专题01：圆锥曲线十大基础题型-2025届上海市高三数学二轮复习压轴题突破

2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分(圆锥曲线篇) 专题训练01 圆锥曲线十大基础题型 题型1:求圆锥曲线的标准方程 【例1】(2022•上海高考)已知椭圆,、两点分别为的左顶点、下顶点,、两点均在直线上,且在第一象限. (1)设是椭圆的右焦点,且,求的标准方程; (2)若、两点纵坐标分别为2、1,请判断直线与直线的交点是否在椭圆上,并说明理由; 【例2】我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“异型”曲线,其中是焦距为的等轴双曲线的一部分,如图所示. (1)求“异型”曲线的方程; (2)若,为“异数”曲线上的点,求的最小值; 【例3】(2023奉贤中学模拟)已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,、分别为左、右焦点,椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形,且. (1)求椭圆方程; (2)对于轴上的某一点,过作不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点,若存在轴上的点,使得对符合条件的恒有成立,我们称为的一个配对点,求证:点是左焦点的配对点; 【例4】(徐汇2023一模20)已知曲线的方程为,直线:与曲线在第一象限交于点. (1)若曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆,求的值; (2)若,时,直线与曲线相交于两点M,N,且,求曲线的方程; 【例5】(2024•奉贤区三模)如图1:已知椭圆的方程为和椭圆,其中,分别是椭圆的左右顶点. (1)若,恰好为椭圆的两个焦点,椭圆和椭圆有相同的离心率,求椭圆的方程; (2)如图2,若椭圆的方程为.是椭圆上一点,射线,分别交椭圆于,,连接,,,均在轴上方),求证:,斜率之积为定值,求出这个定值; 题型2:圆锥曲线的几何特征 【例6】(2020•上海)已知双曲线与圆交于点,(第一象限),曲线为、上取满足的部分. (1)若,求的值; (2)当,与轴交点记作点、,是曲线上一点,且在第一象限,且,求; 【例7】(2022•上海)设有椭圆方程 :+=1(a>b>0),直线l:x+y﹣4=0, 下端点为A,M在l上,左、右焦点分别为F1(﹣,0)、F2(,0). (1)a=2,AM中点在x轴上,求点M的坐标; (2)直线l与y轴交于B,直线AM经过右焦点F2,在 ABM中有一内角余弦值为,求b; 【例8】(2024 上海奉贤 一模)椭圆的左右焦点分别为,设是第一象限内椭圆上的一点,的延长线交椭圆于点. (1)若椭圆的离心率,求的值; (2)若,求; 【例9】(2023七宝中学三模)已知是椭圆的左顶点,是椭圆上不同的两点. (1)求椭圆的焦距和离心率; (2)设,若,且、、和、、分别共线,求证:三点共线; 题型3:直线方程 【例10】(2021年上海卷20)已知 :y2=1,F1,F2是其左、右焦点,直线l过点P(m,0)(m),交椭圆于A,B两点,且A,B在x轴上方,点A在线段BP上. (1)若B是上顶点,||=||,求m的值; (2)若•,且原点O到直线l的距离为,求直线l的方程; 【例11】(2024•宝山区四模)已知点在双曲线的一条渐近线上,、为双曲线的左、右焦点且. (1)求双曲线的方程; (2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点,求直线的方程; 题型4:双曲线的渐近线方程 【例12】(2024•青浦区二模)已知双曲线,,分别为其左、右焦点. (1)求,的坐标和双曲线的渐近线方程; (2)如图,是双曲线右支在第一象限内一点,圆是 的内切圆,设圆与,,分别切于点,,,当圆的面积为时,求直线的斜率; 【例13】(2024•闵行区模拟)已知双曲线的左、右焦点分别为、. (1)若的长轴长为2,焦距为4,求的渐近线方程; (2)若,双曲线左支上任意点均满足,求的最大值; 题型5:求点的坐标 【例14】(2024•上海高考)已知双曲线,,左右顶点分别为,,过点的直线交双曲线于、两点,且点在第一象限. (1)当离心率时,求的值; (2)当, 为等腰三角形时,求点的坐标; 题型6:求离心率的值或范围 【例15】(2023•上海高考)已知椭圆且. (1)若,求椭圆的离心率; (2)设、为椭圆的左右顶点,椭圆上一点的纵坐标为1,且,求实数的值; 【例16】(2025届金山一模)已知椭圆,抛物线与有一个相同的焦点F.