. 【详解】法一：分别是的中点，. 与的夹角等于， ， 则； 法二：以为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则 ， 则 ； 法三：在中，由余弦定理， 又因为P为的重心，则， 在中再由余弦定理， 在中由余弦定理， 在中，由余弦定理，则 . 故选：D. 【题型二：向量的夹角与垂直】 与夹角公式： 与夹角公式： 若向量是非零向量，则 性质与要点诠释 （1）； （2）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． 1．（24-25高三下·广东广州·开学考试）若，是两个单位向量，，则向量与向量的夹角的余弦值（ ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据数量积的性质得到，然后整理得，最后求余弦值即可. 【详解】由题意得，即， 即，所以，. 故选：A. 2．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于（ ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知可求得，，进而利用向量的夹角公式可求. 【详解】因为，两边平方得，所以， ，， 所以． 故选：D． 3．（2025·陕西榆林·二模）已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法1，由，得，化简后结合数量积的定义可求得结果；解法2，由已知条件可得，，，则，，从而可求得结果. 【详解】解法1：因为，，， 所以， 所以， 因为，所以. 解法2：由，，，， 可知， 令，，则，， ， 因为， 所以. 故选：D 4．（2025·安徽合肥·一模）已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的数量积公式计算得到，从而得到与的夹角. 【详解】 ， ，且，，， ， ， ， ，且 ， ，即与的夹角为 故选: 5．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知单位向量满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数量积的运算律及向量夹角公式计算得解. 【详解】单位向量满足，则， ，， 所以. 故选：A 6．（2023高三·全国·专题练习）向量，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，两边平方先求出可求出，，的值，从而可得答案. 【详解】因为，，且，所以， 所以，即，解得 又，， ， ， 所以， 故选：D. 【题型三：向量的模长】 模长公式：或， 1．（2025·江西·一模）已知平面内不共线的三个向量、、两两夹角相等，且为单位向量，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知三个向量、、两两的夹角为，利用平面向量数量积的定义和运算性质可求得的值. 【详解】由题意可知，三个向量、、两两的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 同理可得，, 所以， . 故选：B. 2．（2025·福建福州·模拟预测）已知向量，，满足，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的基本运算及向量的数量积应用即可求得. 【详解】由，可知，且， 则，，又， 则，则，则， 则 故选：. 3．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）已知向量满足，，则（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由可求解； 【详解】因为， ， 所以，， 故选：C. 4．（24-25高三下·河北保定·开学考试）已知向量满足，则 ． 【答案】2 【分析】根据向量数量积的运算律化简即可得解. 【详解】因为， 所以，化简得． 又因为， 所以． 故答案为：2 5．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）两个单位向量、满足，则 . 【答案】 【分析】等式两边平方，可求出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为两个单位向量、满足， 由两边平方可得， 即，解得， 故. 故答案为：. 6．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知单位向量，满足，且，则正数的值为 . 【答案】 【分析】由数量积的定义求出，再对两边同时平方代入化简即可得出答案. 【详解】因为，是单位向量，且， 所以， 所以， 所以，解得：或. 则正数的值为. 故答案为：. 【题型四：投影向量】 投影向量 (1)向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 (2)如图（1）,在平面内任取一点O作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. 图(1) 图(2) （3）如图（2）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. (4)向量在上的投影向量模长： 1．（2025高三·全国·专题练习）已知外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在上的投影向量的模为（ ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】根据题目条件得到四边形是边长为2的菱形且，利用投影向量的定义求出投影向量的模长. 【详解】如图： ∵，∴，∴， ∴四边形为平行四边形. 又O为外接圆的圆心，且， ∴是边长为2的正三角形， ∴平行四边形是边长为2的菱形且， ∴，， 故向量在上的投影向量的模为. 故选：A 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为：． 故选：A． 3．（2025高三下·全国·专题练习）已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】由条件结合投影向量定义可得，根据模的性质求，利用向量夹角公式求结论. 【详解】由题意可得，， 所以，又， 所以， 所以， 故与的夹角为． 