专题07 一元二次方程易错必刷题型专训（63题21个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题07 一元二次方程易错必刷题型专训（63题21个考点） 【易错必刷一 一元二次方程的定义】 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故选：B． 2．（24-25九年级上·黑龙江鸡西·期末）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数且未知数最高次为2的整式方程，可直接选出答案． 【详解】A．该选项的方程不是整式方程，故本选项不符合题意； B．，是一元二次方程，故本选项符合题意； C．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．整理可得，不是一元二次方程，故本选项不合题意． 故选：B． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的二次项系数不为零，最高次项的次数为，求解即可． 【详解】解：的方程是一元二次方程， ，且， 解得：， 故选：C． 【易错必刷二 一元二次方程的一般形式】 4．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，，3 B．1，4， C．1，， D．1，2，3 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式及其相关定义，掌握一元二次方程的有关概念是解题的关键；先把原方程化为一般形式，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，4，， 故选：． 5．（24-25九年级上·河南商丘·期中）方程整理成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数与一次项系数的比值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴二次项系数为3，一次项系数为， 二次项系数与一次项系数的比值是． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数：2；一次项系数：；常数项：9． 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程，其中叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项解答即可． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 整理，得， 故方程的一般形式为：， ∴二次项系数：2；一次项系数：；常数项：9． 【易错必刷三 一元二次方程的解】 7．（2025·广东深圳·一模）若是一元二次方程的解，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可． 本题考查了一元二次方程的定义，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 解得， 故选：D． 8．（2024·四川广元·一模）已知关于的一元二次方程有一个根为， 则的值为（   ） A． B．5 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的定义是解题关键．将代入方程，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，关于的一元二次方程有一个根为， 将代入方程， 可得， 解得． 故选：A． 9．（24-25九年级下·北京·开学考试）已知为方程的根，那么的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先利用一元二次方程根的定义得到，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵m为方程的根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2024． 【易错必刷四 一元二次方程的解的估算】 10．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）小颖在学习“花边有多宽”时，对一元二次方程的根做了如下估计：由她所列表格的数据可知，此方程的一个根为（   ）． 0 1 2 3 40 18 4 4 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；因此此题可根据表格直接进行求解． 【详解】解：由表格可知：当时，则；所以一元二次方程的一个根为1； 故选B． 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值． x 1.63 1.64 1.65 1.66 … x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 … 根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是 （精确到0．01） 【答案】1.65 【分析】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解． 【详解】解：6-5.9696=0.0304， 6.0225-6=0.0225， ∵0.0304＞0.0225， ∴6.0225比5.9696更逼近6， ∴ 方程x2+2x=6的一个解大约是1.65， 故答案为：1.65． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是找出表中与6最接近的数，算出差额，再比较，相差越小的数越比较接近． 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）探索一元二次方程的近似解． （1） 0 0.5 1 1.5 2 所以 （2） 所以 通过以上探索，估计方程解的整数部分为_______，十分位为_______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】(1)将表中x的值代入x2+12x-15进行计算，即可补全表格；根据表格中的数据不难确定方程的解的整数部分； （2）与（1）同理可补全（2）中的表格，从而确定方程的解的小数部分的十分位，问题即可解答. 【详解】（1）将表中x=1, x=1.5,x=2的值代入x2+12x-15,分别进行计算，补全表格如下： x 0 0.5 1 1.5 2 x2+12x-15 －15 －8.75 －2 5.25 13 所以：； （2）将x=1.1， x=1.2，x=1.3，x=1.4代入x2+12x-15，分别进行计算，补全表格如下： x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x-15 －0.59 0.84 2.29 3.76 所以1.1＜x＜1.2. 通过以上探索，估计方程的近似解的整数部分为1，十分位为1. 【点睛】本题考查的是估算一元二次方程的近似解的知识，旨在考查学生的估算能力.通过解答本题复习巩固了求一元二次方程的近似解的步骤. 【易错必刷五 直接开平方法】 13．（24-25九年级上·陕西延安·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解知识点，解题的关键是利用直接开平方法将方程转化为两个一元一次方程． 先对原方程进行移项，得到完全平方式等于一个常数的形式，再利用直接开平方法求解． 【详解】解：， 移项，得， ， ，． 14．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，． 15．（24-25八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得：或. ∴或 解得：或. ∴.