专题02 平面向量的运算15题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题02 平面向量的运算15题型分类 一、向量加法的定义及其运算法则 1．向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则 ①三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a． ②平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． ③位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型. ④多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 二、向量加法的运算律 交换律：a＋b＝b＋a． 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 三、相反向量 1．定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a． 2．性质： (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 四、向量的减法 1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 五、向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向：. 特别地，当λ＝0时，λa＝0.当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 六、向量数乘的运算律 1.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 3．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 七、向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. （一） 向量加法法则 1．向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则：三角形法则，平行四边形法则． 3.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系： 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系： 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 题型1：向量的加法 1．（2025高一·全国·随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量． (1)   (2)   (3)   2．（2025高一·全国月考）如图，已知向量，求作和向量. 3．（2025高一·新疆伊犁·期中）等于（    ） A． B． C． D． 题型2：向量的加法的几何应用 4．（2025高二·黑龙江月考）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·北京西城·期末）如图，在矩形中，（　　）   A． B． C． D． 6．（2025高三·全国月考）如图，正六边形中， . 7．（2025高一·全国月考）如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． （二） 向量加法运算律的应用 向量加法的运算律：交换律：a＋b＝b＋a．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 题型3：向量加法运算律的应用 8．（2025高一·江苏月考）已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 9．（2025高一·全国月考）化简 (1)； (2) . 10．（2025高一·全国月考）已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是 .(填序号) 11．（2025高一·陕西宝鸡·期中）向量化简后等于（    ） A． B． C． D． （三） 向量加法的实际应用 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 题型4：向量加法的实际应用 12．（2025高一·全国月考）已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳． (1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？ 参考数据：． 13．（2025高一·全国月考）一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置. 14．（2025高一·全国月考）甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东的方向将球传给机器人乙，然后机器人乙按南偏东的方向将球传给机器人丙，机器人丙再按西南方向传给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小． （四） 向量的减法运算 求作两个向量的差向量的两种思路： (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 题型5：相反向量 15．（2025高二·浙江嘉兴·期中）下列说法中，错误的是（    ） A．等长且方向相反的两个向量是相反向量 B．方向相反的向量是相反向量 C．零向量的相反向量是零向量 D．互为相反向量的两个向量是共线向量 16．（2025高一·全国月考）下列等式中，正确的个数为（    ） ①②③④⑤⑥． A．3 B．4 C．5 D．6 题型6：向量的减法运算 17．（2025高一·全国·课堂例题）如图，已知向量、，求作． (1)   (2)   (3)   (4)   18．（2025高一·全国月考）如图，已知向量，，，求作向量． （五） 向量减法法则的应用 (1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和. ②起点相同且为差. 题型7：向量减法法则的应用 19．（2025高一·全国·假期作业）化简 (1)； (2)． 20．（2025高一·全国月考）化简下列各式： (1)(＋)＋()； (2)； (3)； (4)； (5) 21．（2025高一·全国月考）化简下列各式： (1)； (2). 22．（2025高一·全国月考）化简： (1)； (2). 题型8：向量减法的几何意义及应用 23．（2025高一·全国·假期作业）如图，O为内一点，，，.求作： (1)+-； (2)--. 24．（2025高一·全国·课堂例题）已知，求的取值范围． （六） 向量的线性运算 1、向量的线性运算: 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 2、向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 题型9：对向量数乘运算的理解 25．