第27章 相似复习课-2024-2025学年九年级下册数学同步辅导（人教版）

复习课 典例精析 【例1】如图27一1，晚上，小亮走在大街上. (1)求证：△ABC∽△FCD: 他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并 (2)若S么n=5,BC=10,求DE的长. 且自己被两盏路灯照在地上的两个影子成一直 思路分析：(1)利用线段相等可以得到角相 线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长 等，就可得到相似的条件：(2)利用相似三角形 为1.5米，自己身高1.80米，两盏路灯的高相 的面积之比等于相似比的平方可 同，两盏路灯之间的距离为12米，求路灯的高. 以解决该问题。 思路分析：利用EF∥AB和EF∥CD构造 (1)证明：，AD=AC 图27-2 相似三角形解答。 ∴.∠ACB=∠FDC 解：由题意，得EF=1.80米，MF=1.5米， D是BC边的中点，DE⊥BC, NF=3米，BD=12米. ∴.BE=CE,∠ABC=∠FCD, 设AB=CD=h米， ∴.△ABC∽△FCD. DN=x米， (2)解：过点A作AH⊥BC于点H 则BN=(12-x)米， 图27-1 ,△ABC△FCD,D是BC边的中点， DM=1.5十3十x=(4.5十x)(米). DC =4. ,EF⊥BD,AB⊥BD .EF∥AB,.△NEFn△NAB, 又：SAm=5,BC=10, .S△ABc=4S△eD=20, 福需 ·.SAAr= BC·AH-20,AH-4 80,变形得=12二工.① 即2-x 3 5 又AD=AC,AH⊥CD, 同理，可得合-45兰.② ∴.H为DC的中点，.DH=2.5. 5 AH∥DE ①+@得登-16,5，解得h=6.6 ∴.∠BDE=∠BHA,∠BED=∠BAH, 5 .△BDEc∽△BHA, ∴.路灯的高为6.6米 点拨：在本题的解答过程中，由于EF∥ DE:AH-BD:BH.DE-S. AB,EF∥CD,所以利用两个“A”形基本图形及 点拨：本题是一个证明兼计算的综合题， 相似三角形的性质构造比例式.为了直接求得 (1)问通过找两个角相等证明相似是我们必须 路灯的高h,通过比例式的变形与相加，消去辅 熟练掌握的一种基本方法，(2)问有一定的难 助未知数x,从而减少了计算量 度，由于想到面积法，从而想到作AH⊥BC,进 【例2】如图27-2，在△ABC中，D是BC 而利用等腰三角形的性质，其思维是具有一定 边的中点，且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相 跳跃性的，平时不多动脑筋思考，在中考中是难 交于点E,EC与AD相交于点F. 于处理的. 综合复习 1.如图27一3，在每个小正方形边长都为1个单 的面积为3，则△BOC的面积为 位长度的正方形网格中，点P是△ABC某个 顶点经过以原点O为位似中心，作位似变换 后得到的对应点，则点P的对应点是( 0- A.点A B.点B 图27-6 图27-7 C.点C D.A、B、C三点都可以 6.如图27一7，△ABC与△ABC为位似图 形，点0是它们的位似中心，相似比是号，已 知△ABC的面积为3，那么△A1BC1的面积 是 图27-3 图27-4 7.四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',已知数据 2.如图27一4，正方形ABCD中，E为AB的中 如图27一8所示，则x ，y= 点，AFLDE-于点0.则8等于( ∠D 120 A25 c号 0.2 3.下列说法中正确的有() 0 90° ①有一个角相等的两个等腰三角形相似： 图27-8 ②有一个角对应相等的两个直角三角形相 8.如图27一9，在△ABC中，∠BAC=90°，BC 似：③两个等边三角形相似：④底角相等的两 边的垂直平分线交AB于点D,交CA的延长 个等腰三角形相似。 线于点E,BC的中点是M,连接AM.