专题讲义2：圆锥曲线的定点、定值、定直线问题——2025届上海市高三数学二轮复习压轴题突破

2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（圆锥曲线篇） 专题训练02 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题 类型一：定点问题 1、斜率关系过定点 1．（2023控江中学阶段练习）已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5． (1)求E的标准方程； (2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为． （i）证明：直线过定点； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）由题可知，求解即可得到抛物线的方程； （2）（i）先求解，设，根据斜率公式结合题意可得，分斜率存在和不存在分别求得直线的方程，从而可确定过定点；（ii）设，当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，结合韦达定理求得的最小值为；当直线斜率不存在时，由抛物线定义知，从而可求解. 【详解】（1）由题可知，解得. 所以的标准方程为； （2）（i）由（1）知，，且，解得，所以. 设，则，同理可得，， 则，即. 当直线斜率存在时，直线的方程为， 整理得. 所以，即， 所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，可得. 综上，直线过定点. （ii）设，当直线斜率存在时， 设直线的方程为， 与抛物线联立得，消去得， 由题意，所以. 所以 ， 所以当时，的最小值为； 当直线斜率不存在时，. 由抛物线定义知. 故的最小值为.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 2．（2023格致中学练习）已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明是什么曲线； (2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且. ①求证：直线恒过一定点； ②设的面积为，求的最大值. 【答案】(1)，曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左､右顶点. (2)①证明见解析；②最大值为. 【分析】（1）根据题目所给条件列出方程化简即可得解； （2）①设直线的方程为，根据结合根与系数的关系化简，可得即可得证；②根据三角形面积公式得出面积表达式，利用配方法求最大值即可. 【详解】（1）由题意，得， 化简得， 所以曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左､右顶点. （2）如图，    ①证明：设. 因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意， 所以直线的斜率必不为0. 设直线的方程为. 由得， 所以，且 因为点是曲线上一点， 所以由题意可知， 所以，即 因为 所以，此时， 故直线恒过轴上一定点. ②由①可得，， 所以 当且仅当即时等号成立， 所以的最大值为. 2、相交弦过定点—“蝴蝶模型“ 3.已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【答案】（1）；（2）证明详见解析. 【分析】（1）由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解. （2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：      由椭圆方程可得：， ， ， ， 椭圆方程为： （2）[方法一]：设而求点法 证明：设， 则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时， 直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． [方法二]【最优解】：数形结合 设，则直线的方程为，即． 同理，可求直线的方程为． 则经过直线和直线的方程可写为． 可化为．④ 易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④式可得． 故，可得或． 其中表示直线，则表示直线． 令，得，即直线恒过点． 【整体点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题. 第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单. 3、相交弦中点连线过定点 4．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标. 【答案】(1) (2)直线过定点 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离及渐近线方程列方程组，解方程； （2）设直线、方程，分别联立直线与双曲线，结合根与系数关系得、坐标，写出直线方程，可得直线过定点. 【详解】（1）设双曲线的焦点坐标为， 依题意渐近线方程为，即， 有， 解得， ； （2）由（1）可知右焦点， 设直线：，，， 由联立直线与双曲线， 化简得，， 故，， ， 又，则， 同理可得： ， ， 化简得， 故直线过定点. 【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 4、圆过定点 5.（虹口2023二模）已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点M的轨迹记为曲线C , 过点F的直线l与曲线相交于P，Q两点. （1）求曲线C的方程； （2）若，求直线l的方程； （3）已知直线AP，AQ分别与直线相交于M，N两点，求证：以MN为直径的圆经过点 解：（1）由条件，得 …… 2分 , 化简，得曲线C的方程:. …… 4分 （2）当直线l为为椭圆C的长轴端点，不满足条件；当直线l不为设其方程为则由得 于是 ① ………6分 由即得 ② ………8分 ②代入①，解得 所以，直线l的方程为（也可写成） ………10分 （3）因点A,故从而直线AP的方程为 由得 同理可得 ………13分 将①代入上式，得 所以 故由“圆的直径所对的圆周角是直角”得：以MN为直径的圆经过点F. ………18分 6．（2020秋·上海浦东新·高三华师大二附中阶段练习）已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于两点，其中与轴交点的横坐标是. (1)证明:; (2)求的最大值，并求此时双曲线的方程; (3)判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点;如果不是，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)面积最大值为，此时双曲线方程为. (3)过定点，定点为和. 