（2025高一·全国月考）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（    ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 26．（2025高一·全国月考）已知m、n是实数，、是向量，对于命题： ①     ② ③若，则     ④若，则 其中正确命题的个数是：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型10：向量的线性运算 27．（2025高一·全国月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 28．（2025高一·重庆綦江·期中）化简为（    ） A． B． C． D． 29．（2025高一·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 30．（2025高一·全国月考）计算： (1)； (2)． （七） 用已知向量表示其他向量 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 题型11：用已知向量表示其他向量 31．（2025高一·福建福州·期中）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 32．（四川省宜宾市2024-2025学年高一学期期末数学试题）中，，则（    ） A． B． C． D． 33．（2025高一·上海嘉定·期末）已知是的边上的中线，若，则 .（用表示） 34．（2025高一·重庆沙坪坝·期末）如图所示，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 35．（2025高二·湖北黄石·期中）如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 36．（2025高三·江西月考）在中，若点满足，，则 . 37．（2025高三·重庆·期中）在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是（    ） A． B． C． D． 38．（2025·山东·模拟预测）在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． （八） 共线向量的判定及应用 (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． (3)判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1. 题型12：向量共线的判定 39．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，则“”是“存在，使得”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 40．（2025高一·全国·随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，（其中两个非零向量和不共线）； (3)，. 41．（2025·河南·模拟预测）已知、、均为非零向量，且，，则（    ） A．与垂直 B．与同向 C．与反向 D．与反向 42．（2025高一·全国月考）设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有 ．（填序号） 题型13：证明或判断三点共线的方法 43．（2025高一·全国月考）设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数的值． 44．（2025高一·全国月考）设两个非零向量，不共线，已知，，，问：是否存在实数，使得A，B，D三点共线，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 45．（内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学2024届高三学期第二次月考数学试题）已知向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线 C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线 题型14：利用向量共线求参数 46．（2025高一·山西月考）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 47．（2025高一·山西朔州月考）已知两个非零向量不共线，且与共线，求实数k的值． 48．（2025高一·江苏盐城月考）设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则 . 49．（2025高一·江苏南通·期中）已知是两个不共线的向量，向量．若，则（    ） A． B． C．2 D． 题型15：向量共线定理推论 50．（2025高一·河南省直辖县级单位月考）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 51．（2025高三·黑龙江双鸭山月考）如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．8 B．12 C．32 D．16 52．（2025高一·河南省直辖县级单位月考）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 53．（2025高一·山东泰安·期中）如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D．5 54．（2025高三·全国月考）经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，. (1)证明：为定值； (2)求m＋n的最小值. 55．（2025高三·江西吉安·期中）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最大值为16 D．的最小值为4 一、单选题 1．（2025高三·河南月考）已知，，为不共线的单位向量，且任意两个向量的夹角均相等，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国月考）若，则化简等于（　　） A． B． C． D．以上都不对 3．（2025高二·北京月考）设是两两不共线的向量，且向量，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025高一·浙江衢州·期中）化简得（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·山东泰安·期中）如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D．5 6．（2025高一·浙江月考）设是平行四边形的对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高二·广西南宁月考）下列各式中，化简后不是零向量的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·重庆沙坪坝·期末）如图所示，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 9．