过点F作互相垂直的两条直线l与,直线l与交于点A、B,直线与交于点C、D. (1)求椭圆的离心率及抛物线的方程; (2)若直线l的倾斜角为,求AB中点M的坐标; 题型7:求弦长或距离 【例17】(2023年上海卷20)已知抛物线 :y2=4x,在 上有一点A位于第一象限,设A的纵坐标为a(a>0). (1)若A到抛物线 准线的距离为3,求a的值; (2)当a=4时,若x轴上存在一点B,使AB的中点在抛物线 上,求O到直线AB的距离; 【例18】(2019年上海卷20)已知椭圆1,F1,F2为左、右焦点,直线l过F2交椭圆于A,B两点. (1)若直线l垂直于x轴,求|AB|; (2)当∠F1AB=90 时,A在x轴上方时,求A、B的坐标; 【例18】(浦东新区2020届高三上期末(一模))已知曲线,过点作直线和曲线交于、两点. (1)求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离; (2)若,点在第一象限,轴,垂足为,连结,求直线倾斜角的取值范围; 题型8:求直线的斜率 【例19】(2023建平中学三模)已知椭圆左、右顶点分别为、,是椭圆上异于、的任一点,直线,、是直线上两点,、分别交椭圆于点、两点. (1)直线、的斜率分别为、,求的值; (2)若、、三点共线,,求实数的值; 题型9:求参数 【例20】(2023上海春考)已知椭圆 : + =1(m>0 ,m≠) . (1)若 m =2,求椭圆 的离心率; (2)设 A1、A2 为椭圆 的左右顶点,若椭圆 上一点 E 的纵坐标为 1,且• =﹣2,求 m 的值; 3)存在过椭圆 上一点 P、且斜率为的直线 l,使得直线 l 与双曲线﹣ = 1仅有一个公共点,求 m 的取值范围 . 【例21】(2024•浦东新区二模)已知相圆,点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足,求的值; (2)点为椭圆的右顶点,定点在轴上,若点为椭圆上一动点,当取得最小值时点恰与点重合,求实数的取值范围; (3)已知为常数,过点且法向量为的直线交椭圆于、两点,若椭圆上存在点满足,求的最大值. 题型10:三角形周长或面积 【例22】(崇明2023二模)已知椭圆 :,点分别是椭圆 与轴的交点(点在点的上方),过点且斜率为的直线交椭圆于两点. (1)若椭圆焦点在轴上,且其离心率是,求实数的值; (2)若,求的面积; 【例23】(2022崇明二模)已知双曲线,双曲线的右焦点为F,圆C的圆心在y轴正半轴上,且经过坐标原点O,圆C与双曲线 的右支交于A、B两点. (1)当 OFA是以F为直角顶点的直角三角形,求 OFA的面积; (2)若点A的坐标是,求直线AB的方程; 【例24】(2024•松江区模拟)已知椭圆的左、右焦点分别为、,焦距为,点在上. (1)求椭圆的标准方程; (2)已知点,点为椭圆上一点,求周长的最大值; 【例25】(2022•宝山区模拟)已知椭圆是左、右焦点.设M是直线l:x=t(t>2)上的一个动点,连结MF1,交椭圆 于N(yN≥0).直线l与x轴的交点为P,且M不与P重合. (1)若M的坐标为,求四边形PMNF2的面积; (2)若PN与椭圆 相切于N且,求tan∠PNF2的值; 【例26】(2024•松江区模拟)已知椭圆的左、右焦点分别为、,焦距为,点在上. (1)求椭圆的标准方程; (2)已知点,点为椭圆上一点,求周长的最大值; (3)过的右焦点,且斜率不为零的直线交于、两点,求 面积的最大值. 2 / 2 学科网(北京)股份有限公司 $$ 2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（圆锥曲线篇） 专题训练01 导数十大基础题型 题型1：圆锥曲线标准方程 【例1】（2022•上海高考）已知椭圆，、两点分别为的左顶点、下顶点，、两点均在直线上，且在第一象限． （1）设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程； （2）若、两点纵坐标分别为2、1，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由； 【分析】（1）根据条件可得，解出，利用，求得，即可求得答案； （2）分别表示出此时直线、直线的方程，求出其交点，验证即可； 【解答】解：（1）由题可得，， 因为，所以，解得， 所以，故的标准方程为； （2）直线与直线的交点在椭圆上， 由题可得此时，，，， 则直线，直线，交点为，，满足， 故直线与直线的交点在椭圆上； 【点评】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题． 