专题01 勾股定理与逆定理【知识串讲+八大考点】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

专题01 勾股定理与逆定理 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）勾股定理 （1）勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 （3）变式： ①a2=c2- b2 ②b2=c2- a2 适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 （二）勾股定理的几何证明 （1）方法一：，，化简可证． （2）方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　 大正方形面积为 所以 （3）方法三：，，化简得证 （三）勾股数 （1）勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 （2）常见的勾股数：如；；；等 （3）扩展：用含字母的代数式表示组勾股数： ①（为正整数）； ②（为正整数） ③（，为正整数） 注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。 （四）勾股定理逆定理 内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 注意： （1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，若=则以，，为三边的三角形是直角三角形； （2）定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 模块三 考点一遍过 考点1：勾股定理求线段 典例1：在中，，c为斜边，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理以及完全平方公式的应用，得出的值是解题关键．直接利用勾股定理得出的值，再利用完全平方公式得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∵，， ∴， ∴， 则：， 故的面积是：． 故选：B． 【变式1】如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，则的周长为（   ）. A．14 B．18 C．30 D．24 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、作线段(尺规作图) 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．首先利用勾股定理得，再根据可得答案． 【详解】解：在中，由勾股定理， 得． ∵分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 【变式2】如图，在中，，，若点在边上移动，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、垂线段最短 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质、勾股定理以及垂线段的性质，利用等面积法求得的长是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，首先由等腰三角形三线合一可知，在中，由勾股定理可求得，然后利用等面积法即可求得的长，根据垂直线段最短，可得当时，的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为． ∵，， ， 在中，， 由三角形的面积公式可知：，即：， ． 根据垂直线段最短，可得当时，的值最小，所以的最小值是． 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，D、E是斜边上两点，且，若，，则的面积为 ． 【答案】36 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，由等腰直角三角形的性质可得，将绕点逆时针旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，由勾股定理可得，证明，得出，再由勾股定理和等腰直角三角形的性质得出，即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 考点2：勾股定理——网格问题 典例2：如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)写出格点各顶点的坐标； (2)求出的周长． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了勾股定理和坐标与图形性质，解决本题的关键是熟练掌握坐标与图形的性质． （1）根据图形直接写出答案； （2）由勾股定理求得三角形的三边长度，进而得到其周长． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由勾股定理知：，，． 所以，的周长为； 【变式1】图1是由五个边长为的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形． (1)如图，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴的正半轴交于点，求拼成的正方形的面积及点表示的数． (2)如图，一个的网格中有一个由个小正方形组成的图形（图中实线部分），请仿照图，将它剪开并拼成一个正方形，在所给的网格中画出示意图． 【答案】(1)拼成的正方形的面积为，点表示． (2)示意图见解析． 【知识点】实数与数轴、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根，勾股定理的知识，解题的关键是根据网格的特点，画出正方形，根据正方形的面积是由小正方形的个数决定的，求出其边长，进行解答，即可． （1）根据题意，则正方形的面积为，其边长为，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴的正半轴交于点，则，已知点代表的数，即可求出点代表的数； （2）由题意得，正方形的面积为，则其边长为，利用网格，画出正方形，即可． 【详解】（1）解：由题意得，拼成正方形的面积为， ∴其边长为， ∵以点为圆心，长为半径作弧，与数轴的正半轴交于点， ∴， ∵点代表的数， ∴点代表的数为：． （2）解：由题意得，正方形的面积为， ∴其边长为， ∴正方形示意图如下： 【变式2】如图所示，在边长均为1的正方形网格中，A、B、C、D均在格点上． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了勾股定理与网格，勾股定理得逆定理，掌握勾股定理及逆定理是解题关键． （1）由网格可知，，，，再根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ； （2）解：． 【变式3】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中画一个三边长分别为，3，的三角形，使它的顶点都在格点上； (2)求（1）中所作三角形最长边上的高． 【答案】(1)详见详解析 (2) 【知识点】利用网格求三角形面积、勾股定理与网格问题 【分析】此题考查了作图—应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积．画出符合条件的三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理，结合网格结构画出符合条件的三角形即可； （2）先利用割补法求出，再利用三角形的面积公式求出最长边上的高即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ，，； （2） ， 设边上的高为h， 则， 解得：． 