28.1 第2课时锐角三角函数(二)-2024-2025学年九年级下册数学同步辅导（人教版）

,∠ACD=90°-∠A=∠B,∴.sin∠ACD= 精彩一题 sinB- 解：如答图28一1一2. 3 (1)过点D作DM⊥BC, C5告6.22 8.10 垂足为点M. 3 在Rt△DMC中， 9.解：过点A作AD⊥x轴于点D. 答图28一1一2 sm∠A0C-A8-号0A=5,AD=4. DM=CD·sinC=10x号=8， .CM=√CD-DM=102-82=6, 在Rt△AOD中，由勾股定理得DO= .BM=BC-CM=10-6=4,∴.AD=4, √OA-AD序=√52-4平=3. 点A在第一象限，.点A的坐标为(3,4). ∴，S梯形BCD= 2(AD+BC)·DM 将点A(3,4)的坐标代人y一得m=12, =号×4+10)X8 一反比例函数的解析式为y=1 =56. (2)设运动时间为x秒， 将点A(3,4)的坐标代入y=n.x+2, 则BE=CF=x,EC=10一x. 得4=3m+2,解得n=号 3 过点F作FN⊥BC,垂足为点N. 六一次函数的解析式为y=3x十2。 在Rt△FNC中，FN=CF,sinC= 5x, 10.解：如答图28-1一1，过点D作DE⊥AB ∴.S△e= 2EC·FN=- 5x2+4x= 于点E 设DC=a(a>0). 号-5)+10. 在Rt△ABC中， 当x=5时，S△Fc=10, 答图28-1一1 '∠C=90°，BD=2DC, 即△EFC面积的最大值为10， .'BD=2a,BC=3a. 此时，点E、F分别在BC、CD的中点处 又.∠ADC=45°， 第2课时锐角三角函数（二） ..AC=DC=a, ∴.AB=√(3a)2+a2=√/10a, 【基础巩固】 ∴sin∠ABC=AC=a=VIo 1B2.A3D4号 AB 10a 10· 5.解：(1)在Rt△ADE中， ∴DE-BD·sin∠ABD=2a.0=d 10 5a 由AE=6cosA=号，得AD=10. 由勾股定理得AD=√2a, 由勾股定理得DE=8,利用三角形全等或 角平分线性质得DC=DE=8. Y10 DE ∴.sin∠BAD -5a 5 (2)由(1)得AD=10,DC=8,.AC=18. AD 2a :∠A=∠A,∠AED=∠ACB=90, △ADE△ABC.-A. AD=12X号=8 即2-8BC=24. 点拨：理解三角函数的意义并灵活运用.在 itan∠DBC-PC=是 直角三角形中，已知sinC=∠C的对边，利 斜边 BC-3 用其值设比例系数k,把某些线段用k的代 6.解：(1)AB=VAC+BC=√122+5=13. 数式表示，再结合已知条件求出k的值，也 (2inA-6-高oA-A6-号 BC5 就可以求出多条线段的长，这是解这类题 目的常用方法。 3)simA+osA=()+(得)=1 精彩一题 (4)sinA= BC 解：(1)由方程x2一12x+27=0, AB =cosB. 解得x1=3,x2=9. 【能力提升】 又，POPC, 1.A点拨：利用c0A=名=吉把各边长用 .PO=3,PC=9,∴.P(0,-3). (2).OC=OP+PC=12, 同一个字母表示出来，在求比值时消去相 在Rt△ACB和Rt△AOC中， 同的字母即可.设b=(k>0),则c=5k, ∠ACO=∠ABC, a=√-b=√(5k)2-k=26k.∴.tanA 4=2y6k=26. .tan∠ABC=tan∠ACO=OA=3 2.B3.B4.B 0A=0c=9 5.A点拨：，Rt△ABC∽Rt△DEF,∴.∠B= ∴.在Rt△AOP中，AP=OP2+OA平= ∠E.在Rt△ABC中，，AB=2BC,∴.cosE /32+9=3w/10. cosB=BC_1 (3)存在.当PQ∥AC时， AB 2 直线PQ的关系式为y=一 x-3: 当AP∥CQ时， 8.(1)证明：在Rt△ABD和Rt△ADC中， tanB= cos∠DAC=AD AD 直线PQ的关系式为y=一2(-3. AC .'tanB=cos∠DAC, 第3课时锐角三角函数（三） 部A把AC-BD 【基础巩固】 (2)解：在Rt△ADC中， 1.D2.A3.A4.B 由mC-A把-景可设AD=12(>0. 