原方程的解是：， 【易错必刷六 配方法】 16．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）解方程： 【答案】，． 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程．方程两边同时加4，然后利用完全平方公式即可得出，然后开平方即可得出答案． 【详解】解：配方得，即， 开方得， 则，． 17．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选用恰当的方法求解是解题的关键；先去括号整理，再利用配方法即可求解． 【详解】解：， 去括号，得：， 整理后，得：， 配方，得：， 开方，得：， 解得：，． 18．（24-25九年级上·陕西西安·期末）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项将原方程变形为，再将等号左边写成完全平方式的形式，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴，． 【易错必刷七 配方法的应用】 19．（2024九年级上·全国·专题练习）求证：无论m为何值，关于x的方程是一元二次方程． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，配方法的应用，利用配方法证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴无论m为何值，方程是一元二次方程．． 20．（24-25九年级上·甘肃·期中）用配方法求证：代数式的值恒为正数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到，再根据偶次方的非负性得到，据此可证明结论． 【详解】证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 21．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）选取二次三项式中的两项，配成完全平方公式的过程叫配方．例如：． (1)对进行配方， ） ； (2)已知，求的值． 【答案】(1)4，5 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）利用配方法即可填空； （2）利用配方法把原式写成两个完全平方式的和的形式，再利用非负数的性质可求得的值，即可求出的值． 【详解】（1） ， 故答案为：，； （2）∵， ∴， 即， ∴，， ∴，， ∴． 【易错必刷八 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 22．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据方程的根的判别式，计算判断解答即可． 本题考查了根的判别式应用，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵的一元二次方程， 即， ∴， ∴， 故此方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 23．（24-25九年级上·吉林白山·期末）一元二次方程的跟的判别式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据判别式公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 24．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程，请你判断根的情况，并说明理由． 【答案】方程有两个不相等的实数根，见解析 【分析】根据方程的根的判别式，计算判断解答即可． 本题考查了根的判别式应用，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的一元二次方程， ∴， ∴， ， ， 故此方程有两个不相等的实数根． 【易错必刷九 根据一元二次方程根的情况求参数】 25．（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的一元二次方程无实数根，求整数的最大值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的根的判别式求出k的取值范围，由此即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， ∴整数的最大值为． 26．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值； (2)若方程有两个不相等实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的根，掌握根的判别式是解题的关键． （1）将代入方程求解即可； （2）根据根的判别式大于即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）解：时，原方程为：， ； （2）关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ， ． 27．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的一个根是，求方程的另一个根． 【答案】(1) (2)方程的另一个根是 【分析】题目主要考查一元二次方程根的判别式及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）先将方程的根代入确定，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即：， 整理得：， ∴； （2）∵方程有一个根是， 将代入方程得：， ∴， 则原方程为， 解得：，， ∴方程的另一个根是． 【易错必刷十 公式法】 28．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取解一元二次方程的方法是解题的关键；先把方程整理为一般形式：，利用公式法求解即可． 【详解】解：原方程整理为：， ∵， ∴， 即． 29．（24-25九年级上·陕西西安·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式． 对于一元二次方程，可以先计算判别式的值，再根据求根公式求出方程的解． 【详解】解：， ， ． ． 方程的解为． 30．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，运用公式法求解即可． 【详解】解：， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． 【易错必刷十一 因式分解法】 31．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先移项，然后提取公因式得到，则或，据此求解即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∴或 解得： 32．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用原式附加费解方程． 【详解】（1）解：， 或， （2）解：， 或， 33．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键．先移向，然后运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得， 【易错必刷十二 换元法】 34．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．利用整体思想设得到方程，再根据关于x的一元二次方程有一根为，即可得到t的值，从而可求解． 【详解】解：∵， ∴，即．　 设，则． ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴一元二次方程必有一根为2026． 