专题05 一元二次方程100道计算题专项训练（10大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

第05讲 一元二次方程100道计算题专项训练（10大题型） 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）解下列方程：（直接开方法） 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）用直接开方法解方程： 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 4．（23-24九年级上·天津河西·期末）运用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 7．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 8．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 10．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 11．（24-25八年级上·上海长宁·期末）用配方法解方程：． 12．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）用配方法解方程：． 13．（24-25八年级上·上海·期末）用配方法解方程：． 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）用配方法解方程：． 15．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）用配方法解关于的方程：（）． 16．（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程； 17．（24-25九年级上·河南南阳·期中）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)“第二步”变形的数学依据是_____； (3)小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． (4)用配方法完整解方程 18．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次系数化为1，得．…………………………第一步 移项，得．…………………………………………第二步 配方，得，即．……………第三步 由此，可得．……………………………………第四步 所以．……………………………第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______； ②“第二步”变形的数学依据是______； ③小明同学解题的过程中，从第______步开始出现错误，请直接写出正确的结果：______． 任务二：请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条建议． 19．（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：移项，得，……第一步 二次项系数化为1，得，……第二步 配方，得，……第三步 由此可得，……第四步 所以，，．……第五步 (1)小明同学的解答过程，从第________步开始出现错误； (2)请你写出正确的解答过程． 20．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考 配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值． 我们使用的方法如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料方法，解答下列问题． (1)的最大值为______； (2)求的最小值． 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】21．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）用公式法解一元二次方程： 22．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）（公式法） 23．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 24．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）用公式法解方程：． 25．（24-25九年级上·陕西西安·期中）用公式法解方程：． 26．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）解方程：（用公式法） 27．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）用公式法解方程：． 28．（23-24九年级上·吉林四平·阶段练习）用公式法解方程：． 29．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解方程： (1)； (2)． 30．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 31．（23-24九年级上·四川内江·期中）用指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（因式分解） 32．（23-24九年级上·河南新乡·期中）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即“降次”．根据一元二次方程的特点，可以利用配方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程，请你利用两种不同的方法解下列一元二次方程： 33．（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 34．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 35．（24-25九年级上·山东济宁·期末）解方程： (1)； (2) 36．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）解方程： (1)； (2) 37．（24-25九年级上·陕西西安·期末）解方程：． 38．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）解方程：． 39．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 40．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法） (2)．（配方法） (3)（用公式法） (4)（用因式分解法） 【经典计算题五 选择合适的方法解一元二次方程】 41．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 42．（24-25九年级上·全国·单元测试）用指定方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法）； (3)（公式法）． 43．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）用指定方法解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 44．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）用指定方法解方程： (1)；（配方法） (2)．（公式法） 45．（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（十字相乘法） 46．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）用指定方法解方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 47．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)配方法 (2)公式法 48．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 49．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 50．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知． (1)若，请求出x的值； (2)请比较A与B的大小，并说明理由． 【经典计算题六 配方法的应用】 51．（24-25九年级上·新疆喀什·期末）阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 52．（2024九年级上·全国·专题练习）我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 53．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数． 54．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：， ∵ ． 则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小或最大值． 