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知非零向量满足，则在上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】由投影向量公式进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，整理得， 又，所以，即， 所以在上的投影向量为. 故答案为： 5．（24-25高一下·全国·课前预习）已知，则 ，在上的投影的数量为 ． 【答案】 3 1 【分析】由向量数量积定义及投影公式计算即可计算； 【详解】； 在上的投影的数量为. 故答案为：3；1 【题型五：平面向量与三角函数综合】 一、多选题 1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 二、解答题 2．（24-25高二上·吉林延边·期末）已知，，且函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简，然后利用公式单调递增区间； （2）根据条件得到的值，然后可求的值，根据角的配凑可得，结合二倍角公式可求结果. 【详解】（1）， 令，解得， 故函数的单调递增区间为． （2）因为，即，所以， 又，所以， 所以， 所以． 3．（23-24高一下·四川泸州·期中）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． (1)若向量的“伴随函数”为，且，求的值； (2)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得，结合两角和的正弦公式化简，可得， ，然后利用诱导公式将化简为，进而根据二倍角的三角函数公式算出的值；. （2）由“源向量”的定义得出，所以，根据平面数量积的定义算出，再利用余弦定理算出，进而化简得到，然后利用基本不等式算出，再根据换元法与二次函数的性质，求出的取值范围.. 【详解】（1）若向量的“伴随函数”为 则， 所以，可得， 所以 （2）由于函数的“源向量”为， 所以，，所以， 在中，由余弦定理得：，整理得 即， 可得， 根据，解得，结合，得， 设，则， 可得， 相应的二次函数在区间上为减函数， 可知的最大值小于， 的最小值等于， 即的取值范围是. 4．（24-25高三上·广东梅州·期中）已知，，函数. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值. (3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围. 【答案】(1)，对称中心为， (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【详解】（1）. 令，则，， 函数的对称中心为，. （2）由可知， 化简有， ，，， （3）由可得， 即， 又，所以 由正弦定理有 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得 所以，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 【题型六：平面向量的最值与取值范围问题】 平面向量的最值问题是向量知识与函数、不等式等知识的综合应用 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知是的外心，，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，将原式两边平方得，由图形可知，、不能都是正数，利用三角代换，求函数的值域，即可判断选项. 【详解】如图，，所以， 因为，所以，，即， 如图可知，点在优弧上，所以、不能都是正数， 所以设，，，可得， 即. 故选：B. 2．（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）设圆的半径为3，其一条弦为圆上任意一点，则的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】设为所成角，则，结合的范围，求出的最大值. 【详解】设为的中点，则，在方向上的投影为， 设为所成角，， 因为， 又，， 因为为圆上任意一点，所以当时，取得最大值， 此时，则的最大值为. 故选：D 3．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（ ） A．6 B．12 C．24 D．32 【答案】C 【分析】分别取，的中点E，F，连接，，,利用极化恒等式得到，，原式转化为,再求线段的最大值即可. 【详解】如图： 分别取，的中点E，F，连接，，. 所以,,又， 所以由极化恒等式得 ， 同理， 所以 连接, 由，，得， 所以在以O为圆心，为半径的圆上.所以的最大值为， 所以的最大值为24. 故选：C 4．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）设是边长为1的正三角形，是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值，的值为（ ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算得出，，再应用数量积公式化简，利用二次函数配方法求得答案. 【详解】因为，， 所以，得， 所以，， ， 所以， ， 设，则， 当，即，也就是时， 取得最小值. 故选：C. 5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则可得，利用向量的夹角公式可求的最小值. 【详解】设，则，因为， 所以，所以， 则， 当时取等号，所以的最小值为． 故选：B． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，由向量数量积的运算律以及模长公式可得，再由二次函数的图像性质，即可得到结果. 【分析】因为， 所以． 又，， 所以 ． 令． 由，可知为二次函数，其图像开口向上， 要使，存在最小值，只需其图像的对称轴即可，解得． 则正数的取值范围是. 故选：D 7．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据向量共线定理设(t∈R)，得，两边平方根据二次函数知识可得结果. 【详解】因为向量与共线，所以可设(t∈R)， 所以，所以， 因为向量，为单位向量，且， 所以， 所以，所以的最小值为. 