第二章 一元二次方程 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

第二章 一元二次方程 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程本章全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·浙江·假期作业）下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为． 【详解】解：、，是一元二次方程，原选项符合题意； 、，没有说明，不能判定是否为一元二次方程，原选项不符合题意； 、，化简为是一元一次方程，原选项不符合题意； 、，未数的最高次数是3，不是一元二次方程，原选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·浙江·假期作业）如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，合理列出方程是解题的关键． 设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米的矩形， 根据题意知：． 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和方程的解，因为方程为一元二次方程，所以二次项系数，然后根据方程的一个根为0，将代入方程可求出a的值． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为0， ∴且， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程（），“一元二次方程二次项系数不为0”、“一元二次方程有实数根，则根的判别式”，据此求出的取值范围，选择符合的选项即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴选项中的值可以是B选项0， 故选：B． 5．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）若关于的一元二次方程有一个根为2020，则方程必有根为（   ） A．2020 B．2021 C．2019 D．2022 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，即可求出结论． 【详解】解：由得到， 设， 所以， 而关于x的一元二次方程有一根为， 所以有一个根为， 则， 解得， 所以一元二次方程有一根为． 故选：B． 6．（24-25九年级上·全国·期中）若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，设，把原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】设， 原方程变形为：， 或 解得或， ∵， ∴． 故选：D． 7．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）瑞安市举行中学生象棋比赛实行的是循环赛，因此每个选手都必须与其他选手赛一场，既若有人参加，共赛一局；若有人参加，共赛局；若有人参加，共赛局……并且规定：每局赢者得分，输者得0分，如果平局，两个选手各得分．经统计，全部选手总分为分，试问如果选手这次比赛共得分，有无可能成为冠军？（    ） A．无可能 B．有可能 C．不能确定 D．一定能 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用—比赛积分问题，先根据比赛规定，可知选手的总人数为人；则每位选手比赛的场次为场，而选手这次比赛共得分，即选手每场都获胜，即可得出结论．了解单循环赛的规则及积分规定，求出参加比赛选手的总人数是解题的关键． 【详解】解：∵全部选手总分为分， ∴比赛的场次为， 设选手人数为人， 依题意，得：， 解得：，（舍去）， ∴选手人数为人， ∵每局赢者得分，每位选手比赛的场次为场，每位选手最高可得（分），又∵选手这次比赛共得分， ∴选手一定能成为冠军． 故选：D． 8．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，分和两种情况分析，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：当时，实数，满足，， ∴可把，看成是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 当时， ∴， 综上可知：代数式的值为或， 故选：． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是（   ） A．1 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得到，根据得到，推出，根据推出，代入，推出的最大值是6． 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌两根之和与两根之积与系数的关系，解方程组，运用配方法求最值． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实根、， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值6． 故选：C． 10．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（    ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除． 【详解】解：①若，则是方程的解，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根， 故②错误； ③∵方程两根为，且满足， ∴， 令，， ∴方程有两个实数根，令两根分别为， ∴， ， ∴方程，必有实根，， 故③正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得：， ， ， 故④正确． 故正确的有①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 【答案】1 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．对一元二次方程移项得，再对方程两边同时加上1，利用完全平方公式配方得，从而得出a、b的值，代入数据即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 将转化为的形式， ，， ． 故答案为：1． 12．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题可以利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 或 解得：，， 故答案为：，． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 根据图1可以知道图形是一个正方形，边长为，图2是一个长方形，长宽分别为、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，而，代入即可得到关于的方程，解方程即可求出． 【详解】解：依题意得， 而， ， 解得：， 而不能为负， ． 故答案为：． 14．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）已知关于x的一元二次方程，若方程两实数根为，，且满足，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系和，可以求得的值，然后代入，即可求得的值． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为，， ， ， ， ， 解得， 将代入可得，， 解得， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴； 故原方程的解为． 以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方程的解为 ． 【答案】，，． 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是关键． 设，把方程转为，求出，再代入，求出的值． 【详解】解：， ， 设，原方程可化为：， 解得：，， 当时，， ，， 当时，， ， 原方程的解为：，，． 16．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ． 【答案】 6 / 【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可． 【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为：6． （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵有且只有一个的值， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， 或， 解得：，； （2）解：， 其中，，， ， ， ，． 18．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知方程， (1)求证：对任意实数m，方程总有两个实数根； (2)任给一个m值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根的判别式和解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． （1）先根据根的判别式求出，再由判别式证明即可； （2）把代入方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）已知方程， 其中， ， 对任意实数m，方程总有两个实数根． （2）当时， 原式变为， 整理得， 则或， 解得． 19．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； （3）解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 20．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）； ， ， 代数式的最小值为； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值； 【拓展提高】（2）求的最大值． 【答案】（1）3；（2）5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据二次项与一次项的特点凑成完全平方式，利用平方数的非负性是解题的关键； （1）根据，凑成完全平方式，得到，利用平方数的非负即可求得最小值； （2）根据，凑成完全平方式，得到，利用平方数的非负即可求得最大值． 【详解】解：（1） ； ∵， ∴， ∴的最小值为3； （2） ； ∵， ∴， ∴的最大值为5． 21．（24-25九年级上·浙江台州·期中）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某品牌奶茶店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶定价如下： 满杯杨梅（不含芝士） 19元/杯 芝士杨梅（含芝士） 21元/杯 素材2 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280杯，7月份的销售量为2000杯，而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定 8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知奶茶的成本为9元/杯，经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100杯． 