【拓展提高】 （3）已知a、b、c是的三边长，满足，求c的取值范围． 55．（24-25九年级上·广西河池·期中）阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 56．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）阅读理解：求代数式的最小值． 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是1． 仿照应用求值： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值． 57．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ．因此．代数式有最小值； ②． ． 因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为____________；代数式的最大值为____________． (2)求代数式的最小值． 58．（2024九年级上·全国·专题练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ，， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求的最大（或最小）值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 59．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 60．（24-25九年级上·河南商丘·期中）阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 【经典计算题七 换元法解一元二次方程】 61．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 62．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如果让你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程，我们应该如何去解呢？我们不防将看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解得． 当y=1时，，，．                     当y=4时，，，． 即该方程的根为． 问题： (1)在由原方程得到①的过程中，利用 达到降次的目的，表现了 的数学思想； (2)解方程． 63．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）解方程： (1) (2) 64．（24-25九年级上·四川乐山·期中）材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 65．（24-25九年级上·广西桂林·期中）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 66．（24-25九年级上·广西南宁·期中）阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 67．（24-25九年级上·河南南阳·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，① 解得：． 当时，，∴，∴， 当时，，∴，∴， ∴原方程的解为 解答问题： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了的目的，体现了的数学思想； (2)利用上述材料中的方法解方程：． 68．（24-25九年级上·山西太原·期中）阅读与思考：下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程．都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时．两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】以一元二次方程为例， 设（为常数）， 则原方程化为，① 整理，得，② 即，③ 为使方程③不含的一次项，令， 此时，则， 所以，方程③化为， 解，得，， 所以，________，________． 【类比推广】按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． …… 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解________，________； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 69．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）关于的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)求的值； (2)求出方程的根． 70．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知关于的方程有两个实数根，求实数的取值范围． 【经典计算题八 根据一元二次方程的解求参数】 71．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若和原方程的两个实数根都是整数，且，求的值． 72．（24-25九年级上·河南周口·期末）关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，且，求满足条件的n的范围； (2)若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n． 73．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知：关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根． 74．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若为最小正整数，求此时方程的根． 75．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)给一个合适的整数值，并求出此时方程的根． 76．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 (1)当a为何值时，方程有两个相等的实数根． (2)在（1）的条件下，求方程的两个相等的实数根． 77．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)当方程无实数根时，求的取值范围． 78．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）当m取什么值时，关于x的方程 (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 79．（24-25九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知关于的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和的值． 80．（2024·江西九江·一模）已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 【经典计算题九 一元二次方程根与系数的关系计算】 81．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 82．（2022·北京大兴·一模）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 83．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．若，求及m的值． 84．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 85．（24-25九年级上·湖北随州·期末）若关于的一元二次方程有一根为1． (1)求的值； (2)求上述一元二次方程的另一个根． 86．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）设，是一元二次方程的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值： (1) (2) 87．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，是这个方程的两个根，且，求的值． 88．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 89．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）对于任意实数，，定义，已知，求实数的值． 90．（24-25九年级上·海南海口·阶段练习）定义一种新的运算法则：，如 (1)根据这个运算规则，计算的值． (2)求关于x的方程的解． 【经典计算题十 一元二次方程新定义计算】 91．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 92．（24-25九年级·湖南株洲·阶段练习）定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： (1)写出方程的“对称方程”：____________________． (2)若关于的方程与互为“对称方程”， ①__________、__________． ②求方程的解． 