故选：A 8．（2024高三·全国·专题练习）已知是边长为的正边上的动点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用向量的线性运算及数量积的定义，即可求解. 【详解】由在边上运动，且为边长为的正三角形， 所以， 又，所以， 故选：D. 9．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知向量，满足，，，若向量满足，则的最大值为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用平方运算可求得和，再由和余弦函数的最值求解. 【详解】根据题意， ，∴ ， 设为的夹角， . 故选：A. 二、填空题 10．（24-25高三上·北京通州·期末）已知是同一平面上的三个向量，满足，，则与的夹角等于 ；若与的夹角为，则的最大值为 . 【答案】 4 【分析】第1空，利用可得； 第2空，根据向量夹角的关系，利用向量的几何表示，设，，确定为的外接圆直径时最大，进而可得. 【详解】第1空：，因，故， 第2空：设，，则, 设，则，，因与的夹角为， 而，故在两段优弧上，如下图， 右上方的弧所在圆的半径为，左下方的弧所在的圆的半径为2且圆心为， 结合图形可得即可取得最大值为直径即为， 故答案为：；4 11．（2025高三·全国·专题练习）设为单位向量，非零向量，x，y为实数，若的夹角为，则的最大值是 . 【答案】2 【分析】求出，进而求出，将转化为以为未知量的函数问题，求出最大值即可. 【详解】因为，的夹角为， 所以，则， 当时，， 当时，， 当时，取最大值，， 综上：的最大值是2. 故答案为：2 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为 【答案】 【分析】由向量的模长和数量积的运算结合二次函数求出最值即可. 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以当时，的最小值为， 故答案为：. 【题型七：向量中的隐圆问题】 向量中的隐圆问题 角度一、定值圆（由模长是构造圆） 记A,B,C为定点，若出现，，，都可以得出隐圆 有时也会出现这种形式，我们可以设，，，也能转化成上面第三种形式 角度二、直径圆 圆的直径所对的圆周角为直角，因此当两个向量相互垂直时，可以选择一个共同的起点，则该起点在以两个向量的终点构成的线段为直径的圆上．在向量问题中，向量a，b的垂直条件体现为，，等． 角度三、外接圆（定边定角） 均为定值时，可以构造圆 在三角形中，若遇到一边一对角问题，可以考虑构造此三角形的外接圆，从几何的角度进行解题．同样的道理，在向量问题中，若两个或三个向量可以构造出一个三角形(如a，b，a-b)，且给出边一对角的条件，可以考虑构造外接圆模型进行解题． 角度四、四点共圆（对角互补） 圆内接四边形的对角互补；反之，若某四边形的对角和为180°，则该四边形的四个顶点共圆．在向量问题中，只需有三个向量，选取1个共同起点，加上3个终点，便可构成一个四边形，若该四边形满足上述条件，可以构造“隐圆”模型进行解题，四点共圆模型可以认为是外接圆模型的延伸． 1．（2024·湖北·模拟预测）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意建立直角坐标系，设，写出坐标，可得点的轨迹方程，进而可求出的最大值. 【详解】根据题意，建立如图所示的直角坐标系， 设,. 所以,,,, 所以, 因为, 即, 故点在以点为圆心，半径为的圆周上运动， 所以的最大值为. 故选：D. 2．（2024高三上·江苏南京·学业考试）若单位向量满足，向量满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中求出的坐标，由得到C在以为直径的圆上，求出该圆的方程，再设出的坐标，利用数量积的坐标表示，结合三角函数求出最小值. 【详解】令，依题意，，， 以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则， 令，由，得C在以为直径的圆上，该圆的方程为， 设，即， 则 ， 所以的最小值为. 故选：D 3．（2024·广东东莞·模拟预测）已知在同一平面内的三个点A，B，C满足，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，利用向量数量积的运算性质可得，从而点在度数为的优弧上运动，或点在圆的内部，然后根据三角形中线性质和圆的性质可解. 【详解】设，， 则是与同方向的单位向量，是与同方向的单位向量， 对于，即， 两边平方得，化简得， 因此可以得到与的夹角，在构成等边三角形时取等号， 在如图所示的圆中，点在圆上，其中劣弧的度数为， 点在度数为的优弧上运动，或点在圆的内部， 若点在圆上，根据正弦定理， 可得圆的半径满足，即， 设为的中点，则， 当时，长达到最大值，此时为等边三角形， 可知，即， 当点在圆的内部时，则重合时，， 此时取最小值，又， 综上所述，的取值范围为. 故选：D 4．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则的最大值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，即点四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可. 【详解】设， 由，，，则， 所以，又，所以， 即点四点共圆，要使最大，即为圆的直径， 在中，由余弦定理可得， 即，又由正弦定理可得， 即的最大值为， 故选：A 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解. 【详解】法一：设的重心为，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，的最小值是. 法二：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系， 则， 设，即， 化简得，点的轨迹方程为， 设圆心为，，由圆的性质可知当过圆心时最小， 又，故得最小值为. 故选：C. 6．（2022·福建厦门·模拟预测）已知为单位向量，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，以为原点建立直角坐标系，设，，可得. 【详解】设，则，所以为等边三角形， 以为原点建立如图所示直角坐标系，则， 设，，则， 所以在以为圆心，1为半径的圆上， 因为， 所以. 