【分析】（1）根据向量线性关系得到，结合双曲线渐近线方程，得到，将点坐标代入双曲线方程，得到，进而得到，计算出； （2）考虑时，设出的方程，表达出，表达出，结合第一问中，求出，利用基本不等式求出面积的最大值，并得到双曲线方程为；再考虑时，同样表达出，得到最大值及双曲线方程； （3）表达出的方程及，，结合，得到，设以为直径的圆上的任意一点为，则，求出圆的方程，得到且，求出定点坐标. 【解析】（1）因为，所以，即， 双曲线的渐近线方程为，位于两条渐近线上， 若，则，若，则， ①， 又点双曲线上， ，解得：， 故， ； （2）当时，与轴的交点为， 若，则，若，则， ， 由（1）可得:同号，于是，， ，， 当且仅当时，，故面积最大值为， 此时，双曲线方程为； 当时，易得， ， ， 由①式可得:，且点在双曲线上， ， ， ， 当时，同样当且仅当时，， 双曲线方程为； （3）由题意，，， ，， 点在双曲线上， ，从而， ， 设以为直径的圆上的任意一点为， 由，可得该圆的方程为， 不恒为， 故要恒成立，必须有且， 故所求的定点为和. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 5、确定定点使某个条件成立 7．已知椭圆的焦距为2，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点 【分析】（1）根据题意，得到，再由椭圆经过点，联立方程组，求得，即可求解. （2）设直线l的方程为，联立方程组，得到，设点坐标为，由，得到，得到，得到，列出方程，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由椭圆的焦距为2，故，则， 又由椭圆经过点，代入得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）解：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令， 由椭圆右焦点，故可设直线l的方程为， 联立方程组，整理得， 则， 设，，且， 设存在点，设点坐标为，由，可得， 又因为， 所以，所以， 所以直线和关于轴对称，其倾斜角互补，即有， 则，所以， 所以，整理得， 即，即， 解得，符合题意，即存在点满足题意． 【点睛】方法技巧：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 8. （2024大同中学三模）阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.点、分别为轴、轴上的定点. （1）求椭圆的标准方程； （2）点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标； （3）直线与椭圆交于不同的两点A、B，已知关于轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为，已知P、M、N三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）， （3）直线恒过定点 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦距可求出，由椭圆的面积等于得，求出，即可求出椭圆的标准方程； （2）设（为参数），根据点到直线的距离公式表示出R到直线PQ的距离为，由正弦函数的性质确定d的最小值，即可求解； （3）设直线，，进而写出为两点坐标，将直线与椭圆的方程联立，根据韦达定理求，，由三点共线可知，将，代入并化简，得到的关系式，分析可知经过的定点坐标. 【小问1详解】 由题意知，椭圆的面积知，得， 又，所以，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由题意得，直线方程为，即，设（为参数）， 则点到直线的距离为， 当即即时，取得最小值，且最小值为， 所以的面积的最小值为， 此时. 【小问3详解】 设直线，，则，， 三点共线，得 ， 直线与椭圆交于两点，， ，， 由，得， ， ，代入中， ，， 当，直线方程为，则重合，不符合题意； 当时，直线，所以直线恒过定点. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 类型二：定值问题 1、斜率型定值 9．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）已知椭圆C：的焦距为，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点． ①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标； ②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值． 【答案】(1) (2)①证明见解析，；②直线OM与ON的斜率之积为. 【分析】（1）根据焦距和所过点联立方程组求解即可； （2）设出直线方程并与椭圆方程联立，①根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；②利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面积，并借助重要不等式得到三角形面积最大时，直线方程中的参数满足的条件，由此化简直线OM与ON的斜率之积即可得出定值. 【详解】（1）因为焦距为，即，所以， 又因为椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆C的方程为. （2）由题意知，直线l斜率存在，设直线l方程为，设. 由得， ，. ①因为点P为线段的中点，点P在直线上，所以，即，. 所以. 所以线段MN的垂直平分线方程为，即，即. 故线段的垂直平分线恒过定点. ②由弦长公式得， 坐标原点到直线的距离为， 所以的面积为. 当且仅当，即时等号成立. 所以. 所以直线OM与ON的斜率之积为定值. 10．椭圆C： 的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l． （1）求椭圆C的方程； （2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围． （3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）；（2）；（3）-8 【解析】试题分析：（1）根据题意可得又因为，所以可得a，b的值，即可得方程；（2）设出点p坐标，由两点式列出直线方程，然后利用点m到两直线的距离相等来确定m值，再根据p点，横坐标的范围，来确定m范围；（3）设直线方程为与椭圆方程联立，需满足求得，由（2）可知，代入化简即可 试题解析：（1）由于 由题意知 又 （2）设 由题意知 由于点P在椭圆上，所以 所以 （3）设则直线l的方程为 联立 由题意得 又 由（2）知 所以 因此 考点：1．