93．（24-25九年级上·江苏南京·期中）定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 94．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 95．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的10倍，那么我们把这样的方程定义为“十美方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“十美方程”．根据上述定义，请判断一元二次方程是否为“十美方程”，并说明理由． 96．（23-24八年级下·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 97．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 98．（23-24九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元二次方程100道计算题专项训练（10大题型） 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）解下列方程：（直接开方法） 【答案】 【分析】直接利用开方法进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）用直接开方法解方程： 【答案】， 【分析】两边直接开平方即可． 【详解】两边直接开平方得：或 解得：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），. 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的步骤求解即可. 【详解】解：（1）， ， ， ， ，； （2）， ， ， ，； （3）， ， ， ，； （4）， ， ，. 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 4．（23-24九年级上·天津河西·期末）运用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）运用直接开平方法解方程即可； （）运用直接开平方法解方程即可； 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤及方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， ∴或， ∴，． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 7．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 8．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】解：（1）两边同除以9，得． 直接开平方，得，即，． （2）原方程可化为， 直接开平方，得，解得． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】根据题意，将方程化为，再根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 10．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】将方程的两边同时开方即可求解． 【详解】解：两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 11．（24-25八年级上·上海长宁·期末）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了运用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化1，得，再把常数项移到等号的右边，即，再配方，最后开方，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴ ∴． 12．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行配方，求解即可． 【详解】解： ， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·上海·期末）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查配方法求解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元一次方程是解题的关键； 根据配方法解一元一次方程的方法即可求解； 【详解】解：两边都除以，得 配方，得 ∴， 15．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）用配方法解关于的方程：（）． 【答案】当时，该方程无解；当时，；当时，． 【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．利用配方法得到，再对的取值分情况讨论求解，即可解题． 【详解】解： 当时，该方程无解； 当时， 有， 整理得， 解得； 当时， 有， ． 16．（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程； 【答案】， 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤先把二次项系数化为1，再在等式左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后开方即可． 【详解】解：， ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 17．（24-25九年级上·河南南阳·期中）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)“第二步”变形的数学依据是_____； (3)小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． (4)用配方法完整解方程 【答案】(1)降次；完全平方公式 (2)等式的基本性质 (3)三 (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． （1）根据降次思想，完全平方公式解答； （2）根据移项的依据是等式的性质解答； （3）由完全平方公式判断即可解答； （4）用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是降次， 其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：降次，完全平方公式； （2）解：“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案为：等式的基本性质； （3）解：小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误， 故答案为：三； （4）解：二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得，即． 由此，可得． 所以，． 18．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次系数化为1，得．…………………………第一步 移项，得．…………………………………………第二步 配方，得，即．……………第三步 由此，可得．……………………………………第四步 所以．……………………………第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______； ②“第二步”变形的数学依据是______； ③小明同学解题的过程中，从第______步开始出现错误，请直接写出正确的结果：______． 任务二：请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条建议． 【答案】任务一：①转化，完全平方公式；②等式的基本性质1；③三，，；任务二：移项要变号；最后结果要化成最简．（答案不唯一，正确即可） 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握提公因式法、配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 任务一：①根据方程解答过程回答即可； ②第二步移项的依据是等式的基本性质，据此回答即可； ③根据方程解答过程回答即可； 任务二：根据解一元二次方程时，学生的常见错误给出意见． 【详解】解：任务一：①小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”所依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：转化；完全平方公式； ②“第二步”变形的依据是等式的性质1； 故答案为：等式的性质1； ③上面小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误； 正确的解是： 配方，得， 即， ∴，， 故答案为：三；，； 任务二：解一元二次方程时需要注意的事项：先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简（答案不唯一）， 19．