28.1 第4课时锐角三角函数(四)-2024-2025学年九年级下册数学同步辅导（人教版）

(2)sin230°-cos45°tan60 ,∠ABC=60°，AB= --9× 4 dm, .BD=AB·cos60°= -}9 2 dm, 答图28-3-1 .AD=AB·sin60°=2√5dm. =1-26 4 在Rt△ADC中，AC=10, (3)12+ ∴.CD=√AC-ADd=√/100-12=2√/22(dm). 3 -2as5=2+E-2x号=2 .BC=BD+DC=(2+222)dm. 点拨：熟记特殊角的三角函数值，并能进行 .B、C两点间的距离为(2+2√22)dm. 混合运算 精彩一题 【能力提升】 解：如答图28-3-2，在Rt△ABC中， l.A点拨：由绝对值的非负性可知√3tanA= ∠C=90°，∠ABC=30° 3,2osB=,即anA=5.cosB=号，放 设AC=a,那么由30°角 万2 的三角函数值， ∠A=60°，∠B=30°，从而易知△ABC是 答图28-3-2 可知BC=√3a,AB=2a, 直角三角形 延长CB到D,使BD=AB,连接AD 2.A 因为∠ABC=∠1十∠2，又因为AB=BD, 3.B点拨：∠A∠B都是锐角，simA= 所以∠ABC=2∠1=2∠2， oB=号∠A=30,∠B=30∠C 所以∠1=∠2=15°. 在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=a, 120°. DC=DB+BC=AB+BC=2a+3a, 4C5.16.607.9 所以tanl5°=tan∠ADC= AC a DC 2a+/3a 8.(2+1)a 2-5. 9解：1原式=（侵）+ +vx号×号 第4课时锐角三角函数（四） 【基础巩固】 1.B2.D3.A4.A 2式=2×号+ 5.(1)0.5150 (2)0.8187 (3)0.9175 (4)0.7538 =8-+ 6.(1)30°8'44" (2)8528'29"(3)8921'48 【能力提升】 33+1 1.C2.B3.C4.B 10.解：如答图28-3-1， 5.A点拨：当tana=5时，锐角a≈78.69°， 过点A作AD⊥BC于点D. tan5°≈0.08748866，.④错误：①②③都 在Rt△ABD中， 正确. 6.(1)0.3557 (2)0.9336 (3)1.0270 3.C4.45°45 (4)1.8653 5.解：设DE=x,'∠B=30°，DE⊥AB, 7.(1)7622 (2)23°41' (3)7138 从而在Rt△BDE中，BD=2x,BE=3.x (4)6225 又D为BC中点，.DC=BD=2x, 8.38.6点拨：，sinA= AB= BC BC ..BC=BD+DC=4x.AB=AE+BE= inA 7+√5.x. sin15≈38.6（米）. 10 在Rt△ABC中，∠B=30°， 9.解：(1)正弦值随锐角度数的增大而增大， .cosB=3=BC_4.x 余弦值随锐角度数的增大而减小. 2AB7+√3.x (2)sinl8°<sin34°<sin50°<sin62° 解得x=7 sin88°，cos88°<cos62°<cos50°<cos34°< .即DE的长为7 5 cos18. 【能力提升】 (3)=< 1.A2.D (4),cos70°=sin20°，cos30°=sin60°， 3.B点拨：，在△ABC中，∠C=90°， .sin10°<cos70°<sin50°<cos30° .cosB-.BC-AB.cosB-10cos50 精彩一题 4.C 解：(1)设需要t小时才能追赶上， 则AB=241海里，OB=261海里. 5.D点拨：：∠C=90,∴tanA= 在Rt△ABO中，OB=OA2+AB, AC=6,∴.BC=2. 即(261)2=102+(241)2，解得t=士1， 6.438530°243 由于t>0,.t=1. 45°45°8.4√2 故需要1小时才能追赶上. (2)在Rt△ABO中， 9.解：由勾股定理，得 n∠A0B-部-装号 c=√a2+b=√62+(23)2=45. ∠AOB≈67.4°. &tanA=6=6=3.∠A=60' 23 故巡逻艇追赶方向为北偏东67.4°. ∴.∠B=90°-60°=30° 28.2解直角三角形及其应用 点拨：已知两条直角边，解直角三角形通常 用勾股定理求出斜边，利用两条直角边的 第5课时解直角三角形 比得到正切值，求出一个锐角，利用两锐角 的互余关系求出另一个锐角， 【基础巩固】 10.解：如答图所示， 1.A :∠A=60°， 2.D点拨：利用等边三角形的三线合一，再 .∠B=30° 利用三角函数解直角三角形，便可求出等 边三角形的边长，从而求出三角形的面积. 'sinA= CD AC· 答图精影一题 请你仿照上例求15°角的正切值. 我们可用45°角求出22.5°角的正切值，方法如 下：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B= 612 45°，利用图形，求tan22.5的值. 