专题04 一元二次方程的应用重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题04 一元二次方程的应用重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 传播问题 题型二 增长率问题 题型三 与图形有关的问题 题型四 数字问题 题型五 营销问题 题型六 动态几何问题 题型七 工程问题 题型八 行程问题 题型九 浙江地区常考题型（图表信息题） 题型十 其他问题 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 知识点02 一元二次方程应用题常见类型： 1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。 知识点03 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). 知识点04 传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 知识点05 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m= 【经典例题一 传播问题】 【例1】（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）进入秋冬季以来，全国流感呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达324人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际问题——传播问题；理清每一轮感染后的人数是解题的关键． 一轮传播，1个人会平均感染x个人，此时共有人；二轮传播，每人会平均感染x个人即，此时共有人，即．再根据经过两轮感染后患病人数竟高达324人，列出方程即可求解． 【详解】解：设每轮感染中，1个人会平均感染x个人， 则两轮感染后的总人数为：． 故选：B． 1．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染，设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有人感染流感，两轮感染之后的人数为49人，依此列出一元二次方程即可． 【详解】解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，，依题可得： ，即， 解得：或（舍去） 故答案为：6． 3．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7，13，21 (2) (3)10个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 【经典例题二 增长率问题】 【例2】（24-25九年级上·山西晋中·期末）2022年北京冬奥会吉祥物是一个非常可爱的熊猫形象，名字叫冰墩墩．冬奥会举办的季节在冬季，而冰字也是冬天的代名词，同时，冰雪纯白，寓意纯净无暇．“墩”字，顾名思义就是憨厚墩实的意思，这也正符合冬奥会勇于拼搏、实事求是进取的精神．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款冬奥会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)7月份的销售量会在6月份的基础上通过市场预测调整，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 (2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件）， 根据题意得： 整理得：， 解得：（经讨论不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某制药厂将一种药剂价格逐年降低，2022年这种药剂价格为100元，2024年该药剂价格为81元． (1)求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； (2)若该制药厂计划2025年对此药剂按此下降率继续降价，预计2025年该药剂的价格为多少元？ 【答案】(1)2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； (2)预计2025年该药剂的价格为72.9元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数乘法的实际应用． （1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为． ， （舍），， 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； （2）解：（元） 答：预计2025年该药剂的价格为72.9元． 2．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】(1) (2)当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，根据三月份销售256件，五月份的销售量达到400件，列出方程进行求解即可； （2）设商品降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为． （2）设商品降价元，由题意，得： ， 解得：或； 答：当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2017年种植“阳光玫瑰”100亩，到2019年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩． (1)求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为 (2)售价应降低3元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2017年及2019年“阳光玫瑰”的种植面积列出关于x的一元二次方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，根据总利润、每千克的利润、销售数量的关系列出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可． 【详解】（1）解：设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x， 依题意可得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为． （2）解：设售价应降低y元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． ∵要尽量减少库存， ∴． 答：售价应降低3元． 【经典例题三 与图形有关的问题】 【例3】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图：利用一面墙（墙的长度不限），用20m的篱笆围成一个矩形场地．设矩形与墙垂直的一边为xm，矩形的面积为． (1)若面积，求的长； (2)能围成面积为的矩形吗？说明理由． 【答案】(1)的长为或． (2)不能．理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用——几何面积问题，根的判别式等知识点，解决此题的关键是要熟练运用根的判别式． （1）根据题意得到方程式解题的关键；得到方程后根据解一元二次方程的步骤求解即可； （2）由第（1）的思路得到方程，要会根据根的判别式判断方程无解： 【详解】（1）解：设与墙垂直的边为，则其对边也为，余下的一条边长为，矩形面积 ． ∴当 S = 48 时， 即 解得或 ， ∴的长为或． （2）解：不能，理由如下： 由（1）可知 当 时， 可得方程 化简得： ∴ 无实数解，故无法围成面积为 58 的矩形． 1．（2025·江西·模拟预测） 项目主题 设计一本书的封面 项目要求 1．封面长，宽； 2．正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形； 3．四周的白色边衬所占面积是封面总面积的； 4．上、下边衬等宽，左、右边衬等宽 项目任务 （1）求上、下边衬与左，右边衬的宽度之比； （2）设上、下边衬的宽均为，请你列出关于的方程，并分别求上、下边衬和左，右边衬的宽． 项目反思 （3）用上面设未知数的方法列方程，解方程进行解题较复杂，请你换一种设未知数的方法，更简单地解决上面的问题． 【答案】（1）；（2）上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为；（3）见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）根据题意可得：封面的长宽之比为，则中央矩形的长宽之比也是，设中央矩形的长、宽分别是，，即可求解； （2）设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，则中央矩形的长为、宽为，由题意可得：中央矩形的面积是封面总面积的，据此列方程即可求解； （3）设中央矩形的长为、宽为，根据题意列出方程，求出，最后根据：上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，即可求解． 【详解】解：（1）封面长，宽， 封面的长宽之比为：， 中央矩形的长宽之比也是：， 设中央矩形的长、宽分别是，， 上、下边衬与左，右边衬的宽度之比为：； （2）设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，则中央矩形的长为、宽为， 四周的白色边衬所占面积是封面总面积的，则中央矩形的面积是封面总面积的， ， 整理得：， 解得：，， 当时，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为，不符合实际意义； 当时，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为，符合实际意义； 综上所述，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为； （3）设中央矩形的长为、宽为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 上、下边衬的宽均为， 左、右边衬的宽为． 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，依靠一面长20米的墙，用33米长的篱笆围成一个矩形场地，边上留有1米宽的小门（不用篱笆围），设长为x米．    (1)用含有x的代数式表示边的长，并直接写出x的取值范围； (2)当矩形场地的面积为120平方米时，求的长． 