故选：A. 【题型八：极化恒等式】 极化恒等式的三种解释 1、代数解释 对，恒有 两式相减得 将实数中的结论类比到平面向量中，有类似的结论 将两式相减得 注： 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系。 2、几何解释1，平行四边形模型 如上图，以AB、AD为一组临边构造平行四边形ABCD，，则，。 由极化恒等式 可得 即 "从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的” 3、几何解释2，三角形模型 在平行四边形模型结论的基础上，如上图若设M为对角线的交点，则由 变形为 即 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是解题中最常用的极化恒等式的几何模型 1．（21-22高一下·福建三明·期中）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由向量的加法和数量积运算将转化为，再由的值和的范围可求得结果；令可得点T 在BC上，再将转化为，由、的范围可求得结果. 【详解】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点， 则，， 由Q是BC的中点，得，又，则， 所以取值范围为； 令，则 ， 则，即，于是，即点T 在直线BC上， 因此，，则， 而，因此， 所以的最小值为. 故答案为：； 2．（2019·福建厦门·一模）在中，，，，动点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设，然后将数量积用点的坐标表示出来，再结合圆中的最值问题求解即可． 【详解】如图，以点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系． 则， 设，则， ∴ ， 其中表示圆A上的点P与点间距离的平方， 由几何图形可得， ∴． 故答案为． 【点睛】（1）解答本题的关键是将问题转化为坐标运算来求解，利用代数运算来解决向量数量积的问题，体现数形结合的利用． （2）求与圆有关的最值问题时仍需要结合图形进行，结合图形利用两点间的距离或点到直线的距离求解，解题时注意几何方法的运用． 3．（23-24高三上·江西南昌·期中）圆的直径，弦，点在弦上，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】 根据平面向量的线性运算法则，得到，再由圆的性质，得到的最小值，进而求解即可. 【详解】由题意可得，， 要使取得最小值，则要最小， 根据圆的性质，只需，此时为中点， 又，则， 所以， 则的最小值为. 故答案为：. 4．（19-20高三上·四川眉山·期中）已知正的边长为1，为该三角形内切圆的直径，在的三边上运动，则的最大值为 . 【答案】 【分析】变换得到，则点为的顶点时取最大值，计算得到答案. 【详解】正的边长为1，则高为，内切圆半径为 如图所示，， 当点为的顶点时，取得最大值，所以的最大值为.    故答案为： 【点睛】本题考查了向量的最值计算，变换得到是解题的关键. 5．（24-25高三上·湖北·期末）如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则 .    【答案】8 【分析】利用平面向量的四则运算，得到，可得，，再化简，即可求解. 【详解】 ， ， 故答案为： 6．（24-25高三上·天津·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望. 图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若，则 ；若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，结合正六边形的性质用表示，进出求出；利用数量积的运算律可得，再求出的最大最小值即可. 【详解】连接，由正六边形性质知，，且是线段的中点， ，又，且不共线， 因此，所以； 如图，取的中点，连接， 则， 由为圆的直径，长度为2，得， 由正六边形的性质知，当点与正六边形的顶点重合时，， 当点为正六边形的边的中点时(如图点)，，， 故答案为：； 【点睛】思路点睛：本题解题思路在于结合图形的特点，分别将其中的向量进行分解、计算、化简，将问题转化为求距离的最大最小值问题. 二、解答题 7．（20-21高一下·江苏常州·阶段练习）阅读一下一段文字：，两式相减得：，我们把这个等式称作“极化恒等式”．它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． （1）若，求的值； （2）若， ，求的值． 【答案】（1）21；（2）. 【分析】（1）利用极化恒等式，即可求解. (2)根据条件解出m、n即可求解. 【详解】解：（1）由“极化恒等式”知： ； （2）设， 因为由（1）知， ① 因为同理可得， ② 由①②解得， 于是有. 一、单选题 1．（2019·福建福州·模拟预测）已知是两个单位向量，． 若，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·福建泉州·一模）已知单位向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·福建·模拟预测）设向量与单位向量满足，对任意都有，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 4．（2023·福建福州·模拟预测）在菱形中，若，且在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．-2 6．（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量，满足，且，，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 7．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知向量为单位向量，且满足，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（20-21高三下·全国·阶段练习）已知是平面向量，满足，且，记与的夹角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·云南昭通·模拟预测）已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·福建泉州·模拟预测）若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（    ） A．