专题讲义1：圆锥曲线十大基础题型——2025届上海市高三数学二轮复习压轴题突破

2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（圆锥曲线篇） 专题训练01 导数十大基础题型 题型1：圆锥曲线标准方程 1. （2023浦东新区三模）已知，曲线． （1）若曲线为圆，且与直线交于两点，求的值； （2）若曲线为椭圆，且离心率，求椭圆的标准方程； 2．已知平面内点与两定点，连线的斜率之积等于 . (1)求点的轨迹连同点，所构成的曲线的方程； (2)设不过坐标原点且不垂直于坐标轴的直线与曲线交于、两点，点为弦的中点： ①求证：直线与直线的斜率之积为定值； ②过点作直线的垂线交曲线于、两点，点为弦的中点设直线与直线交于点，若有，求的最大值. 3. （2023南洋模范中学三模）已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于，两点，其中与轴交点的横坐标是. （1）求的值； （2）求的最大值，并求此时双曲线的方程； 4．（2024•杨浦区校级三模）设，是双曲线上的两点．直线与双曲线的交点为，两点． （1）若双曲线的离心率是，且点在双曲线上，求双曲线的方程； （2）设、分别是双曲线的左、右顶点，直线平行于轴．求直线与斜率的乘积，并求直线与的交点的轨迹方程； （3）设双曲线，其中，，点是抛物线上不同于点、的动点，且直线与双曲线相交于另一点，直线与双曲线相交于另一点，问：直线是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由． 题型2：圆锥曲线的几何特征 5．（2024大同中学模拟）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 6．（2021年•浦东新区一模）已知椭圆，、为的左、右焦点． （1）求椭圆的焦距； （2）点，为椭圆一点，与平行的直线与椭圆交于两点、，若面积为1，求直线的方程； 题型3：直线方程 7．（2020金山区二模）已知动直线l与与椭圆C：x2+＝1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ＝，其中O为坐标原点． （1）若动直线l垂直于x轴．求直线l的方程； （2）证明：x12+x22和y12+y22均为定值； （3）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得三角形面积S△ODG＝S△ODE＝S△OEG＝？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由． 8．（2024·上海崇明·一模）已知椭圆，点、分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点的直线与椭圆交于A、B两点． (1)若直线平行于轴，求线段AB的长； (2)若点A在y轴左侧，且，求直线l的方程； 9．（2024•浦东新区三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，，、，为双曲线上的点． （1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线的方程； 题型4：双曲线的渐近线方程 11．（2024·上海青浦·二模）已知双曲线，，分别为其左、右焦点． (1)求，的坐标和双曲线的渐近线方程； (2)如图，是双曲线右支在第一象限内一点，圆是△的内切圆，设圆与，，分别切于点，，，当圆的面积为时，求直线的斜率； 13．（2024•宝山区二模）已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点． （1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值； （2）若，求的取值范围； 题型5：求点的坐标 14．（2024·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； 15．（2024·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； 16．（2024•浦东新区校级模拟）已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点． （1）若，求点的横坐标； （2）证明：直线过定点； 题型6：求离心率的值或范围 17．（2024·上海长宁·二模）已知椭圆为坐标原点； (1)求的离心率； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； 18．