（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：移项，得，……第一步 二次项系数化为1，得，……第二步 配方，得，……第三步 由此可得，……第四步 所以，，．……第五步 (1)小明同学的解答过程，从第________步开始出现错误； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)三 (2)，．过程见解析 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程． （1）按照配方法解一元二次方程的步骤进行判断即可； （2）按照配方法解一元二次方程的正确步骤进行解答即可． 【详解】（1）小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误，配方结果不正确； 故答案为：三 （2）解： 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 由此可得， 所以，，． 20．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考 配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值． 我们使用的方法如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料方法，解答下列问题． (1)的最大值为______； (2)求的最小值． 【答案】(1)3 (2)的最小值为2 【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则． 【详解】（1） ∵ ∴ ∴的最大值为3 ∴的最大值为3； （2） ∵， ∴ ∴的最小值为2 ∴的最小值为2． 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】 21．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）用公式法解一元二次方程： 【答案】 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，先求出，再利用求根公式直接求解即可． 【详解】解： 22．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）（公式法） 【答案】， 【分析】本题考查求根公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握．先定系数，再判断判别式，最后代入求根公式即可得到答案． 【详解】解：， ， ，，， ∴， ∴， ∴，． 23．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)原方程没有实数根 (3)， 【分析】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握，． （1）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （2）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （3）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∴原方程没有实数根； （3）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴． ∴， ∴， ． 24．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，先求出，再由求根公式，即可求解；掌握求根公式“”是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ，． 25．（24-25九年级上·陕西西安·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了运用公式法解一元二次方程，先求出，再代入公式进行化简，即可作答． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 26．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）解方程：（用公式法） 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握求根公式是关键，根据一元二次方程的求根公式求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴． 27．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程． 【详解】解：， ， ， ， ． 28．（23-24九年级上·吉林四平·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ∴ 解得：． 29．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出，再代入公式进行计算，即可得到答案； （2）先算出，再代入公式进行计算，即可得到答案； 本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∴， ∴； 30．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用公式法求解一元二次方程即可； （2）利用公式法求解一元二次方程即可； （3）利用公式法求解一元二次方程即可； （4）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）， 原方程整理，得， ， ， ， ，； （3）， ， ， ， ，； （4）， 原方程整理，得． ， ， ， ，． 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 31．（23-24九年级上·四川内江·期中）用指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（因式分解） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练进行配方和因式分解，是解题的关键． （1）先移项，然后配方，再开平方，求出方程的解即可； （2）先移项，然后分解因式，最后求出方程的解即可． 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： 或 ∴． 32．（23-24九年级上·河南新乡·期中）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即“降次”．根据一元二次方程的特点，可以利用配方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程，请你利用两种不同的方法解下列一元二次方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法解一元二次方程、平方差公式因式分解法解一元二次方程等，熟记一元二次方程的解法，根据方程的结构特征选择恰当的解法是解决问题的关键． 【详解】解：方法一：， ， ， ，即， 或，解得； 方法二：， ，即， ，直接开平方得或，解得． 33．（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 【答案】， 【分析】采用因式分解法即可求解． 【详解】 移项得，， 提取公因式得，． 故或， 解得，． 【点睛】本题重点是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解求解的方法是解题的关键． 34．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)过程见解析 【分析】（1）根据等式的性质作答即可； （2）先移项，然后用因式分解法求解． 【详解】（1）解：∵可能为0， ∴不能除以， ∴第②步出现了错误 故答案为②． （2）解：方程两边因式分解，得， 移项，得， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 35．（24-25九年级上·山东济宁·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用因式分解法解方程即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解方程即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：（）∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， 即 ∴或， ∴，． 36．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程因式分解的方法解一元二次方程，解决此题的关键是熟练掌握各种一元二次方程的解法，选择最优． （1）根据十字相乘因式分解的方法解一元二次方程即可； （2）根据提公因式分解的方式解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ‘’ 或， ∴； （2）解： ， ， ∴或， ∴ 37．（24-25九年级上·陕西西安·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 移项后用因式分解法求解即可． 【详解】解：原方程可变形为， ， ∴或， ． 38．