求证： A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 △ADM∽△EAM. 4.如图27一5，三个并排放置的正方形，其中相 似的两个三角形是( 图27-9 图27-5 A.△AOB与△ABCB.△ABC与△ACD C.△ABC与△DBAD.△AOC与△ABD 5.如图27-6，在梯形ABCD中，AD∥BC,对角线 AC,BD相交于点O.若AD=1,BC=3,△AOD 9.如图27-10，∠ACB=∠ADC=90°，AC= 11.如图27一12，在平面直角坐标系中，直线 √6，AD=2.当AB的长为多少时，这两个直 y= +6与x轴交于点A,与y轴交于 3 角三角形相似？ 点B,点C是线段OA上一点，把△COB沿 直线BC翻折，点O恰好落在AB上的点D 处，BC为折痕， (1)求线段AB的长： 图27-10 (2)求直线BC的函数表达式： (3)若M是射线BC上的一个动点，在坐标 平面内是否存在点P,使以A,B,M,P 为顶点的四边形是以AB为一边的矩 形？若存在，请求出点P的坐标：若不存 在，请说明理由 10.(学科内知识综合题)请阅读以下材料，并回 答相应的问题， 角平分线分线段成比例定理：如图27一11①， 在AABC中，AD年分∠BAC,则把部 下面是这个定理的部分证明过程， 图27-12 证明：如图27-11②，过点C作CE∥DA, 交BA的延长线于点E… 问题： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的 剩余部分： (2)如图27-11③，已知在Rt△ABC中，AB= 3,BC=4,∠ABC=90°，AD平分 ∠BAC,则△ABD的周长是 2 图27-11 聚焦中考 1.(成都)如图27-13，直线1∥L∥l4,直线AC 5.(扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是 和DF被l1,l2,l所截，AB=5,BC=6, 一种利用光的直线传播特性实现图像投影的 EF=4,则DE的长度为( 方法.如图27一17，燃烧的蜡烛（竖直放置） A.2 B.3 C.4 D. AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像 3 AB'.设AB=36cm,A'B'=24cm,小孔O 到AB的距离为30cm,则小孔O到A'B'的 距离为 cm. 0123i 图27-13 图27-14 2.(绥化)如图27一14，矩形OABC各顶点的坐 标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2), 30mT？cn 以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比 图27-17 图27-18 专缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标 6.(吉林)如图27一18，为了测量山坡的护坡石坝 是() 高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝 A.(9,4)B.(4,9) c(1,2）D.(1号 旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高 度DE为O.6m,则坝高CF为 m 3.(山东)如图27-15，E为□ABCD的对角线 7.(成都)如图27一19，△ABC和△DEF是以点 AC上一点，AC=5,CE=1,连接DE并延长 O为位似中心的位似图形.若OA:AD=2:3, 至点F,使得EF=DE,连接BF,则BF的长 则△ABC与△DEF的周长比是 为() A. B.3 c D.4 y 图27-19 图27-20 8.(河北)如图27一20，△ABC的面积为2，AD 为BC边上的中线，A,C,C2,C,是线段CC 图27一15 图27-16 的五等分点，A,D,D2是线段DD3的四等分 4.