【答案】(1)米， (2)的长为12米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，用含x的代数式表示出的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）由篱笆长33米结合米，即可用含x的代数式表示出的长，再由及，可得出x的取值范围； （2）根据矩形的面积公式结合矩形场地的面积为120平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴米． ∵， ∴． （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去），． 答：的长为12米． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的窥度都为米，左右两条纵向道路的察度都为米，中间部分为种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    (1)若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度； (2)该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？ 【答案】(1)道路宽度为10米 (2)每平方米草莓平均利润下调48元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 【经典例题四 数字问题】 【例4】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 【答案】(1) (2)最小的数为20 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）观察日历表即可推出； （2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，列出方程即可推理． 【详解】（1）解：观察图形可得， 故答案为：； （2）解：设最小的数为，则． 由题意可得，整理得， 解得（舍去）， 最小的数为20． 1．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 2．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图所示的是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点． (1)根据上面的内容，请直接写出是三角点阵中前行的点数和； (2)请直接写出三角点阵中前行的点数和_____； (3)三角点阵中前行的点数和能是吗？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型； （1）由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，则前行共有个点，然后求它们的和，前行共有个点，则，然后解方程得到的值； （2）将代入，即可求解； （3）由（1）得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点， 前行共有个点， ∴前行共有个点， 由题意可得：， 整理得， ，， 为正整数， ． 故答案为：． （2）解：∵前行共有个点， ∴当时，，即三角点阵中前行的点数和为， 故答案为：． （3）依题意，得， 即， 解得：或， 为正整数， ． 当时，三角点阵中前行的点数的和是． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 【答案】（）；（），；（）． 【分析】（）根据前几个图案的规律，即可求解； （）根据题意，结合图形规律，即可求解； （）根据题意，列出方程，解方程即可求解； 本题考查了图形类规律以及解一元二次方程，根据图形找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， ∴第个图案中“”的个数是个， 故答案为：； （）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数是个， ∴第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中“○”的个数是， ∴第个图案中“○”的个数是， 故答案为：，； 由题意可得，， 整理得，， 解得：（舍去）或． 【经典例题五 营销问题】 【例5】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）一款服装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出30件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1500元？ 【答案】(1)， (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价15元，商家平均每天能盈利1500元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件即可得到答案． （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销量为件，根据题意列出方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：设每件服装降价x元，由于每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件， 则每天销售量增加x件，每件服装盈利元． 故答案为：，． （2）解：设每件服装降价元，每件服装盈利元，平均每天的销量为件，依题意可得： 整理，得： 解得：，， 要让利于顾客， 应舍去， 故， 答：在让利于顾客的情况下，每件服装降价15元，商家平均每天能盈利1500元． 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）百合是陕西省的省花，叶片青翠娟秀，茎干亭亭玉立，是名贵的切花新秀．某经销商销售百合花，平均每天可卖出束，每束盈利元．临近新年，该经销商决定降价促销，经市场调研发现，每束百合花每降价元，每天销量将增加束，当每束百合花降价多少元时，该经销商每天销售百合花能盈利元？ 【答案】当每束百合花降价元或元时，该经销商每天销售百合花能盈利元． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，解题关键是正确理解题意并列出一元二次方程． 根据题意列出一元二次方程后求解即可． 【详解】解：设每束百合花降价元，则依题意得， ， 解得，． 当每束百合花降价元或元时，该经销商每天销售百合花能盈利元． 答：当每束百合花降价元或元时，该经销商每天销售百合花能盈利元． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）2024年成都世界园艺博览会于4月26日至10月28日举行．在盛会期间，某销售商进行市场调查发现：某类盆栽每盆进货价为60元．当销售价为90元时，平均每天能售出24盆；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2盆．现设销售价降低元，解答下列问题． (1)填空：现在平均每天可售出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）； (2)试向：当为何值时，平均每天盈利784元？ (3)若该销售商打算平均每天盈利900元，那么他的这种想法能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)，． (2)当2元或16元时，平均每天盈利784元． (3)见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式等知识点，解决此题的关键是正确列出一元二次方程． （1）根据题意分别列出代数式即可； （2）由（1）的结果可得到每天盈利为，再根据题意列出方程即可求解； （3）由（2）的思路可列出方程，再算出方程根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：由题意可得现在平均每天售卖盆，每盆盈利为元，即元． 故答案为：，． （2）解：由题意可得：， 整理得：， 解得：， 答：当为2元或16元时，平均每天的盈利为784元． （3）解：不能实现，理由如下： 由题可得方程： 整理得：， ∵ ∴原方程无解， ∴该销售商的这种想法不能实现． 【点睛】 3．（24-25九年级上·河北沧州·期中）“这么近，那么美，周末到河北”，河北拥有得天独厚的自然风光和丰富的历史文化资源，吸引着众多游客前来探索；河北著名旅游景点正定古城今年5月份共接待游客达20万人次，预计在7月份，将接待游客达万人次． (1)求正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率． (2)景区一个纪念品专卖店在销售中发现，一款纪念品每件进价为20元，销售价为35元时，每天可售出100件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若每件纪念品降价1元，则平均可多售出10件，当每件售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款纪念品销售中实现平均每天1560元的利润额． 【答案】(1) (2)32元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率为，由5月份接待游客人次等于7月期间接待游客人次建立方程； （2）设每件纪念品降价元，根据每件利润乘以销售量等于利润建立方程求解． 【详解】（1）解：设正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：，（舍）， 答：正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率为； （2）解：设每件纪念品降价元，由题意得： ， 解得：或， 当时，每件售价为元； 当时，每件售价为元， ∵让顾客获得最大优惠， ∴每件售价定为32元． 【经典例题六 动态几何问题】 【例6】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)， (2)2秒或4秒 (3)2.4秒 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积等知识，根据动点的运动速度表示各线段的长是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间，可得、的长，从而得出的面积，可得答案； （2）由（1）得，列方程为，解一元二次方程即可，注意本题x的取值范围． （3）根据勾股定理可列方程为： ，解出x即可 【详解】（1）解：关于的函数解析式为：； 所以的取值范围是：． 