故选C． 35．（2024·四川广元·一模）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则，再利用因式分解法解一元二次方程即可得解． 【详解】解：设，则， 整理可得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 36．（24-25九年级上·湖南永州·期末）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 【答案】(1)①，；②原方程有三个根：，， (2) 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程—配方法，换元法，因式分解法，解题的关键是学会模仿例题解决问题． （1）模仿例题解决问题即可； （2）求出的值，利用降次思想求解即可． 【详解】（1）解：①设，则原方程可变为，解得， 当时，即，∴无解（舍去） 当时，即，，． ②将其变形为： ， ， 或 原方程有三个根：，，． （2）， ，且 ， 原式． 【易错必刷十三 一元二次方程根与系数的关系】 37．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程有，两个实数根．若，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系，可得出，结合，即可求出的值，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有，两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为5． 38．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知：关于x的方程． (1)用含m的代数式表示两根和与两根积 (2)若，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键： （1）根据根与系数的关系，直接求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴， 解得：． 39．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）已知：关于的方程的两个实数根分别是和 (1)求的取值范围； (2)若，且为整数，求的值 【答案】(1) (2)或0 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握一元二次方程有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和无实数根是解题的关键． （1）由方程有两个实数根，则其判别式大于或等于0可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）利用根与系数的关系表示出题目中的条件，结合（1）可求得的取值范围，可求得的值． 【详解】（1）解：方程有两个实数根分别是和， ， 解得； （2）解：由根与系数的关系可知：，， ， ， ， 由（1）知， ， 是整数， 或0． 【易错必刷十四 构造一元二次方程解决问题】 40．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知，，，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，配方法的应用，利用根与系数的关系找出是解题的关键．由题意可知、关于的方程的两根，根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：由已知得：、是关于的方程的两根， 由韦达定理得：，， ， 又， 当时，取得最小值，最小值为：， 故选：A． 41．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，分和两种情况分析，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：当时，实数，满足，， ∴可把，看成是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 当时， ∴， 综上可知：代数式的值为或， 故选：． 42．（24-25九年级上·湖北随州·期末）已知，且，则的值为 ． 【答案】/1.5 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数以换元思想的应用，令，结合，则z是的根，那么，x和z为方程的两根，利用根与系数的关系即可求得． 【详解】解：令， ∵， ∴， 则， 那么，x和z为方程的两根， ∴， 则， 故答案为：． 【易错必刷十五 传播问题】 43．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）兔热病是一种传播速度很快的人兽共患传染病，又称土拉菌病或鹿蝇热，一轮传染时间为一天．某养兔场某天发现一例，两天后发现共有169只兔子患有这种病，若每例病兔子传染健康兔子的只数均为x，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系(经过两天感染患病的兔一定)列出方程求解．设每只病兔传染健康兔只，则第一天有只兔被传染，第二天有只兔被传染，所以经过两天的传染后感染患病的兔共有：只，根据经过两天的传染后使兔场感染患病的兔，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可． 【详解】解：设每只病兔传染健康兔只，则第一天有只兔被传染，第二天有只兔被传染， 根据题意：， 整理得：， 解得：（舍去）或， 故答案为：12． 44．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）年德尔塔（）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒，那每轮传染中平均一个人传染了 个人；如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 人感染德尔塔病毒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用传播问题． 设每轮传染中平均一个人可以传染个人，第一轮传染后共有个人被传染，则两轮传染后一共传染了人，根据两轮传染后共有人被传染，可列一元二次方程求解； 根据每轮传染中平均一个人传染了个人，则三轮传染后共有人被传染． 【详解】设每轮传染中平均一个人可以传染个人，第一轮传染后共有个人被传染， 则两轮传染后一共传染了人， 根据题意可得：， 解得：，(舍去)， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人； 经过三轮传染后，一共可以传染的人数为(人)， 答：经过三轮传染后，一共可以传染的人数为人． 故答案为： ；． 45．（2025八年级下·全国·专题练习）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有人会患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得： ， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 【易错必刷十六 增长率问题】 46．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）“绿动电力，与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2023年新能源汽车销售量为900万辆，预计2025年新能源汽车销售量将达到1521万辆．设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据2023年及2025年新能源汽车年销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得． 