即（1）中所作三角形最长边上的高为． 考点3：勾股定理——折叠问题 典例3：在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】勾股定理与折叠问题、折叠问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先证，再证明进而得出即可； （2）设x，则，在中用勾股定理求解即可； （3）先求出，得出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵折叠后点B与点C重合， ∴， 在中， ∴， ∴， ， ，即D是的中点； （2）解：∵直线是对称轴， ∴， ∵， 设，则 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】如图，将纸片沿折叠，使直角顶点C与边上的点E重合，若．    (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题： （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据折叠的性质得到，，则，，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【变式2】如下图，在长方形纸片中，．现将该纸片沿折叠，使点A，C重合．求： (1)的长； (2)重叠部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题： （1）先得到，再设，则，据此利用勾股定理得到，解方程即可得到； （2）由（1），得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由折叠和长方形的性质得． 设，则． 在中，由勾股定理，得 ∴， 解得， 的长为． （2）解：由（1），得， ． 【变式3】如图，把等边沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且． (1)求的度数； (2)若，求等边的周长． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及折叠性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得，.因为，得，根据折叠性质以及平角的概念，列式计算，即可作答． （2）先运用勾股定理，得，因为折叠，得，结合周长公式列式代入数值，即可作答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴. 由折叠的性质可知，. （2）解：在中，，，， ∴， ∴. 由折叠的性质可知，， ∴， ∴等边的周长. 考点4：勾股定理——勾股树问题 典例4：如图，，过点P作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得…，依此法继续作下去，得的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：∵OP=1，，， 同理：， ∴， 故选：C ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律． 【变式1】如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为，正方形，，，的面积分别为，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，分别用含b和含a的式子表示出最大正方形的边长、正方形D左侧的正方形的边长及最大正方形下方直角三角形的最长边；再分别表示出S1，S2，S4；然后在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得出b2与a2的数量关系；最后观察并计算可得出答案． 【详解】解：设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a， ∵其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k， ∴最大正方形的边长为kb，正方形D左侧的正方形的边长为ka， ∴最大正方形下方直角三角形的最长边为k2a， ∴S1=（kb）2-b2 =（k2-1）b2， S2=b2， S4=a2， 在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得： （ka）2+（kb）2=（k2a）2， ∴a2+b2=k2a2， ∴b2=（k2-1）a2， ∴S1=（k2-1）2a2， ∴S1•S4=（k2-1）2a2•a2 =[（k2-1）a2]2 =S22， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形和正方形中的运用，数形结合并正确找到相关线段的数量关系是解题的关键． 【变式2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ． 【答案】 8 5 13 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练应用勾股定理求得正方形的边长．先由正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，得到对应的边长分别为，然后利用勾股定理求得正方形的边长分别为，从而求得正方形和的面积，正方形的边长，即可得到正方形的面积． 【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3， 正方形A，B，C，D的边长分别为， 由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的面积为8，正方形的面积为5，正方形的边长为， 正方形的面积为13， 故答案为：8，5，13． 【变式3】如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为 ；的值为 ；的值为 ． 【答案】 2 1 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2，1，． 考点5：勾股定理——勾股数问题 典例6：《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　） A．16 B．17 C．25 D．64 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】直接根据题意分别得出由8生成的勾股数”的“弦数”进而得出答案． 【详解】解：∵由8生成的勾股数”的“弦数”记为A， ∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17， 故A＝17， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股数问题．能理解题中的计算方式，并能依此计算是解决此题的关键．需注意在计算“由 m 生成的勾股数”时，m分奇偶计算方式不同． 【变式1】下列各组数是勾股数的一组是（    ） A．7，24，25 B．，， C．1.5，2，2.5 D．32，42，52 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、72+242=252，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项符合题意； B、，不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意； C、1.5，2.5，不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意； D、92+162≠252，不是勾股数，不合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形． 