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握解法的实质是解题的关键． 利用因式分解法法求解即可． 【详解】解： 或 解得：． 39．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）先移项，再直接开方即可求解； （2）等式两边同时乘以2，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开方即可求解； （3）移项，提取公因式即可求解； （4）确定的值，再运用判定根的情况，若，则，否则无解，由此即可求解． 【详解】（1）解：（直接开平方法） 移项得，， 直接开方得，， ∴， ∴； （2）解：（配方法） 等式两边同时乘以2得，， 等式两边同时加4得，， ∴， 直接开方得，， ∴， ∴； （3）解：（因式分解法） 等式右边提取公因式2得，， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； （4）解：（公式法） ，， ∴， ∴． 40．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法） (2)．（配方法） (3)（用公式法） (4)（用因式分解法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． 【详解】（1）解：， 开平方得，， ∴或， 解得，； （2）解：， 原方程整理得． 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴，； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 【经典计算题五 选择合适的方法解一元二次方程】 41．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可； （2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得； （3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可； （4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得． 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ，，， ， ∴， 即； （4）， ， ， ∴． 42．（24-25九年级上·全国·单元测试）用指定方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法）； (3)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解得，； （2） ∴ 解得，； （3） ，， ∴ 解得，． 43．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）用指定方法解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题分别考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键 熟练掌握求根公式． （1）首先移项，然后方程两边同时加上9即可完成配方，然后解方程即可求解； （2）利用求根公式即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ，， （2）解： ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 44．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）用指定方法解方程： (1)；（配方法） (2)．（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方式是解题的关键． （1）运用配方法即可解答． （2）运用一元二次方程求根公式解答即可． 【详解】（1）解：， 配方得，即， 开方得， 解得， 即，； （2）解：， ， ∴， ∴， ∴，． 45．（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（十字相乘法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． （1）把常数项4移项后，再在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方，再进行计算即可． （2）找出，，的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解； （3）方程移项后，提取公因式，因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可； （4）把方程左边进行因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）， ， ， ， ， ，； （2）， ，，，， ， ，； （3）， ， ， ， ， 或， ，； （4）． ， 或， ，． 46．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）用指定方法解方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用完全平方公式配方即可解答． （2）运用一元二次方程求根公式解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，． （2）解：， ， ， ， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方式是解题的关键． 47．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)配方法 (2)公式法 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 【详解】（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． 48．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据公式法解一元二次方程； （4）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：， ∵， ， ∴， 解得：； （4）解：， ∴， ∴或， 解得：． 49．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， 的最大值为5． 50．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知． (1)若，请求出x的值； (2)请比较A与B的大小，并说明理由． 【答案】(1)x的值为； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了直接开平方法和配方法的应用． （1）根据列方程求解即可； （2）求出，然后利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：x的值为； （2）解：，理由如下：∵ ， 又对于任意的x部有， ∴． ∴． 【经典计算题六 配方法的应用】 51．（24-25九年级上·新疆喀什·期末）阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解： ， ∴代数式的最小值是． 52．（2024九年级上·全国·专题练习）我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关系． （1）根据非负数的性质解答； （2）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：， ， ，． ． 53．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了配方，根据配方法的步骤把代数式进行配方，即可得出答案． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， ∴不论x为何值，代数式的值总是负数． 54．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：， ∵ ． 则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小或最大值． 【拓展提高】 （3）已知a、b、c是的三边长，满足，求c的取值范围． 【答案】（1）2，（2）；（3） 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． （1）利用非负数的性质确定代数式的最值； （2）利用完全平方公式变形，最后确定最值； （3）变形等式，利用非负数的性质，求出、的值，再利用三角形的三边关系确定边长的取值范围． 【详解】解：（1）∵代数式 ∴代数式的最小值是，这时相应的的值是； （2） ∵ ∴， ∴代数式有最小值； （3）∵a，，是的三边长，满足， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 55．（24-25九年级上·广西河池·期中）阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，得，即可作答． （2）先整理原式为，再结合非负性，得出，，然后代入计算，即可作答． （3）先整理原式为，因为，所以当，时，取得最小值，最小值为16，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴配方得：， 即， ，， 故． （3）解：依题意， ， ， ，时， 即当，时，则， 即取得最小值，最小值为16． 