故答案为：． 47．（24-25九年级上·辽宁·期末）互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递网点，今年八月份完成快递的件数为件，十月份完成快递的件数为件． (1)求该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率； (2)由于十一月份有“双十一”活动，十一月份该网点完成的快递件数比十月份增长了，该网点共有名快递员，求该网点十一月份平均每位快递员投放多少件快递． 【答案】(1)该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为 (2)该网点十一月份平均每位快递员投放件快递 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为，利用十月份完成快递的件数八月份完成快递的件数，可列出关于的一元二次方程，求符合实际的解即可； （2）利用该网点十一月份平均每位快递员投放快递的件数该快递网点十月份完成快递的件数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）， 答：该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为； （2）解：（件）， 答：该网点十一月份平均每位快递员投放件快递． 48．（2024九年级上·吉林长春·竞赛）某超市今年“十一黄金周”期间开展促销活动，前六天的总营业额为200万元，第七天的营业额是前六天总营业额的． (1)求该超市今年“十一黄金周”七天的总营业额． (2)该超市今年7月份的营业额为150万元，8、9月份营业额的月增长率相同，9月份的营业额等于“十一黄金周”七天的总营业额．求该超市今年8、9月份营业额的月增长率． 【答案】(1)216万元 (2)20% 【分析】本题主要考查一元二次方程与增长率的计算，理解数量关系，掌握一元二次方程与实际问题的运用方法是解题的关键． （1）根据题意的计算得到第七天营业额，由此得到七天的总营业额； （2）设该超市今年8、9月份营业额的月增长率为，由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：前六天的总营业额为200万元，第七天的营业额是前六天总营业额的， ∴七天的总营业额为：（万元）． （2）解：设该超市今年8、9月份营业额的月增长率为， 根据题意，得， 整理得，． 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该超市今年8、9月份营业额的月增长率为． 【易错必刷十七 营销问题】 49．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）某服装店销售一款大衣，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，该服装店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件大衣． (1)若降价7元，则平均每天销售大衣的数量为________件； (2)为尽快减少库存，要使该服装店每天销售这款大衣的利润为1200元，每件大衣应降价多少元？ 【答案】(1)34 (2)每件大衣应降价20元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据在每天销售20件的基础上销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件进行求解即可； （2）设每件商品应降价元，则每天的销售量为件，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，若降价7元，则平均每天销售数量为（件）， 故答案为：34； （2）解：设每件大衣应降价元， 由题意得，， 整理，得， 解得，， 要尽快减少库存， ， 答：每件大衣应降价20元． 50．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出4件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： (1)降价后商场日销售量是______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）； (2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 【答案】(1)； (2)每件商品降价元时，商场日盈利可达到元 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．熟练掌握列代数式，一元二次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，每件商品降价x元，商场日销售量增加件，每件商品盈利元； （2）依题意得，，整理得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，每件商品降价x元，商场日销售量增加件，每件商品盈利元， 故答案为：，； （2）解：依题意得，， 整理得，， ， 解得，， ∴每件商品降价元时，商场日盈利可达到元． 51．（24-25九年级上·新疆喀什·期末）九年级二班的一个综合实践活动小组去多个超市调查某种商品“五一节”期间的销售情况，下面是调查后小敏与其他两位同学交流的情况． 小敏：“该商品的进价为12元/件．” 同学甲：“定价为20元/件时，每天可售出240件．” 同学乙：“单价每降1元，则每天多售出40件．” 根据他们的对话，请你求出要使商品每天获利1920元，且又能让利给消费者，应怎样合理定价？ 【答案】定价为18元既能获得1920元的利润，且又能让利给消费者 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．根据“每件商品的利润销售量”设未知数列出方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为元，根据题意，得： ， 整理，得， 解得，（舍去），， 答：定价为18元既能获得1920元的利润，且又能让利给消费者． 【易错必刷十八 与图形有关的问题】 52．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）农厂要建一个如图所示的矩形围栏，围栏的一面靠墙（墙足够长），另外三墙面用32米长的篱笆围起来．设围栏的边长为x米． (1)围栏的宽为______米；（用含x的代数式表示） (2)若该围栏围成矩形的面积为，求x的值； 【答案】(1) (2)12或4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式． （1）利用的长篱笆的总长的长的长，即可用含x的代数式表示出的长； （2）根据该围栏围成矩形的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值． 【详解】（1）解：由题意得，篱笆的总长为32米，米， ∵为矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：， 答：x的值为12或4． 53．（24-25九年级上·北京海淀·期中）2024年2月3日，中央一号文件《中共中央国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》正式发布，提出推进乡村全面振兴“路线图”．文件指出，推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某扶贫单位为了提高某乡村贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示），设． (1)用含x的代数式表示边的长； (2)若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，设，则，即可作答． （2）根据矩形养鸡场，代入数值，进行求解即可. 