4.3 平行线的性质（导学案）-2024-2025学年湘教版数学七年级下册

第4章 平面内的两条直线 4. 3 平行线的性质 学习目标： 1. 掌握平行线的性质，会运用两条直线的平行关系判 定角相等或互补；（重点） 2. 能够根据平行线的性质进行简单的推理. 自主学习 一、情境导入 问题1 平面内两条直线的位置关系有哪几种？ 问题2 两直线平行的定义是什么？ 问题3 上节课你学了平行线的哪些内容？ 合作探究 1、 要点探究 探究点一：平行线的性质 一、 平行线的性质 1 活动 画两条平行线 a∥b ，然后画一条截线 c 与 a 、b相交，标出如图所示的角. 度量所形成的 8 个角的度数， 把结果填入下表： 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 度数 角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数 观察 ∠1~∠8 中，哪些是同位角？它们的大小之间有什么关系？说出你的猜想. 猜想 两条平行线被第三条直线所截，同位角________ . 再任意画一条截线d，同样度量各个角的度数，你的猜想还成立吗？ 几何画板展示：平行线的性质 如果两直线不平行，上述结论还成立吗？ 一般地，平行线具有如下性质： 性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 应用格式: 因为 a∥b（已知）， 所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） 例1 如图，直线 AB ，CD 被直线 EF 所截，AB∥CD， ∠1 ＝100°，试求∠3 的度数. 二、 平行线的性质 2 思考：已知两直线平行，同位角相等， 那么能否得到内错角之间的数量关系？ 如图，已知 a∥b ，那么∠2 与∠3 相等吗？为什么? 性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 应用格式： 因为 a∥b（已知）， 所以 ∠2=∠3 （两直线平行，内错角相等）. 三、 平行线的性质 3 思考：类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角 之间的数量关系？如图，已知 a∥b ，那么 2与 4有什么关系呢？为什么? 性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 应用格式： 因为 a∥b (已知)， 所以∠2 + ∠4 = 180°(两直线平行，同旁内角互补). 例2 如图，AD∥BC ，∠B = ∠D ，试问∠A与∠C 相等吗？为什么？ 例3 小明在纸上画了一个∠A ，准备用量角器测量它的度数时，因不小心将纸片撕破，只剩下如图的一部 分．如果不能延长 DC、FE 的话，你能帮他设计出多少种方法测出∠A 的度数吗？ 例4 如图，若 AB∥CD ，你能确定∠B 、∠D 与∠BED 之间的等量关系吗？说说你的看法. 变式1 如图，AB∥CD ，探索∠B 、 ∠D 与∠DEB 之间的等量关系 变式2 如图所示，AB∥CD，则 若有 n 个拐点，你能找到规律吗？ 变式3 如图，若 AB∥CD， 则 若左边有 n 个角，右边有 m 个角，你能找到规律吗？ 二、课堂小结 当堂检测 1. 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截. (1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度吗？为什么？ (2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度吗？为什么？ (3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度吗？为什么？ 2. 如图，一条公路两次拐弯的前后两条路互相平行.若第一次拐弯时∠B 是 142°，则第二次拐弯时∠C是多少度？为什么？ 3. 如果有两条直线被第三条直线所截，那么（ ） A. 内错角相等 B. 同位角相等 C. 同旁内角互补 D. 以上都不对 4. (1) 如图1，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据. 解：因为 AB∥DE ( )， 所以∠A =_______ ( ). 因为 AC∥DF ( ) ， 所以∠D =______ ( ). 所以∠A =∠D ( ). (2) 如图 2，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据. 解：因为 AB∥DE ( )， 所以∠A = ______ ( ). 因为 AC∥DF ( ) ， 所以∠D + _______= 180° ( ). 所以∠A +∠D = 180° ( ). 参考答案 复习导入 问题1 相交，重合，平行三种. 问题2 在同一平面内，没有公共点的两条直线平行. 问题3 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 平行于同一条直线的两条直线平行. 探究点一：平行线的性质 活动1 测量角度略（学生自主测量即可） 猜想 相等 例1 解：因为 AB∥CD， 所以∠1＝∠2＝100° (两直线平行，同位角相等). 又因为∠2 +∠3＝180°，所以∠3＝180°－∠2＝180°－100°＝80°. 平行线的性质2 思考 解：∠2 =∠3. 理由如下：因为 a∥b(已知)，所以∠1 =∠2(两直线平行，同位角相等).又因为∠1 =∠3(对顶角相等)，所以∠2 =∠3(等量代换). 平行线的性质3 解：2 +4 = 180°. 理由如下： 因为 a∥b (已知)， 所以∠1 =∠ 2 (两直线平行，同位角相等). 因为∠1 + ∠4 = 180°(平角的定义)， 所以∠2 + ∠ 4 = 180°(等量代换). 例2 解：因为 AD∥BC，所以根据平行线的性质3 可得：∠A +∠B = 180°，∠D +∠C = 180°. 又因为∠B =∠D(已知)，所以∠A =∠C. 例3 言之有理即可（可以从同位角，内错角同旁内角等方面去思考） 例4 解：过点 E 向右作 EF∥AB．则∠B =∠BEF．因为 AB∥CD，所以 EF∥CD． 所以∠D =∠DEF．所以∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠BED，即∠B＋∠D＝∠BED． 变式1 解：过点 E 向左作 EF∥AB．则∠B＋∠BEF＝180°．因为 AB∥CD，所以 EF∥CD．所以∠D＋∠DEF＝180°． 所以∠B＋∠D＋∠DEB＝∠B＋∠D＋∠BEF＋∠DEF＝360°． 变式2 当有一个拐点时：∠A +∠E +∠C = 360° 当有两个拐点时：∠A +∠E1 +∠E2 +∠C = 540° 当有三个拐点时：∠A +∠E1 +∠E2 +∠E3 +∠C = 720° 当有 n 个拐点时：∠A + ∠ E1 + ∠ E2 +…+ ∠ En + ∠C = 180°(n + 1) 变式3 当左边两个角，右边一个角时：∠A +∠C =∠E 当左边两个角，右边两个角时：∠A +∠F =∠E +∠D 当左边三个角，右边两个角时：∠A +∠F1 +∠C =∠E1 +∠E2 当左边有n个角，右边有m个角时：∠A +∠F1 +∠F2 + … +∠Fn-1=∠E1 +∠E2 + … +∠Em-1 +∠D. 课堂练习 1.解：(1)∠2 = 110°.两直线平行，内错角相等. （2）∠3 = 110°. 两直线平行，同位角相等. （3）∠4 = 70°. 两直线平行，同旁内角互补. 2. 解：∠C = 142°.两直线平行，内错角相等. 3. D 4.（1） 已知 ∠CPE 两直线平行，同位角相等 已知 ∠CPE 两直线平行，同位角相等 等量代换 （2）已知 ∠CPD 两直线平行，同位角相等 已知 ∠CPD 两直线平行，同旁内角互补 等量代换 学科网（北京）股份有限公司 $$