5.解：(1)sin30°cos60°+cos30°sin60 则AC=13k,由勾股定理得CD=5k. -×+× 又由(1)可知BD=AC=13k. =1+3 4十4 ∴BC=13k+5k=12则k=号， =1.精影一题 并说明此时E、F的位置. 如图28-1一10，在直角梯形ABCD中，AD∥ BC,∠A=90°，BC=CD-10,sinC=4 (1)求梯形ABCD的面积； 图28-1-10 (2)点E,F分别是BC,CD上的动点，点E从点 B出发向点C运动，点F从点C出发向点 D运动，若两点均以每秒1个单位的速度同 时出发，连接EF,求△EFC面积的最大值， 第2课时锐角三角函数（二） 基础巩固 1.在正方形网格中，△ABC的位置如图28一 4.在△ABC中，AB=AC=3,BC=2,则cosB= 2-1所示，则cosB的值为( A. B.号 c号 n号 5.如图28一2-4，在△ABC中，∠C=90°，点 D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC, DELAB-于点E,AE=6,osA=求： (1)DE、CD的长； (2)tan∠DBC的值. 图28-2-1 图28-2-2 2.三角形在方格纸中的位置如图28一2一2，则 tana的值是( ) A.是 B青 c 图28-2-4 3.如图28一2-3，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=1, AB=2,则下列结论中正确 的是( 图28-2-3 A.sinA=3 RaA-号 C.cosB=/3 D.tanB=3 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5. (1)求AB的长： (2)求sinA、cosA的值； (3)求sinA+cos2A的值； (4)比较sinA、cosB的大小. 山能力提升 1.在R△ABC中，∠C=90,若cosA=号，则 5.如图28-2-7，若Rt△ABCc∽Rt△DEF,则 cosE的值等于( tanA等于() A B号 C.3 2 A.26 & C26 D.24 5 2.在△ABC中，∠C=90°，sinA=4 则tanB等 于() 60°d A号 B是 c号 D. 图28-2-7 6.如图28一2一8，将以A为直角顶点的等腰直 3.如图28-2-5，在Rt△ABC中，∠C=90°， 角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C', AB=5,AC=2,则cosA的值是( ) 使点B与C重合，连接A'B,则tan∠A'BC B号 5 D. 的值为 CB】 777 图28-2-8 图28-2-9 图28-2-5 图28-2-6 7.(学科间知识交叉题)如图28一2一9，CD是 4.如图28一2-6，⊙O是△ABC的外接圆，AD 平面镜，光线从A点出发经CD上点E反射 是⊙O的直径，连接CD.若⊙O的半径r= 后照到B点.若入射角为a(人射角等于反射 ,AC=2,则cosB的值是( 3 ) 角)，AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C、D, R号 且AC=3,BD=6,CD=11,则tana的值为 c 8.如图28一2-10，在△ABC中，AD是BC边 精彩-题 上的高，tanB=cos∠DAC. 如图28-2-11，在平面直角坐标系中，R:△ABC (1)求证：AC=BD: 的斜边AB在x轴上，顶点C在y轴的负半轴 （2若mC=号BC=12求AD的长。 上，tan∠ABC=,点P在线段OC上，且PO、 PC的长(PO<PC)是方程x2-12x+27=0的 两个根. (1)求点P的坐标； 图28-2-10 (2)求AP的长； (3)在x轴上是否存在点Q,使以点A、C、P、Q 为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写 出直线PQ的关系式：若不存在，请说明 理由 图28-2-11