(重庆)如图27一16，在平面直角坐标系中，将 点，A是线段BB,的中点。 △OAB以原点O为位似中心放大后得到 (1)△ACD1的面积为 △OCD,若B(0,1),D(0,3),则△OAB与 △OCD的相似比是( (2)△BCD3的面积为 9.(湖北)如图27一21，由三个全等的三角形 A.2 B.Z C.3 (△ABE,△BCF,△CAD)与中间的小等边 三角形DEF拼成一个大等 12.(杭州)如图27一24，在边长为1的正方形 边三角形ABC.连接BD并 ABCD中，点E在边AD上（不与点A,D重 延长交AC于点G,若AE 合)，射线BE与射线CD交于点F. ED=2,则(1)∠FDB的度 (1D若ED=},求DF的长： 数是 :(2)DG的长 图27-21 是 (2)求证：AE·CF=1: 10.(无锡)如图27-22，在△ABC中，AC=2, (3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线 AB=3,直线CM∥AB,E是BC上的动点 段BE于点G.若EG=ED,求ED的长. (端点除外)，射线AE交CM于点D.在射 线AE上取一点P,使得AP=2ED,作 PQ∥AB,交射线AC于点Q.设AQ=x, PQ=y.当x=y时，CD= :在点E 运动的过程中，y关于x的函数表达式为 图27-24 图27-22 11.(江西)如图27-23，四边形ABCD为菱形， 点E在AC的延长线上，∠ACD=∠ABE. (1)求证：△ABC∽△AEB: (2)当AB=6,AC=4时，求AE的长. 图27-23 13.(无锡)如图27一25，四边形ABCD是边长 为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的中点， P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ 沿PQ翻折，得到四边形PBC‘Q,连接 CC'.BB'. (1)当∠QPB=45时，求四边形BBCC的 面积： (2)当点P在线段AB上移动时，设BP= x,四边形BB'C'C的面积为S,求S关 1点（集阳》在△ABC中，∠ACB=90,C= 于x的函数表达式。 D是边BC上一点，将△ABD沿AD折叠得 到△AED,连接BE. (1)特例发现 如图27一27①，当m=1,AE落在直线 AC上时， ①求证：∠DAC=∠EBC: 图27-25 ②填空：的值为 (2)类比探究 如图27一27②，当m≠1，AE与边BC相 交时，在AD上取一点G,使∠ACG= ∠BCE,CG交AE于点H.探究的值 (用含m的式子表示)，并写出探究 14.(南充)如图27一26，正方形ABCD中，点M 过程： 在边BC上，点E是AM的中点，连接ED,EC (3)拓展运用 (1)求证：ED=EC: (2)将BE绕点E按逆时针方向旋转，使点 在(2)的条件下，当m三2，D是BC的 B的对应点B落在AC上，连接MB.当 中点时，若EB·EH=6,求CG的长 点M在边BC上运动时（点M不与B,C 重合)，判断△CMB的形状，并说明理由； (3)在(2)的条件下，已知AB=1,当∠DEB 45时，求BM的长 ①0 图27-27 图27-266=b k=一2， 则 解得 0=3k+b, b=6. 有S能ABS=3E ∴.线段B'C所在直线的函数关系式为y 故当AB的长为3或3√2时，这两个直角三 -2x+6. 角形相似. 10.解：(1)，CE∥AD, 复习课 ÷8部0∠2=∠ACE,∠1=∠E 【综合复习】 1.A2.D3.B ,AD平分∠BAC,∴.∠1=∠2. 4.C点拨：设小正方形的边长为1，那么AB= ∴.∠ACE=∠E. ∴.AE=AC ,Bc=1BD=2,部-%=号 2 把部 又.'∠ABC=∠DBA,∴.△ABC∽△DBA. 5.276.12 (2)9+35 点拨：AB=3,BC=4, 7.6.44.8100°点拨：由四边形ABCD∽ ∠ABC=90°，∴.AC=√AB+BC2=5. 