【例2】我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“异型”曲线，其中是焦距为的等轴双曲线的一部分，如图所示． (1)求“异型”曲线的方程； (2)若，为“异数”曲线上的点，求的最小值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等轴双曲线的性质，及其焦距，可列出式子，求出，从而可求出和的方程，进而可求出曲线的方程； （2）设，分和两种情况，分别求出的表达式，进而求出两种情况的最小值，比较二者大小，可得出答案. 【解析】（1）由题意，可知满足，解得， ∴，， ∴“异型”曲线的方程为. （2）设，则 当时，， ∵，，∴当时，； 当时，， 当时，. ∵，∴. 【点睛】关键点睛：本题第2问的关键在于分和讨论，利用二次函数的最值，求出各自的最小值，然后进行比较，再取最终的最小值，第3问的关键在于利用图象的对称性分，和进行讨论，要注意直线与渐进线平行是一个交点个数的分界位置，同时不忘直线与曲线相切时的情况. 【例3】（2023奉贤中学模拟）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，、分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且. (1)求椭圆方程； (2)对于轴上的某一点，过作不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若存在轴上的点，使得对符合条件的恒有成立，我们称为的一个配对点，求证：点是左焦点的配对点； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆方程. （2）设，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，通过计算来证得结论成立. 【解析】（1）由于椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且， 所以，解得， 所以椭圆方程为. （2）由（1）得，由于在椭圆内， 所以，过且与坐标轴不平行的直线与椭圆必有两个交点， 设此时直线的方程为， 由消去并化简得， 设，则， 设， 所以 ， 所以，所以， 所以点是左焦点的配对点. 【点睛】在圆锥曲线中，求解角度相等的题（），可转化为斜率问题来进行求解，联立直线的方程和圆锥曲线的方程，化简写出根与系数关系后的解题关键点一个是运算要准确，另一个是利用方程的思想来进行求解. 【例4】（徐汇2023一模20）已知曲线的方程为，直线：与曲线在第一象限交于点. （1）若曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，求的值； （2）若，时，直线与曲线相交于两点M，N，且，求曲线的方程； 【答案】（1）； （2）或； 【分析】（1）根据椭圆离心率的公式以及椭圆中的关系即可求解； （2）联立直线与曲线方程，由韦达定理以及弦长公式求解； 【解析】（1）由题得，曲线为：，又，，则， 又因为； （2）设， 联立方程， 因为，， 则，所以，解得或. 因此，曲线的方程为：或； 【点睛】圆锥曲线中与直线相交的问题，一般采用联立方程，得韦达定理，常采用设而不求的思想，常用的做题思路为： （1）设直线的方程为 ，设交点坐标为 （2）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，或者 【例5】（2024•奉贤区三模）如图1：已知椭圆的方程为和椭圆，其中，分别是椭圆的左右顶点． （1）若，恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程； （2）如图2，若椭圆的方程为．