0 B． C． D． 11．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 12．（24-25高三上·浙江·期末）已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为，则向量（    ） A．2 B． C． D．1 13．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D．1 14．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 15．（24-25高三上·河北·期末）在中，D为边BC的中点，中线AD上有一点P满足，且，则 . 2024-2025学年高一数学通关宝典讲义系列 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B B C C B B B 题号 11 12 13 14 答案 A B D B 1．C 【分析】由知，利用向量数量积的运算律化简上式得，所以两向量夹角为. 【详解】因为， 所以. 故选：C 【点睛】本题考查向量数量积的运算律、两垂直向量的数量积关系，属于基础题. 2．C 【分析】根据已知条件，利用平面向量的数量积的运算求出的长度，并计算，然后利用夹角公式求夹角余弦值，再求解正弦值 【详解】单位向量，满足，且， 所以 ， 所以. 所以 故选:C. 3．B 【分析】根据题意得到，设向量与的夹角为，得到，得到，进而求得其最大值. 【详解】由，可得， 即对任意恒成立， 则满足，即，所以， 设向量与的夹角为，可得，所以， 则， 当时，可得. 故选：B. 4．B 【分析】根据给定条件，结合向量减法可得，再利用投影向量的意义求出. 【详解】由，得，而是菱形，则是正三角形， 于是，， 因此在上的投影向量为，所以. 故选：B 5．B 【分析】设的中点为的中点为E，则可表示为，进而可得答案. 【详解】设的中点为的中点为E， 则有 ， 则 ， 而 而 ，， 故当P与E重合时， 有最小值 ， 所以的最小值为， 故选：B. 6．C 【分析】利用向量的数量积的运算律求得，利用向量的夹角公式可求得，可求与的夹角. 【详解】由，可得，即 又，所以，解得， 所以，又，所以， 所以与的夹角为. 故选：C. 7．C 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律计算得解. 【详解】由，得，则， 由，得，则， 而为单位向量，所以. 故选：C 8．B 【分析】先给两边平方然后展开，代入，得到，然后利用，然后当时，求解的最小值. 【详解】由得，，所以. 则 令函数，因为在上单调递减. 又因为，故当时，取得最小值，最小值为. 故选：B 【点睛】本题考查向量间夹角余弦值的取值范围的计算问题，解答的一般思路为：当已知，和(其中为常数)时，一般采用平方法，得到然后展开，得到的值. 9．B 【分析】根据给定条件，确定的形状，再利用投影向量的意义求解作答 【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量， 由，可得的角平分线与垂直， 所以为等腰三角形，且， 又，得，所以， 又，所以, 所以为等边三角形， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：B. 10．B 【分析】设，，根据向量减法的几何意义，可得线段OB的中点C满足，即可求得，的夹角. 【详解】设，，则为直线OB上的点C与点A之间的距离， 由时，取得最小值，得C为线段OB的中点且， 由于，所以. 故选：B 11．A 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 12．B 【分析】利用投影向量的意义求出，再利用向量数量积的运算律及夹角公式列式求得答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为，即，则， 又，则， 解得，由，解得. 故选：B 13．D 【分析】根据条件可计算出和的值，即可得到. 【详解】∵，∴，即，故， ∵，∴， ∵，∴，故，即， ∴，，∴. 故选：D. 14．B 【分析】由题意得，故根据数量积定义、投影向量定义即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以， 向量在向量上的投影向量是. 故选：B. 15．12 【分析】运用向量数量积的运算，结合向量三角形法则直接计算即可. 【详解】在中，因为D是边BC的中点， 所以， 又，所以，所以. 又因为，所以， 所以 . 故答案为：12. $$ 【6.2第二讲平面向量的数量积】 【题型梳理】 【题型一：数量积计算】 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 特别提醒: (1)“· ”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”； (2)数量积的结果为数量,不再是向量； (3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零. 1．（24-25高三上·吉林长春·期末）在中，，，，则（ ） A．3 B． C．－3 D． 2．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知单位向量的夹角为，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）如图所示，是直角三角形，，，点D是斜边的中点，点E是线段靠近点A的三等分点，则（ ） A． B． C．0 D． 5．（24-25高二下·云南玉溪·开学考试）在中，，，，，为线段上的点且，则（ ） A．3 B． C．2 D． 6．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在中，是直线上一点且，则（ ） A．-2 B． C． D．0 7．（24-25高三上·浙江杭州·期末）在中，已知，点O是的外心，则（ ） A．16 B． C．8 D． 8．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（ ） A． B． C． D． 