此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，设，且的铁栅栏， ∴长为， 即 （2）解：由题意可知： 解得：， ∵当时，，，不合题意，舍去． 当时，，符合题意， 答：鸡场的长为． 54．（24-25九年级上·广东茂名·期中）项目式学习． 项目主题：“十五运会”主题草坪设计． 项目情境：为迎接十五运会的到来，同学们积极参与该主题草坪设计的项目活动，以下是某小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一：（1）需要设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪的两组对边，小组内同学们设计的方案主要有以下三种．直接写出三种方案中，小路面积，，的大小关系； 活动任务二：（2）已知矩形草坪长40米，宽30米，为施工方便，学校选择甲设计方案，并要求除去小路后的面积为1064平方米，请计算小路的宽度． 【答案】（1）；（2）小路的宽为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出图形面积的表示方法是解题的关键． （1）通过计算面积比较求解； （2）根据草坪的面积列方程求解； 【详解】解：（1）设小路的宽度为a米， ， ， ， ∴； （2）设小路的宽为，则， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：小路的宽为； 【易错必刷十九 动态几何问题】 55．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着边匀速移动，当运动时间为多少时，的面积等于？ 【答案】当5秒时，的面积 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积．设运动时间为，可得，，，再利用三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意可得：，， ∵，，， ∴， ∴， 解得：或． 当时，， ∴应舍去，所以． ∴当5秒时，的面积． 56．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的面积S与运动时间t的函数关系式，并确定t的取值范围； (2)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，使得的面积为． 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键． （1）根据路程速度时间表示出、，再由和三角形面积公式即可得到答案； （2）利用三角形的面积公式得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ∵， ∴； （2）解：由题意得，， 解得或（舍去）， ∴当时，使得的面积为． 57．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，，点在上从运动到（不包括），速度为；点在上从运动到（不包括），速度为．若点，分别从，同时出发，当，两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题，并写出探索的主要过程． (1)当为何值时，，两点的距离为？ (2)当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)经过1秒，P，Q两点的距离为 (2)经过秒或秒，的面积为 【分析】本题考查一元二次方程的应用，勾股定理．熟练掌握勾股定理，列出一元二次方程，是解题的关键． （1）设经过秒，P，Q两点的距离为，勾股定理列式求解即可； （2）利用，列式计算即可． 【详解】（1）解：设经过秒，P，Q两点的距离为， 由题意，得：， ∵在中，，， ∴， 由勾股定理，得：，即：， 解得：，（舍去）； ∴经过1秒，P，Q两点的距离为； （2）解：设经过秒，的面积为， 此时：，则：， ∴， 解得：， ∴经过秒或秒，的面积为． 【易错必刷二十 一元二次方程多结论问题】 58．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）对于一元二次方程（），下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的是（   ） A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．①根据，可用，表示，进而得出的正负，②利用根的判别式即可解决问题，③将代入讨论即可． 【详解】解：， ， ， ， ，故①正确． 方程有两个不相等的实根， ， 即． 又，且， ， 则方程有两个不相等的实根，故②正确． 是方程的一个根， ， 即， 或，故③错误． 综上分析可知：正确的只有①②． 故选：B． 59．（23-24八年级下·安徽池州·期末）对于代数式（为常数），下列说法正确的有（    ） ①若且，则有两个相等的实数根； ②存在三个实数，使得； ③若与方程的解相同，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程，根据根的判别式判断①；根据一元二次方程(为常数)最多有两个解判断②；将方程的解代入即可判断③． 【详解】解：①∵且， ∴， ∴， 方程有两个不相等的实数根，故①错误； ②一元二次方程（为常数）最多有两个不相等实数解，故②错误； ③方程的解为， 将代入得，即：， 将代入得，即：， ∴，则， 即：，故③正确． 故选：B． 60．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若是方程的根，则； ②若，则； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①把代入方程中判断即可．②利用判别式判断即可．③时，结论不成立；④利用求根公式，判断即可． 本题考查命题与定理，一元二次方程解，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 【详解】解：①把代入，得：，正确； ②若， ， ∴方程为：， ∴，正确； ③把c代入，得：； 当时，不一定成立，错误； ④∵是一元二次方程的根， ∴ ，正确； ∴正确的个数有3个， 故选：C． 【易错必刷二十一 一元二次方程新定义问题】 61．（24-25九年级上·河北保定·期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式∶一元二次方程的根与有如下关系∶当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先利用新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解不等式即可． 【详解】解：， ， 方程化为一般式为， 方程有两个实数根， ， 解得． 故选：C． 62．（24-25九年级上·山东青岛·期末）对于实数a，b定义一种新运算“”如下：，例如，则关于x的方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义，根据运算“”的定义将方程转化为一般式，然后根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故答案为：，． 63．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； (2)若是倍根方程，则______． 【答案】(1)方程是倍根方程，理由见解析 (2)1或4 【分析】（1）求解方程，根据定义验证； （2）求解方程，根据定义得关于参数的等式，求解． 【详解】（1）解：方程是倍根方程， 理由如下：由方程，解得，， ∴， ∴方程是倍根方程． （2）解： 解得 ∵是倍根方程， ∴ ∴或4． 