椭圆方程的性质；2．直线与椭圆 2、距离型定值 11. （2022松江区二模）已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，直线l交椭圆Γ于不同的两点M和N． （1）求椭圆Γ的方程； （2）若直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程； （3）若直线l与椭圆Γ相切，求证：点F1、F2到直线l的距离之积为定值． 【答案】（1） （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意结合，可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及，即可求得直线l的方程；（3）分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y＝kx+b，与椭圆方程联立，由Δ＝0，可得b2＝3+4k2，结合点到直线的距离公式，即可求得点F1、F2到直线l的距离之积为定值． 【小问1详解】 因为|F1F2|＝2c＝2，则c＝1， 因为a＝2，， 所以椭圆Γ的方程； 【小问2详解】 因为直线l的斜率为1，故设直线l的方程为y＝x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2）， 由，消去y整理得， 则，， 因为以MN为直径的圆经过右顶点A，则， 所以，即 整理得 ∴ 整理得，解得或， 因为， 显然当或时，成立 所以直线l的方程为或； 【小问3详解】 证明：椭圆Γ的左、右焦点分别为， ①当直线l平行于y轴时，因为直线l与椭圆Γ相切，所以直线l的方程为x＝±2， 此时点F1、F2到直线l的距离分别为d1＝1，d2＝3，所以d1d2＝3， ②当直线l不平行与y轴时，设直线l的方程为y＝kx+b， 联立，消去y整理得， 所以， 因为直线l与椭圆Γ相切，则Δ＝0，所以， 因为到直线l的距离为，到直线l的距离为， 所以， 所以点F1、F2到直线l的距离之积为定值，且定值为3． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，点到直线的距离公式，考查转化思想，分类讨论思想，计算能力，属于难题． 12．已知直线l的方程为x＝﹣2，且直线l与x轴交于点M，圆O：与x轴交于A，B两点（如图）． （1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且O点到直线l1的距离为，求直线l1的方程； （2）求以l为准线，中心在原点，且短轴长为圆O的半径的椭圆方程； （3）过M点的圆的切线l2，交（2）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）可设直线l1的方程为y＝k（x+2），由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得； （2）设椭圆的方程为1（a＞b＞0），易得a＝1或b＝1，分别可得b和a值，可得方程； （3）可设直线l2的方程为y（x+2）和椭圆联立可得5x2+8x+2＝0，由弦长公式可得． 【详解】 （1）∵点到直线的距离为. 设的方程为，∴，∴. ∴的方程为. （2）设椭圆方程为，半焦距为，则. ，，∴.∴所求椭圆方程为. （3）设切点为，则由题意得，椭圆方程为， 在中，，，则， ∴的方程为，代入椭圆中，整理得. 设，，则，. ∴. 【点睛】 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 3、面积型定值 13．（2022华东师范大学第一附属中学开学考试）如图，已知椭圆G：的、右两个焦点分别为、，设，，，若为正三角形且周长为6． (1)求椭圆G的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数k使成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； (3)若过点的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，记△PMQ、△PNQ的面积记为、，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3). 【分析】（1）根据给定的三角形周长，求出半焦距c及a，b作答. （2）设出直线MN的方程，与椭圆方程联立，假定存在符合要求的k，借助斜率并结合韦达定理计算推理作答. （3）由（2），求出点M，N的纵坐标绝对值的比值范围作答. 【解析】（1）令椭圆G的半焦距为c，因，且正的周长为6，则，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为. （2）显然直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN：，点、，则， 由消去x并整理得：，则，， 由（1）知，，假定存在实数k使，则直线的斜率满足， 而 ，解得，与矛盾， 所以不存在实数k使成立. （3）显然直线MN不垂直于y轴，由（2）得直线MN：，， 由（2）得，设，有，于是得， 因此有，， ，显然，当且仅当时取等号， 因此，解得，则， 所以的取值范围是. 14. 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求的周长； （2）求面积的取值范围； （3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解； （2）设过的直线方程为，联立椭圆方程消元后，根据根与系数的关系得，换元后可求，代入三角形面积公式即可求解； （3）根据三角形内切圆的性质及（1）可得，即可转化为，根据三角形面积可化为，利用直线与椭圆联立求出，代入化简后利用均值不等式即可求解. 【详解】（1），为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点， ，从而的周长为． 由题意，得，即的周长为. （2）由题意可设过的直线方程为， 联立，消去x得， 则， 所以， 令， 则（当时等号成立，即时） 所以, 故面积的取值范围为. （3）设，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得， 整理可得， 则，得，， 故． 当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得， 同理，可得， 因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立. 若轴时，易知，，， 此时， 综上，最大值为. 4、角度型定值 15．