【题型二：向量的夹角与垂直】 与夹角公式： 与夹角公式： 若向量是非零向量，则 性质与要点诠释 （1）； （2）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． 1．（24-25高三下·广东广州·开学考试）若，是两个单位向量，，则向量与向量的夹角的余弦值（ ） A．0 B． C．1 D． 2．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于（ ） A．0 B． C． D． 3．（2025·陕西榆林·二模）已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽合肥·一模）已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知单位向量满足，则（ ） A． B． C． D． 6．（2023高三·全国·专题练习）向量，，且，则（ ） A． B． C． D． 【题型三：向量的模长】 模长公式：或， 1．（2025·江西·一模）已知平面内不共线的三个向量、、两两夹角相等，且为单位向量，，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·福建福州·模拟预测）已知向量，，满足，，，，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）已知向量满足，，则（ ） A．1 B． C． D．2 4．（24-25高三下·河北保定·开学考试）已知向量满足，则 ． 5．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）两个单位向量、满足，则 . 6．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知单位向量，满足，且，则正数的值为 . 【题型四：投影向量】 投影向量 (1)向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 (2)如图（1）,在平面内任取一点O作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. 图(1) 图(2) （3）如图（2）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. (4)向量在上的投影向量模长： 1．（2025高三·全国·专题练习）已知外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在上的投影向量的模为（ ） A． B．3 C． D．2 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A． B． C． D． 3．（2025高三下·全国·专题练习）已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知非零向量满足，则在上的投影向量为 ． 5．（24-25高一下·全国·课前预习）已知，则 ，在上的投影的数量为 ． 【题型五：平面向量与三角函数综合】 一、多选题 1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（24-25高二上·吉林延边·期末）已知，，且函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)已知，，求的值． 3．（23-24高一下·四川泸州·期中）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． (1)若向量的“伴随函数”为，且，求的值； (2)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 4．（24-25高三上·广东梅州·期中）已知，，函数. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值. (3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围. 【题型六：平面向量的最值与取值范围问题】 平面向量的最值问题是向量知识与函数、不等式等知识的综合应用 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知是的外心，，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）设圆的半径为3，其一条弦为圆上任意一点，则的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（ ） A．6 B．12 C．24 D．32 4．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）设是边长为1的正三角形，是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值，的值为（ ） A． B．3 C． D．2 5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 8．（2024高三·全国·专题练习）已知是边长为的正边上的动点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知向量，满足，，，若向量满足，则的最大值为（ ） A． B． C．4 D． 二、填空题 10．（24-25高三上·北京通州·期末）已知是同一平面上的三个向量，满足，，则与的夹角等于 ；若与的夹角为，则的最大值为 . 11．（2025高三·全国·专题练习）设为单位向量，非零向量，x，y为实数，若的夹角为，则的最大值是 . 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为 【题型七：向量中的隐圆问题】 向量中的隐圆问题 角度一、定值圆（由模长是构造圆） 记A,B,C为定点，若出现，，，都可以得出隐圆 有时也会出现这种形式，我们可以设，，，也能转化成上面第三种形式 角度二、直径圆 圆的直径所对的圆周角为直角，因此当两个向量相互垂直时，可以选择一个共同的起点，则该起点在以两个向量的终点构成的线段为直径的圆上．在向量问题中，向量a，b的垂直条件体现为，，等． 角度三、外接圆（定边定角） 均为定值时，可以构造圆 在三角形中，若遇到一边一对角问题，可以考虑构造此三角形的外接圆，从几何的角度进行解题．