【点睛】本题考查一元二次方程求解，新定义的理解；由新定义得到关于参数的等式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元二次方程易错必刷题型专训（63题21个考点） 【易错必刷一 一元二次方程的定义】 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 2．（24-25九年级上·黑龙江鸡西·期末）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D．或 【易错必刷二 一元二次方程的一般形式】 4．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，，3 B．1，4， C．1，， D．1，2，3 5．（24-25九年级上·河南商丘·期中）方程整理成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数与一次项系数的比值是 ． 6．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【易错必刷三 一元二次方程的解】 7．（2025·广东深圳·一模）若是一元二次方程的解，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 8．（2024·四川广元·一模）已知关于的一元二次方程有一个根为， 则的值为（   ） A． B．5 C． D．4 9．（24-25九年级下·北京·开学考试）已知为方程的根，那么的值为 ． 【易错必刷四 一元二次方程的解的估算】 10．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）小颖在学习“花边有多宽”时，对一元二次方程的根做了如下估计：由她所列表格的数据可知，此方程的一个根为（   ）． 0 1 2 3 40 18 4 4 A．0 B．1 C．2 D．3 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值． x 1.63 1.64 1.65 1.66 … x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 … 根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是 （精确到0．01） 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）探索一元二次方程的近似解． （1） 0 0.5 1 1.5 2 所以 （2） 所以 通过以上探索，估计方程解的整数部分为_______，十分位为_______． 【易错必刷五 直接开平方法】 13．（24-25九年级上·陕西延安·期末）解方程：． 14．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）解一元二次方程：． 15．（24-25八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 【易错必刷六 配方法】 16．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）解方程： 17．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）解方程：． 18．（24-25九年级上·陕西西安·期末）用配方法解方程：． 【易错必刷七 配方法的应用】 19．（2024九年级上·全国·专题练习）求证：无论m为何值，关于x的方程是一元二次方程． 20．（24-25九年级上·甘肃·期中）用配方法求证：代数式的值恒为正数． 21．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）选取二次三项式中的两项，配成完全平方公式的过程叫配方．例如：． (1)对进行配方， ） ； (2)已知，求的值． 【易错必刷八 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 22．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 23．（24-25九年级上·吉林白山·期末）一元二次方程的跟的判别式的值为 ． 24．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程，请你判断根的情况，并说明理由． 【易错必刷九 根据一元二次方程根的情况求参数】 25．（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的一元二次方程无实数根，求整数的最大值． 26．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值； (2)若方程有两个不相等实数根，求实数的取值范围． 27．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的一个根是，求方程的另一个根． 【易错必刷十 公式法】 28．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）解方程：． 29．（24-25九年级上·陕西西安·期末）解方程：． 30．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）解方程： 【易错必刷十一 因式分解法】 31．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）解方程：． 32．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）解方程： (1)； (2)． 33．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）解方程：． 【易错必刷十二 换元法】 34．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 35．（2024·四川广元·一模）若，则的值为 ． 36．（24-25九年级上·湖南永州·期末）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 【易错必刷十三 一元二次方程根与系数的关系】 37．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程有，两个实数根．若，求的值． 38．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知：关于x的方程． (1)用含m的代数式表示两根和与两根积 (2)若，求m的值． 39．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）已知：关于的方程的两个实数根分别是和 (1)求的取值范围； (2)若，且为整数，求的值 【易错必刷十四 构造一元二次方程解决问题】 40．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知，，，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 42．（24-25九年级上·湖北随州·期末）已知，且，则的值为 ． 【易错必刷十五 传播问题】 43．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）兔热病是一种传播速度很快的人兽共患传染病，又称土拉菌病或鹿蝇热，一轮传染时间为一天．某养兔场某天发现一例，两天后发现共有169只兔子患有这种病，若每例病兔子传染健康兔子的只数均为x，则 ． 44．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）年德尔塔（）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒，那每轮传染中平均一个人传染了 个人；如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 人感染德尔塔病毒． 