对于，当时，有最大值； （2）设经过秒，的面积为． 列方程为 解得： 答：设经过2秒或4秒，的面积为． （3）设秒后，的长度等于12mm，列方程为：， 解得（舍去），， 答：出发2.4秒后，的长度等于． 1．（24-25九年级上·湖北荆门·期中）已知：如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 【答案】(1)2秒 (2)2秒或3秒 【分析】本题考查勾股定理和一元二次方程的应用： （1）设秒后，的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）设秒后，的面积等于，根据面积公式，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，的长度等于， 由题意，得：，则：， ∵， ∴，即：， 解得：（舍去）或， ∴P，Q分别从A，B同时出发2秒后，的长度等于； （2）解：设秒后，的面积等于， 由题意，得：， 解得：或； 答：P，Q分别从A，B同时出发2秒或3秒后，的面积等于． 2．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 (3)7 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在中，，，，一动点P从点C出发沿方向以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿C方向以每秒8个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，是等腰直角三角形？ (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中，线段能平分的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)t (2) (3)不能，理由见解析 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的面积的求法． （1）先表示出，，判断出，进而建立方程求解，即可得出答案； （2）利用“”建立方程求解，即可求出答案； （3）假设在运动过程中，线段能平分的面积，进而利用“”建立方程，判断出此方程无实数根，即可得出答案． 【详解】（1）解：由运动知，，， ∴， ∵点P在从C向点A运动，点Q从点A向点C运动， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在运动过程中，线段不能平分的面积； 理由：假设在运动过程中，线段能平分的面积， 则， 由（2）知，， ∴， ∴， 而， ∴此方程无实数根， ∴在运动过程中，线段不能平分的面积． 【经典例题七 工程问题】 【例7】（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 1．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 2．（24-25九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵 (2)物业管理公司实际购买两种树共56棵 【分析】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意列出方程即可得出答案． （2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为元每棵，元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到方程式求出满足条件的值，即可得出答案． 【详解】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵， 根据题意，可得， 解得，． 答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵． （2）根据题意，可得， 整理得，， 解得：，， ∵，∴， ∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟， 答：物业管理公司实际购买两种树共56棵． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人 (2)从B检测队中抽调了2人到A检测队 【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人， 依题意得：，分解得： 答：A检测队有6人，B检测队有7人； （2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人， 依题意得：， 解得：，解得：，， 由于从B对抽调部分人到A检测队，则故， 答：从B检测队中抽调了2人到A检测队． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【经典例题八 行程问题】 【例8】（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 1．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 2．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 3．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 【经典例题九 浙江地区常考题型（图表信息题）】 【例9】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）综合实践： 项目主题 “亚运主题”草坪设计 项目情境 为了迎亚会，同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案 驱动问题一 （1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关系？ ①直观猜想；我认为__________；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为__________和__________； ③一般验证：若小路宽为x米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为__________和__________． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为2204平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形，如图． 驱动问题三 （3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长． ①若30米长的篱笆，请用函数表示y关于x的表达式． ②数学之星小明提出一个问题：若a米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗﹖请说明理由． 【答案】（1）①四种方案小路面积的大小相等；②，；③，；（2）小路的宽为；（3）①；②甲和乙的说法都不正确，理由见解析 【分析】本题考查了平移的应用，一元二次方程的实际应用，根与系数的关系，掌握平移的作用是解题的关键． （1）通过平移知识求解； （2）根据草坪的面积列方程求解； （3）先列出方程，再根据题意得出不等式求解． 【详解】解：（1）①直观猜想：我认为：四种方案小路面积的大小相等， 故答案为：四种方案小路面积的大小相等； ②甲：； 乙：， 故答案为：，； ③甲：， 乙：， 故答案为：，； （2）设小路的宽为，则， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：小路的宽为； （3）①方法1：， ， 方法2：， ； ②由题意得：， 设方程的两个根分别为，，则，且， 则：，， ， ， 故甲和乙的说法都不正确． 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）某校八年级开展社会实践活动， 下表是某小组的活动记录表， 请根据相关信息解决实际问题． 社会实践活动记录表 小组名称 活动时间 2024.6 小组成员 地点 北岸果蔬超市 实践内容 调查杨梅销售行情； 帮助超市解决销售问题； 同时思考民生获益等事宜． 调研信息 杨梅进价为 40 元/箱． 当杨梅售价为 50 元/箱时， 每月可销售 500 箱． 若每箱售价每上涨 1 元， 则月销售量将减少 10 箱． 解决问题 问题 1 当销售单价定为每箱 55 元时， 月销售量是多少？ 问题 2 设销售单价为每箱 元，请用 的代数式表示月 销售利润． 问题 3 请自行提出一个实际问题，并尝试解决之 【答案】问题1：450箱；问题2：；问题3：见解析 【分析】问题1：由题意列式计算即可； 问题2：设销售单价为每箱元，则月销售量为箱，每箱的销售利润为元，即可解决问题； 问题3：由题意提出问题，再解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用、列代数，解题的关键：（1）正确列式计算；（2）找出数量关系，正确列出列代数式表达式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】解：问题1：依题意，当销售单价定为每箱55元时，月销售量是（箱； 问题2：依题意，设销售单价为每箱元， 则月销售量为箱 每箱的销售利润为元， 月销售利润元 问题3：依题意，提出问题：若该超市将当月的获利目标定为8000元，且尽可能的让利顾客，那么销售单价应定为每千克多少元？ 解答如下： 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：销售单价应定为每千克60元． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践： 用硬纸板制作无盖纸盒 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）． 素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下： ∴当时，有最大值5． 方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形． 方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形．    任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为　　　（用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到． 