四边形AB'CD,得=兰= ,x9 :AD平分∠BACS-品. 6.4,y=4.8.,四边形ABCD四边形 AB'C'D',∴.∠B=∠B=50°，∠C= 即 CD 3 BD' ∠C=90°.又，∠A'=120°，∴.∠D'= 360°-50°-90°-120°=100°. .BD-3BC-3 2 8.证明：如答图27一1， ,在Rt△ABC中， AD=BD+AB√+= 2 BM=CM, .△ABD的周长为BD十AB+AD= .AM=BM,∴.∠1=∠B.B 多+3+369+35 又.∠B+∠C=90°， 2 2 答图27-1 ∠E+∠C=90°， 11.解：(1)令x=0,则y=6,.B(0,6), ∴.∠B=∠E,∴.∠E=∠1. 令y=0,则x=8,.A(8,0), 又，∠AMD=∠EMA, .AB=√OA+OB=√82+62=10. ∴.△ADMp△EAM. (2)由折叠的性质可知，OC=CD,OB 9.解：AC=√6，AD=2, BD, ,OB=6,∴.BD=6,AB=10,∴AD=4. .CD=AC-AD=√2. 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： 在Rt△ACD中，AC=CD+AD, ①当Rt△ABCc∽Rt△ACD时， .(8-OC)2=COY+42,∴.C0=3, 有S-怨AB=S .C(3,0), D=3: 设直线BC的函数表达式为y=kx十b, ②当Rt△ACB∽Rt△CDA时， 3k+b=0, k=-2, 解得 b=6, b=6, .y=-2x+6. 又∠G=∠G,△BGF0△AGE,:BE (3)存在.理由如下： 设M(t,-2t+6)(t>0),P(x,y), 品是AE=4BF=,放选B 当以AB为矩形的一边时，BM为矩形的 t-x=8, 对角线， y-(-21+6)=6, 如答图27一2，过点M作EF∥x轴，过点 答图27-3 A作AF⊥EF于点F,过点P作PE⊥EF 解法二：如答图27一4，连接BD交AC于点 O,四边形ABCD是平行四边形，.OD= 于点E. OB,OA=OC.又：EF=DE,.OE是 :∠AMP=90°， ∴.∠PME+∠AMF=90° △BFD的中位线，心F=2E一 :∠MAF+∠AMF=90°， ∴.∠MAF=∠PME, 2BF=3,故选B. '.△AMFp△MPE, 哉架 ,AF=21-6, 答图27一4 MF=8-t,PE=y+2t 答图27-2 4.D点拨：因为B(0,1),D(0,3),所以OB= -6,EM=t-x, 1,OD=3.因为△OAB以原点O为位似中 1xy+2626_81 :21-6-8-1 6 心放大后得到△OCD,所以△OAB与 8 解得1=5，.x=-3,y=2,.P(-3,2). △OCD的相似比为？，故选D, 【聚焦中考】 5.20点拔：由题知，AB∥A'B',.△AOB 1.D2.D △A'OB',如答图27-5，过点O作CC'⊥ 3.B解法一：如答图27一3，延长DF和AB AB于点C,交A'B'于点C',则OC⊥ 交于点G,,四边形ABCD是平行四边形， A,g-瓷即酷-S0C AB ∴.DC∥AB,DC=AB,即DC∥AG. 20,即小孔O到A'B'的距离为20cm. △D△GEA是器：AC 5,CE=1,.AE=AC-CE=5-1=4, ÷器-EF=DE 】 30 cmcm 即G既-答c 答图27-5 C=AB-照-是 6.2.7点拨：由题意可知，DE∥CF ∴.∠ADE=∠ACF,∠AED=AFC=90°， △ADEn△AC,A2-8S.:AD .△B,CD的面积为7. 1m,DE=0.6m,AC=4.5m,六4.5 2是，解得CF=21m:即频高CF为2,7m 7.2:5点拨：本题考查位似图形的性质. :△ABC与△DEF位似，：是-8品 答图27-6 9.(1)30° (2)4 5 点拨：(1)，△DEF是 等边三角形，.DE=DF,∠DFE=60 △ABC与△DEF的相似比为号△ABC ,△ABE≌△BCF,∴.AE=BF.,AE DE,∴.DF=BF,.