45．（2025八年级下·全国·专题练习）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【易错必刷十六 增长率问题】 46．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）“绿动电力，与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2023年新能源汽车销售量为900万辆，预计2025年新能源汽车销售量将达到1521万辆．设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则可列方程为 ． 47．（24-25九年级上·辽宁·期末）互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递网点，今年八月份完成快递的件数为件，十月份完成快递的件数为件． (1)求该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率； (2)由于十一月份有“双十一”活动，十一月份该网点完成的快递件数比十月份增长了，该网点共有名快递员，求该网点十一月份平均每位快递员投放多少件快递． 48．（2024九年级上·吉林长春·竞赛）某超市今年“十一黄金周”期间开展促销活动，前六天的总营业额为200万元，第七天的营业额是前六天总营业额的． (1)求该超市今年“十一黄金周”七天的总营业额． (2)该超市今年7月份的营业额为150万元，8、9月份营业额的月增长率相同，9月份的营业额等于“十一黄金周”七天的总营业额．求该超市今年8、9月份营业额的月增长率． 【易错必刷十七 营销问题】 49．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）某服装店销售一款大衣，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，该服装店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件大衣． (1)若降价7元，则平均每天销售大衣的数量为________件； (2)为尽快减少库存，要使该服装店每天销售这款大衣的利润为1200元，每件大衣应降价多少元？ 50．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出4件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： (1)降价后商场日销售量是______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）； (2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 51．（24-25九年级上·新疆喀什·期末）九年级二班的一个综合实践活动小组去多个超市调查某种商品“五一节”期间的销售情况，下面是调查后小敏与其他两位同学交流的情况． 小敏：“该商品的进价为12元/件．” 同学甲：“定价为20元/件时，每天可售出240件．” 同学乙：“单价每降1元，则每天多售出40件．” 根据他们的对话，请你求出要使商品每天获利1920元，且又能让利给消费者，应怎样合理定价？ 【易错必刷十八 与图形有关的问题】 52．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）农厂要建一个如图所示的矩形围栏，围栏的一面靠墙（墙足够长），另外三墙面用32米长的篱笆围起来．设围栏的边长为x米． (1)围栏的宽为______米；（用含x的代数式表示） (2)若该围栏围成矩形的面积为，求x的值； 53．（24-25九年级上·北京海淀·期中）2024年2月3日，中央一号文件《中共中央国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》正式发布，提出推进乡村全面振兴“路线图”．文件指出，推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某扶贫单位为了提高某乡村贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示），设． (1)用含x的代数式表示边的长； (2)若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长． 54．（24-25九年级上·广东茂名·期中）项目式学习． 项目主题：“十五运会”主题草坪设计． 项目情境：为迎接十五运会的到来，同学们积极参与该主题草坪设计的项目活动，以下是某小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一：（1）需要设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪的两组对边，小组内同学们设计的方案主要有以下三种．直接写出三种方案中，小路面积，，的大小关系； 活动任务二：（2）已知矩形草坪长40米，宽30米，为施工方便，学校选择甲设计方案，并要求除去小路后的面积为1064平方米，请计算小路的宽度． 【易错必刷十九 动态几何问题】 55．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着边匀速移动，当运动时间为多少时，的面积等于？ 56．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的面积S与运动时间t的函数关系式，并确定t的取值范围； (2)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 57．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，，点在上从运动到（不包括），速度为；点在上从运动到（不包括），速度为．若点，分别从，同时出发，当，两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题，并写出探索的主要过程． (1)当为何值时，，两点的距离为？ (2)当为何值时，的面积为？ 【易错必刷二十 一元二次方程多结论问题】 58．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）对于一元二次方程（），下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的是（   ） A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③ 59．（23-24八年级下·安徽池州·期末）对于代数式（为常数），下列说法正确的有（    ） ①若且，则有两个相等的实数根； ②存在三个实数，使得； ③若与方程的解相同，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 60．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若是方程的根，则； ②若，则； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【易错必刷二十一 一元二次方程新定义问题】 61．（24-25九年级上·河北保定·期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 62．（24-25九年级上·山东青岛·期末）对于实数a，b定义一种新运算“”如下：，例如，则关于x的方程的根为 ． 63．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； (2)若是倍根方程，则______． 学科网（北京）股份有限公司 $$