专题03 勾股定理单元过关【基础版】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

专题03 勾股定理单元过关（基础版） 考试范围：第17章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．根据下列条件，能判断是直角三角形的是（　　） A． ，， B． C． ，， D．， 2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．0.6，0.8，1 B．， ， C．6，8，10 D．1，2， 3．如图，是四根长度相同的小木棒，A、C、E三点共线，于点C，若，则一根小木棒的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知三角形的三条边长分别为10、6、8，则这个三角形的面积为（　　） A．48 B．24 C．30 D．40 5．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子底端也恰好外移1米，则梯子的长度为（   ） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 6．如图，在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．从前，有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为尺，则下列方程，满足题意的是（　　） A． B． C． D． 8．已知△ABC的三边a，b，c满足，则ABC的面积为（   ） A．12 B．6 C．15 D．10 9．在中，，点D在上，若平分，则的长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．11 10．如图，的两条高与交于点．关于下面两个结论，判断正确的是（　　） ①平分；②若点在线段上，分别为射线上的点，且，．当与全等时，的长为2或14． A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正磁 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图在中，，，，将沿折叠，使点刚好落在边的中点处，则的长为 ． 12．如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的点是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数是 ． 13．如图，在中，于点D，，，，则是 三角形． 14．如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，且，则 ． 15．如图，在中，，，垂足为D，，，则 ． 16．如图，已知四边形中，，，，，，则四边形的面积为 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图所示，一架长为米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离墙根米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动多少？ 18．如图在四边形中，，，，且，求的度数．    19．如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：． 20．如图，每个小正方形的边长均为，，，是小正方形的顶点． (1) ； ． (2)试判断是什么三角形，并说明理由． 21．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 22．如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 23．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图，请你用两种不同方法表示梯形的面积，从而验证勾股定理． (2)如图，在直线的同侧有两个点、，已知点和点到直线的距离分别为2和5，且．现要在直线上取点，使得的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出的最小值为_________； (3)借助上面的思考过程，直接写出的最小值为_______． 24．著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为)，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． 【结论探究】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 (3)中，，，，，垂足为，请直接写出的值． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理单元过关（基础版） 考试范围：第17章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．根据下列条件，能判断是直角三角形的是（　　） A． ，， B． C． ，， D．， 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】利用直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握定义，以及三角形内角和定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴不是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， 不符合勾股定理的逆定理， 无法判定直角， 故B不符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故C符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∴最大角为， ∴不是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．0.6，0.8，1 B．， ， C．6，8，10 D．1，2， 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解决本题的关键． 根据勾股数的定义：三边是正整数且两小边的平方和等于第三边的平方，进行求解即可． 【详解】A、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； B、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，符合题意； D、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 3．如图，是四根长度相同的小木棒，A、C、E三点共线，于点C，若，则一根小木棒的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作，垂足分别为G、H，证明，得，再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：作，垂足分别为G、H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选：A． 4．已知三角形的三条边长分别为10、6、8，则这个三角形的面积为（　　） A．48 B．24 C．30 D．40 【答案】B 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】根据题意，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积为， 故选B． 5．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子底端也恰好外移1米，则梯子的长度为（   ） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】A 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则：，巧用梯子的长不变，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴． 故选A． 6．如图，在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的混合运算、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理等知识．过点A作，垂足为D．在中和中，分别用表示出、，根据的长求出，再求三角形的面积． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为D． 在中，， ∴ ∴． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故选：A． 7．从前，有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为尺，则下列方程，满足题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】根据题意，门框的长，宽，以及竹竿长是直角三角形的三个边长，等量关系为：门框长的平方+宽的平方=门的两个对角长的平方，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺． ∴门框的长为尺，宽为尺， 可列方程，， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握勾股定理是解决问题的关键． 8．已知△ABC的三边a，b，c满足，则ABC的面积为（   ） A．12 B．6 C．15 D．10 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】三个非负数的和为0，则它们都为0．根据此性质可得a、b、c的值，由勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，从而可求得△ABC的面积． 【详解】∵，，，且 ∴，， ∴b-4=0，2c-6=0，3a-15=0 即b=4，c=3，a=5 ∵ ∴由勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，且a是斜边 ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值、平方的非负性，勾股定理的逆定理，三角形面积的计算等知识，关键是非负性的应用． 9．在中，，点D在上，若平分，则的长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．11 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据AC=23，BD=CD=10，可得AB=AD，再由AE平分∠BAD，可得AE⊥BD，DE=BE=5，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵AC=23，BD=CD=10， ∴AD=13， ∵AB=13， ∴AB=AD， ∵AE平分∠BAD， ∴AE⊥BD，DE=BE=5， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 10．如图，的两条高与交于点．关于下面两个结论，判断正确的是（　　） ①平分；②若点在线段上，分别为射线上的点，且，．