专题07 正方形的重难点题型归纳（九大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题07 正方形的重难点题型归纳（九大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用正方形的性质求角度】 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5 正方形的判定证明】 【题型6 正方形的性质与判定综合】 【题型7 求正方形形中最值问题】 【题型8 正方形中“十字架”模型】 【题型9 正方形中“对角互补”模型】 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，得到，，进而得到，又因为，推出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 故选：B． 2．（20-21八年级下·山东烟台·期末）如图，延长正方形边至点，使，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，连接，根据题意可得，则，由外角的性质可得：，即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，且， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级上·福建宁德·期中）如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的 性质，由正方形和等边三角形的性质可得，，进而即可求解，掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 4．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得是等腰三角形，由三角形内角和定理，则可求得的度数；由即可求解． 【详解】解：正方形中，； 为等边三角形， ， ，， ； ； 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握这三种性质是关键． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可. 【详解】解：∵在正方形内作等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得，根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 7．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，在正方形中，、分别在、上，且，，连接．则为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、正确作出辅助线、灵活应用全等三角形性质与判定是解题关键． 延长至H，使，证，，设正方形边长为a，根据全等三角形的性质及勾股定理即可求得正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：延长至H，使，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中 ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 设正方形的边长为a， ∵，， ∴，， 在中， ， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，正方形的边长为2，连接、，平分交于点E，则的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于点F，根据正方形的性质可得，再根据角平分线的性质可得，证明，可得，利用勾股定理求得，可得，，即可求解． 【详解】解：过点E作于点F，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及角平分线的性质，熟练掌握相关知识，证明是解题的关键． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质．在图中，证是等边三角形，得出．在图中，由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵在图1中，四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵在图2中，四边形为正方形， ∴ ∴． 故选：B． 10．（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，四边形是正方形，直线m、n、l分别经过A、B、C三点，且．若m与n之间的距离是2，n与l之间的距离是3，则的长是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，利用，可以判定和全等，从而可以得到，再根据勾股定理即可求得的长，从而求解． 【详解】解：如图，过点B作，交直线于点E，交直线于点F， 由已知可得，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， , 故选：C 11．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在边长为25 的正方形中， 和为直角三角形，，延长交于点G，延长交于点H，，则的长是（   ） A．14 B．17 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先证明得到，再根据三角形内角和定理证明；接着证明，得到，，在中，由勾股定理得，则，即可得到． 【详解】解：∵四边形是边长为25的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：C． 12．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，正方形的边长为6，点为上一点，连接，过点作的垂线交于点，连接．若，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．由可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 13．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为4的正方形内取一点E，使得，连接、，与相交于点O，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的外角和定理可得，则，即可判定为等边三角形，有，可求得，进一步求得和，利用和差关系即可． 【详解】解：过点E作，垂足为F，作．垂足为G，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵边长为4的正方形， ∴， ∴， 在，，则， ∴ ， ∵， ∴的面积为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形外角和定理和勾股定理，解题的关键是熟悉等边三角形的性质和正方形的性质． 14．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，点为正方形对角线上的任意一点（不包括，两点），过点做，，垂足分别为，，若四边形的周长为，则正方形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，由四边形是正方形，得，，则可证，是等腰直角三角形，故有，，得四边形的周长，然后求出，最后根据面积公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形的周长， ， ， ， ∴， ∴正方形的面积是， 故选：． 15．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形中，是对角线，平分交于点E，，则正方形的边长为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质，过点E作于F，由正方形的性质的，由角平分线的性质得到，利用勾股定理求出，再根据得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于F， ∵四边形是正方形， ∴， ∵平分，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， 故选：C． 16．（23-24八年级下·广西玉林·期末）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变(如图)，若正方形教具边长为，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质．过点作交延长线于E，先证明四边形是菱形，得，则，利用等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理求得，然后菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点作交延长线于E，如图， ∵正方形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∴， 故选：B． 