是椭圆上一点，射线，分别交椭圆于，，连接，，，均在轴上方），求证：，斜率之积为定值，求出这个定值； 【分析】（1）由题意得，椭圆的离心率为，结合，可求得椭圆的方程； （2）设，则，又，，由两点的斜率公式整理可得结论； 【解答】（1）解：椭圆的离心率为， ，即， 所以，，， 所以椭圆的方程为． （2）证明：设，则，，的斜率即为，的斜率， 因为，， 所以，， 所以， 故，斜率之积为定值． 题型2：圆锥曲线的几何特征 【例6】（2020•上海）已知双曲线与圆交于点，（第一象限），曲线为、上取满足的部分． （1）若，求的值； （2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求； 【分析】（1）联立曲线与曲线的方程，以及，解方程可得； （2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角； 【解答】解：（1）由，点为曲线与曲线的交点，联立，解得，； （2）由题意可得，为曲线的两个焦点， 由双曲线的定义可得，又，， 所以，因为，则， 所以， 在△中，由余弦定理可得 ， 由，可得； 【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题． 【例7】（2022•上海）设有椭圆方程Γ：+＝1（a＞b＞0），直线l：x+y﹣4＝0，Γ下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0）． （1）a＝2，AM中点在x轴上，求点M的坐标； （2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在△ABM中有一内角余弦值为，求b； 【分析】（1）由题意可得椭圆方程为，从而确定M点的纵坐标，进一步可得点M的坐标； （2）由直线方程可知，分类讨论和两种情况确定b的值即可； 【解答】解：（1）由题意可得， ， ∵AM的中点在x轴上， ∴M的纵坐标为， 代入得． （2）由直线方程可知， ①若，则，即， ∴， ∴． ②若，则， ∵，∴， ∴，∴tan∠BAM＝7． 即tan∠OAF2＝7，∴，∴， 综上或． 【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题． 【例8】（2024·上海奉贤·一模）椭圆的左右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线交椭圆于点． (1)若椭圆的离心率，求的值； (2)若，求； 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）直接根据离心率的定义求解即可； （2）直线与椭圆方程联立，利用三角函数的知识表示出，再利用弦长公式表示出，结合向量数量积公式代入求出，再求和； 【详解】（1）若，则，解得：. （2）若，则椭圆方程为：且，由点在第一象限可知的斜率不为， 设直线的方程为：，直线与椭圆方程联立消去得：， 所以，， 因为，所以， 而， 解得：，把代入得：， 把代入椭圆方程得：. 【点睛】关键点点睛：本题考查的是直线与圆锥曲线相交的弦长问题，第二问的关键点是如何表示出和，第三问的关键点是写出当直线斜率存在时的表达式以及如何分类讨论解决方程的解的个数，另外还需注意直线斜率不存在的情况. 【例9】（2023七宝中学三模）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线； 【答案】（1）焦距为，离心率为 （2） 证明见解析 【分析】（1）直接由椭圆的方程得出和，再由求出，即可得出焦距和离心率； （2）设，，首先由得出，方法一：由三点共线和三点共线，得出，再将代入椭圆方程，联合整理得，，即可证明结论；方法二：写出直线的方程与椭圆联立，由根与系数关系得出点和的坐标，进而得出，，即可证明结论； 【小问1详解】 由可知， ，，故， 所以焦距，离心率． 【小问2详解】 设，， 由题意，，，，，，，， 又， 所以，得， 方法一：由三点共线，则，即， 同理可得，三点共线，则，即， 故，即， 又，， 所以， 所以， 由，整理得， 所以有， 又， 故， 所以， 所以三点共线． 方法二：因为，，则， 由得直线的方程为， 与椭圆联立，得， 则， 所以， 同理得， 所以，，即三点共线． 题型3：直线方程 【例10】（2021年上海卷20）已知Γ：y2＝1，F1，F2是其左、右焦点，直线l过点P（m，0）（m），交椭圆于A，B两点，且A，B在x轴上方，点A在线段BP上． （1）若B是上顶点，||＝||，求m的值； （2）若•，且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程； 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析. 