（2024•嘉定区校级模拟）已知曲线． （1）若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率； （2）若曲线为椭圆，且在曲线上．过原点且斜率存在的直线和直线与不重合）与椭圆分别交于，两点和，两点，且点满足到直线和的距离都等于，求直线和的斜率之积． 题型7：求弦长或距离 19.（浦东新区2020届高三上期末（一模））已知曲线，过点作直线和曲线交于、两点. （1）求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离； （2）若，点在第一象限，轴，垂足为，连结，求直线倾斜角的取值范围； 20．（2024•徐汇区校级模拟）已知点，分别为双曲线的左、右焦点，直线与有两个不同的交点，． （1）当时，求到的距离； （2）若为原点，直线与的两条渐近线在一、二象限的交点分别为，，证明；当的面积最小时，直线平行于轴； 21．（2024•宝山区三模）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为． （1）若到抛物线准线的距离为3，求的值； （2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； 题型8：求斜率 22．（2022浦东新区一模）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于不同的两点、． （1）若点和到抛物线准线的距离分别为和，求； （2）若，求的值； （3）点，，对任意确定的实数，若是以为斜边的直角三角形，判断符合条件的点有几个，并说明理由． 23．在平面直角坐标系中，已知双曲线与椭圆，A，B分别为的左､右顶点，点在双曲线上，且位于第一象限. (1)直线与椭圆相交于第一象限内的点，设直线，，，的斜率分别为，，，，求的值； (2)直线与椭圆相交于点（异于点A），求的取值范围. 题型9：求参数 24．如图，已知P是圆上的动点，过作直线BP的垂线，垂足为B，交AP于Q，设线段PQ中点M的轨迹为曲线E. (1)求E的方程； (2)设E与x轴交于C，D，过点M且斜率为1的直线与E的另一个交点为N，与x轴的交点为G.判断：当M在E上运动时，是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型10：三角形周长或面积 25．如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中. (1)若点是的中点，求的值； (2)求面积的最小值. 26．（2022•青浦区二模）已知椭圆的右焦点为F，过F的直线l交Γ于A，B两点． （1）若直线l垂直于x轴，求线段AB的长； （2）若直线l与x轴不重合，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值； （3）若椭圆Γ上存在点C使得|AC|＝|BC|，且△ABC的重心G在y轴上，求此时直线l的方程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（圆锥曲线篇） 专题训练01 导数十大基础题型 题型1：圆锥曲线标准方程 1. （2023浦东新区三模）已知，曲线． （1）若曲线为圆，且与直线交于两点，求的值； （2）若曲线为椭圆，且离心率，求椭圆的标准方程； 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据曲线是圆，得到，由垂径定理得到弦长； （2）分焦点在轴与轴上，两种情况，由离心率求出的值，得到椭圆方程； （3）联立与曲线方程，得到两根之和，两根之积，表达出点坐标，计算出，从而得到A，，三点共线. 【小问1详解】 若曲线为圆，则 圆方程为：，此时圆心到直线的距离 此时； 【小问2详解】 曲线的方程为 当焦点轴上时， 此时 此时椭圆的标准方程为 当焦点轴上时， 此时 此时椭圆的标准方程为； 【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，处理三点共线，四点共圆，或两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等，进而列出方程，代入计算即可. 2．已知平面内点与两定点，连线的斜率之积等于 . (1)求点的轨迹连同点，所构成的曲线的方程； (2)设不过坐标原点且不垂直于坐标轴的直线与曲线交于、两点，点为弦的中点： ①求证：直线与直线的斜率之积为定值； ②过点作直线的垂线交曲线于、两点，点为弦的中点设直线与直线交于点，若有，求的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】(1)根据题意，利用两点求出直线PA、PB的斜率，整理即可求解； (2)①设A、B、M坐标，利用点差法和两点求斜率公式、中点坐标公式计算即可证明； ②由①知，由直线的点斜式方程直线AB、DE方程，将代入直线方程和可得表达式，同理可得的表达式，根据平面向量的线性运算可得.