56．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）阅读理解：求代数式的最小值． 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是1． 仿照应用求值： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值． 【答案】(1)6 (2)19 【分析】本题考查代数式配方及根据非负性求最值，解题的关键是配方． （1）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案； （2）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值是6； （2）解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值，最大值为． 57．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ．因此．代数式有最小值； ②． ． 因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为____________；代数式的最大值为____________． (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）先配方，再根据非负数的性质求解； （2）先配方，再根据非负数的性质求解． 【详解】（1）解：∵，， 故答案为：，； （2）∵， ∴代数式的最小值为． 58．（2024九年级上·全国·专题练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ，， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求的最大（或最小）值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了用配方法解决问题． 首先把配方得到，根据平方的非负性可知，所以可知有最大值且最大值是； 首先把两个代数式相减得到，去括号和并同类项可得原式，配方可得原式，根据平方的非负性可知，从而可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， 有最大值，最大值是； （2）解：， 理由如下： ， ， ， ， ， ． 59．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题中求解方法是解答的关键．设，则原方程可化为，解方程得，，再解方程和，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根，舍去； 当时， ，即， 解得，， ∴原方程的解为，． 60．（24-25九年级上·河南商丘·期中）阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意设，得到，求出的值，再求出的值即可． 【详解】解：设，那么原方程可化为， 解得，． 当时，，即． ∵，，，， ∴此一元二次方程无解． 当时，，即． ∵，，，， ∴， 故原方程的解为，． 【经典计算题七 换元法解一元二次方程】 61．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【详解】（1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 62．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如果让你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程，我们应该如何去解呢？我们不防将看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解得． 当y=1时，，，．                     当y=4时，，，． 即该方程的根为． 问题： (1)在由原方程得到①的过程中，利用 达到降次的目的，表现了 的数学思想； (2)解方程． 【答案】(1)换元，转化 (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，会用换元法解方程． （1）换元法的目的是降次； （2）利用换元法解决问题． 【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，表现了转化的数学思想； 故答案为：换元，转化； （2）解：设，那么原方程可化为， 则， 所以，， ∴， 解得，． 63．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法；解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． （1）设，则原方程可化为，再解整式方程得到当或当，然后分别解两个无方程； （2）利用绝对值的意义，当时，解得或，则；当时，解得，则，然后分别解两个一元二次方程，最后进行检验确定原方程的解． 【详解】（1）设， 则原方程可化为， 解得， 当时，， ， 解得， 当时，，此方程无解， 所以经检验原方程的解为； （2）当时，或， 所以， 整理得， 解得， 当时，， 所以， 整理得， 解得（舍去），， 综上所述，原方程的解为． 64．（24-25九年级上·四川乐山·期中）材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程的根为； (2)故原方程的根为． 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程和分式方程等知识点， (1)设，把原方程化为一元二次方程，解方程得到答案； (2)设，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可； 熟练掌握通过阅读掌握换元法的一般步骤是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设，原方程可化为， 解得, 当时，,即, ∵， ∴方程无解， 当时，,即, 解得，, 故原方程的根为； （2）解：设,原方程可化为，即, 解得, 当时，, 解得,经检验是原方程的解， 当,时，, 解得,经检验是原方程的解， 故原方程的根为． 65．（24-25九年级上·广西桂林·期中）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了换元法解方程．熟练掌握换元法解可化为一元二次方程的方程，是解题的关键． （1）设，则可化为； （2）原方程可化为，设，则，解得，可得或（舍去），的值为5； （3）设，则化为，解得，得（无实数根），或，解得． 【详解】（1）解：设， 那么， 于是方程可变为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设， 则， 解得， ∴或， ∴或（实数范围内无意义，舍去）， 故的值为5． （3）解：设，则可化为， 解得， ∴， ∴（无实数根）， 或， ∴， 解得． 66．（24-25九年级上·广西南宁·期中）阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 【答案】；或； 【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，先根据题意填空，再设，最后仿照题干过程解方程即可． 【详解】解：设，原方程化为①， ∴， 解得或． 当时，， ∴， ； 当时，， ∴， ； 原方程的解为． 设，则原方程可化为， ∴， ∴或， 当时，，此时方程无解； 当时，， ∴， ． 67．（24-25九年级上·河南南阳·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，① 解得：． 当时，，∴，∴， 当时，，∴，∴， ∴原方程的解为 解答问题： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了的目的，体现了的数学思想； (2)利用上述材料中的方法解方程：． 【答案】(1)换元，降次，转化； (2) 【分析】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法． （1）题目中的方法用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想； （2）令，得，用因式分解法解方程求出y的值，再求出的值． 【详解】（1）解：将设为，利用的是换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想， 故答案是：换元，降次，转化； （2）解：令，则， ， 或． 解得：， 当时，，即，解得：， 当时，，即， ， ∴此方程实数根； 综上：方程的解是． 68．（24-25九年级上·山西太原·期中）阅读与思考：下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程．都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时．两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】以一元二次方程为例， 设（为常数）， 则原方程化为，① 整理，得，② 即，③ 为使方程③不含的一次项，令， 此时，则， 所以，方程③化为， 解，得，， 所以，________，________． 