任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面边的长． 任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小． 任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值． 【答案】任务1：；能达到； 任务2：； 任务3：故当时，方案一的纸盒体积大；当时，方案一与方案二的纸盒体积一样大；当时，方案二的纸盒体积大； 任务4： 【分析】任务1：根据题意用含的代数式表示出，即可表示出底面的面积； 任务2：首先用的代数式表示出，根据中间的四边形为正方形可表示出； 任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大．因此比较两种方案种底盒的底面积即可，首先由任务1，2表示出两种方案纸盒的底面积，然后分三种情况进行比较即可得到答案； 任务4：首先表示出方案2中纸盒的体积为含的二次多项式，然后用配方法求二次多项式的最值即可． 【详解】解：任务1：根据题意得： 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为， 故答案为：； 令， 解得：(不符合题意，舍去)， 则此时底面积能达到； 任务2：根据题意得：； 任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大； 由任务1可知：方案1的底面积为：； 由任务2可知：方案2的底面积为：； 根据题意知：，解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得； 故当时，方案一的纸盒体积大； 当时，方案一与方案二的纸盒体积一样大； 当时，方案二的纸盒体积大． 任务4：方案二中纸盒的体积为：； 当时，纸盒体积有最大值为． 【点睛】本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用，配方法求最值问题等知识的实际应用，根据题意列出代数式是本题的关键． 3．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）某校八年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计无盖长方体纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒． 素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． 问题解决 任务1 设剪去的小正方形边长为，请用含的代数式表示折成的无盖长方体纸盒的侧面积． 任务2 若用上述方式折成的无盖长方体纸盒侧面积为，试求出此时纸盒的体积． 任务3 探究按上述方式折成的无盖长方体纸盒侧面积能否到达？若能，请求出此时剪去的小正方形边长；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：或；任务3：不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用 任务1：根据长方形的长乘以宽，即可求解； 任务2：根据侧面积为，进而解方程，求得边长，根据长方体的体积公式进行计算即可求解； 任务3：根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：任务1： 任务2：由题意得 解得 当时， 当时， 任务3：不能，当时，可得 整理得 因为 所以不能达到． 【经典例题十 其他问题】 【例10】（23-24九年级上·四川成都·期末）在北师大九年级下册教材第页“二次函数”的学习中引入了这样一个情景：某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子．请同学们进一步探索下面的问题： (1)假设果园多种了棵橙子树，直接写出平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系； (2)如果果园橙子的总产量要达到个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程，解题的关键是根据题意，找出等量关系，并列出函数关系式； （1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子列式即可； （2）根据题意列出方程，求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）根据题意，得， 解得， (不合题意，舍去)， 答：应该多种棵橙子树； 1．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计： (1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？ (2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明； (3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数． 【答案】(1)10； (2)小哲说的有道理，理由见解析； (3)13． 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）由题意，得5个人需比赛的局数为； （2）小哲说的有道理，理由见详解； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得5个人需比赛的局数为； （2）小哲说的有道理，理由如下： 设有人报名参赛，由题意得，整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，小哲说的有道理； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意， 得，整理得， 解得， 当时，，符合题意， ∴共有13名参赛者报名本次比赛． 2．（2024·北京昌平·二模）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． (1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式. 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________； 方案二：采用两次漂洗的方式. 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好. (2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________． 【答案】(1)；；；二 (2)10； 【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键． （1）数据计算：分别计算出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答： 实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断； （2）先利用二次函数求出最值，确定出漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的最小值即可解决问题． 【详解】（1）解：方案一：采用一次漂洗的方式． 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的； 方案二：采用两次漂洗的方式． 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的， 若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 ，方案二效果更好； 故答案为：，，；二； （2）解：， 当时有最大值，分母越大，分数值最小，漂洗效果最好， 第一次用 10斤清水，漂洗效果最好， 二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 故答案为：二，． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某合作社从2020年到2022年每年种植脐橙100亩，2020年脐橙的平均亩产量为2000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术提高脐橙的产量，2022年脐橙的平均亩产量达到2880千克． (1)若2021年和2022年脐橙的平均亩产量的年增长率相同，求脐橙平均亩产量的年增长率为多少？ (2)2023年该合作社计划在保证脐橙种植的总成本不变的情况下，增加脐橙的种植面积，经过调查发现，2022年每亩脐橙的种植成本为1200元，若脐橙的种植面积每增加1亩，每亩脐橙的种植成本将下降10元，求2023年该合作社增加脐橙种植面积多少亩，才能保证脐橙种植的总成本不变？ 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）设2020年和2022年脐橙平均亩产量的年增长率为x，第2021年脐橙平均亩产量为千克，第2022年脐橙平均亩产量为千克，据此列出方程求解即可； （2）设增加脐橙种植面积a亩，根据成本不变列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设2021年和2022年脐橙平均亩产量的年增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答：脐橙平均亩产量的年增长率为； （2）解：设增加脐橙种植面积a亩． 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去），． 答：该合作社增加脐橙的种植面积20亩时，才能保证脐橙种植的总成本保持不变． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）电影《流浪地球2》于2023年1月22日在中国上映，第一天票房约4亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约6亿，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由该地第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，根据三天后票房收入累计达6亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵某地第一天票房约4亿元，且以后每天票房的增长率为x，第三天票房约6亿， ∴第二天票房约亿元，第三天票房约亿元， 依题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）欧几里得的原本记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是（   ）    A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】D 【分析】在直角中，利用勾股定理列出关系式，把各自的长度代入，化简后与已知方程比较，即可确定出所求． 