∠FBD=∠FDB.又 与△DEF的周长比是2：5. ,∠DFE=∠FBD+∠FDB=60°， 8.(1)1(2)7点拨：(1)，△ABC的面积 ∴.∠FDB=30°.(2)：∠EDF=60°， 为2，AD为BC边上的中线，SAAD= ∠FDB=30°，.∠ADB=∠EDF+ 25m=号×2=1.：A.C,G.C是线 ∠FDB=90°.如答图27一7，过点A作 AML⊥BE,交BE的延长线于点M,在 段CC的五等分点，.AC=AC Rt△AEM中，AE=2,∠AEM=∠DEF ,A,D,D2是线段DD的四等分点， .AD=AD.又：∠DAC=∠DAC, 60AM=AE·sin60=2X号=5， ∴.△AC1D≌△ACD(SAS), EM=AE·c0s60=2X号=1.：BE= .SAAc,D,=S△AcD=1. (2)如答图27-6，连接BD1,C:D3, AD=2AE=4,..BM=BE+EM=4+1= 同理△AB,C1≌△ABC(SAS),△AB1D1≌ 5,.∠ABM=∠DAG,∠M=∠ADG= △ABD(SAS). 90△ABMO△GAD.÷2,即 S△a,C=S△ABC=2,S△A,D,=S△ABD=1, .S△B,6=8,S△s,D,=3, 品-解得DG- 5 在△ACD和△ACD中， e=8-0∠G,AD-∠CD. .△C3ADC∽△CAD, SsCAD a 13 S△cD AC =32=9, 答图27-7 .S△D,=9S△cD=9, 10.2y= 3.x2 8-2x 点拨：CM∥AB,PQ∥ 1 六SACED=3 SACAD,= 3X9=3, AB,∴.PQ∥CM,∴.△APQc∽△ADC, ∴.S△Ac,D=9+3=12. ÷A8-股：AQ=,PQ=.AC=2, S△B,CB=S△eB十S△B,B-S△B,G 12+3-8=7, =登=C品CD=2.:AP=2ED, .设DE=,则AP=2m.,△APQ刀 BE=1+t. △ADc8-A般-器.nEn 2m 在Rt△BAE中，由勾股定理，得(1一x)2+ 12=(1+x), 豆六AE=mm.:CM/AB, 解得x=子 ÷△CEDn△BEA,B-RE:9 所以ED-子 花CD-船 m 3m 3.x 13.解：(1)如答图27一8①，连接BD,BQ, 4m1一x ,四边形ABCD是菱形， 六号 3x=32 ∴.CB=CD=4,∠A=∠C=60°， 24-x8-2x1 ∴.△BDC为等边三角形. 11.(1)证明：，四边形ABCD为菱形，AC为 ,Q为CD中点， 对角线， .CQ=2,BQ⊥CD, .∠ACB=∠ACD. .BQ=23,QB⊥PB. :∠ACD=∠ABE, .∠QPB=45°， .∠ACB=∠ABE. .△PBQ为等腰直角三角形， 又∠BAC=∠EAB, ∴.△ABCC△AEB. ∴.PB=23. ,四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形 (2)解：.△ABC∽△AEB, PB'C'Q. 提福 .∠BPB'=∠CQC=90°，PB'=PB= .AB=6,AC=4, 23,CQ=CQ=2, 是告 ∴.S网边形B'Ce=2S网边形PgQ一S△PBB十 .AE=9. 5am=2X号×2+2B)×2B-专× 12.(1)解：因为ED=号，所以AE- 3 2+号×2=4g+8. 由题意，得AB∥FC, 所以△ABE△DFE.所品-能=2 因为AB=1,所以DF=合 (2)证明：由题意，得AD∥BC,所以∠AEB ∠CBF ① ② 又因为∠A=∠C,所以△ABE∽△CFB, 答图27-8 所以哈带架 (2)如答图27一8②，连接BQ,BQ,延长 因为AB=BC=1. PQ交CC于点F, 所以AE·CF=AB·BC=1. ,PB=x,BQ=23,∠PBQ=90°， (3)解：设EG=ED=x,得AE=1一x, .PQ=√x2+12. 由等积法求得BE=23x ∴.∠B'MC=90°-∠ACB=45. x2+12 .