，结合基本不等式计算即可求解. 【解析】（1）设点，由题，则， 故点的轨迹方程为， 所以曲线的方程为. （2）①设点，，，则， 由题意知故， 即， 所以， 即，命题得证. ②由①易知，故， 又，故，， 设，点在直线上，则， 又由①同理得，则， 联立式和式得， 又由式得，则， 联立，解得， 易知点与点在轴的同侧，故点在线段上，即与同向， 故， 又 . 当且仅当时取等，所以， 故的最大值为. 3. （2023南洋模范中学三模）已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于，两点，其中与轴交点的横坐标是. （1）求的值； （2）求的最大值，并求此时双曲线的方程； 【答案】（1） （2）最大值为，双曲线方程为 【解析】 【分析】（1）根据向量运算得到，根据渐近线方程得到，，代入计算得到答案. （2）考虑和两种情况，根据得到，再利用均值不等式计算得到答案. （3）确定直线方程，计算两点的坐标，根据得到圆方程，再根据且，得到定点. 【小问1详解】 ，即，即， 故， 双曲线的渐近线方程为，，在渐近线上， 不妨取，则，则， 点在双曲线上，则， 故，， 故， 【小问2详解】 当时，，与轴的交点为， ， ，同号，于是， ，，， 当且仅当时，此时，双曲线方程为； 当时，，，， ，点在双曲线上，则，，， 当时，同样当且仅当时， 综上所述：的最大值为，双曲线方程为. 4．（2024•杨浦区校级三模）设，是双曲线上的两点．直线与双曲线的交点为，两点． （1）若双曲线的离心率是，且点在双曲线上，求双曲线的方程； （2）设、分别是双曲线的左、右顶点，直线平行于轴．求直线与斜率的乘积，并求直线与的交点的轨迹方程； （3）设双曲线，其中，，点是抛物线上不同于点、的动点，且直线与双曲线相交于另一点，直线与双曲线相交于另一点，问：直线是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【分析】（1）根据所给条件得到关于，的方程组，解得即可； （2）设，或，，则，，表示出，，利用点在双曲线上得到，再由三点共线得到，代入双曲线方程，整理可得； 【解答】解：（1）由题意可得， 解得，， 故双曲线的方程为； （2）设，或，则，，，，， 则，所以， 又，即， 所以， 则，，由，，三点共线得：， ，，由，，三点共线得：， 所以，，又， 所以，即，则， 故直线与直线的交点的轨迹的方程为； 【点评】本题考查了双曲线的性质及直线与双曲线的位置关系，属于难题． 题型2：圆锥曲线的几何特征 5．（2024大同中学模拟）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）利用离心率求解即可，（2）利用是等边三角形，得到. 【解析】（1），，∴． ∴，∴； （2）设．由题意，，，， 因为是等边三角形，所以，即， 解得．故双曲线的渐近线方程为； 6．（2021年•浦东新区一模）已知椭圆，、为的左、右焦点． （1）求椭圆的焦距； （2）点，为椭圆一点，与平行的直线与椭圆交于两点、，若面积为1，求直线的方程； 【答案】）（1）（2）（3） 【详解】（1）由椭圆， 可得，，， 则椭圆的焦距为； （2）由，设，代入得， 由△，得， ，， 所以， 又到直线的距离为， 由， 所以； 题型3：直线方程 7．（2020金山区二模）已知动直线l与与椭圆C：x2+＝1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ＝，其中O为坐标原点． （1）若动直线l垂直于x轴．求直线l的方程； （2）证明：x12+x22和y12+y22均为定值； （3）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得三角形面积S△ODG＝S△ODE＝S△OEG＝？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设直线l的方程为：x＝m，由S△OPQ＝＝，可得点P（m，），代入椭圆C的方程即可求出m的值，从而得到直线l的方程； （2）当直线l的斜率不存在时，易求x12+x22＝1，y12+y22＝2，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝kx+m，与椭圆方程联立，利用弦长公式以及点到直线距离公式，根据三角形的面积，可得到2+k2＝2m2，代入，y12+y22化简即可得到x12+x22＝1，y12+y22＝2； 【解答】解：（1）设直线l的方程为：x＝m， ∴S△OPQ＝＝， ∴， ∴点P（m，），代入椭圆C的方程得：， 