已知点，为椭圆上任意一点，直线与圆交于，两点，点为椭圆的左焦点． （Ⅰ）求椭圆的离心率及左焦点的坐标； （Ⅱ）求证：直线与椭圆相切； （Ⅲ）判断是否为定值，并说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，，则， 椭圆的离心率，左焦点的坐标， 证明：（Ⅱ）由题意可得， 当时，直线的方程为或，直线与椭圆相切， 当时，由可得， 即， △， 故直线与椭圆相切． （Ⅲ）设，，，， 当时，，，， ， ，即 当时，由，， 则，， ， ，， ， ，即 综上所述为定值． 5、数量积型定值 16．已知双曲线的中心在原点，是它的一个顶点．是它的一条渐近线的一个方向向量． （1）求双曲线的方程； （2）设，为双曲线右支上动点，当取得最小时，求四边形的面积； （3）若过点任意作一条直线与双曲线交于，两点，都不同于点，求证：为定值． 【解答】解：设双曲线的方程为，则， 又，得，的以双曲线的方程为； （2）设，，则，于是 故的最小值为，此时，， 于是， （3）当直线垂直于轴是时，其方程为， ，的坐标分别为，， ，，得， 当直线不与轴垂直时，设此直线方程为， 由得，设，，，，则，， 所以 ， 综上，为定值． 6、参数定值 17. （2023延安中学三模）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. （1）求椭圆的方程； （2）设圆.若直线与圆相切，求点的坐标； （3）若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线分别交轴与点､点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）定值为，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率得到，从而得到椭圆方程. （2）确定圆心和半径，设出直线，根据圆心到直线的距离等于半径得到斜率，解得答案. （3）设出点坐标，根据三点共线得到，，代入计算得到答案. 【小问1详解】 椭圆的离心率是，解得. 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 圆，即， 故圆心，半径，， 设直线的方程为，即， 直线与圆相切，则，解得， 当时，，解得或（舍），故， 当时，，解得或（舍），故， 故或 【小问3详解】 设，，， 三点共线，则，即， 解得，同理可得， . 【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线和圆的位置关系，定点问题， 意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三点共线确定，是解题的关键. 7、运算关系定值 18．已知椭圆经过与两点，过原点的直线与椭圆交于，两点，椭圆上一点满足． （1）求椭圆的方程； （2）求证：为定值； （3）是否存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设椭圆方程为，把点与代入椭圆方程可得 ，解得． 故椭圆方程为． （2）根据条件，可知在线段的垂直平分线上， 同时，关于原点对称． 若，在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上． 这时． 若，，不是椭圆的顶点， 不妨设， 代入椭圆方程得， 解得， 所以． 同时可得， 综上可知：不论，位置如何，总有． 8、坐标相关定值 19．（2022届四川省南充市高三一诊）已知椭圆的离心率为,椭圆C的下顶点和上顶点分别为,,且,过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M,N两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）当时,求的面积； （3）求证：直线与直线的交点T的纵坐标为定值． 【解析】（1）因为,所以,即,因为离心率为,所以,设,则,,又,即,解得或（舍去）,所以,,,所以椭圆的标准方程为 （2）由得 , 所以直线与椭圆无交点,故的面积不存在． （3）由题意知,直线l的方程为,设,, 则,整理得, 则, 因为直线和椭圆有两个交点,所以,则, 设,因为,T,M在同一条直线上,则, 因为,T,N在同一条直线上,则, 由于,所以, 则交点T恒在一条直线上,故交点T的纵坐标为定值 20.已知抛物线C：，圆M：，圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为． (1)求圆M的方程； (2)设P为上一点，P的纵坐标不等于．过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点，和点，，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，由两点间距离公式可得 ，即可得到圆的半径，从而得到结果； （2）根据题意，设切线方程为，由直线与圆相切列出方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到为定值. 【详解】（1）设抛物线上的点，又， 所以 ， 当且仅当时取等号． 所以MN的最小值． 所以圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为． 所以，所以圆M的方程为． （2） 设，由知，过P所作圆的切线的斜率均存在且非零． 设切线方程为，即． 又圆M：，由相切得． 整理得：， 依题意知，所以， 联立，得， 依题意知，设点A，B，C，D的纵坐标为， 则，． 所以 ＝ ． 类型三：定直线问题 1、斜率等差交点在定直线上 21.（2024奉贤中学月考）在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且． (1)求动点M的轨迹； (2)设过的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线y＝8（x≠0）上． 【详解】（1）设，则，由题意知－4＜x＜4． ∵，∴，即，故动点M的轨迹为． （2）存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．理由如下： 当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y＝kx＋1． 设，，，则，，，由此知． 将y＝kx＋1代入，得，于是 ，．① 条件即，也即． 将，代入得． 显然不在直线y＝kx＋1上，∴，从而得，即． 将，代入得．将式①代入得 ，解得． 当直线CD的斜率不存在时，经检验符合题意． 因此存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上． 【反思】由于关于椭圆的极线是直线y＝8，若恒成立，由命题5知点Q在极线y＝8上，因此存在满足题意的Q，其轨迹为y＝8（x≠0）．本题实质是命题5的逆向应用 2、相交弦的交点在定直线上 22.