（2025高一·全国月考）（　　） A． B． C． D． 10．（2025高三·山西太原·期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（    ） A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心 11．（北京名校2023届高三一轮总复习第4章平面向量4.1向量的概念与线性运算）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心 12．（2025高一·上海奉贤·期中）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一·全国月考）设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（    ） A．与反向平行 B．与同向平行 C．与反向平行 D．与不共线 14．（2025高一·山西月考）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 15．（2025高三·江苏苏州月考）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（      ） A． B． C． D． 16．（2025·河南·模拟预测）已知的边的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（    ） A．7 B．6 C．3 D．2 17．（2025高一·全国月考）在中，已知是边上一点，若，则（    ） A．2 B．１ C．-2 D．－1 二、多选题 18．（2025高三·吉林月考）已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（2025高一·山东潍坊月考）对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是（    ） A． B． C． D． 20．（2025高一·全国·单元测试）已知向量，不共线，若，，且，则关于实数，的值可以是（ ） A．2， B．， C．2， D．， 21．（2024高三·全国月考）如图所示，D是的边上的中点，则向量（   ） A． B． C． D． 22．（2025高一·河北月考）如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 23．（2025高三·全国月考）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半，这个定理就是著名的欧拉线定理．设中，点，，分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正确的是（   ） A． B． C．设边的中点为，则有 D． 24．（河南省驻马店市部分学校2025届高三学期2月质量检测数学试题）在中，D是边上的一点，（其中），则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 25．（2025高三·北京海淀月考）已知平面上不共线的四点，若，则 26．（2025高一·全国月考）设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则 ． 27．（2025高一·全国月考）若，且，则 ． 28．（2025高一·全国月考）已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 29．（2025高一·江苏宿迁月考）已知三点共线，O为直线外一点，存在三个不全为零的实数，使，那么的值为 ． 四、解答题 30．（2025高一·全国·随堂练习）在中，点M为边AB的中点，点N为边AC的中点，求证：． 31．（2025高二·全国·课堂例题）如图，在空间四边形ABCD中，已知点G为的重心，E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，化简下列各式，并在图中标出化简结果．    (1)； (2)； (3)． 32．（2025高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 33．（2025高一·全国·课堂例题）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．    学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题02 平面向量的运算15题型分类 一、向量加法的定义及其运算法则 1．向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则 ①三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a． ②平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． ③位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型. ④多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 二、向量加法的运算律 交换律：a＋b＝b＋a． 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 三、相反向量 1．定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a． 2．性质： (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 四、向量的减法 1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 五、向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向：. 特别地，当λ＝0时，λa＝0.当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 六、向量数乘的运算律 1.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 3．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 七、向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. （一） 向量加法法则 1．向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则：三角形法则，平行四边形法则． 3.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系： 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系： 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 题型1：向量的加法 1．