同样的道理，在向量问题中，若两个或三个向量可以构造出一个三角形(如a，b，a-b)，且给出边一对角的条件，可以考虑构造外接圆模型进行解题． 角度四、四点共圆（对角互补） 圆内接四边形的对角互补；反之，若某四边形的对角和为180°，则该四边形的四个顶点共圆．在向量问题中，只需有三个向量，选取1个共同起点，加上3个终点，便可构成一个四边形，若该四边形满足上述条件，可以构造“隐圆”模型进行解题，四点共圆模型可以认为是外接圆模型的延伸． 1．（2024·湖北·模拟预测）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 2．（2024高三上·江苏南京·学业考试）若单位向量满足，向量满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）已知在同一平面内的三个点A，B，C满足，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则的最大值等于（ ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D． 6．（2022·福建厦门·模拟预测）已知为单位向量，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【题型八：极化恒等式】 极化恒等式的三种解释 1、代数解释 对，恒有 两式相减得 将实数中的结论类比到平面向量中，有类似的结论 将两式相减得 注： 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系。 2、几何解释1，平行四边形模型 如上图，以AB、AD为一组临边构造平行四边形ABCD，，则，。 由极化恒等式 可得 即 "从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的” 3、几何解释2，三角形模型 在平行四边形模型结论的基础上，如上图若设M为对角线的交点，则由 变形为 即 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是解题中最常用的极化恒等式的几何模型 1．（21-22高一下·福建三明·期中）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 . 2．（2019·福建厦门·一模）在中，，，，动点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为 ． 3．（23-24高三上·江西南昌·期中）圆的直径，弦，点在弦上，则的最小值是 ． 4．（19-20高三上·四川眉山·期中）已知正的边长为1，为该三角形内切圆的直径，在的三边上运动，则的最大值为 . 5．（24-25高三上·湖北·期末）如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则 .    6．（24-25高三上·天津·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望. 图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若，则 ；若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 . 二、解答题 7．（20-21高一下·江苏常州·阶段练习）阅读一下一段文字：，两式相减得：，我们把这个等式称作“极化恒等式”．它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． （1）若，求的值； （2）若， ，求的值． 一、单选题 1．（2019·福建福州·模拟预测）已知是两个单位向量，． 若，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·福建泉州·一模）已知单位向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·福建·模拟预测）设向量与单位向量满足，对任意都有，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 4．（2023·福建福州·模拟预测）在菱形中，若，且在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．-2 6．（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量，满足，且，，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 7．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知向量为单位向量，且满足，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（20-21高三下·全国·阶段练习）已知是平面向量，满足，且，记与的夹角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·云南昭通·模拟预测）已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·福建泉州·模拟预测）若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（    ） A．0 B． C． D． 11．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 12．（24-25高三上·浙江·期末）已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为，则向量（    ） A．2 B． C． D．1 13．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D．1 14．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 15．（24-25高三上·河北·期末）在中，D为边BC的中点，中线AD上有一点P满足，且，则 . 2024-2025学年高一数学通关宝典讲义系列 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$