解得：，∴m＝， ∴直线l的方程为：x＝； （2）①当直线l的斜率不存在时，点P，Q两点关于x轴对称，所以x2＝x1，y2＝﹣y1， 因为点P（x1，y1）在椭圆上，因此①， 又因为S△OPQ＝，所以②， 由①、②得：，|y1|＝1， 此时x12+x22＝1，y12+y22＝2； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝kx+m，依题意m≠0， 联立方程，消去y得：（2+k2）x2+2kmx+m2﹣2＝0， ∴△＝4k2m2﹣4（2+k2）（m2﹣2）＞0，即2+k2＞m2 （*）， 且x1+x2＝，， ∴|PQ|＝＝， 又∵原点O到直线l的距离为d＝， ∴S△OPQ＝＝×＝＝， 整理得：2+k2＝2m2，符合（*）式， 此时，＝＝＝＝＝1， ＝2（1﹣x12）+2＝4﹣2（）＝2， 综上所述，x12+x22＝1，y12+y22＝2； 【点评】本题主要考查了点到直线距离公式，考查了直线与椭圆的位置关系，以及三角形面积公式，是中档题． 8．（2024·上海崇明·一模）已知椭圆，点、分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点的直线与椭圆交于A、B两点． (1)若直线平行于轴，求线段AB的长； (2)若点A在y轴左侧，且，求直线l的方程； 【答案】(1)3 (2)或 (3)存在，或或 【分析】（1）根据椭圆方程求出直线与椭圆交点的横坐标后可求； （2）设，根据点在椭圆上和可得关于的方程组，求出其解后可得直线方程； 【详解】（1）由题意，、，所以直线的方程是， 代入中，得，所以 （2）设，则 所以， 又，所以所以点坐标是或， 所以直线的方程是或. 9．（2024•浦东新区三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，，、，为双曲线上的点． （1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线的方程； 【分析】（1）由已知结合点到直线的距离公式即可直接求解； （2）先设直线的方程，联立直线与双曲线方程，结合方程的根与系数关系可求； 【解答】解：（1）由题，右焦点， 渐近线方程为， 因此焦点到渐近线的距离为； （2）显然，直线不与轴重合，设直线方程为， 由，得， 联立方程，得， 其中，△恒成立，，， 代入，消元得，， 即，解得， 所以，直线的方程为； 【点评】本题主要考查了双曲线的性质及直线与双曲线位置关系的应用，属于中档题． 题型4：双曲线的渐近线方程 11．（2024·上海青浦·二模）已知双曲线，，分别为其左、右焦点． (1)求，的坐标和双曲线的渐近线方程； (2)如图，是双曲线右支在第一象限内一点，圆是△的内切圆，设圆与，，分别切于点，，，当圆的面积为时，求直线的斜率； 【答案】(1)，， (2)； 【分析】（1） 直接根据题干给的双曲线的标准方程求得答案； （2）由双曲线的定义以及切线的性质可得圆的半径，再借助于点到直线的距离公式求直线的斜率； 【详解】（1）因为双曲线，所以，所以， 即，， 所以双曲线的渐近线方程是 ； （2）由题意可知，，， 所以， ，即是椭圆右顶点 设圆的半径为，因为圆的面积为，则，即， ， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离等于圆的半径， 可得， 解得直线的斜率为 【点睛】关键点点睛：针对类似于的角度问题，一般情况下会转化垂直问题，再结合垂直时的斜率之积为-1即可解决问题. 13．（2024•宝山区二模）已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点． （1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值； （2）若，求的取值范围； 【分析】（1）根据题意可得两条渐近线方程为，则，设两条直线夹角为，则，，即可得答案． （2）设，，，，由已知得，即，又点在双曲线上，有，推出，进而可得答案． 【解答】解：（1）两条渐近线方程为， 所以 设两条直线夹角为，则， 所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为． （2）设，，，，由已知得、， ，， 则， 得， 又点在双曲线上，有，即， 从而， 所以， 又点是双曲线在第一象限的点， 所以， ， 所以． 题型5：求点的坐标 14．（2024·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； 【答案】(1)或； (2)或； 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得或； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； 【详解】（1）易知，设点， 可得，可得， 则， 所以，解得， 可得， 即或 （2）设直线的方程为，， 联立并整理可得， 所以， 易知的面积为 ， 解得，即； 所以直线的方程为或. 