【变式2】观察以下几组勾股数，并寻找规律：①，，；②，，；③，，；④，，…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股数的规律题、勾股定理等知识点，发现勾股数与组数的规律是解题的关键． 先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13； 又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1， 故设第二个数为x，第三个数为， 根据勾股定理可得：，解得． ∴第6组数是：． 故答案为：． 【变式3】若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”． 如：，∵．∴2543是“勾股和数” （1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是 ． （2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，若，，当为整数时，M是 【答案】 2024 8109或4536或4563 【知识点】整式加减的应用、勾股树（数）问题、新定义下的实数运算 【分析】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”． （1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可； （2）由“勾股和数”的定义可得，根据均是整数可得为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M． 【详解】（1）解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”； 理由：∵，， ∴2022不是“勾股和数”； ∵，， ∴2023不是“勾股和数”； ∵，， ∴2024是“勾股和数”； （2）∵为“勾股和数”， ∴， ∴， ∵， ∵为整数， ∴为3的倍数， ∴①，，此时； ②，或，，此时或4563， 综上，M的值为8109或4536或4563． 故答案为：2022，8109或4536或4563． 考点6：勾股逆定理——判定Rt△ 典例1：若实数x的立方根是2，且实数y、z满足． (1)分别求x、y、z的值； (2)若x、y、z是的三边长，试判定的形状，并说明理由； (3)求其最大边上的高． 【答案】(1)，， (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形、已知一个数的立方根，求这个数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）由立方根的定义可求出x的值，由平方和算术平方根的非负性可求出y和z的值； （2）根据勾股定理逆定理求解即可； （3）设最大边上的高为，根据三角形面积公式可得出，代入数据求解即可． 【详解】（1）解：∵实数x的立方根是2， ∴． ∵，则， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴的形状为直角三角形； （3）解：设最大边上的高为， ∵， ∴，即最大边上的高为． 【点睛】本题考查立方根的定义，非负数的性质，勾股定理逆定理，代数式求值，三角形的面积计算．熟练掌握上述知识是解题关键． 【变式1】如图，四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、C两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． （1）由勾股定理可直接求得结论； （2）根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【详解】（1）解：连接，如图． 在中，，，，， ∴， 解得（负值舍去） 即A、C两点之间的距离为； （2）解：∵， ∴， ∴四边形纸片的面积 ． 【变式2】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 【变式3】如果我们称正方形网格中的交点为格点．如图，已知，两个格点． (1)在图1中找出两个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，并画出点； (2)在图2中找到一个格点，并画出，使得是等腰直角三角形，若每个小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)图见解析（答案不唯一），， 【知识点】利用网格求三角形面积、格点图中画等腰三角形、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】（1）根据等腰三角形的定义和勾股定理解答即可； （2）根据等腰直角三角形的定义，勾股定理解及其逆定理答即可． 【详解】（1）解：如图所示，（画出图中六个点中的任意两个）， 如：， ∴是等腰三角形； （2）解：如图， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 考点7：勾股定理——弦图计算 典例7：如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．若图中的直角三角形的长直角边为，大正方形的面积为，连接图中四条线段得到如图的新图案，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得，，，，进而由勾股定理可得，即得，可得，最后用大正方形的面积减去个空白部分三角形的面积即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：． 【变式1】我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P，如图所示，若正方形的面积为28，，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】以弦图为背景的计算题、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，先证明，则，设，，根据勾股定理建立方程求出；再根据图形面积之间的关系，证明两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，再由中间正方形面积等于大正方形面积减去4个全等的直角三角形的面积列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， 设， ∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴， ∴，即，    设交于点M，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∵ ， ∴的值是； 故选：A． 【变式2】第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接、．若的面积是的倍，小正方形的面积是，则大正方形的面积 ． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，，则，依题意，，根据题意得出，，进而求得，即可求解． 【详解】解：设，，则 依题意， ∵的面积是的倍， ∴，即 ∴ 即（负值舍去） ∵小正方形的面积是， ∴ ∴ ∴ ∴大正方形的面积 故答案为：． 