【类比推广】按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． …… 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解________，________； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． （1）利用和的值写出和的值即可； （2）设，原方程化为，整理得，令得到，再计算出，关于y的方程化为，利用直接开平方法解方程，然后计算出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴；， 故答案为：，； （2）解：设（为常数）， 则原方程化为，① 整理，得，② 即，③ 为使方程③不含的一次项，令， 此时，则， 所以，方程③化为， 解得，， 所以，，． 69．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）关于的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)求的值； (2)求出方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据解答即可求解； （）把的值代入原方程解方程即可； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴方程为， 即， 解得． 70．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知关于的方程有两个实数根，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程有实数根得到，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：∵此方程有两个实数根， 即， 解得， 实数的取值范围是． 【经典计算题八 根据一元二次方程的解求参数】 71．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若和原方程的两个实数根都是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根. （1）根据列式求解即可； （2）先由（1）的结论求出k的值，再代入方程验证即可. 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ . （2）∵和原方程的两个实数根都是整数，且， ∴ ∴或或 当时，原方程为 ，解得，，符合题意， 当时，原方程为 ，解得，，不符合题意， 当时，原方程为 ，解得，，不符合题意， 所以k的值为2． 72．（24-25九年级上·河南周口·期末）关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，且，求满足条件的n的范围； (2)若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式大于零，列出不等式，即可求解； （2）根据一元二次方程根的判别式等于零，列出方程，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ 由题意得，， 解得：； （2）解：由题意得，， 化简得：． 73．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知：关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根． 【答案】(1)且 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）证明：∵， ∴由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 74．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若为最小正整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当方程有两个不相等的实数根，则”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根． （1）根据方程根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）由（1）的结论结合为正整数，即可得出，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可求出原方程的解． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有两个实数根, ， 解得：， 的取值范围为． （2）解：∵，且为最小正整数， ∴， 原方程为，即， 解得：，， 若为最小正整数时，方程的根为，． 75．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)给一个合适的整数值，并求出此时方程的根． 【答案】(1)，且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，掌握与一元二次方程根的情况是解题的关键． （1）根据方程根的情况可得，结合一元二次方程的定义可得，求解即可； （2）将代入，利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是，且； （2）解：当时，原方程为， ∴， 解得， ∴当时，方程的根为（答案不唯一）． 76．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 (1)当a为何值时，方程有两个相等的实数根． (2)在（1）的条件下，求方程的两个相等的实数根． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式与根的个数之间的关系． （1）求出根的判别式，令根的判别式等于0，解出即可； （2）将a值代入，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ， 解得， ∴当时，方程有两个相等的实数根． （2）解：∵， ∴方程为， ∴， 解得． 77．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)当方程无实数根时，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为， 因式分解得， 解得，； （2）解：∵该方程无实数根， ∴， 解得， 即若该方程有无数根，的取值范围是． 78．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）当m取什么值时，关于x的方程 (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：△时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系确定的取值． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有两个相等的实数根； （3）当时，方程没有实数根． 【详解】（1）解：， ， ． 当时，解得， ∴当时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：当时，解得， ∴当时，方程有两个相等的实数根； （3）解：当时，解得， ∴当时，方程没有实数根． 79．（24-25九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知关于的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的两根，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 80．（2024·江西九江·一模）已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，． 【详解】解：方程的两个实数根分别为，， 由根与系数的关系可知，，. ， ，即， 解得， ， . 【经典计算题九 一元二次方程根与系数的关系计算】 81．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 【答案】(1)1，； (2)3． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及运用完全平方公式求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）设，是一元二次方程的两个实数根，则，． （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：方程中，， ，． 故答案为：1，． （2）解：， 故答案为：3． 82．（2022·北京大兴·一模）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ∴， 解得 【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键． 83．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．若，求及m的值． 【答案】， 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系，可得出，结合，即可求出的值，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有，两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为5， ∴， 解得：． 