（2025高一·全国·随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量． (1)   (2)   (3)   【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）利用平面向量加法的三角形法则可作出向量. 【解析】（1）解：作，，，则即为所求作的向量.    （2）解：作，，，则即为所求作的向量.    （3）解：作，，，则即为所求作的向量.        2．（2025高一·全国月考）如图，已知向量，求作和向量. 【答案】答案见解析 【分析】利用平行四边形法则可得答案. 【解析】 三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图 （1）在平面内任取一点O，作，； （2）作平行四边形AOBC，则； （3）再作向量； （4）作平行四边形，则＝，即即为所求. 3．（2025高一·新疆伊犁·期中）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法运算，即可求解. 【解析】根据向量加法运算可知，. 故选：A 题型2：向量的加法的几何应用 4．（2025高二·黑龙江月考）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的平行四边形法则分析求解. 【解析】因为为平行四边形，所以. 故选：B. 5．（2025高一·北京西城·期末）如图，在矩形中，（　　）   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的加法法则计算即得. 【解析】在矩形中，. 故选：B 6．（2025高三·全国月考）如图，正六边形中， . 【答案】 【分析】将平移到，平移到，根据平面向量的加法运算即可求解. 【解析】将平移到，平移到， 故. 故答案为:. 7．（2025高一·全国月考）如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 【答案】 【分析】根据几何图形的加法及运算律化简求值即可. 【解析】①． ②． ③． 故答案为：；；. （二） 向量加法运算律的应用 向量加法的运算律：交换律：a＋b＝b＋a．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 题型3：向量加法运算律的应用 8．（2025高一·江苏月考）已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据向量的加法运算律判断 【解析】因为向量的加法满足交换律和结合律， 所以，，，，都等于， 故选：A 9．（2025高一·全国月考）化简 (1)； (2) . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）按照向量加法的运算律直接计算即可. 【解析】（1）= （2）==. 10．（2025高一·全国月考）已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是 .(填序号) 【答案】①④/④① 【分析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为. 【解析】①; ②; ③; ④. 故答案为：①④. 11．（2025高一·陕西宝鸡·期中）向量化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【解析】由, 故选：A （三） 向量加法的实际应用 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 题型4：向量加法的实际应用 12．（2025高一·全国月考）已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳． (1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？ 参考数据：． 【答案】(1)方向为与水流方向成，速度为 (2)方向与水流方向成，速度为 【分析】（1）用表示河水的流速，表示该人在静水中游泳的速度．以，为邻边作平行四边形，用为此人游泳的实际速度，在矩形中求解中得； （2）同（1）用表示河水的流速，表示此人自身游泳的速度，以，为邻边作平行四边形，表示此人实际游泳的速度，在平行四边形中求解． 【解析】（1）如图①，用表示河水的流速，表示该人在静水中游泳的速度．以，为邻边作平行四边形，用为此人游泳的实际速度． 在中，，，所以． 所以，所以． 故此人实际前进速度为，方向为与水流方向成． （2）如图②，用表示河水的流速，表示此人自身游泳的速度，以，为邻边作平行四边形，表示此人实际游泳的速度． 所以有， 所以，所以． 故此人实际前进速度为，方向与水流方向成．      图①               　　　  图② 13．（2025高一·全国月考）一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置. 【答案】直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处 【分析】根据向量加法的三角形法则及勾股定理即可求解. 【解析】如图所示， 设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的合位移，即. 在中，. 在中，，， 即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处. 14．（2025高一·全国月考）甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东的方向将球传给机器人乙，然后机器人乙按南偏东的方向将球传给机器人丙，机器人丙再按西南方向传给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小． 【答案】答案见解析 【分析】作出示意图，用、、、分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置，可知球的最终位移为，分析、的形状，可求得的值，即可得出结论. 【解析】根据题意画出示意图如图，用、、、分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置， 则球的位移为，故球的最终位移为， 依题意知为正三角形，故． 又因为，，所以， 所以为等腰直角三角形，所以． （四） 向量的减法运算 求作两个向量的差向量的两种思路： (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 题型5：相反向量 15．（2025高二·浙江嘉兴·期中）下列说法中，错误的是（    ） A．等长且方向相反的两个向量是相反向量 B．方向相反的向量是相反向量 C．零向量的相反向量是零向量 D．互为相反向量的两个向量是共线向量 【答案】B 【分析】利用相反向量的定义判断选项AB；利用零向量的性质判断选项C；利用共线向量的定义判断选项D. 