【变式3】我国数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为81，小正方形面积为9，用表示直角三角形的两直角边，下列四个推断：①；②；③；④．其中所有正确推断的序号是 ． 【答案】①②③ 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据所给图形，分别表示出各部分的面积，再结合各部分图形面积之间的关系即可解决问题． 【详解】解：由题可知，大正方形的面积为， 大正方形的边长为， ，故①正确； 小正方形面积为9， 小正方形的边长为 ，故②正确； ，故③正确； （舍负），故④错误； 故答案为：①②③． 考点8：勾股定理——几何应用 典例8：阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，，，之间的位置关系有以下三种情形； ①如果轴，则， ②如果轴，则， ③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式． 小试牛刀：（1）若点坐标为，点坐标为则　5　； （2）若点坐标为，点坐标为则　　； （3）若点坐标为，点坐标为则　　； 【学以致用】若点坐标为，点坐标为，点P是x轴上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值为 ； 【挑战自我】已知， 根据数形结合，直接写出的最小值　　；的最大值　　；    【答案】【小试牛刀】（1）5 ；（2）6；（3）5 ；【学以致用】 ；【挑战自我】    ； 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型． 小试牛刀：（1）利用两点间的距离公式进行解答； （2）利用两点间的距离公式进行解答； （3）利用两点间的距离公式进行解答； 学以致用：利用轴对称的性质求得点的坐标以及的最小值； 挑战自我：利用、所表示的几何意义解答． 【详解】解：小试牛刀：（1）． 故答案为：5； （2）． 故答案为：6； （3）． 故答案为：5； 学以致用：如图， 点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是， 此时． 故答案为：． 挑战自我：， 当取最小值时，表示点与点的距离与点与点的距离之和（或表示点与点的距离与点与点的距离之和）， 此时．， 当取最大值时，表示点与点的距离与点与点的距离之差（或表示点与点的距离与点与点的距离之差）， 此时． 故答案为：；． 【变式1】在中，，且． (1)当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点作，垂足为．设． ∵在中，， 在中， ① ， ∴ ① ． 化简得，． ② ．    其中，①是______；②是______． (2)如图②，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明．    【答案】(1)， (2)；证明见详解 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）在中根据勾股定理即可表示出，从而得出，然后进行判断即可； （2）过点作的延长线，垂足为，设，在和中分别根据勾股定理表示出，然后仿照（1）中的方法判断即可． 【详解】（1）解：如图①，过点作，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 其中，①是；②是； 故答案为：，； （2）； 证明：如图，    过点作的延长线，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 【变式2】为迎接六十周年校庆，重庆外国语学校准备将一块三角形空地进行新的规划，如图，点D是边上的一点，过点D作垂直于的小路，点E在边上．经测量，米，米，米，比长米． (1)求的面积； (2)求小路的长． 【答案】(1)平方米 (2)米 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理推知△ABD是直角三角形，然后利用直角三角形的面积公式作答； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵米，米，米，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴平方米， 答：的面积是平方米； （2）由（1）知，， ∵比长米， ∴． 由勾股定理知：，即． ∴米． ∴米， ∵， ∴， ∴（米）， 答：小路的长为米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理的应用，运用等面积法求垂线段的长是常用方法，属于常考题型． 【变式3】著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为)，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． 【结论探究】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 (3)中，，，，，垂足为，请直接写出的值． 【答案】[结论探究]（1）见解析；[结论应用]（2）千米；[问题拓展]（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． [结论探究]（1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； [结论应用]（2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； [问题拓展]（3）作，垂足为，在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】[结论探究] （1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； [结论应用]（2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； [问题拓展]（3）作，垂足为， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理与逆定理 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）勾股定理 （1）勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 （3）变式： ①a2=c2- b2 ②b2=c2- a2 适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 （二）勾股定理的几何证明 （1）方法一：，，化简可证． （2）方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　 大正方形面积为 所以 （3）方法三：，，化简得证 （三）勾股数 （1）勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 （2）常见的勾股数：如；；；等 （3）扩展：用含字母的代数式表示组勾股数： ①（为正整数）； ②（为正整数） ③（，为正整数） 注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。 （四）勾股定理逆定理 内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 注意： （1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，若=则以，，为三边的三角形是直角三角形； （2）定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 模块三 考点一遍过 考点1：勾股定理求线段 典例1：在中，，c为斜边，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，则的周长为（   ）. A．