84．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键； （1）由题意可得，再求解即可； （2）当时，一元二次方程为，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根． ， 解得：； （2）解：∵ ∴当时，一元二次方程为， ， ． 85．（24-25九年级上·湖北随州·期末）若关于的一元二次方程有一根为1． (1)求的值； (2)求上述一元二次方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解以及根与系数的关系． （1）将已知的方程的根代入原方程，通过解方程求出的值． （2）把求得的值代入原方程，确定完整的一元二次方程，再利用韦达定理，根据已知根求出方程的另一个根． 【详解】（1）把代入方程， 得到． 解得； （2）将代入原方程， 方程变为， 即，这里， 设方程的另一个根为，已知一个根， ，则， 可得， 则一元二次方程的另一个根． 86．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）设，是一元二次方程的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式和分式的求值， （1）根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式变形，即可求解； （2）将通分得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）∵，是一元二次方程的两个根 ∴， ∴ ； （2） ． 87．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据题意可知，再解不等式可得出结论； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将原式整理为，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 故的取值范围为； （2）解：方程的两个根分别为， ，， ， ， 解得， 故的值为． 88．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根和系数的关系，完全平方公式，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，由完全平方公式可得，求出k的值即可． 【详解】（1）关于的一元二次方程有实数根 即，解得：； （2）方程的两个实数根分别为 ，． 整理得： 解得：， 又， 89．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）对于任意实数，，定义，已知，求实数的值． 【答案】实数的值为或． 【分析】本题考查一元二次方程是知识，解题的关键是根据新定义运算，得，解出，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 得或者， 解得：，， ∴实数的值为或． 90．（24-25九年级上·海南海口·阶段练习）定义一种新的运算法则：，如 (1)根据这个运算规则，计算的值． (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，据此解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 【经典计算题十 一元二次方程新定义计算】 91．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要查了解一元二次方程： （1）直接根据新运算解答，即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：． 92．（24-25九年级·湖南株洲·阶段练习）定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： (1)写出方程的“对称方程”：____________________． (2)若关于的方程与互为“对称方程”， ①__________、__________． ②求方程的解． 【答案】(1) (2)①0；1；②， 【分析】此题主要考查的是解一元二次方程，公式法解一元二次方程，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． （1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得，，即可求得，，然后利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：的“对称方程”是； （2）解：由，移项可得：， 由互为“对称方程”的定义可得， ，， 解得：，， 化为， ， ，． 93．（24-25九年级上·江苏南京·期中）定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 【答案】(1)②③ (2) (3)（或） 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）根据根与系数的关系结合新定义建立方程，再解方程即可； （3）根据根与系数的关系结合新定义求解即可． 【详解】（1）解：①，则 ∴， ∴不满足，故不是“和谐方程”； ②， ∴ 满足，故是“和谐方程”； ③ 解得：， ∴， ∴满足，故是“和谐方程”； 故答案为：②③； （2）解：∵， ∴． ∵方程是“和谐方程”， ∴ ∴． 即． 解得：； （3）解：对于， 则 ∵方程为“和谐方程”， ∴， ∵， ∴，即（或）． 94．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”的意义，理解“倍根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． （1）设方程的两个根为，，由倍根方程的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （2）根据倍根方程的定义即可找出，之间的关系； （3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案． 【详解】（1）解：设方程的两个根为，， ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵方程的一个根为2， 则另一个根为1或4， 当另一个根为1时，则， ∴，即：， 当另一个根为4时，则， ∴，即：； （3）解：设与是方程的解， ，， 消去得：． 95．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的10倍，那么我们把这样的方程定义为“十美方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“十美方程”．根据上述定义，请判断一元二次方程是否为“十美方程”，并说明理由． 【答案】不是“十美方程”，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求出原方程的两个实数根是解题的关键，再结合“十美方程”的定义，即可得出一元二次方程不是“十美方程”． 【详解】解：一元二次方程不是“十美方程”，理由如下： ， ， 或， 解得：，， ，，，， 一元二次方程不是“十美方程”． 96．（23-24八年级下·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 【答案】(1)①② (2)或， (3) 【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，根据新定义列出方程即可求解． 本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①， 即， 解得：， ， 是差积方程； ②， 即， 解得， ， 是差积方程； ③， 即， 解得：，，故③不是差积方程； 故答案为：①②； （2）解：， 即， 解得：，， 是差积方程， ， 即或． 解得：或， （3）解：， 解得：， ， 是差积方程， ， 即， 即． 97．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义进行判断即可； （2）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义得其中一个根是另一个根的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 2是1的2倍， 方程是倍根方程； （2）解： 解得：， ， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查了倍根方程的定义，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 98．（23-24九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)或． 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解． （1）求解方程，即可进行判断． （2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵，， 故该方程不是“邻根方程”． （2） ∴． ∴． 由题意得：或， 解得：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$