【详解】解：在中， 根据勾股定理得：， ，， ， 整理得：， 比较方程，可得是方程的一个正根． 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，弄清题意是解本题的关键． 3．（24-25九年级上·河南开封·期末）要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请（    ）个球队参加比赛． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，根据计划安排28场比赛建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a，宽为b的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为S（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】正方形的边长是一个含有两个字母的代数式，根据已知条件，变成含一个字母的代数式，根据面积得出整式的值，再将整式整体代入，对选项加以判定即可． 【详解】解：由题意，正方形的边长为， ，， 若，则正方形的边长为，， 即， ∴， ∴选项A不正确； 若，则 正方形的边长为，， 即， ∴， ∴选项B不正确； 若，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或， 当时，则，，不合题意， 当时，则， ∴， 则， ∴选项C正确； 若，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或， 当时，则，不合题意， 当时，则， ∴， ∴选项D不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查的是含多项式乘法的几何背景题，正确识图、掌握多项式的混合运算是关键．解答时，要注意整体代入的思想． 5．（24-25八年级下·浙江湖州·阶段练习）利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是长方形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则长方形的面积是 ．    【答案】 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整体代换是解题的关键． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长34米的围栏建两个面积相同的生态园，两个生态园各留一扇宽为1米的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计）．每个生态园的面积为48平方米，则每个生态园垂直于墙的一边长为 ． 【答案】4米 【分析】设每个生态园垂直于墙的一边长为，可得平行于墙的一边长为，根据面积建立一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每个生态园垂直于墙的一边长为， ∵三边用总长34米，门宽1米 ∴平行于围墙的一边长为， ∵每个生态园的面积为48平方米， ∴， ∴， 解方程得， ∵垂直于墙的一边长不超过6米， ∴舍去， 故答案为：4米 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程． 7．（24-25九年级上·山西·期末）如图，王师傅要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边要留出安装木门．若要使羊圈的面积为，则所围矩形与墙垂直的一边长为 ． 【答案】/8米 【分析】设所围矩形与墙垂直的一边长为时，羊圈面积为，此时所围矩形与墙平行的一边长为米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合住房墙的长度为，即可确定所围矩形与墙垂直的一边长的长度． 【详解】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为时，羊圈面积为，此时所围矩形与墙平行的一边长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 当所围矩形与墙垂直的一边长为时，羊圈面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在 中，，，，点P从A点出发，沿射线方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线方向以4cm/s的速度移动． （1） ； （2）如果P、Q两点同时出发，问：经过 秒后的面积等于． 【答案】 ； 1或7或． 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理即可得出答案； （2）过点Q作于点E，则，当运动时间为t秒时，，，，，根据的面积等于，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：过点Q作于点E，则，如图所示， 当运动时间为t秒时，，，，， 依题意得：． 当时，， 解得：，； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去），． ∴经过1或7或秒后，的面积等于． 故答案为：1或7或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．（24-25九年级上·浙江台州·开学考试）某经销商销售一种成本价为元的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于元．在销售过程中发现销量与售价（元）之间满足一次函数关系，对应关系如表所示． (1)求与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)若该经销商想要使这种商品获得平均每天元的利润，则售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查一次函数、实际问题与一元二次方程，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键， （1）根据一次函数过可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式； （2）根据总利润为元列方程解答即可． 【详解】（1）解：（1）设关系式为，把，代入得： ， 解得． 故与的之间的函数关系式为， 通过验证，满足上述关系式， 因此与的之间的函数关系式就是． 的取值范围为：． （2）根据题意得：， 解得：，（舍去）． 答：售价应定为元． 10．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）某老牌造车企业为实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使新能源汽车项目的生产规模不断扩大，该企业9月，10月一共生产新能源汽车95000辆，其中10月份新能源汽车产量是9月份的倍少4000辆．(说明：生产的新能源汽车全部销售出去)． (1)求9月，10月新能源汽车产量各是多少辆 (2)若10月份每辆新能源汽车的利润为1万元，11月份新能源汽车产量比上月增加，11月份每辆新能源汽车的利润比上月增加，则11月份新能源汽车总利润达到66000万元，求m的值． 【答案】(1)9月新能源汽车的产量为45000辆，10月新能源汽车的产量为50000辆； (2)m的值为20． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设9月新能源汽车的产量为x辆，则10月新能源汽车的产量为辆，根据该厂9，10月共生产新能源汽车95000辆，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入中即可求出10月新能源汽车的产量； （2）利用月利润=每辆的利润×月产量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设9月新能源汽车的产量为x辆，则10月新能源汽车的产量为辆， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：9月新能源汽车的产量为45000辆，10月新能源汽车的产量为50000辆； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：m的值为20． 11．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）根据以下销售情况，解决任务： 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲，乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 销售情况 甲店：每天可售出25件，每件盈利40元； 乙店：每天可售出40件，每件盈利30元． 市场调查 经过调查发现，每件衬衫每降价1元，甲，乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量______（用含有a的代数式表示） 乙店每天的销售量______（用含有b的代数式表示） 任务2 若总公司规定两家分店下降的价格必须相等，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2550元． 【答案】任务1：件，件  任务2：元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：由每件衬衫每降价元，甲、乙两家店一天都可多售出件，即可得出结论； 任务2：设每件衬衫下降x元时，两家分店一天的盈利和为元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：任务1：甲店每天的销售量为：件， 乙店每天的销售量为件， 任务2：设两家分店下降的价格为元，列方程得： ， 解得：，（不符合实际，舍去）， 答：两家分店下降的价格为元． 12．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．    (1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长． (2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)矩形种植园一边的长15米 (2)不能围成面积为的矩形种植园 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和一元二次方程的应用，根据题意，列出等量关系式，然后再求解即可得出结果，理解题意是解题关键． （1）方案1：设的长为x米，根据题意得出面积的等量关系式，然后求解即可； （2）方案2：设的长为x米，然后确定相应面积关系式求解即可； 【详解】（1）解：设的长为x米， 则， 解得： ． ∵ ，      ∴， ∴舍去， ．                      答：矩形种植园一边的长15米． （2）解：设的长为x米， 则 ， 化简得， ，          ∴不能围成 ， 答：不能围成面积为的矩形种植园． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元． (1)求2021年至2023年日租金的平均增长率． (2)经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元． ①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出______辆车． ②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益总租金各类费用) 【答案】(1) (2)①，； ②或元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式； （1）设年至年日租金的平均增长率为，利用年每辆汽车的日租金年每辆汽车的日租金年至年日租金的平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）①利用每辆汽车的日租金每辆汽车日租金上涨的钱数，可用含的代数式表示出每辆汽车的日租金；利用实际能租出的数量每辆汽车日租金上涨的钱数，即可用含的代数式表示出实际能租出的数量； ②利用日收益总租金各类费用，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设年至年日租金的平均增长率为， 根据题意得：， 解得： (不符合题意，舍去)． 答：2年至年日租金的平均增长率为； （2）①根据题意得：在每辆汽车日租金元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元， 实际能租出辆． 故答案为：，； ②根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当每辆汽车的日租金上涨或元时，该租赁公司的日收益可达元． 14．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出25件，每件盈利40元． 每天可售出40件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量_______（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量_______（用含的代数式表示）． 任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2550元． 【答案】任务1：；； 任务2：甲店每天的盈利为1225元；乙店每天的盈利为1248元； 任务3：每件衬衫下降10元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：由每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件，即可得出结论； 任务2：由盈利＝每件盈利×销售量，分别列式计算即可； 任务3：设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2550元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：任务1： 每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 甲店每件衬衫降价元，每天销售量为：， 乙店每件衬衫降价元，每天销售量为：， 任务2：当时，甲店每天的销售量为：， 甲店每天的盈利为：（元）； 当时，乙店每天的销售量为：， 乙店每天的盈利为：（元）； 任务3：设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2550元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 由于当时，增加的销量为不为整数，故舍去． 所以每件衬衫下降10元时，两家分店一天的盈利和为2550元． 答：每件衬衫下降10元时，两家分店一天的盈利和为2550元． 15．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表： 普通口罩 N95口罩 进价（元/包） 8 20 （1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价； （2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价； （3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包，该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于，则N95口罩每包售价是________元．（直接写出答案，售价为整数元） 【答案】（1）普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为12元和28元；（2）10元；（3）32 【分析】（1）设普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 x 元和 y 元，建立二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）设普通口罩每包售价降低 a 元；根据当天的利润=每个普通口罩的利润当日普通口罩销售量的关系，列出并求解方程，即可得到答案； （3）设N95口罩每包售价是x元；根据总售价-总成本=总利润的关系，列出方程，再结合a的取值范围，求解不等式，即可完成求解． 【详解】（1）设普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 x 元和 y 元 由题意得， 解得， ∴普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 12 元和 28 元. （2）设普通口罩每包售价降低 a 元 由题意得 解得：a=2，a=-4（舍去） ∴此时普通口罩每包售价为 12-2=10元; （3）设N95口罩每包售价是x元 由题意得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 x=32或33． 当x=33时，a不是整数， ∴N95口罩每包售价是32元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元二次方程、分式方程和不等式的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元二次方程、分式方程和不等式的性质，从而完成求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次方程的应用重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 传播问题 题型二 增长率问题 题型三 与图形有关的问题 题型四 数字问题 题型五 营销问题 题型六 动态几何问题 题型七 工程问题 题型八 行程问题 题型九 浙江地区常考题型（图表信息题） 题型十 其他问题 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 知识点02 一元二次方程应用题常见类型： 1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。 知识点03 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). 知识点04 传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 知识点05 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m= 【经典例题一 传播问题】 【例1】（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）进入秋冬季以来，全国流感呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达324人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染，设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则 ． 3．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【经典例题二 增长率问题】 【例2】（24-25九年级上·山西晋中·期末）2022年北京冬奥会吉祥物是一个非常可爱的熊猫形象，名字叫冰墩墩．冬奥会举办的季节在冬季，而冰字也是冬天的代名词，同时，冰雪纯白，寓意纯净无暇．“墩”字，顾名思义就是憨厚墩实的意思，这也正符合冬奥会勇于拼搏、实事求是进取的精神．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款冬奥会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)7月份的销售量会在6月份的基础上通过市场预测调整，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某制药厂将一种药剂价格逐年降低，2022年这种药剂价格为100元，2024年该药剂价格为81元． (1)求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； (2)若该制药厂计划2025年对此药剂按此下降率继续降价，预计2025年该药剂的价格为多少元？ 2．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2017年种植“阳光玫瑰”100亩，到2019年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩． (1)求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【经典例题三 与图形有关的问题】 【例3】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图：利用一面墙（墙的长度不限），用20m的篱笆围成一个矩形场地．