14 B．18 C．30 D．24 【变式2】如图，在中，，，若点在边上移动，则的最小值是 ． 【变式3】如图，在中，，D、E是斜边上两点，且，若，，则的面积为 ． 考点2：勾股定理——网格问题 典例2：如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)写出格点各顶点的坐标； (2)求出的周长． 【变式1】图1是由五个边长为的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形． (1)如图，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴的正半轴交于点，求拼成的正方形的面积及点表示的数． (2)如图，一个的网格中有一个由个小正方形组成的图形（图中实线部分），请仿照图，将它剪开并拼成一个正方形，在所给的网格中画出示意图． 【变式2】如图所示，在边长均为1的正方形网格中，A、B、C、D均在格点上． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【变式3】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中画一个三边长分别为，3，的三角形，使它的顶点都在格点上； (2)求（1）中所作三角形最长边上的高． 考点3：勾股定理——折叠问题 典例3：在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 【变式1】如图，将纸片沿折叠，使直角顶点C与边上的点E重合，若．    (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【变式2】如下图，在长方形纸片中，．现将该纸片沿折叠，使点A，C重合．求： (1)的长； (2)重叠部分的面积． 【变式3】如图，把等边沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且． (1)求的度数； (2)若，求等边的周长． 考点4：勾股定理——勾股树问题 典例4：如图，，过点P作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得…，依此法继续作下去，得的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为，正方形，，，的面积分别为，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ． 【变式3】如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为 ；的值为 ；的值为 ． 考点5：勾股定理——勾股数问题 典例6：《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　） A．16 B．17 C．25 D．64 【变式1】下列各组数是勾股数的一组是（    ） A．7，24，25 B．，， C．1.5，2，2.5 D．32，42，52 【变式2】观察以下几组勾股数，并寻找规律：①，，；②，，；③，，；④，，…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为 ． 【变式3】若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”． 如：，∵．∴2543是“勾股和数” （1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是 ． （2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，若，，当为整数时，M是 考点6：勾股逆定理——判定Rt△ 典例1：若实数x的立方根是2，且实数y、z满足． (1)分别求x、y、z的值； (2)若x、y、z是的三边长，试判定的形状，并说明理由； (3)求其最大边上的高． 【变式1】如图，四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、C两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 【变式2】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【变式3】如果我们称正方形网格中的交点为格点．如图，已知，两个格点． (1)在图1中找出两个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，并画出点； (2)在图2中找到一个格点，并画出，使得是等腰直角三角形，若每个小正方形的边长为1，求的面积． 考点7：勾股定理——弦图计算 典例7：如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．若图中的直角三角形的长直角边为，大正方形的面积为，连接图中四条线段得到如图的新图案，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P，如图所示，若正方形的面积为28，，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接、．若的面积是的倍，小正方形的面积是，则大正方形的面积 ． 【变式3】我国数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为81，小正方形面积为9，用表示直角三角形的两直角边，下列四个推断：①；②；③；④．其中所有正确推断的序号是 ． 考点8：勾股定理——几何应用 典例8：阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，，，之间的位置关系有以下三种情形； ①如果轴，则， ②如果轴，则， ③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式． 小试牛刀：（1）若点坐标为，点坐标为则　5　； （2）若点坐标为，点坐标为则　　； （3）若点坐标为，点坐标为则　　； 【学以致用】若点坐标为，点坐标为，点P是x轴上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值为 ； 【挑战自我】已知， 根据数形结合，直接写出的最小值　　；的最大值　　；    【变式1】在中，，且． (1)当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点作，垂足为．设． ∵在中，， 在中， ① ， ∴ ① ． 化简得，． ② ．    其中，①是______；②是______． (2)如图②，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明．    【变式2】为迎接六十周年校庆，重庆外国语学校准备将一块三角形空地进行新的规划，如图，点D是边上的一点，过点D作垂直于的小路，点E在边上．经测量，米，米，米，比长米． (1)求的面积； (2)求小路的长． 【变式3】著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为)，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． 【结论探究】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 (3)中，，，，，垂足为，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$