15．（2024·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在；或 【分析】（1）求出点坐标后，根据椭圆定义可求得结果； （2）根据三角形面积可求得点到直线的距离为，利用平行直线间距离公式可求得到直线的距离为的直线方程，与椭圆方程联立可求得点坐标； 【详解】（1）由椭圆方程知：，，，则， 设，，解得：，即， 由椭圆定义知：. （2）由（1）知：， ，； 若存在点，使的面积为， 则点到直线的距离， ，直线方程为：，即， 设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为， ，解得：或； 当时，直线方程为， 由得：，解得：或， 或，点或； 当时，直线方程为， 由得：，方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点； 综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积、参数取值范围的求解问题；本题求解参数范围的关键是能够根据向量数量积关系，将问题转化为，从而利用两点间距离公式和韦达定理化简该等量关系. 16．（2024•浦东新区校级模拟）已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点． （1）若，求点的横坐标； （2）证明：直线过定点； 【分析】（1）由抛物线的性质可得弦长的表达式，进而可得的中点的横坐标； （2）设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，可得的中点的坐标，同理可得的坐标，再分和两种情况讨论直线的方程，进而可得直线恒过的定点的坐标； 【解答】（1）解：由抛物线性质知， 可得， 所以的中点的横坐标； （2）证明：如图，设，，，，不妨设， 设，则， 由，得， 故，，，， 所以，，因为， 同理可得， 若，则直线， 过点， 若，则直线， 综上所述：直线过定点； 【点评】本题考查抛物线的性质的应用，直线与抛物线的综合应用，三角形面积公式的应用，基本不等式的性质的应用，属于难题． 题型6：求离心率的值或范围 17．（2024·上海长宁·二模）已知椭圆为坐标原点； (1)求的离心率； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； 【答案】(1) (2)的最大值为，最小值为 【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率； （2）利用椭圆的几何性质，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解； 【详解】（1）设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为， 则，则，所以. （2）依题意，设，则，，故， 则， 所以由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 18．（2024•嘉定区校级模拟）已知曲线． （1）若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率； （2）若曲线为椭圆，且在曲线上．过原点且斜率存在的直线和直线与不重合）与椭圆分别交于，两点和，两点，且点满足到直线和的距离都等于，求直线和的斜率之积． 【分析】（1）分焦点在轴、轴两种情况讨论，分别求出离心率； （2）将点代入方程，求出的值，即可求出曲线方程，设直线的方程为，直线的方程为，设，，利用点到直线的距离公式得到，是一元二次方程的两实数根，利用韦达定理计算可得； 【解答】解：（1）因为曲线为双曲线， 若焦点在轴，则，又渐近线方程为， 则，即，解得或（舍去）， 此时曲线的离心率； 若焦点在轴上，则，又渐近线方程为， 则，即，解得（舍去）或， 此时曲线的离心率． 综上可得曲线的离心率为或2． （2）依题意，解得或， 当时，曲线，符合题意； 当时，曲线，符合题意； 设直线的方程为，直线的方程为，设，， 则根据点到直线的距离公式可得， 化简得， 同理可得， 所以是一元二次方程的两实数根， △，则有， 又点，所以． 【点评】本题考查了直线与椭圆的综合，考查了分类讨论思想及方程思想，属于中档题． 题型7：求弦长或距离 19.