【解析】解：相反向量是指大小相等，方向相反的向量，故A正确，B错误； 零向量的相反向量是零向量，故C正确； 共线向量是指方向相同或相反的向量，互为相反向量的两个向量方向相反，故D正确， 故选：B． 16．（2025高一·全国月考）下列等式中，正确的个数为（    ） ①②③④⑤⑥． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据向量加减法的概念和相反向量的概念分别判断即可. 【解析】根据向量的运算及相反向量的概念知①②③④⑤正确，⑥错误，所以正确的个数为5． 故选:C． 题型6：向量的减法运算 17．（2025高一·全国·课堂例题）如图，已知向量、，求作． (1)   (2)   (3)   (4)   【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面向量的减法法则可作出向量. 【解析】（1）解：作，，则，即即为所求作的向量.    （2）解：作，，则，即即为所求作的向量.    （3）解：作，，则，即即为所求作的向量.    （4）解：作，，则，即即为所求作的向量.    18．（2025高一·全国月考）如图，已知向量，，，求作向量． 【答案】见解析 【分析】利用向量减法的三角形法则即可求解. 【解析】由向量减法的三角形法则， 令,则, 令,所以.如下图中即为. （五） 向量减法法则的应用 (1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和. ②起点相同且为差. 题型7：向量减法法则的应用 19．（2025高一·全国·假期作业）化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量减法运算法则计算即可； （2）根据向量加法运算法则计算即可. 【解析】（1） . （2） . 20．（2025高一·全国月考）化简下列各式： (1)(＋)＋()； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得. 【解析】（1）法一：原式； 法二：原式； （2）法一：原式 法二：原式 （3）方法一：； 方法二：； （4） （5） 21．（2025高一·全国月考）化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的加法法则与减法法则求解即可； （2）由向量的加法法则与减法法则求解即可； 【解析】（1） ； （2） 22．（2025高一·全国月考）化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量加法和减法的运算法则即可求解； （2）根据向量加法和减法的运算法则即可求解； 【解析】（1）解：； （2）解：. 题型8：向量减法的几何意义及应用 23．（2025高一·全国·假期作业）如图，O为内一点，，，.求作： (1)+-； (2)--. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据向量加法、减法的几何意义画出图象. （2）根据向量加法、减法的几何意义画出图象. 【解析】（1）设是的中点，连接并延长，使. +-. （2）--=-（+）. 24．（2025高一·全国·课堂例题）已知，求的取值范围． 【答案】 【分析】向量加、减法的三角形法则和三角形的三边关系直接求得. 【解析】解∵， ∴，即的取值范围是． （六） 向量的线性运算 1、向量的线性运算: 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 2、向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 题型9：对向量数乘运算的理解 25．（2025高一·全国月考）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（    ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的基本概念及数乘运算一一判定即可. 【解析】对于A，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，故A不正确；对于B，显然，即B正确； 对于C，，由于与1的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C不正确； 对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确． 故选：B 26．（2025高一·全国月考）已知m、n是实数，、是向量，对于命题： ①     ② ③若，则     ④若，则 其中正确命题的个数是：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，③中若，结论不成立，④中若，结论不成立. 【解析】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确； ③中若，与没有确定关系，结论不成立，错误； ④中若，m与n没有确定关系，结论不成立，错误. 故①②两个命题正确． 故选：B 题型10：向量的线性运算 27．（2025高一·全国月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 28．（2025高一·重庆綦江·期中）化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果. 【解析】根据向量的四则运算可知， . 故选：D 29．（2025高一·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）应用向量的运算律化简即可. 【解析】（1）原式． （2）原式. 30．（2025高一·全国月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的加减和数乘运算即可求得结果； （2）按照向量的运算法则依次计算即可. 【解析】（1）原式 ． （2）原式 （七） 用已知向量表示其他向量 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 题型11：用已知向量表示其他向量 31．（2025高一·福建福州·期中）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用平面向量的三角形法则和数乘向量，直接求解． 【解析】在中，， ∴. 故选：A． 32．（四川省宜宾市2024-2025学年高一学期期末数学试题）中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【解析】, 故选：A    33．（2025高一·上海嘉定·期末）已知是的边上的中线，若，则 .（用表示） 【答案】 【分析】根据向量加法的几何意义，结合向量对应线段的位置关系用表示出. 【解析】由题意知：.    故答案为： 34．（2025高一·重庆沙坪坝·期末）如图所示，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【解析】根据向量的线性运算法则，可得： . 故选：A. 35．（2025高二·湖北黄石·期中）如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【解析】因为， 所以 . 