图28-3-3 解：如图28一3-3所示，设AC=BC=a,由勾 股定理得AB=2a,延长CB到D,使BD= AB,连接AD.因为∠ABC=∠1十∠2，又因为 BD=AB,所以∠1=∠2，所以∠ABC=2∠2. 因为∠ABC=45°，所以∠2=22.5°.在 Rt△ACD中，AC=a,CD=CB+BD=CB+ AB=a+√2a.所以tan22.5°=tan∠ADC AC=a=_ 1=2-1. CD a+2a 2+1 第4课时锐角三角函数（四） 基础巩固 1.计算cos35°4238”的值（精确到0.001）是 C.cos75°>c0s48°>cos159 () D.sin75°<sin48°<sinl5 Λ.0.584 B.0.812 5.用计算器求下列各式的值（结果保留小数点 C.0.811 D.0.583 后四位)： 2.在△ABC中，∠C=90°，0<∠A<45°，则下 (1)sin31°； 列各式正确的是() A.sinA>cosA B.sinB>cosA C.sinA>cosB D.sinB>cosB (2)c0s35.05°； 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=104.1,c= 106.1,则∠A的度数大约为(） Λ.7851 B.7852 C.7850 D.以上均不对 (3)sin6633'55": 4.下列各式一定成立的是() A.tan75>tan48>tan15 B.tan75°<tan48°<tanl5 (4)tan3733". (2)cosa=0.0789; 6.根据下列已知条件求锐角a的大小（结果精 (3)tana=89.98. 确到1”)： (1)sina=0.5022; 能力提升 1.求sin223°41'的按键顺序是( 5.用科学计算器算得①295=24389：②√58= A.sinz2236网41w▣ 7.615773106;③sin33°24'=0.55048074： B.2sim23四4□"日 ④若tana=5,则锐角a=0.087488663°.其中 正确的是() C.sim2341W=2▣ A.①②③B.①②④C.②③④D.②④ D.sim☑2341W2目 6.用科学计算器计算（结果保留小数点后四位）： 2.若太阳光线与地面成37°角时，一棵树的影长 (1)sin20°50'≈ 为10m,则树高h(m)的取值范围是() (2)cos21≈ A.3<h≤5 (3)tan4545'45"≈ B.5<h<10 (4)sinl5°+cos25°+tan35°≈ C.10<h<15 7.用计算器求锐角α（精确到1'）： D.h>15 (1)已知cosa=0.2358,则锐角a≈ (2)已知sina=0.4018,则锐角a≈ 3.已知a为锐角，且tana=√2，那么下列各式中 (3)已知tana=3.0126,则锐角a≈ 正确的是( (4)已知tan(90°-a)=0.5226,则锐角a≈ Λ.0°<a<30 B.30°<a<45 C.45°<a<60 D.60°<a<90 8.如图28-4-1，在Rt△ABC中，∠C=90°， 4若c03A<号，则锐角A的取值范围是( BC=10米，∠A=15°，用科学计算器算得 AB的长约为 米（精确到0.1米）. A.0°<∠A<60 B.30°<∠A<90 C.0°<∠A<30 415 D.30°<∠A<60° 图28-4-1 9.如图28一4一2，锐角的正弦值和余弦值都随 精彩一题 着锐角的确定而确定，亦随其变化而变化。 如图28一4一3，一艘缉私巡逻艇在某海域执行 (1)利用计算器探索：随着锐角度数的增大， 巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方 它的正弦值和余弦值变化的规律； 向10海里的A点处有一涉嫌走私船只，正以 (2)根据你探索到的规律，试比较18°、34°、 24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施 50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和 检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/时的速度 余弦值的大小： 追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的情况下： (3)比较大小（在横线上填“>”“<”或“=”）： (1)巡逻艇需要几小时才能追赶上涉嫌船只（点 若a=45°，则sina cosa. B为追赶上时的位置)？ 若a<45°，则sina cosa (2)确定巡逻艇的追赶方向（精确到0.1°）. 若a>45°，a为锐角，则sina cosa: 北 (4)利用互余的两个角的正弦值和余弦值的 关系，试比较下列正弦值和余弦值的大 小：sinl0°、cos30°、sin50°、cos70° 图28-4-3 图28-4-2