（浦东新区2020届高三上期末（一模））已知曲线，过点作直线和曲线交于、两点. （1）求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离； （2）若，点在第一象限，轴，垂足为，连结，求直线倾斜角的取值范围； 【解答】（1）曲线的焦点为，渐近线方程，……2分 由对称性，不妨计算到直线的距离，. ……4分 （2） 设，，从而7分 又因为点在第一象限，所以， ………………………8分 从而，……………………………………………9分 所以直线倾斜角的取值范围是 …………………10分 20．（2024•徐汇区校级模拟）已知点，分别为双曲线的左、右焦点，直线与有两个不同的交点，． （1）当时，求到的距离； （2）若为原点，直线与的两条渐近线在一、二象限的交点分别为，，证明；当的面积最小时，直线平行于轴； 【分析】（1）易求焦点坐标，可得到的距离； （2）求得两渐近线方程，联立方程可得，可证结论； 【解答】解：（1）由双曲线的左焦点，，右焦点，， 时，，， 直线，到的距离； （2）由双曲线得两渐近线的方程为， 直线与的两条渐近线在一、二象限的交点分别为，，， 由得交点的横坐标为， 由得交点的横坐标为， ，当时取等号， 所以当的面积最小时，直线平行于轴； 【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，属难题． 21．（2024•宝山区三模）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为． （1）若到抛物线准线的距离为3，求的值； （2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； 【分析】（1）根据题意可得点的横坐标为2，将其代入抛物线的方程，即可求得的值； （2）易知，设，由的中点在抛物线上，可得的值，进而得到直线的方程，再由点到直线的距离公式得解； 【解答】解：（1）抛物线的准线为， 由于到抛物线准线的距离为3， 则点的横坐标为2，则， 解得； （2）当时，点的横坐标为，则， 设，则的中点为， 由题意可得，解得， 所以， 则， 由点斜式可得，直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离为； 【点评】本题考查抛物线的定义及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 题型8：求斜率 22．（2022浦东新区一模）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于不同的两点、． （1）若点和到抛物线准线的距离分别为和，求； （2）若，求的值； （3）点，，对任意确定的实数，若是以为斜边的直角三角形，判断符合条件的点有几个，并说明理由． 解：（1）根据抛物线定义，，∴. ……………4分. （2）直线的方程为， ， ， ………………5分 ………………6分 ， ， ， …………8分 ， ………………9分 代入（5）得：， 或， ∴ . ………………10分 （3）∵ 是以为斜边的直角三角形， ∴ ，， ………………11分 , , 即， ， （或者）， ∴ ，， ………………14分 ， ，方程仅有一个正实数解， 存在一个满足条件的点. ………………16分. 23．在平面直角坐标系中，已知双曲线与椭圆，A，B分别为的左､右顶点，点在双曲线上，且位于第一象限. (1)直线与椭圆相交于第一象限内的点，设直线，，，的斜率分别为，，，，求的值； (2)直线与椭圆相交于点（异于点A），求的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）方法1：设直线，联立双曲线方程和椭圆方程，求得P，M两点坐标，因为，，则可求出，，所以；方法2：设，，因为点在双曲线上，点在椭圆线上，得出x，y的关系，即可求出，，再利用，，三点共线，即可求出的值. （2）设直线的方程为，联立双曲线方程求出点坐标，联立椭圆方程求出N点坐标，即可求出，因为点位于第一象限，可求k的取值范围，则可求出函数值域，即的取值范围. 【解析】（1）方法1：设直线， 联立，消，得， 所以，解得， 设，则， 所以. 联立，消，得， 设，则， 所以. 因为，， 所以， ， 所以. 方法2设，， 因为，， 所以， . 因为点在双曲线上，所以， 所以，所以. 因为点在椭圆线上，所以， 所以，所以. 因为，，三点共线，所以， 所以. （2）设直线的方程为， 联立，消，得 ， 解得，， 所以点的坐标为， 因为点位于第一象限，所以， 解得，联立，消，得 ， 解得，， 所以点的坐标为， 所以， 设，则， 所以. 因为函数在区间上单调递增， 所以当时，，所以， 所以，即， 故的取值范围为. 【点睛】（1）此题考查椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率之积和斜率之和证明结论. （2）解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 题型9：求参数 24．