故选：C 36．（2025高三·江西月考）在中，若点满足，，则 . 【答案】2 【分析】利用平面向量的线性运算计算即可. 【解析】易知， 又因为，所以. 故答案为：2. 37．（2025高三·重庆·期中）在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算计算即可. 【解析】 因为，所以， 则， 所以，，. 故选：D. 38．（2025·山东·模拟预测）在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可. 【解析】 ， 所以，所以. 故选：D. （八） 共线向量的判定及应用 (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． (3)判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1. 题型12：向量共线的判定 39．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，则“”是“存在，使得”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【解析】当，时，满足，但不存在，使得； 当时，可得； 所以“”是“存在，使得”的必要不充分条件. 故选：A 40．（2025高一·全国·随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，（其中两个非零向量和不共线）； (3)，. 【答案】(1)共线； (2)共线； (3)共线. 【分析】用向量共线定理判断. 【解析】（1），，所以， 所以，共线. （2），, 所以，所以，共线. （3）因为，， 所以， 所以. 所以，共线. 41．（2025·河南·模拟预测）已知、、均为非零向量，且，，则（    ） A．与垂直 B．与同向 C．与反向 D．与反向 【答案】C 【分析】根据数乘向量的定义可得出结论. 【解析】因为，，所以与同向，与反向，所以与反向． 故选：C. 42．（2025高一·全国月考）设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据向量共线的条件对各选项逐一判断即可. 【解析】①，共线； ②，共线； ③，共线； ④和无法表示成，所以不共线. 故答案为：①②③ 题型13：证明或判断三点共线的方法 43．（2025高一·全国月考）设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.（2）由共线性质求出参数即可. 【解析】（1）证明：， 而， 与共线，且有公共点， ，B，C三点共线． （2）与共线， 存在实数，使得，即． 与不共线，解得， ． 44．（2025高一·全国月考）设两个非零向量，不共线，已知，，，问：是否存在实数，使得A，B，D三点共线，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在实数 【分析】根据，B，D三点共线，存在，使，再根据两个非零向量，不共线即可计算求参. 【解析】设存在，使得A，B，D三点共线， ，． 又，B，D三点共线，存在，使， ，， 存在实数，使得A，B，D三点共线． 45．（内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学2024届高三学期第二次月考数学试题）已知向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线 C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【答案】C 【分析】根据向量共线定理进行判断即可. 【解析】因为不共线，，，， 易得互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故AD错误； 又，易得不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误； 而，所以A，B，D三点共线，故C正确. 故选：C. 题型14：利用向量共线求参数 46．（2025高一·山西月考）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据已知求出.根据已知可得共线，进而得出，代入向量整理得出方程组，求解即可得出答案. 【解析】由已知可得，，. 因为A，C，D三点共线，所以共线， 则，使得， 即， 整理可得. 因为，不共线， 所以有，解得. 故选：D. 47．（2025高一·山西朔州月考）已知两个非零向量不共线，且与共线，求实数k的值． 【答案】或． 【分析】利用平面向量共线得充要条件计算即可. 【解析】因为与共线， 所以存在实数，使， 即． 由于不共线，所以． 即实数k的值为或． 48．（2025高一·江苏盐城月考）设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则 . 【答案】4 【分析】根据向量共线定理可得存在实数使，从而得到关于的方程组，进而可求出. 【解析】由题意可知与共线， 所以存在实数使， 因为不共线， 所以解得或， 因为向量与的方向相同，所以，即， 故答案为：4 49．（2025高一·江苏南通·期中）已知是两个不共线的向量，向量．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用向量共线定理，结合向量基本定理得到参数关系，即可求参数值. 【解析】由题设且，故，则，可得. 故选：A 题型15：向量共线定理推论 50．（2025高一·河南省直辖县级单位月考）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定，得到，根据计算得到答案. 【解析】，故，则， 又是上一点，所以，解得. 故选：A. 51．（2025高三·黑龙江双鸭山月考）如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．8 B．12 C．32 D．16 【答案】C 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可. 【解析】因为，所以，因为，所以， 因为三点共线，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32. 故选：C 52．（2025高一·河南省直辖县级单位月考）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可得到值. 【解析】∵，∴， 又，∴， ∵B，P，D三点共线，∴，∴. 故选：A. 53．（2025高一·山东泰安·期中）如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】根据及三点共线结论求得的值. 【解析】因为点是的中点， 所以， 又因为 所以， 因为三点共线， 所以， 所以. 故选：A 54．（2025高三·全国月考）经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，. (1)证明：为定值； (2)求m＋n的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形重心的性质，结合平面向量共线定理进行求解即可； （2）运用基本不等式进行求解即可. 