设矩形与墙垂直的一边为xm，矩形的面积为． (1)若面积，求的长； (2)能围成面积为的矩形吗？说明理由． 1．（2025·江西·模拟预测） 项目主题 设计一本书的封面 项目要求 1．封面长，宽； 2．正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形； 3．四周的白色边衬所占面积是封面总面积的； 4．上、下边衬等宽，左、右边衬等宽 项目任务 （1）求上、下边衬与左，右边衬的宽度之比； （2）设上、下边衬的宽均为，请你列出关于的方程，并分别求上、下边衬和左，右边衬的宽． 项目反思 （3）用上面设未知数的方法列方程，解方程进行解题较复杂，请你换一种设未知数的方法，更简单地解决上面的问题． 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，依靠一面长20米的墙，用33米长的篱笆围成一个矩形场地，边上留有1米宽的小门（不用篱笆围），设长为x米．    (1)用含有x的代数式表示边的长，并直接写出x的取值范围； (2)当矩形场地的面积为120平方米时，求的长． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的窥度都为米，左右两条纵向道路的察度都为米，中间部分为种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    (1)若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度； (2)该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？ 【经典例题四 数字问题】 【例4】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 1．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 2．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图所示的是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点． (1)根据上面的内容，请直接写出是三角点阵中前行的点数和； (2)请直接写出三角点阵中前行的点数和_____； (3)三角点阵中前行的点数和能是吗？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 【经典例题五 营销问题】 【例5】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）一款服装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出30件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1500元？ 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）百合是陕西省的省花，叶片青翠娟秀，茎干亭亭玉立，是名贵的切花新秀．某经销商销售百合花，平均每天可卖出束，每束盈利元．临近新年，该经销商决定降价促销，经市场调研发现，每束百合花每降价元，每天销量将增加束，当每束百合花降价多少元时，该经销商每天销售百合花能盈利元？ 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）2024年成都世界园艺博览会于4月26日至10月28日举行．在盛会期间，某销售商进行市场调查发现：某类盆栽每盆进货价为60元．当销售价为90元时，平均每天能售出24盆；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2盆．现设销售价降低元，解答下列问题． (1)填空：现在平均每天可售出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）； (2)试向：当为何值时，平均每天盈利784元？ (3)若该销售商打算平均每天盈利900元，那么他的这种想法能实现吗？请说明理由． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期中）“这么近，那么美，周末到河北”，河北拥有得天独厚的自然风光和丰富的历史文化资源，吸引着众多游客前来探索；河北著名旅游景点正定古城今年5月份共接待游客达20万人次，预计在7月份，将接待游客达万人次． (1)求正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率． (2)景区一个纪念品专卖店在销售中发现，一款纪念品每件进价为20元，销售价为35元时，每天可售出100件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若每件纪念品降价1元，则平均可多售出10件，当每件售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款纪念品销售中实现平均每天1560元的利润额． 【经典例题六 动态几何问题】 【例6】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 1．（24-25九年级上·湖北荆门·期中）已知：如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 2．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在中，，，，一动点P从点C出发沿方向以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿C方向以每秒8个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，是等腰直角三角形？ (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中，线段能平分的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【经典例题七 工程问题】 【例7】（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 1．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 2．（24-25九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 【经典例题八 行程问题】 【例8】（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 1．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 2．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 3．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【经典例题九 浙江地区常考题型（图表信息题）】 【例9】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）综合实践： 项目主题 “亚运主题”草坪设计 项目情境 为了迎亚会，同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案 驱动问题一 （1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关系？ ①直观猜想；我认为__________；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为__________和__________； ③一般验证：若小路宽为x米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为__________和__________． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为2204平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形，如图． 驱动问题三 （3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长． ①若30米长的篱笆，请用函数表示y关于x的表达式． ②数学之星小明提出一个问题：若a米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗﹖请说明理由． 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）某校八年级开展社会实践活动， 下表是某小组的活动记录表， 请根据相关信息解决实际问题． 社会实践活动记录表 小组名称 活动时间 2024.6 小组成员 地点 北岸果蔬超市 实践内容 调查杨梅销售行情； 帮助超市解决销售问题； 同时思考民生获益等事宜． 调研信息 杨梅进价为 40 元/箱． 当杨梅售价为 50 元/箱时， 每月可销售 500 箱． 若每箱售价每上涨 1 元， 则月销售量将减少 10 箱． 解决问题 问题 1 当销售单价定为每箱 55 元时， 月销售量是多少？ 问题 2 设销售单价为每箱 元，请用 的代数式表示月 销售利润． 问题 3 请自行提出一个实际问题，并尝试解决之 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践： 用硬纸板制作无盖纸盒 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）． 素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下： ∴当时，有最大值5． 方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形． 方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形．    任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为　　　（用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到． 任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面边的长． 任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小． 