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）（教村母题变式）如图，边长为6的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边分别相交于点，图中阴影部分的面积记为，两条线段的长度之和记为，将正方形绕点逆时针转动适当角度，则有（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】根据正方形的对角线，相交于点E，得到，，，，证明，得到，,继而得到，解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】如答图，连接． 边长为6的正方形的中心与正方形的顶点重合， 即点是正方形的中心， ， ． 又， ， ． 在和中， ， ， ，， ． 故选：B． 18．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，E是正方形内一点，于E，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．48 B．76 C．78 D．84 【答案】B 【分析】此题重点考查正方形的性质、勾股定理的应用、三角形及正方形的面积公式等知识与方法，先由，，，根据勾股定理求得，再分别求出正方形的面积和的面积，即可由求出阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 阴影部分的面积是76， 故选：B． 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 19．（20-21八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，在坐标轴上，是的中点，四边形是矩形，四边形是正方形，若点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，平面直角坐标系中点的坐标，矩形的性质等知识的综合运用．过点作轴，垂足为，利用证明，可得，，由是的中点，可求解，的长，进而可求解点坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为， ， 四边形为正方形， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和和中， ， ， ，， 为的中点， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 20．（2024·山西晋中·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形，顶点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，将正方形绕点O顺时针旋转，则旋转后点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，把正方形绕点O顺时针旋转得到正方形，连接、过点作轴于点E，根据旋转的性质和勾股定理求得，，再根据直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：根据题意，把正方形绕点O顺时针旋转得到正方形，连接、过点作轴于点E， ∵正方形的边长为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 21．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是，点C在x轴上，则点C的坐标为 ；点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质； 求出，过点作轴于点，证明，得到，，求出即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作轴于点；   四边形为正方形， ，，而， ， ； 在与中， ， ， ， ∴， 点的坐标为， 故答案为：；． 22．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，点B的坐标是，点E、F分别在边、上，．若，则F点的坐标是 ． 【答案】(5，) 【分析】连接，延长到点M，使得,连接,根据正方形的性质可得，，分别证明，，由全等三角形的性质可得，设，则，，在中，由勾股定理易得,代入求值可得，可确定点F的纵坐标，即可获得答案． 【详解】解：连接，延长到点M，使得,连接，如下图， ∵四边形是正方形，B，∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， 设，则，， ． 在中，由勾股定理，得， ， 即，解得：， ∴， 即F点的坐标是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 23．（22-23八年级下·广西钦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，，且的中点是坐标原点O．固定点，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】题考查了正方形的性质、菱形的判定与性质及勾股定理等知识点，结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据正方形的性质及题意可得，可得四边形为菱形，故点的横坐标等于的长度，其纵坐标等于点的纵坐标，由勾股定理求得的长，则可知点的纵坐标． 【详解】解：四边形为正方形，， ， 由题意可知，，，， ∴， 四边形为菱形， ∴， 点的横坐标为2， 的中点是坐标原点， ， 在中，由勾股定理得：， 点的对应点的坐标为． 故答案为：． 【题型5 正方形的判定证明】 24．（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）如图，在中，是角平分线，交于点，交于点． (1)判定四边形的形状，并证明你的结论； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？为什么？ 【答案】(1)菱形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查正方形的判定，菱形的判定： （1）先根据，证明四边形是平行四边形．根据角平分线、平行线的性质得出，根据等角对等边得出，可证四边形是菱形． （2）有一个角是直角的菱形为正方形，由此可解． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 证明： ，， 四边形是平行四边形． 又平分， ． 又 ， ， ， ． 四边形是菱形． （2）解：当时，四边形是正方形． 理由：由（1）得四边形是菱形， 又， 菱形是正方形． 25．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D是的中点，．过点D作且，连接．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定，先证明，，即可得到结论． 【详解】证明：∵点D是的中点， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，则， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 26．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上的三等分点，连接．求证： (1)； (2)连接，若，且，判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形为正方形 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，然后可证明，再利用来判定即可得解； （2）如图，连接交于，证明，可得四边形为平行四边形，结合，可得四边形为菱形，证明，可得四边形为正方形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵点E，F是对角线上的三等分点， ∴， ∴． （2）解：四边形为正方形．理由如下： 如图，连接交于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，熟记特殊四边形的判断方法是解本题的关键． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 27．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)求的值． 【答案】(1)见解析； (2)6． 【分析】（1）如图，作于，于．只要证明即可解决问题； （2）只要证明，可得即可解决问题． 【详解】（1）如图，作于，于． ∵四边形是正方形， ， ∵于，于， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵四边形是矩形， 四边形是正方形． （2）∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 28．（23-24八年级下·天津·期末）如图1，点是正方形内的一点，连接，点在点右侧，且，；连接，，． (1)如图1， ①求证：； ②延长交线段于点，若，，线段的长为______． (2)如图2，交于点，若，，三点在同一条直线上，且，求证：． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)证明见解析 【分析】（1）①由已知并结合正方形的性质得，证明，即可得证； ②设交于点，推出，得到，则，继而得到，由，得，则，证明四边形是正方形，即可求得线段的长； （2）作交的延长线于点，则，证明四边形是正方形，得，作于点，则，再证明，得，因为，得，则，再证明，即可得证． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：如图1，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴线段的长是， 故答案为：； （2）证明：如图2，作交的延长线于点， ∵，，三点在同一条直线上，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 作于点， ∵，； ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 29．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，， ①求的长； ②求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2；② 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）①根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论；②由（1）知，四边形是正方形，得出．由（2）（ⅰ）知，，，求出，勾股定理得出，得出．再证明，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形的正方形． （2）解：（ⅰ）平分， ． 在和中， ， ， ， ． （ⅱ）由（1）知，四边形是正方形， ． 由（2）（ⅰ）知，， ， ，， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握全等三角形和勾股定理是解决问题的关键． 【题型7 求正方形形中最值问题】 30．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，在正方形中，点为上一动点，点为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题、正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 连接，，，，根据正方形的性质得，再两点之间线段最短得当点B、P、E三点共线时，值最小，最小值是，利用勾股定理求出的长，即可求得的最小值． 【详解】解：连接，，，，如图， ∵四边形是正方形， ∴点D和点B关于对称， ∴， ∴， ∵ ∴当点B、P、E三点共线时，值最小，最小值是， ∵四边形是正方形，，点E为的中点， ∴，， ∴ 故选：D． 31．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点P．连接，线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取的中点O，连接，则（定值）， 根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段的值最小， 在中，由勾股定理得， 的最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到的中点的距离是定值是解题的关键． 32．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，正方形的边长为2，点是以为直径的半圆上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 连接，，交半圆于点，利用勾股定理求解，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接，，交半圆于点， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， 在中，，， ， 当点与点重合时，取得最小值． 故答案为：． 33．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图：已知正方形的边长为4，若P是对角线上一动点，E为边中点；连接；则P点运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查轴对称﹣最短路线问题、正方形的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接、、，由正方形的性质得，，则，所以，由垂直平分，点P在上，得，由，得 ，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵正方形的边长为4，E为边中点 ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，点P在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 34．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，、分别是边、上的动点，且＝，为中点，是边上的一个动点，则＋的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】延长到，使，则，，当，，三点共线时，的值最小，根据题意，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：延长到，使，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当，，三点共线时，的值最小， ∵，点是的中点，， ∴， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值． ∵， ∴， ∴的最小值是． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的性质，勾股定理，正确的找到点的位置是解题的关键． 35．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将绕点旋转，得到，连接，证明，得到，进而得到，得到当三点共线时，取得最小值为的长，过点作，，得到四边形为矩形，为等腰直角三角形，进而求出 【详解】解：如图，将绕点旋转，得到，连接，则：，， ∵正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值为的长， 过点作，，则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴ ， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题等知识点，解题的关键是通过旋转，构造全等三角形． 36．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知正方形的周长为20，，，若M为对角线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．作点E关于的对称点，连接，交于M，此时，最小值是的长，进而可求得答案． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，交于M，此时最小， ∵四边形是正方形， ∴，，，点在上，， ∴， ∴， ∴四边形是 平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：5． 【题型8 正方形中“十字架”模型】 37．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）7 【分析】（1）过点作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，证明，得出； （2）作，垂足为，根据勾股定理得．根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）过点作，垂足为，如图所示： 四边形为正方形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ． （2）作，垂足为，如图所示： 由（1）知， 在中，由勾股定理，得： ． 将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点，折痕为， ， 由（1）可知， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 38．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，正方形，点分别在上，与相交于点O．记． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，边长，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的值为． 【分析】（1）作平行四边形，通过证得，即可证得结论； （2）过点作交于点，则四边形是平行四边形，得出根据勾股定理求得，进而求得，作，交延长线于，通过证，证得，，，继而证得，证得，从而证得，设则，根据勾股定理求得，进一步根据勾股定理求得． 