问题解决 任务1 确定奶茶的销售量月平均增长率 该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 【答案】任务1：奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2：应该降价4元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1，设该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据题意列一元二次方程，据此求解即可； 任务2，设款奶茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：任务1，设奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是， 由题意得：， 解得：或（舍） 答：奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务2：设款奶茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价4元． 22．（24-25九年级上·江苏南京·期中）定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 【答案】(1)②③ (2) (3)（或） 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）根据根与系数的关系结合新定义建立方程，再解方程即可； （3）根据根与系数的关系结合新定义求解即可． 【详解】（1）解：①，则 ∴， ∴不满足，故不是“和谐方程”； ②， ∴ 满足，故是“和谐方程”； ③ 解得：， ∴， ∴满足，故是“和谐方程”； 故答案为：②③； （2）解：∵， ∴． ∵方程是“和谐方程”， ∴ ∴． 即． 解得：； （3）解：对于， 则 ∵方程为“和谐方程”， ∴， ∵， ∴，即（或）． 23．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是 (2)k的值为9 (3)或 【分析】本题考查了根与系数的关系，也考查了解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解方程得到，，然后根据“限根方程”的定义进行判断； （2）先利用根与系数的关系得，，再利用得到，则可求得，，然后分别利用因式分解法解方程，最后利用“限根方程”的定义确定的值； （3）利用因式分解法解方程得到或，再根据“限根方程”的定义得到时，当时，，然后解关于的不等式即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以，， ，， 所以一元二次方程为“限根方程”， 故答案为：是； （2）解：根据根与系数的关系得，， ， ，即， 解得，， 当时，方程化为， 解得，， ，， 方程是“限根方程”， 当时，方程化为， 解得，， ， 方程化不是“限根方程”， 综上所述，的值为9； （3）解：， ， 或， 解得或， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，的取值范围为或． 24．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，长方形中，，动点分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B移动，点Q以的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问： (1)当时，四边形的面积是多少？ (2)当t为何值时，点P和点Q的距离是？ (3)当__________s时，以点为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案） 【答案】(1)5cm² (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，梯形的面积公式，一元二次方程的解法的应用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键． (1)当时， 可以得出，就有，由梯形的面积就可以得出四边形的面积； (2)如图1， 作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2， 作于E，在中， 由勾股定理建立方程求出其解即可； (3)分情况讨论， 如图3， 当时， 如图4， 当时， 如图5， 当 时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论． 【详解】（1）解： ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴ ∴． 答：四边形面积是 5cm²； （2）解：如图1， 作于E， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理， 得 ， 解得：； 如图2，作于E，    ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∴ 在中，由勾股定理，得 ， 解得：． 综上所述： 或； （3）解：如图3， 当时， 作于E，    ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ ， 在中， 由勾股定理， 得 ， 解得：． 如图4， 当时， 作于E，    ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得：； 如图5， 当时，    ∵， ∴， ∵， 在中，由勾股定理，得 解得， (舍去)， 综上所述：或或或． 故答案为：或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次方程 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程本章全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·浙江·假期作业）下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江·假期作业）如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．2或 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）若关于的一元二次方程有一个根为2020，则方程必有根为（   ） A．2020 B．2021 C．2019 D．2022 6．（24-25九年级上·全国·期中）若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 7．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）瑞安市举行中学生象棋比赛实行的是循环赛，因此每个选手都必须与其他选手赛一场，既若有人参加，共赛一局；若有人参加，共赛局；若有人参加，共赛局……并且规定：每局赢者得分，输者得0分，如果平局，两个选手各得分．经统计，全部选手总分为分，试问如果选手这次比赛共得分，有无可能成为冠军？（    ） A．无可能 B．有可能 C．不能确定 D．一定能 8．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是（   ） A．1 B．4 C．6 D．8 10．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（    ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 12．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）一元二次方程的根是 ． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则 ． 14．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）已知关于x的一元二次方程，若方程两实数根为，，且满足，则实数m的值为 ． 15．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴； 故原方程的解为． 以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方程的解为 ． 16．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）解方程： (1)； (2) 18．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知方程， (1)求证：对任意实数m，方程总有两个实数根； (2)任给一个m值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根． 19．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 20．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）； ， ， 代数式的最小值为； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值； 【拓展提高】（2）求的最大值． 21．（24-25九年级上·浙江台州·期中）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某品牌奶茶店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶定价如下： 满杯杨梅（不含芝士） 19元/杯 芝士杨梅（含芝士） 21元/杯 素材2 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280杯，7月份的销售量为2000杯，而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定 8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知奶茶的成本为9元/杯，经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100杯． 问题解决 任务1 确定奶茶的销售量月平均增长率 该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 22．（24-25九年级上·江苏南京·期中）定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 23．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 24．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，长方形中，，动点分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B移动，点Q以的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问： (1)当时，四边形的面积是多少？ (2)当t为何值时，点P和点Q的距离是？ (3)当__________s时，以点为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 $$