【解析】（1）设， 因为的重心是G点， 所以， ， ， 因为G， P，Q三点共线， 所以存在，使得，即， 所以有； （2）因为， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以m＋n的最小值为. 55．（2025高三·江西吉安·期中）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最大值为16 D．的最小值为4 【答案】D 【分析】AB选项，根据向量基本定理和共线定理得到，从而利用基本不等式求出的最大值为；CD选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值，得到答案. 【解析】AB选项，因为，所以， 故， 因为三点共线，设，即， 故， 令，故， 为正实数，由基本不等式得，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，AB错误； CD选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C错误，D正确. 故选：D 一、单选题 1．（2025高三·河南月考）已知，，为不共线的单位向量，且任意两个向量的夹角均相等，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到向量之间的夹角为，再依据向量加法的平行四边形法则可求得结果. 【解析】依题意，任意两个向量的夹角均为， 由平行四边形法则可知，， 所以. 故选：B. 2．（2025高一·全国月考）若，则化简等于（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】先化简，再将代入进一步化简即可. 【解析】因为， 所以 ， 故选：C. 3．（2025高二·北京月考）设是两两不共线的向量，且向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量基底运算法则直接计算即可. 【解析】因为，， 所以. 故选：C 4．（2025高一·浙江衢州·期中）化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加减运算法则化简即可. 【解析】. 故选：D 5．（2025高一·山东泰安·期中）如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】根据及三点共线结论求得的值. 【解析】因为点是的中点， 所以， 又因为 所以， 因为三点共线， 所以， 所以. 故选：A 6．（2025高一·浙江月考）设是平行四边形的对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形性质及向量的线性运算化简得解. 【解析】如图，    ， 故选：A． 7．（2025高二·广西南宁月考）下列各式中，化简后不是零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法、减法运算化简即可得解. 【解析】因为，故A错误； 因为，故B正确； 因为，故C错误； 因为，故D错误. 故选：B 8．（2025高一·重庆沙坪坝·期末）如图所示，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【解析】根据向量的线性运算法则，可得： . 故选：A. 9．（2025高一·全国月考）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算化简，求解即可． 【解析】由题意可得：. 故选：C． 10．（2025高三·山西太原·期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（    ） A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心 【答案】A 【分析】设中点为，进而结合向量加法法则与共线定理得三点共线，在的中线，进而得为的重心，根据题意得点为的外接圆圆心，进而可得答案. 【解析】解：设中点为，因为， 所以，即， 因为有公共点， 所以，三点共线，即在的中线， 同理可得在的三条中线上，即为的重心； 因为， 所以，点为的外接圆圆心，即为的外心 综上，点依次是的重心，外心. 故选：A 11．（北京名校2023届高三一轮总复习第4章平面向量4.1向量的概念与线性运算）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心 【答案】D 【分析】根据向量线性关系可得，结合的几何意义判断所过的点，即可得答案. 【解析】由题设， 而所在直线过中点，即与边上的中线重合，且， 所以P的轨迹一定通过的重心. 故选：D 12．（2025高一·上海奉贤·期中）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长到，使，延长到，使，连接，则由已知条件可得为的重心，由重心的性质可得，再结合中点可求出，的面积，进而可求得答案 【解析】解：延长到，使，延长到，使，连接， 因为，所以， 所以为的重心， 所以设，则，, 所以, 所以， 故选：D 13．（2025高一·全国月考）设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（    ） A．与反向平行 B．与同向平行 C．与反向平行 D．与不共线 【答案】A 【分析】将、、用和表示，再根据平面向量的线性运算以及平行的概念判断可得答案. 【解析】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， ， ， ， 所以， 所以与反向平行，故A正确，B错误； ， 所以与同向平行，故CD错误. 故选：A 14．（2025高一·山西月考）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据已知求出.根据已知可得共线，进而得出，代入向量整理得出方程组，求解即可得出答案. 【解析】由已知可得，，. 因为A，C，D三点共线，所以共线， 则，使得， 即， 整理可得. 因为，不共线， 所以有，解得. 故选：D. 15．（2025高三·江苏苏州月考）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过向量的线性运算化简向量即可求解. 【解析】，所以，， 所以. 故选：A. 16．（2025·河南·模拟预测）已知的边的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（    ） A．7 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算可求出，则得到，的值，进而即可求解． 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以， 因为， 所以，，故. 故选：A． 17．（2025高一·全国月考）在中，已知是边上一点，若，则（    ） A．2 B．１ C．-2 D．－1 【答案】C 【分析】由可得为线段的三等分点中靠近的点，由向量的加(减)法及数乘运算可得，即可求得. 【解析】解：如图所示： 因为， 所以为线段的三等分点中靠近的点， 所以=, 所以， 所以. 