【解答】解：（1）因为Γ的方程：y2＝1， 所以a2＝2，b2＝1， 所以c2＝a2﹣b2＝1， 所以F1（﹣1，0），F2（1，0）， 若B为Γ的上顶点，则B（0，1）， 所以|BF1|，|PF1|＝﹣1﹣m， 又|BF1|＝|PF1|， 所以m； （2）设点A（cosθ，sinθ）， 则， 因为A在线段BP上，横坐标小于0， 解得， 故， 设直线l的方程为， 由原点O到直线l的距离为， 则，化简可得3k2﹣10k+3＝0，解得k＝3或k， 故直线l的方程为或（舍去，无法满足m）， 所以直线l的方程为； 【例11】（2024•宝山区四模）已知点在双曲线的一条渐近线上，、为双曲线的左、右焦点且． （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程； 【分析】（1）设双曲线的渐近线为，将代入渐近线方程，得出，关系式，再由，解出，综合，解出，即可； （2）斜率不存在时刚好满足，斜率存在与渐近线平行时也成立，分情况讨论，求出直线方程即可； 【解答】解：（1）设双曲线：的渐近线为， ，，因为点在双曲线的一条渐近线上， 所以，，， 又， 故，，又，解得，故双曲线的方程为． （2）当直线斜率不存在时，，满足题意； 当斜率存在时，由双曲线的性质可得，当直线过点且平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线也只有一个公共点， 此时，， 此时直线方程为：， 即， 综上：直线的方程为或． 12．（2024•虹口区二模）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，，且直线，的斜率之积为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线为的法向量为，求直线的方程； 【分析】（1）根据题意求出，的值，从而可得椭圆的方程； （2）求出直线的方程，与椭圆方程联立，可得点的坐标，同理可得点的坐标，由两点的斜率公式可得直线的斜率，由点斜式可得直线的方程； 【解答】解：（1）由题意可得，可得，又因为，， 所以椭圆的方程为； （2）由条件知：直线的斜率为，方程为， 则由，得，所以，从而． 由于，所以直线的方程为，同理可得， 所以直线的斜率为， 从而直线的方程为，即． 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题． 题型4：双曲线的渐近线方程 【例12】（2024•青浦区二模）已知双曲线，，分别为其左、右焦点． （1）求，的坐标和双曲线的渐近线方程； （2）如图，是双曲线右支在第一象限内一点，圆是△的内切圆，设圆与，，分别切于点，，，当圆的面积为时，求直线的斜率； 【分析】（1）根据题意可得，，又，解得，进而可得答案． （2）由题意可知，，，由双曲线的定义可得，可得是椭圆右顶点，设圆的半径为，则，解得，设直线的斜率为，则直线的方程为，由圆心到直线的距离等于圆的半径，可解得． 【解答】解：（1）因为双曲线， 所以，， 所以，即， 即，， 所以双曲线的渐近线方程是． （2）由题意可知，，， 所以， ，即是椭圆右顶点， 设圆的半径为， 因为圆的面积为，则，即， ， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得， 解得直线的斜率为． 【点评】本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 【例13】（2024•闵行区模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、． （1）若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程； （2）若，双曲线左支上任意点均满足，求的最大值； 【分析】（1）可得，的取值，即可得渐近线方程；（2）设点的坐标为，将表示出来求最值即可；（3）由得，，分，讨论即可． 【解答】解：（1）设，，由题意，，则， 因此，所以，的渐近线方程为； （2）设点的坐标为，，， 则，最小值为， 因此，得，即，得， 因此的最大值为； 【点评】本题考查直线与双曲线的综合问题，属于难题． 