（2024行知中学月考）已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线交轴于点，过点作直线交椭圆于，． （1）求椭圆的标准方程和点的坐标； （2）若是线段的中点，求直线的方程； （3）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线于的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由． 【解答】解：（1）由题意知且， 解得，， 所以椭圆方程为， 由抛物线方程易知准线为，所以； （2）设，，则， 依题意有，解得，， 所以； （3）设，，，，，，， 联立，得， ， 直线，， 交点横坐标，又， 解得， 与的交点恒在直线上． 3、成调和（比例）型的点在定直线上 23.在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求C的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得双曲线焦点在轴上，且，，即可求得双曲线方程； （2）根据双曲线对称性以及交点特征，设出直线方程并与双曲线联立，利用韦达定理根据题目中的表达式代入整理可知点E在定直线上. 【详解】（1）根据题意，设双曲线的方程为， 由题知，，可得； 所以双曲线方程为. （2）易知为双曲线的右焦点，如下图所示：    由题知直线l斜率存在， 根据对称性，不妨设斜率为，故直线的方程为， 代入双曲线方程得， 设，， 由韦达定理有，， 且，， 设，点E在线段上，所以 由可得 化简得， 代入和并化简可得， 即存在点E满足条件，并且在定直线上. 4、交点在定直线上 24.已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的焦点三角形，即可结合余弦定理求解， （2）（i）联立直线与椭圆的方程可得韦达定理，即可根据中点坐标公式可得，从而即可得证；（ii）进一步根据向量的坐标运算即可得证. 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得. 因为，，. 在中，由余弦定理得， 解得，则，故椭圆的方程为； （2）（i） 当直线的斜率存在且不为0时，不妨设直线的方程为， 联立得. 因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交. 设，由韦达定理得， 所以. 因为为线段中点， 所以，此时，则. 要证，只需证明， 而， 所以点轨迹方程为； （ii）联立得，则. 不妨设，所以，. 不妨设，由得 ， 即. 因为，， 所以. ∵，所以，即， 则点在定直线上. 当直线斜率为0时，轴，此时,. 因为，所以，则， 故点在定直线上； 当直线无斜率时，此时直线方程为，易知轴， 所以点在轴上，则. ∵，所以，即，则点在定直线上. 综上可得：点在定直线上. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点；若直线方程为 (为定值),则直线过定点 5、三角形的内心在定直线上 25.已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得点在以，为焦点，为实轴长的双曲线上，且焦距为，从而可求出曲线的方程； （2）由条件可设：，代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，当时，可求得，则的平分线为定直线，从而可得结论. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 因为，所以，又因为， 所以， 所以， 所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线上， 设双曲线的方程为， 则，. 所以，， 又不可能在轴上，所以曲线的方程为.    （2）在轴上存在定点，使得的内心在一条定直线上. 证明如下：由条件可设：.代入， 得， 设，，则 ，得， 所以 所以， 取， 则 又，都在轴上方，所以的平分线为定直线， 所以在轴上存在定点，使得的内心在定直线上. 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线方程的求解，第（2）问解题的关键是取，通过计算，可得定直线为，考查数学计算能力，属于较难题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（圆锥曲线篇） 专题训练02 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题 类型一：定点问题 1、斜率关系过定点 1．（2023控江中学阶段练习）已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5． (1)求E的标准方程； (2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为． （i）证明：直线过定点； （ii）求的最小值． 2．（2023格致中学练习）已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明是什么曲线； (2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且. ①求证：直线恒过一定点； ②设的面积为，求的最大值. 2、相交弦过定点—“蝴蝶模型“ 3.已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 3、相交弦中点连线过定点 4．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标. 4、圆过定点 5.（虹口2023二模）已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点M的轨迹记为曲线C , 过点F的直线l与曲线相交于P，Q两点. （1）求曲线C的方程； （2）若，求直线l的方程； （3）已知直线AP，AQ分别与直线相交于M，N两点，求证：以MN为直径的圆经过点 6．（2020秋·上海浦东新·高三华师大二附中阶段练习）已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于两点，其中与轴交点的横坐标是. (1)证明:; (2)求的最大值，并求此时双曲线的方程; (3)判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点;如果不是，说明理由. 5、确定定点使某个条件成立 7．已知椭圆的焦距为2，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由． 8. （2024大同中学三模）阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.