【详解】（1）证明：作平行四边形，则，，，如图， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作交于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 作，交延长线于， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 设，则， 在中，， 解得， ∴． 即的值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算．作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【题型9 正方形中“对角互补”模型】 39．（23-24八年级下·江西抚州·期中）在四边形中，平分，并且． (1)如图1，当时，则与的数量关系是______； (2)如图2，当是钝角时，(1)中的结论是否仍然成立?请证明你的判断； (3)如图3，若，，，求的面积 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)6 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质，正方形的判定和性质，利用角平分线的性质证明三角形全等是解题的关键． （1）利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可证明； （2）过D作，，证即可得到结果； （3）过D作,交于M，，交延长线于N，证明，可得，再证明四边形是正方形，根据正方形的性质和三角形的面积公式求解． 【详解】（1）在四边形中， ，， ， ,， 平分， ； 故答案为： （2）成立，理由是： 如图，过D作,交于E，，交延长线于F， ， 平分， ， ， ， ， 在与中， ， ； （3）如图，过D作,交于M，，交延长线于N， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 40．（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，边长为2的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E．      (1)求证：； (2)在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，试说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， 【分析】（1）过点作于，过点作于，根据正方形的性质证明，即可证明； （2）根据题意分①若点在线段上②若点在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）证明：过点作于，过点作于，如图,    ∵四边形是正方形，，， ∴． ∴，． ∵即， ∴． 在和中， ． ∴， ∴； （2）解：能，理由如下： ①若点在线段上，如图，    ∵，∴． ∵，∴． 若为等腰三角形，则． ∴， ∴，与矛盾， ∴当点在线段上时，不可能是等腰三角形． ②若点在线段的延长线上，如图．      若是等腰三角形， 此时， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴的长为2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，注意分类在解题中的应用． 41．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．    (1)求证：． (2)若正方形的边长为8，为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质求出，，然后证明即可得； （2）过点O作于点H，连接，由正方形的边长为8且E为的中点可得，，根据勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点O作于点H，连接，    ∵正方形的边长为8， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 42．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）.探索线段、、之间的数量关系．    【问题初探】 （1）如图1，爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；理由见解析；（2）；理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； 【详解】解：（1）结论：．理由如下： 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2），理由如下： 如图，取的中点，连接，   四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴， 是等边三角形， ，， ∴， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ． 43．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，四边形是正方形，射线交于点交的延长线于点． (1)尺规作图：作的平分线交于；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质角平分线的作图等知识． （1）按照角平分线的作图方法作图即可； （2）证明，则，，再证明，则，由即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∵作的平分线交于 ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 44．（23-24八年级下·山东济南·期末）【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是______． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）①，理由见解析；②证明见解析；（2），证明见解析；（3）的长度为或 【分析】（1）①先证明，可得，推出，再运用勾股 即可证得结论；②延长交于，由正方形的性质可得，，再利用可证得； （2）延长交于，连接，可证得，得出，，再由线段垂直平分线的性质可得，再运用勾股定理即可得出答案； （3）设，分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）①猜想：，理由如下： 如图： ， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴； ②证明：如图，延长交于， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴； （2）结论：， 证明：如图，延长交于，连接， ， ∵是矩形的中心， ∴点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴； （3）设， 当点在线段上时，连接， ， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为； 当点在延长线上时，作，交的延长线于，连接、， ， 同理可得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为， 综上所述，线段的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，根据勾股定理列方程解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 正方形的重难点题型归纳（九大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用正方形的性质求角度】 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5 正方形的判定证明】 【题型6 正方形的性质与判定综合】 【题型7 求正方形形中最值问题】 【题型8 正方形中“十字架”模型】 【题型9 正方形中“对角互补”模型】 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级下·山东烟台·期末）如图，延长正方形边至点，使，则为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建宁德·期中）如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 7．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，在正方形中，、分别在、上，且，，连接．则为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 8．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，正方形的边长为2，连接、，平分交于点E，则的长是（   ）． A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为（    ） A．