故选：C. 二、多选题 18．（2025高三·吉林月考）已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】连接，利用向量的线性运算即可求解. 【解析】    连接，因为为边的中点，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故A正确；BC错误； 由，可得，所以，故D正确. 故选：AD. 19．（2025高一·山东潍坊月考）对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量加法的运算法则即可得到答案. 【解析】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：ABD. 20．（2025高一·全国·单元测试）已知向量，不共线，若，，且，则关于实数，的值可以是（ ） A．2， B．， C．2， D．， 【答案】AB 【分析】根据，可得出存在，使得，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【解析】因为，则存在实数，使得， 即，即，所以， 又因为向量，不共线，所以，解得， 所以实数，的值互为倒数． 故选：AB． 21．（2024高三·全国月考）如图所示，D是的边上的中点，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用向量的加、减以及数乘运算即可求解. 【解析】对A：，A选项正确； 对B：，B选项正确； 对C：，C选项错误； 对D：，D选项正确． 故选：ABD 22．（2025高一·河北月考）如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据图形中的几何性质，利用向量的线性运算，可得答案. 【解析】由，则，所以，易知，所以， 由点F是上靠近点D的四等分点，则， . 故选：AC. 23．（2025高三·全国月考）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半，这个定理就是著名的欧拉线定理．设中，点，，分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正确的是（   ） A． B． C．设边的中点为，则有 D． 【答案】AB 【分析】依题意作出图形，根据重心、垂心、外心的性质一一判断即可. 【解析】由题意作图，如图所示，易知的中点与，共线． 对于A，由题意得，，，所以， 所以，故A正确； 对于B，由题意得，，所以，故B正确； 对于C，由题意知，又因为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为为的外心，向量的模相等，方向不同，故D错误． 故选：AB 24．（河南省驻马店市部分学校2025届高三学期2月质量检测数学试题）在中，D是边上的一点，（其中），则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用向量共线定理可得，再由基本不等式对选项ABC逐一判断可得结果，再由基本不等式中“1”的应用计算可得D错误. 【解析】设，有，即， 又由，可得． 对于A选项，，可得， 当且仅当时取等号，故A选项错误； 对于B选项，由，当且仅当时取等号，故B选项正确； 对于C选项，由，当且仅当时取等号，故C选项正确； 对于D选项，由， 当且仅当时取等号，故D选项错误． 故选：BC． 三、填空题 25．（2025高三·北京海淀月考）已知平面上不共线的四点，若，则 【答案】 【分析】根据向量的线性运算得到，即可得解. 【解析】由，得，即， 所以， 所以，即， 故答案为： 26．（2025高一·全国月考）设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则 ． 【答案】 【分析】由共线得到，比较系数即可求解； 【解析】解：因为向量与的方向相反， 所以，其中， 所以：， 联立可得：， 解得： 故答案为： 27．（2025高一·全国月考）若，且，则 ． 【答案】 【分析】由向量数乘的几何意义即可求解； 【解析】（1）当点C在线段的延长线上时，如图． 则，则． （2）当点C在线段上时，如图． 则，即． 综上，． 故答案为： 28．（2025高一·全国月考）已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 1 3 【分析】根据向量的三角不等式计算求解得出最值. 【解析】， ， 当且仅当同向时取得最大值3，当且仅当反向时取得最小值1. 故答案为：1；3. 29．（2025高一·江苏宿迁月考）已知三点共线，O为直线外一点，存在三个不全为零的实数，使，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】由共线向量的线性运算即可求解； 【解析】因为三点共线， 则, 所以, 所以， 对比系数，所以， 故答案为：0 四、解答题 30．（2025高一·全国·随堂练习）在中，点M为边AB的中点，点N为边AC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据向量的线性运算将分别用表示，进而可得出答案. 【解析】在中，点M为边AB的中点，点N为边AC的中点， 则， ， 所以． 31．（2025高二·全国·课堂例题）如图，在空间四边形ABCD中，已知点G为的重心，E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，化简下列各式，并在图中标出化简结果．    (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【分析】（1）利用重心的特点和平面向量的加法法则计算即可； （2）利用向量加法的平行四边形法则和减法法则计算即可； （3）利用向量的加法法则和减法法则计算即可. 【解析】（1）如图，连接EF，∵G是的重心，∴．    又，∴由向量加法的三角形法则可知， ．在图中标出如图1.1-14所示． （2）连接AH，如图，因为E，F，H分别为CD，AD，BC的中点， 所以．在图中标出，如图所示． （3） ． 在图中标出，如图所示． 32．（2025高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角形法则整理化简即可； （2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可； （3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可. 【解析】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 33．（2025高一·全国·课堂例题）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．    【答案】证明见解析 【分析】根据题意结合向量的线性运算分析证明. 【解析】由题意可得：，， 所以, 由于与，与分别共线，但与不共线， 所以，，因此N是AC的一个三等分点； 同理可证，因此M也是AC的一个三等分点． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$