当与全等时，的长为2或14． A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正磁 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形的高和三角形的内角和定理，结合等角的余角相等得到，则，，证明得到，可判断①；分两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的性质可判断②，进而可得结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∵的两条高与交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； 如图， ∵，， ∴，又， ∴当时，， ∴； 如图， ∵，， ∴，又， ∴当时，， ∴， 综上，当与全等时，的长为2或14，故②正确； 故选：C． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图在中，，，，将沿折叠，使点刚好落在边的中点处，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，设所求线段为未知数，利用折叠性质，把能用未知数表示的线段表示出，勾股定理所需的直角三角形一般就会呈现在图上，符合这样的直角三角形一般有如下特征：一直角边为具体数字，另一直角边和斜边分别是含有未知数的代数式．设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，由折叠的性质可知． ∵， ∴． ∵F是边的中点，， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴的长为5． 故答案为：． 12．如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的点是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数是 ． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴、用勾股定理解三角形、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理和无理数，先用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：根据勾股定理可得：， ∵点在数轴上对应的点是， ∴点表示的实数是， 故答案为：． 13．如图，在中，于点D，，，，则是 三角形． 【答案】直角 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 先利用勾股定理计算出，，然后利用勾股定理的逆定理可证明为直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴为直角三角形． 故答案为：直角． 14．如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，且，则 ． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键． 根据为直角三角形且，可得到，同理可得到及，在中，由勾股定理得出：，继而可得，代入计算即可． 【详解】解：∵为直角三角形，且， ∴在中，有， ∴，即， ∴，即 同理可得：，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，，，垂足为D，，，则 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】根据作出辅助线，证明全等三角形，将转化为，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】在上取一点，使得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴在中，, 即，解得， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是作出辅助线，根据勾股定理列方程求解． 16．如图，已知四边形中，，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】36 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理．先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ， 在中，，，，， ， ∴是直角三角形，且， ∴ ， 四边形的面积为36． 故答案为：36． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图所示，一架长为米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离墙根米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动多少？ 【答案】梯子顶端离地米，梯子底端将向左滑动 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，，，，，由勾股定理得，，进而可得梯子顶端离地的距离，则，由勾股定理得，，根据梯子底端将向左滑动距离为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，，， 由勾股定理得，， ∴梯子顶端离地米， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴梯子底端将向左滑动． 18．如图在四边形中，，，，且，求的度数．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，先由，，得出，再结合，，证明是直角三角形，即可作答． 【详解】解：如图所示，连接，   ，， ． 又，， ，， ， 是直角三角形， ， ． 故的度数为． 19．如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】连结BD，易证，即BD=AE、AC=BC．又可证明出∠ADB=90∘，再结合勾股定理即可得到所要证明的等式是成立的． 【详解】证明：如图，连结BD ， ∵， ∴． ∴在△EAC和△DBC中，， ∴．     ∴ ． 又∵， ∴ ． ∴ 在中，， ∴． ∵ 在中，， ∴ ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．灵活应用全等三角形的判定和性质是解题关键． 20．如图，每个小正方形的边长均为，，，是小正方形的顶点． (1) ； ． (2)试判断是什么三角形，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理， （1）根据勾股定理求出边的长度即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断即可； 掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∵每个小正方形的边长均为，，，是小正方形的顶点， ∴， ， 故答案为：；； （2）是直角三角形． 理由：连接， ∵每个小正方形的边长均为，，，是小正方形的顶点， ∴，则， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形， 又∵， ∴是等腰直角三角形． 21．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： ，，， ， 是直角三角形，且； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）解：如图所示，分别在上取一点E和F，当，时，正好影响港口， 在中，由勾股定理， 同理可得， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 22．如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】（）根据勾股定理求出，可得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，分别求出，最后根据即可求解； （）由勾股定理得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，可得，，，进而得到，即得，即可得； 本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则，，， ∴； （2）证明：∵， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则， 同理得，，， ∴， ∴， ∴． 23．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图，请你用两种不同方法表示梯形的面积，从而验证勾股定理． (2)如图，在直线的同侧有两个点、，已知点和点到直线的距离分别为2和5，且．现要在直线上取点，使得的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出的最小值为_________； (3)借助上面的思考过程，直接写出的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3) 【知识点】作垂线(尺规作图)、勾股定理的证明方法、根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查轴对称—最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由梯形，三角形面积公式即可证明问题； （2）①根据轴对称的性质，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，； ②根据勾股定理求出，根据矩形的性质分别求出，，根据勾股定理求出，得到，结合题意计算即可； （3）作关于直线的对称点，连接与直线交于点，则的最小值为，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：由题意可知，梯形的面积第一种表示方法： ， 第二种表示方法： ， 则， ∴； （2）①作关于直线的对称点，连接与直线交于点， 由轴对称可知，， ∴，当点在上时取等号， 故，点即为所求； ②作，，相交于点，作于点，连接， 则，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）如图，作于，于，，，，，则， ∴， 作关于直线的对称点，连接与直线交于点，类比（2）可知，此时最小，最小值为， 作于，则， 由勾股定理得，，即最小为， ∴的最小值为， 故答案为：． 24．著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为)，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． 【结论探究】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 (3)中，，，，，垂足为，请直接写出的值． 【答案】[结论探究]（1）见解析；[结论应用]（2）千米；[问题拓展]（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． [结论探究]（1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； [结论应用]（2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； [问题拓展]（3）作，垂足为，在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】[结论探究] （1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； [结论应用]（2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； [问题拓展]（3）作，垂足为， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$