点、分别为轴、轴上的定点. （1）求椭圆的标准方程； （2）点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标； （3）直线与椭圆交于不同的两点A、B，已知关于轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为，已知P、M、N三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 类型二：定值问题 1、斜率型定值 9．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）已知椭圆C：的焦距为，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点． ①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标； ②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值． 10．椭圆C： 的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l． （1）求椭圆C的方程； （2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围． （3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值． 2、距离型定值 11. （2022松江区二模）已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，直线l交椭圆Γ于不同的两点M和N． （1）求椭圆Γ的方程； （2）若直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程； （3）若直线l与椭圆Γ相切，求证：点F1、F2到直线l的距离之积为定值． 12．已知直线l的方程为x＝﹣2，且直线l与x轴交于点M，圆O：与x轴交于A，B两点（如图）． （1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且O点到直线l1的距离为，求直线l1的方程； （2）求以l为准线，中心在原点，且短轴长为圆O的半径的椭圆方程； （3）过M点的圆的切线l2，交（2）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD的长． 3、面积型定值 13．（2022华东师范大学第一附属中学开学考试）如图，已知椭圆G：的、右两个焦点分别为、，设，，，若为正三角形且周长为6． (1)求椭圆G的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数k使成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； (3)若过点的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，记△PMQ、△PNQ的面积记为、，求的取值范围． 14. 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求的周长； （2）求面积的取值范围； （3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值． 4、角度型定值 15．已知点，为椭圆上任意一点，直线与圆交于，两点，点为椭圆的左焦点． （Ⅰ）求椭圆的离心率及左焦点的坐标； （Ⅱ）求证：直线与椭圆相切； （Ⅲ）判断是否为定值，并说明理由． 5、数量积型定值 16．已知双曲线的中心在原点，是它的一个顶点．是它的一条渐近线的一个方向向量． （1）求双曲线的方程； （2）设，为双曲线右支上动点，当取得最小时，求四边形的面积； （3）若过点任意作一条直线与双曲线交于，两点，都不同于点，求证：为定值． 6、参数定值 17. （2023延安中学三模）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. （1）求椭圆的方程； （2）设圆.若直线与圆相切，求点的坐标； （3）若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线分别交轴与点､点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由. 7、运算关系定值 18．已知椭圆经过与两点，过原点的直线与椭圆交于，两点，椭圆上一点满足． （1）求椭圆的方程； （2）求证：为定值； （3）是否存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 8、坐标相关定值 19．已知椭圆的离心率为,椭圆C的下顶点和上顶点分别为,,且,过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M,N两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）当时,求的面积； （3）求证：直线与直线的交点T的纵坐标为定值． 20.已知抛物线C：，圆M：，圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为． (1)求圆M的方程； (2)设P为上一点，P的纵坐标不等于．过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点，和点，，求证：为定值． 类型三：定直线问题 1、斜率等差交点在定直线上 21.（2024奉贤中学月考）在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且． (1)求动点M的轨迹； (2)设过的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由． 2、相交弦的交点在定直线上 22.（2024行知中学月考）已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线交轴于点，过点作直线交椭圆于，． （1）求椭圆的标准方程和点的坐标； （2）若是线段的中点，求直线的方程； （3）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线于的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由． 3、成调和（比例）型的点在定直线上 23.在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求C的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 4、交点在定直线上 24.已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 5、三角形的内心在定直线上 25.已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$