题型5：求点的坐标 【例14】（2024•上海高考）已知双曲线，，左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于、两点，且点在第一象限． （1）当离心率时，求的值； （2）当，△为等腰三角形时，求点的坐标； 【分析】（1）由题意可得，，可得，由求解即可； （2）由题意可得，，，，，则可得，再由，求解即可； 【解答】解：（1）因为，即， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 所以（负舍）； （2）因为△为等腰三角形， ①若为底，则点在线段的中垂线，即上，与双曲线上且在第一象限矛盾，故舍去； ②若为底，则，与矛盾，故舍去； ③若为底，则， 设，，，， 则， 即， 又因为， 得， 得， 解得， 即； 题型6：求离心率的值或范围 【例15】（2023•上海高考）已知椭圆且． （1）若，求椭圆的离心率； （2）设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为1，且，求实数的值； 【分析】（1）由题意可得，，，可求离心率； （2）由已知得，，设，由已知可得，，求解即可； 【解答】解：（1）若，则，，，，； （2）由已知得，，设， ，即， ，，，，， ，代入求得； 【点评】本题考查离心率的求法，考查椭圆与双曲线的几何性质，直线与椭圆的综合，属中档题． 【例16】（2025届金山一模）已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． (1)求椭圆的离心率及抛物线的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； 【答案】(1)椭圆的离心率，抛物线； (2)； 【分析】（1）根据椭圆方程写出离心率和右焦点坐标，依题意得，可得抛物线方程； （2）由题设，联立椭圆并应用韦达定理得，进而有，即可得中点坐标； 【详解】（1）由题设的离心率为，且右焦点，即为的焦点， 所以，所以， 综上，椭圆的离心率，抛物线； （2）由题设，知，联立，则， 所以，显然，则，则， 所以AB中点M的坐标为.    题型7：求弦长或距离 【例17】（2023年上海卷20）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a＞0）． （1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值； （2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离； 【答案】(1)；(2)；(3) （0，2]． 【解答】解：（1）抛物线Γ：y2＝4x的准线为x＝﹣1， 由于A到抛物线Γ准线的距离为3， 则点A的横坐标为2，则a2＝4×2＝8（a＞0）， 解得； （2）当a＝4时，点A的横坐标为，则A（4，4）， 设B（b，0），则AB的中点为， 由题意可得，解得b＝﹣2， 所以B（﹣2，0）， 则， 由点斜式可得，直线AB的方程为，即2x﹣3y+4＝0， 所以原点O到直线AB的距离为； 【例18】（2019年上海卷20）已知椭圆1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点． （1）若直线l垂直于x轴，求|AB|； （2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标； 【答案】（1）依题意，F2（2，0），当AB⊥x轴时，则A（2，），B（2，），得|AB|＝2； （2）设A（x1，y1），∵∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°）， ∴， 又A在椭圆上，满足，即， ∴，解得x1＝0，即A（0，2）． 