5 B． C．10 D． 10．（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，四边形是正方形，直线m、n、l分别经过A、B、C三点，且．若m与n之间的距离是2，n与l之间的距离是3，则的长是（    ） A．3 B．4 C． D． 11．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在边长为25 的正方形中， 和为直角三角形，，延长交于点G，延长交于点H，，则的长是（   ） A．14 B．17 C． D． 12．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，正方形的边长为6，点为上一点，连接，过点作的垂线交于点，连接．若，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 13．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为4的正方形内取一点E，使得，连接、，与相交于点O，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，点为正方形对角线上的任意一点（不包括，两点），过点做，，垂足分别为，，若四边形的周长为，则正方形的面积是（    ）    A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形中，是对角线，平分交于点E，，则正方形的边长为（    ） A．6 B． C． D． 16．（23-24八年级下·广西玉林·期末）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变(如图)，若正方形教具边长为，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）（教村母题变式）如图，边长为6的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边分别相交于点，图中阴影部分的面积记为，两条线段的长度之和记为，将正方形绕点逆时针转动适当角度，则有（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 18．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，E是正方形内一点，于E，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．48 B．76 C．78 D．84 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 19．（20-21八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，在坐标轴上，是的中点，四边形是矩形，四边形是正方形，若点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 20．（2024·山西晋中·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形，顶点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，将正方形绕点O顺时针旋转，则旋转后点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是，点C在x轴上，则点C的坐标为 ；点D的坐标为 ． 22．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，点B的坐标是，点E、F分别在边、上，．若，则F点的坐标是 ． 23．（22-23八年级下·广西钦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，，且的中点是坐标原点O．固定点，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为 ． 【题型5 正方形的判定证明】 24．（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）如图，在中，是角平分线，交于点，交于点． (1)判定四边形的形状，并证明你的结论； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？为什么？ 25．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D是的中点，．过点D作且，连接．求证：四边形是正方形． 26．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上的三等分点，连接．求证： (1)； (2)连接，若，且，判断四边形的形状，并证明． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 27．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)求的值． 28．（23-24八年级下·天津·期末）如图1，点是正方形内的一点，连接，点在点右侧，且，；连接，，． (1)如图1， ①求证：； ②延长交线段于点，若，，线段的长为______． (2)如图2，交于点，若，，三点在同一条直线上，且，求证：． 29．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，， ①求的长； ②求的长． 【题型7 求正方形形中最值问题】 30．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，在正方形中，点为上一动点，点为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点P．连接，线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，正方形的边长为2，点是以为直径的半圆上一点，则的最小值为 ． 33．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图：已知正方形的边长为4，若P是对角线上一动点，E为边中点；连接；则P点运动过程中，的最小值为 ． 34．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，、分别是边、上的动点，且＝，为中点，是边上的一个动点，则＋的最小值是 ． 35．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 36．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知正方形的周长为20，，，若M为对角线上一动点，则的最小值为 ． 【题型8 正方形中“十字架”模型】 37．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    38．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，正方形，点分别在上，与相交于点O．记． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，边长，，求线段的长． 【题型9 正方形中“对角互补”模型】 39．（23-24八年级下·江西抚州·期中）在四边形中，平分，并且． (1)如图1，当时，则与的数量关系是______； (2)如图2，当是钝角时，(1)中的结论是否仍然成立?请证明你的判断； (3)如图3，若，，，求的面积 40．（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，边长为2的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E．      (1)求证：； (2)在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，试说明理由． 41．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．    (1)求证：． (2)若正方形的边长为8，为的中点，求的长． 42．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）.探索线段、、之间的数量关系．    【问题初探】 （1）如图1，爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系，并说明理由． 43．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，四边形是正方形，射线交于点交的延长线于点． (1)尺规作图：作的平分线交于；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证： 44．（23-24八年级下·山东济南·期末）【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是______． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$