任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值． 3．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）某校八年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计无盖长方体纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒． 素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． 问题解决 任务1 设剪去的小正方形边长为，请用含的代数式表示折成的无盖长方体纸盒的侧面积． 任务2 若用上述方式折成的无盖长方体纸盒侧面积为，试求出此时纸盒的体积． 任务3 探究按上述方式折成的无盖长方体纸盒侧面积能否到达？若能，请求出此时剪去的小正方形边长；若不能，请说明理由． 【经典例题十 其他问题】 【例10】（23-24九年级上·四川成都·期末）在北师大九年级下册教材第页“二次函数”的学习中引入了这样一个情景：某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子．请同学们进一步探索下面的问题： (1)假设果园多种了棵橙子树，直接写出平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系； (2)如果果园橙子的总产量要达到个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树． 1．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计： (1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？ (2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明； (3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数． 2．（2024·北京昌平·二模）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． (1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式. 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________； 方案二：采用两次漂洗的方式. 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好. (2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某合作社从2020年到2022年每年种植脐橙100亩，2020年脐橙的平均亩产量为2000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术提高脐橙的产量，2022年脐橙的平均亩产量达到2880千克． (1)若2021年和2022年脐橙的平均亩产量的年增长率相同，求脐橙平均亩产量的年增长率为多少？ (2)2023年该合作社计划在保证脐橙种植的总成本不变的情况下，增加脐橙的种植面积，经过调查发现，2022年每亩脐橙的种植成本为1200元，若脐橙的种植面积每增加1亩，每亩脐橙的种植成本将下降10元，求2023年该合作社增加脐橙种植面积多少亩，才能保证脐橙种植的总成本不变？ 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）电影《流浪地球2》于2023年1月22日在中国上映，第一天票房约4亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约6亿，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）欧几里得的原本记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是（   ）    A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 3．（24-25九年级上·河南开封·期末）要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请（    ）个球队参加比赛． A．6 B．7 C．8 D．9 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a，宽为b的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为S（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25八年级下·浙江湖州·阶段练习）利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是长方形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则长方形的面积是 ．    6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长34米的围栏建两个面积相同的生态园，两个生态园各留一扇宽为1米的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计）．每个生态园的面积为48平方米，则每个生态园垂直于墙的一边长为 ． 7．（24-25九年级上·山西·期末）如图，王师傅要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边要留出安装木门．若要使羊圈的面积为，则所围矩形与墙垂直的一边长为 ． 8．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在 中，，，，点P从A点出发，沿射线方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线方向以4cm/s的速度移动． （1） ； （2）如果P、Q两点同时出发，问：经过 秒后的面积等于． 9．（24-25九年级上·浙江台州·开学考试）某经销商销售一种成本价为元的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于元．在销售过程中发现销量与售价（元）之间满足一次函数关系，对应关系如表所示． (1)求与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)若该经销商想要使这种商品获得平均每天元的利润，则售价应定为多少元？ 10．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）某老牌造车企业为实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使新能源汽车项目的生产规模不断扩大，该企业9月，10月一共生产新能源汽车95000辆，其中10月份新能源汽车产量是9月份的倍少4000辆．(说明：生产的新能源汽车全部销售出去)． (1)求9月，10月新能源汽车产量各是多少辆 (2)若10月份每辆新能源汽车的利润为1万元，11月份新能源汽车产量比上月增加，11月份每辆新能源汽车的利润比上月增加，则11月份新能源汽车总利润达到66000万元，求m的值． 11．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）根据以下销售情况，解决任务： 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲，乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 销售情况 甲店：每天可售出25件，每件盈利40元； 乙店：每天可售出40件，每件盈利30元． 市场调查 经过调查发现，每件衬衫每降价1元，甲，乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量______（用含有a的代数式表示） 乙店每天的销售量______（用含有b的代数式表示） 任务2 若总公司规定两家分店下降的价格必须相等，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2550元． 12．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．    (1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长． (2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元． (1)求2021年至2023年日租金的平均增长率． (2)经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元． ①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出______辆车． ②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益总租金各类费用) 14．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出25件，每件盈利40元． 每天可售出40件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量_______（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量_______（用含的代数式表示）． 任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2550元． 15．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表： 普通口罩 N95口罩 进价（元/包） 8 20 （1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价； （2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价； （3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包，该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于，则N95口罩每包售价是________元．（直接写出答案，售价为整数元） 学科网（北京）股份有限公司 $$