专题04 勾股定理单元过关【培优版】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

专题04 勾股定理单元过关（培优版） 考试范围：第17章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（    ）． A． B． C． D． 2．若一个三角形的三边长分别为1、3和，则这个三角形的面积是（    ） A．3 B． C． D． 3．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为t秒，若是等腰三角形时，则t的值为（    ） A．10 B．16 C．10或16 D．10或16或 4．在中，，，所对的边分别为a，b，c下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 5．如图，在等腰直角三角形中，，将沿方向平移得到，若，，则（　　） A． B． C． D． 6．我国古代数学专著《九章算术》里记载了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐，引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺），此木杆的长度为（    ） A．49尺 B．49.5尺 C．50尺 D．50.5尺 7．和按如图所示的位置摆放，顶点B、C、D在同一直线上，，．将沿着翻折，得到，将沿着翻折，得，点B、D的对应点、与点C恰好在同一直线上，若，，则的长度为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 8．适合下列条件的△ABC中， 直角三角形的个数为（   ） ①；②，∠A＝45°；③∠A＝32°， ∠B＝58°； ④；⑤；⑥ ⑦；⑧ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为（　　）    A． B． C． D． 10．如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结．已知，，则的面积为（    ） A． B． C．24 D．12 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．1.如图，矩形中，，，在数轴上，且点A与原点重合，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数是 ． 12．如图，等腰的底边长为，腰长为，D是上一动点，当与腰垂直时，则 ．    13．如图，在中，点D为的中点，，则：    （1）的度数为 ； （2）的面积是 ． 14．如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为 ． 15．如图，点A，B，C 分别是三个村庄，，， 是连接村与村之间的公路，，，现欲规划在村庄 B 和村庄 C之间的公路上建一个加油站P，使加油站到， 两条公路的距离相等，则该加油站到公路 的距离为 km．    16．如图，在四边形中，，，，，，则的长为 ．    评卷人 得分 三、解答题 17．葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？ (1)想一想怎样找出最短路径； (2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？ 18．如图，已知等腰和等腰，，点在内部，连接，，，其中，，． (1)求证：； (2)求的大小； (3)求的长． 19．如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 20．如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． (1)作关于直线对称的图形； (2)若网格中最小正方形的边长为，求的面积； (3)在直线上找一点，则的最小值为______． 21．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 22．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法． 例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若代数式，求M的最小值； (2)已知正数x，y满足，求的最小值． 23．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观， 从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直 观推导和解释． 如图 1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式： 如图 2，在中，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论 ． 如图 3，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么第问的结论 是否成立？请说明理由． 如图 4，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直 径向上作半圆，求图 4 中阴影部分的面积． 24．如图，和都是等腰三角形，，，，三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)写出线段，，之间的等量关系，并说明理由； (3)若，，①求线段的长；②求点到的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 勾股定理单元过关（培优版） 考试范围：第17章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】是直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意可知，是直角三角形， 在中，，， ∴，， 在中，，，则， ∴， ∴小巷的宽为， 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键． 2．若一个三角形的三边长分别为1、3和，则这个三角形的面积是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，在三角形中，若两较小的边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可得该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为1和3，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为1和3， ∴该三角形的面积为， 故选：D． 3．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为t秒，若是等腰三角形时，则t的值为（    ） A．10 B．16 C．10或16 D．10或16或 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的定义，解题的关键是注意分类讨论．根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出t． 【详解】解：中，，，， 由勾股定理得：， ∵动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，运动的时间为t秒， ∴， ①时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图所示： ∵， ∴， 解得：； ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当t分别为、10、16时，为等腰三角形． 故选：D． 4．在中，，，所对的边分别为a，b，c下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，掌握勾股定理的逆定理，及直角三角形的定义等知识的综合是解得关键．根据勾股定理的逆定理，有一个角是直角的三角形是直角三角形的定义即可求解． 【详解】解：A、， 设， ∴， ∴三角形是直角三角形，不符合题意； B、， ∵， ∴， ∴三角形为直角三角形，不符合题意； C、，，， ∵， ∴三角形是直角三角形，不符合题意； D、，，， ∵， ∴三角形不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 5．如图，在等腰直角三角形中，，将沿方向平移得到，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】由等腰直角三角形的性质得到，由平移的性质，得到是等腰直角三角形，由三角形的面积公式求出长，即可求出的长，从而求出的长． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵沿方向平移得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查平移的性质，等腰直角三角形，关键是掌握平移的性质，等腰直角三角形的性质． 6．我国古代数学专著《九章算术》里记载了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐，引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺），此木杆的长度为（    ） A．49尺 B．49.5尺 C．50尺 D．50.5尺 【答案】D 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程，解方程即可 【详解】如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ∵， ∴， 解得： 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 7．和按如图所示的位置摆放，顶点B、C、D在同一直线上，，．将沿着翻折，得到，将沿着翻折，得，点B、D的对应点、与点C恰好在同一直线上，若，，则的长度为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；证明三角形全等是解题的关键；由折叠性质易得，从而有，由证明，得到；在中，由勾股定理建立方程求得，进而求得结果． 【详解】解：由折叠可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）， ∵， ∴， ∴不合题意，舍去； ∴， ∴． 故选：A． 8．适合下列条件的△ABC中， 直角三角形的个数为（   ） ①；②，∠A＝45°；③∠A＝32°， ∠B＝58°； ④；⑤；⑥ ⑦；⑧ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、直角三角形的两个锐角互余、构成三角形的条件 【分析】根据勾股定理的逆定理，直角三角形两锐角互余，三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解： ，故①不能构成直角三角形； 当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形； 根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形； 根据，可知，故④能够成直角三角形； 由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形； 令 可知，故⑥能够成直角三角形； 根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形； 由可知，故⑧能够成直角三角形． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单． 9．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、实数与数轴 【分析】先运用勾股定理求得线段的长，再计算出此题结果即可． 【详解】由题意得，， ∴， ∴点D表示的数， 故答案为：C． 【点睛】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识和勾股定理进行求解． 10．如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结．已知，，则的面积为（    ） A． B． C．24 D．12 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】连接，设交于点，交于点，证明 ，进而证明，根据勾股定理得出，，过点作于点，勾股定理求得，根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图， 连接，设交于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 即， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴ ∴     又∵， ∴ 又∵， 解得：，， ， 过点作于点， 设 ∴ 即， 解得： ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．1.如图，矩形中，，，在数轴上，且点A与原点重合，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数是 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与无理数、用勾股定理解三角形、实数与数轴 【分析】先结合矩形的性质利用勾股定理求出，根据及A点的位置，即可求解M点表示的数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵A点与原点重合， ∴点M表示点数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出、的长． 12．如图，等腰的底边长为，腰长为，D是上一动点，当与腰垂直时，则 ．    【答案】/ 【知识点】等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】过点作，垂足为，先根据等腰三角形的三线合一性质可得，从而在中，利用勾股定理可得，然后分两种情况：当时；当时；分别利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，   ，， ， ， 分两种情况： 当时，如图：    在中，， 在中，， ， ， 解得：， ； 当时，如图：    在中，， 在中，， ， ， 解得：， ； 综上所述：当与腰垂直时，则， 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 13．如图，在中，点D为的中点，，则：    （1）的度数为 ； （2）的面积是 ． 【答案】 /90度 30 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）延长至，使，连接，证明，得，，，从在，是得，再由勾股定理逆定理得出，即可求解； （2）根据，利用求解即可． 【详解】解：（1）延长至，使，连接，   为的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴， ； 故答案为：． （2） 的面积是30． 故答案为：30． 【点睛】本题考查全等三角的判定与性质，勾股定理逆定理，倍长中线，构造全等三角形是解题的关键． 14．如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定；根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到的面积的面积的面积． 【详解】解：三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， （如上图），根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积． 故答案为：． 15．如图，点A，B，C 分别是三个村庄，，， 是连接村与村之间的公路，，，现欲规划在村庄 B 和村庄 C之间的公路上建一个加油站P，使加油站到， 两条公路的距离相等，则该加油站到公路 的距离为 km．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线性质，根据加油站到， 两条公路的距离相等，得出点P在的角平分线上，据此作出点P，再利用勾股定理求出，由面积法求出的高即可得答案． 【详解】解：作的角平分线交于P，作，，    ∴， ∵， ，平分， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴，即该加油站到公路 的距离为． 故答案为： 16．如图，在四边形中，，，，，，则的长为 ．    【答案】 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、利用二次根式的性质化简 【分析】连接，过点B作交的延长线于点H，根据勾股定理的逆定理得到，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接，过点B作交的延长线于点H，    ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 17．葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？ (1)想一想怎样找出最短路径； (2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？ 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（）以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径； （）由勾股定理即可求解； 本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径； （2）解：根据题意，得，， ∴ 答：它爬行一周的路程是． 18．如图，已知等腰和等腰，，点在内部，连接，，，其中，，． (1)求证：； (2)求的大小； (3)求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）运用证明解题即可； （2）利用勾股定理求出长，然后利用勾股定理的逆定理得到，解题即可； （3）过点作于点，先利用勾股定理求出，然后在中利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：∵和是等腰直角三角形， ， ， ， ． （2）解：在中，， ， 在中，， ， ， ． （3）解：过点作于点， ， ， ， ， 由勾股定理可得，即， 解得：或（舍去）， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握勾股定理是解题的关键． 19．如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问正确作出辅助线是关键． （1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，得垂直平分，则，再利用即可证明； （2）在上取一点H，使，连接，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：在上取一点H，使，连接，    ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴． 20．如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． (1)作关于直线对称的图形； (2)若网格中最小正方形的边长为，求的面积； (3)在直线上找一点，则的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】勾股定理与网格问题、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，三角形的面积，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质即可作出； （2）根据网格即可求的面积； （3）连接交直线于点P，此时的值最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：的面积为． （3）解：连接，交直线于点，连接， 此时，为最小值． 由勾股定理得，， 的最小值为． 故答案为：． 21．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1) (2) 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ∵， ∴台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得， 在中，， ∴， ∴， ∴A市受到台风影响的时间持续． 22．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法． 例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若代数式，求M的最小值； (2)已知正数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】配方法的应用、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． （1）运用配方法解题即可； （2）运用材料提示，构造图形，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， 当，时，M有最小值为3； （2）如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度 当的值最小时，D、C、E三点共线， 所以最小值． 23．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观， 从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直 观推导和解释． 如图 1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式： 如图 2，在中，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论 ． 如图 3，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么第问的结论 是否成立？请说明理由． 如图 4，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直 径向上作半圆，求图 4 中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）结论仍成立，理由见详解；（4）30 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、完全平方式在几何图形中的应用 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加两个长方形的面积即可得出答案； （2）分别求出三个正方形的面积，再用勾股定理求解即可； （3）分别求出三个半圆的面积，计算即可； （4）阴影部分的面积为两个小半圆的面积减去大的半圆的面积再加上三角形的面积． 【详解】解：（1）由正方形的面积可得出：； 故答案为： ； （2）由图可得：, 在直角三角形中有： ∴； 故答案为：； （3）结论仍成立，理由如下： 由图可得出： ∴ 在直角三角形中有： ∴． 因此，结论仍成立． （4）由图可知： 阴影部分的面积为两个小半圆的面积减去大的半圆的面积再加上三角形的面积，由（3）可知为两个小半圆的面积等于大的半圆的面积，因此，阴影部分的面积等于三角形的面积， ∵． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的拓展，巧妙利用数形结合思想方法，借助这种方法将抽象的数学知识变得直观是解此题的关键． 24．如图，和都是等腰三角形，，，，三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)写出线段，，之间的等量关系，并说明理由； (3)若，，①求线段的长；②求点到的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)①；② 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）作于，根据全等三角形性质得到，结合等腰三角形三线合一性质得到，再根据含的直角三角形性质及勾股定理于是得到，数形结合得到； （3）①根据全等三角形的性质得到，，，，结合（2）中结论求出相应线段长，进而由勾股定理可求的长，在含等腰三角形中，过点作，如图所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可求的长；②过点作于点，过点作于，由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：和都是等腰三角形，， ，，， 在和中， ， ； （2）解：， 理由如下： 过点作于，如图所示： ， ， 是等腰三角形，， 由等腰三角形三线合一可知， ， ， 在中，设，则，由勾股定理可得， ， ； （3）解：①， ，，，， ， 由（2）知，， ， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 过点作于M，如图所示： ，， ，， 在中，，则，由勾股定理可得， ； ②过点作于点，过点作于，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， 点到的距离为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形性质、勾股定理及三角形面积公式等知识，解题的关键是灵活应用三角形相关知识解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$