∠ACB=∠B'MC, ∴.易知△QBE∽△QPB,得QE= 12 ∴.B'M=B'C, √x2+12 ∴.△CMB为等腰直角三角形. 1 ∴.SAQEB= 23.x 12 (3)解：如答图27-9，延长BE交AD于 x2+12√x2+12 点F. 123.x x2+12 又∠BEQ=∠BQC=∠QFC=90°， 易证△BEQ△QFC, .SAoFC S△EQ 答图27-9 ∴.S△aFc= 43.x .∠EAB=∠EBA,∠EAB=∠EB'A, x2+12' ∴.∠BEM=2∠EAB,∠MEB'=2∠EAB. ∴.S=2(S△oeB+S△me+S△are) .∠BEB=2∠B'AB=90° -2+2+ x2+12 ∴.∠DEF=∠B'EF-∠DEB'=45. 323g+48. ,'△EAD≌△EBC, x2+12 ∴.∠AED=∠BEC, 14.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， :∠AEF=∠BEM, ∴.∠BAD=∠ABC=90°，AD=BC. ∴.∠CEM=∠DEF=45° ,点E为AM中点，∴.EA=EB, ,∠ACM=45, ∴.∠EAB=∠EBA, ∴.∠CEM=∠ACM. .∠EAD=∠EBC. 又，'∠CME=∠AMC, EA=EB, .△CEM∽△ACM. 在△EAD和△EBC中，∠EAD=∠EBC, 州器 AD=BC, ∴.CMP=AM·EM '.△EAD≌△EBC(SAS). .ED=EC. EM-ZAM. (2)解：△CMB'为等腰直角三角形. 理由如下：由旋转的性质得：EB=EB. CF=号AMF. ∴.EB'=AE=EM 设BM=x, ∴.∠EAB'=∠EBA,∠EMB=∠EB'M. CM=1-x,AM=AB+BM=1+2. ,'∠EAB+∠EBA+∠EMB+∠EBM 180°， 1-0-21+ ∴.∠EB'A+∠EB'M=90°， 解得x1=2一√3，x2=2十√3（不合题意，舍 即∠AB'M=90°. 去)， ∴.∠MB'C=180°-∠AB'M=90°， ∴x=2-3, 即BM=2一√3. 设CG=x,则AG=√2x,CE=√2x,BE=2x 15.(1)①证明：如答图27一10，延长AD交 ..AG=CE. BE于点F. '.△AGH≌△ECH. 由折叠得∠AFB=90°=∠ACB. ∴.AH=EH,GH=CH. '.∠DAC+∠ADC=∠BDF+∠EBC=90°. .∠ADC=∠BDF,.∠DAC=∠EBC GH-n 在Rt△AGH中， ②1 由勾股定理得AH√AG+GH- 2. EB·EH=6, 2x…2=6. 解得x=土√2（负值舍去）， 答图27-10 答图27-11 ∴.CG=2. 2)解-m 第二十几章 锐角三角函数 理由如下：如答图27一10，延长AD交BE 于点F. 28.1锐角三角函数 由折叠得∠AFB=90°=∠ACB. ∴.∠ADC+∠DAC=∠BDF+∠CBE=90. 第1课时锐角三角函数（一） ,∠ADC=∠BDF,.∠DAC=∠CBE. .∠ACG=∠BCE,.△ACG∽△BCE. 【基础巩固】 1.A2.C3.C 器瓷-m BD (3)解：如答图27一11，由折叠得∠AFB= 4解：“sin 2 =sin∠BAC= 2 AB√④+6 90°，BF=FE 213 D是BC的中点，.DF∥CE. 13 ∴.∠BEC=∠BFD=90°，∠AGC= 5.解：BC=5,CD=4,CD⊥AB, ∠ECG,∠GAH=∠CEA. 由(2)知△ACGn△BCE, BD=3,sinA=sn∠BCD= ∴.∠AGC=∠BEC=90°， 【能力提升】 品器瓷m- 1.A2.A 2 3.A点拨：∠ACD在Rt△ADC中，且sin∠ACD= D是BC的中点，.BC=2CD. A AC,但球AD比较烦琐若注意到∠B=∠ACD, 品区 则在Rt△ABC中求出sinB即可.由勾股 易证△AGCc∽△ACD, 定理，得AB=√AC+BC=√(5)2+22= 瓷市 8在R△ABC中，mB=AS-停