如图，已知P是圆上的动点，过作直线BP的垂线，垂足为B，交AP于Q，设线段PQ中点M的轨迹为曲线E. (1)求E的方程； (2)设E与x轴交于C，D，过点M且斜率为1的直线与E的另一个交点为N，与x轴的交点为G.判断：当M在E上运动时，是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据椭圆的定义求得的方程. （2）设MN的方程为并与的方程联立，化简写出根与系数关系，计算出，从而求得正确答案. 【解析】（1）因为，且M为PQ中点，所以. 因为P是圆上的点，且A为圆心，所以. 所以. 又因为，则. 所以M的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆. 则在该椭圆中，，，. 故所求的椭圆方程为. （2）依题意，C，D是椭圆与x轴的交点. 不妨设C在D的左侧，则C，D分别是椭圆的左，右顶点. 故，. 设MN的方程为. 令，得，即. 所以，. 则. 联立，消去x得：. 整理得 由，得. 设，. 则，. ，同理. 所以. 即. 所以存在，使得. 题型10：三角形周长或面积 25．如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中. (1)若点是的中点，求的值； (2)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，根据点是的中点，列方程求解即可. （2）联立直线与双曲线方程，表示出的长，根据点到直线的距离公式表示出三角形的高，从而得到三角形面积表达式，即可求得结果. （1） 设 联立直线与双曲线方程，消去得， 由韦达定理可知， 联立直线与其中一条渐近线方程，解得 即，同理可得， 则， 则可知的中点与中点重合. 由于是的中点，所以，解得； （2） 与联立，消去得 由（1）知，.或 由于， 所以， 又到直线的距离，所以 整理得， 令，则， 当，即时， 的最大值为2，所以的最小值为. 26．（2022•青浦区二模）已知椭圆的右焦点为F，过F的直线l交Γ于A，B两点． （1）若直线l垂直于x轴，求线段AB的长； （2）若直线l与x轴不重合，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值； （3）若椭圆Γ上存在点C使得|AC|＝|BC|，且△ABC的重心G在y轴上，求此时直线l的方程． 【分析】（1）令x＝1，求出y＝±即可． （2）设直线l：x＝my+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理和三角形面积公式表达出△ABO的面积即可． （3）分类讨论直线l，与椭圆方程联立，利用中点坐标公式求出M的坐标，再利用重心的性质求出C的坐标，代入椭圆即可求解． 【解答】解：（1）∵F（1，0），令x＝1，则+＝1，∴y＝±，∴|AB|＝3． （2）设直线l：x＝my+1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立得，则（3m2+4）y2+6my﹣9＝0， 则Δ＝144（m2+1），y1+y2＝，y1•y2＝， ∴|y1﹣y2|＝＝， ∴S△AOB＝|OF|•|y1﹣y2|＝×， 令＝t，t≥1，则S△AOB＝＝， ∵y＝3t+在[1，+∞）上为增函数， ∴S△AOB＝＝≤＝，当且仅当t＝1，即m＝0时取等号， ∴△AOB面积的最大值为． （3）当直线l不与x轴重合时， 设直线l：x＝my+1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M， 联立得，则（3m2+4）y2+6my﹣9＝0， Δ＝144（m2+1），y1+y2＝，y1•y2＝， ∵△ABC的重心G在y轴上， ∴x1+x2+xC＝0， ∴xC＝﹣（x1+x2）＝﹣m（y1+y2）﹣2＝， xM＝＝＝， yM＝＝， ∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB， ∴直线CM：y﹣yM＝﹣m（x﹣xM），∴yC＝yM﹣m（xC﹣xM）＝， ∴C（，），代入椭圆得，m2（3m2﹣1）＝0， ∴m＝0或m＝±， ∴直线l：x＝1或x＝±y+1， 当直线l与x轴重合时，C点在椭圆的上，下顶点，满足题意，此时l：y＝0， 综上，直线l：x＝1或y＝0或x＝±y+1． 【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于难题． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$