直线AB：y＝﹣x+2， 联立，解得B（，）； 【例18】（浦东新区2020届高三上期末（一模））已知曲线，过点作直线和曲线交于、两点. （1）求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离； （2）若，点在第一象限，轴，垂足为，连结，求直线倾斜角的取值范围； 【解答】（1）曲线的焦点为，渐近线方程，……2分 由对称性，不妨计算到直线的距离，. ……4分 （2） 设，，从而7分 又因为点在第一象限，所以， ………………………8分 从而，……………………………………………9分 所以直线倾斜角的取值范围是 …………………10分 题型8：求斜率 【例19】（2023建平中学三模）已知椭圆左、右顶点分别为、，是椭圆上异于、的任一点，直线，、是直线上两点，、分别交椭圆于点、两点． （1）直线、的斜率分别为、，求的值； （2）若、、三点共线，，求实数的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的方程可得，的坐标，设的坐标，代入椭圆的方程，可得的横纵坐标的关系，进而求出的值； （2）由题意设坐标，可得的坐标，求出直线的方程，令，可得的纵坐标，即求出的坐标，同理可得的坐标，再由，可得，代入可得的值； 【小问1详解】 由椭圆的方程可得，， 设，则， 可得； 【小问2详解】 因为、、三点共线，设，则， 所以直线的方程为， 令，可得，即， 同理可得， 又因为， 所以，即， 即， 解得； 题型9：求参数 【例20】（2023上海春考）已知椭圆Γ： + ＝1（m＞0 ，m≠) . （1）若 m ＝2，求椭圆Γ的离心率； （2）设 A1、A2 为椭圆Γ的左右顶点，若椭圆Γ上一点 E 的纵坐标为 1，且• =﹣2，求 m 的值； 3）存在过椭圆Γ上一点 P、且斜率为的直线 l，使得直线 l 与双曲线﹣ = 1仅有一个公共点，求 m 的取值范围 . 【解答】1。若 m ＝2，则 a2 ＝4 ，b2 ＝3，∴a ＝2 ，c ＝ ＝1，∴e ＝ ＝； （2）由已知得 A1（m ， 0），A2（m ， 0），设 E（p ， 1）， ∴+ ＝1，即 p2 ＝m2， ∴＝（m﹣p，﹣1），＝（﹣m﹣p，﹣1），∴•＝（m﹣p，﹣1） •（﹣ m﹣p，﹣1）＝p2﹣m2+1＝﹣ 2， ∵p2 ＝m2 ，代入求得 m ＝3； （3）设直线 y ＝x+t，联立椭圆可得+ ＝1， 整理得（3+3m2）x2+2tm2x+（t2﹣3）m2 ＝0， 由△≥0，∴t2 ≤3m2+3， 联立双曲线可得﹣ ＝1，整理得（3﹣m2）x2+2tx+（t2﹣5m2 ）＝0， 由Δ＝0 ， t2 ＝5m2﹣15， ∴5m2﹣15≤3m2+3， ∴﹣3≤m≤3， 又 5m2﹣15≥0，∴m≥，∵m≠， 综上所述： m∈（ ， 3]． 【例21】（2024•浦东新区二模）已知相圆，点、分别为椭圆的左、右焦点． （1）若椭圆上点满足，求的值； （2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； （3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足，求的最大值． 【分析】（1）设点，然后代入椭圆方程，即可求出，再根据椭圆定义求； （2）设，求出，根据二次函数在给定区间上的最值要求列不等式求解； （3）设直线的方程为，与椭圆联立，写出韦达定理，再根据求出的坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理计算，利用基本不等式求最值． 【解答】解：（1）因为，所以设点， 则，所以，即， 所以； （2）设，则， 则， 所以， 要时取最小值，则必有， 所以； （3）设过点且法向量为的直线的方程为，，，，， 联立，消去得，△， 则， 则， ， 又， 又点在椭圆上，则， 所以， 即， 所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最大值为． 【点评】本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系的应用，属于中档题． 题型10：三角形周长或面积 【例22】（崇明2023二模）已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点． （1）若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值； （2）若，求的面积； 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 依题意，，解得（负数舍去）. 【小问2详解】 的直线经过，则直线方程为：； ，则椭圆的方程为：. 设联立直线和椭圆方程：，消去得到， 解得，则，故，于是. 依题意知，为椭圆下顶点，即，由点到直线的距离，到的距离为：. 故 【例23】（2022崇明二模）已知双曲线，双曲线的右焦点为F，圆C的圆心在y轴正半轴上，且经过坐标原点O，圆C与双曲线Γ的右支交于A、B两点． （1）当△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，求△OFA的面积； （2）若点A的坐标是，求直线AB的方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求得，由三角形面积公式即可求得答案； （2）设圆C的方程为，由点A的坐标求得m，联立求得B点坐标，可得答案； 【小问1详解】 （1）由题意△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，， 所以点A在直线处，设A，代入，解得，取 则，所以△OFA的面积； 【小问2详解】 设圆C圆心坐标，因其过原点，则. 故圆C方程为：. 代入点A，得，解得. 将圆C方程与联立得,消去得： 解得.又B点在双曲线右支，故B. 则AB方程为：. 化简为即. 【例24】（2024•松江区模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； 【分析】（1）由椭圆的性质可得，从而可得用表示，将点的坐标代入椭圆方程求出的值，从而可得椭圆的标准方程； （2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值； 【解答】解：（1）由题意得，所以， 将点代入，解得， 所以椭圆的方程为． （2），，， ，当且仅当为的延长线与椭圆交点时取等号， 故周长的最大值为； 【例25】（2022•宝山区模拟）已知椭圆是左、右焦点．设M是直线l：x＝t（t＞2）上的一个动点，连结MF1，交椭圆Γ于N（yN≥0）．直线l与x轴的交点为P，且M不与P重合． （1）若M的坐标为，求四边形PMNF2的面积； （2）若PN与椭圆Γ相切于N且，求tan∠PNF2的值； 【分析】（1）由椭圆的方程可得a，b的值，进而求出c的值，可得左焦点F1的坐标，进而求出直线MF1的方程，与椭圆的方程联立，求出N的坐标，由S＝S﹣S可得四边形的面积； （2）由题意可得直线PN的斜率存在，设直线PN的方程，与椭圆的方程联立，由判别式等于0，可得参数的关系，求出两根之和及两根之积，求出数量积，可得参数的值可得N的坐标，判断出NF2垂直于x轴，进而求出tan∠PNF2的值； 【解答】解：（1）因为椭圆的方程：+y2＝1，可得a2＝4，b2＝1， 可得c2＝a2﹣b2＝4﹣1＝3，解得c＝，所以F1（﹣，0）， M，可得k＝＝， 根据点斜式方程可得直线MF1的方程：y＝（x+）， 联立，整理可得：13x2+2x﹣45＝0， 解得x＝﹣或x＝，由yN＞0，可得yN＝（+）＝， 所以， 所以S＝S﹣S＝[•（+）﹣•2]＝； （2）由于直线PN的斜率必存在，则设直线PN的方程：y＝k（x﹣t）， 与椭圆方程联立，可得：（1+4k2）x2﹣8k2tx+4k2t2﹣4＝0， 由相切，Δ＝16（1+4k2﹣k2t2）＝0，则， 同时有韦达定理x1+x2＝2xN＝，代入k2＝可得xN＝＝， 将N的横坐标代入椭圆的方程可得：yN2＝1﹣＝ 而•＝xN2+yN2﹣3＝+﹣3＝﹣3＝，解得t＝， 而t＞0，所以t＝，满足k2＝＞0， 所以N的横坐标xN＝＝， 可得NF2⊥x轴， 所以tan∠PNF2＝＝＝； 【点评】本题考查椭圆的性质的应用，直线与椭圆的综合应用，直线与椭圆相切的性质的应用，属于中档题． 【例26】（2024•松江区模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； （3）过的右焦点，且斜率不为零的直线交于、两点，求△面积的最大值． 【分析】（1）由椭圆的性质可得，从而可得用表示，将点的坐标代入椭圆方程求出的值，从而可得椭圆的标准方程； （2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，由三角形面积公式及基本不等式即可求解最值． 【解答】解：（1）由题意得，所以， 将点代入，解得， 所以椭圆的方程为． （2），，， ，当且仅当为的延长线与椭圆交点时取等号， 故周长的最大值为； （3）设直线的方程为，，，，． 由，得， 所以，， 所以 ， 又因为， 当且仅当时取等号，所以， 故△面积的最大值为2． 【点评】本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$