27.2 第7课时相似三角形应用举例-2024-2025学年九年级下册数学同步辅导（人教版）

第7课时相似三角形应用举例 基础巩固 1.“今有井径五尺，不知其深，立五尺 用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD= 木于井上，从木末望水岸，入径四 1.6米，则树AB的高度为 米 寸(1尺=10寸)，问井深几何？”这 4.如图27一7一4，小明站在距离旗杆约40米的 是我国古代数学著作《九章算术》 B 5 C 地方，把握有直尺的手臂水平伸直，小明把尺 中的“井深儿何”问题，它的题意可图27一7-1 子竖直后看旗杆，此时，直尺恰好把旗杆遮住. 以由如图27一7一1所示的示意图获得，设井 已知他的臂长约80厘米，直尺长为16厘米， 深AB为x尺，所列方程正确的是( ) 试求旗杆的高度 5=0.4 A.5+x5 B.5=0.4 5 C千5= D.5=5-0.4 x 0.4 2.如图27-7-2，一电线 A 图27一7一4 杆AB的影子分别落在 了地上和墙上，某一时 刻，小明竖起1米高的 直杆，量得其影长为 5.如图27一7-5，同学们用的数学课本上的文 0.5米，此时，他又量得* 字的大小为0.4cm×0.35cm(高×宽)，我们 电线杆AB落在地上的 05米 看起来比较舒服.在教室中，坐在后面的同学 影子BD的长为3米， 图27-7-2 经常说某老师写的字太小而看不清，假设教 落在墙上的影子CD的长为2米，小明用这 室内离黑板最远的同学与黑板的距离是5m, 些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计 老师在黑板上究竞要写多大的字，才能使最 算，电线杆AB的高为( 后边的同学看时，与看相距30cm的课本上 A.5米B.6米 C.7米 D.8米 的字的感觉相同（结果精确到1cm)? 3.(学科间知识交叉题)为了 测量校园水平地面上一棵 黑板学 树的高度，学校数学兴趣小 组做了如下的探索：根据 图27-7-3 图27-7-5 《物理》中光的反射定律，利用一面镜子和一 根皮尺，设计如图27一7一3所示的测量方 案：把一面很小的镜子放在离树底B处 8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到 点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再 能力提升 1.如图27一7一6①是装了液体的高脚杯示意图， CD=12m,塔影长DE=18m,小明和小华的 用去一部分液体后如图27一7一6②所示（相 身高都是1.6m,同一时刻，小明站在点E 关数据图中已标注)，此时液面直径AB的长 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也 度为( 在平地上，两人的影长分别为2m和1m,那 A.1 cm B.2 cm C.3 em D.4 cm 么塔高AB为( A.24m B.22mC.20m D.18m 水平 图27-7-6 图27-7-7 2.如图27一7一7是小明设计的用手电测量某古 C 城墙高度的实验示意图，点P处放一水平的平 图27-7-9 图27-7-10 面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好 5.如图27一7一10，要测量河两岸相对的两点 射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD, A、B间的距离，先从B处出发沿与AB成 CD⊥BD,且测得AB=1.2米，BP=1.8米， 90角的方向，向前走50m到C处立一根标 PD=12米，那么该古城墙的高度是( A.6米 B.8米C.18米D.24米 杆，然后方向不变，继续朝前走10m到D 3.小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作 处，在D处转90°，沿DE方向再走18m到达 情况如图27一7一8所示，幻灯片与屏幕平 E处，使A(目标物)、C(标杆)与E在同一直线 行，光源到幻灯片的距离是30cm,幻灯片到 上，那么可测得A、B间的距离是 m. 屏幕的距离是1.5m,幻灯片上小树的高度 6.凸透镜成像的原理如图27一7一11所示， 是10cm,则屏幕上小树的高度是( AD∥l∥BC.若物体AH到焦点F,的距离 与焦点F,到凸透镜的中心线DB的距离之 比为5：4，则物体像CG的高度被缩小到原 光源 幻灯片 来的 屏幕 30 cm 1.5m 缩小的实像 图27-7-8 物体 代点 点 A.50 cm B.500 cm C.60 cm D.600 cm 图27-7-11 4.如图27一7一9，在斜坡的顶部有一铁塔AB, 7.如图27一7一12，王华在晚上由路灯A走向路 B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照 灯B,当他走到P点时，发现身后的影子的顶 射下，塔影DE留在坡面上.已知铁塔底座宽 部刚好接触到路灯A的底部，当他再向前走 12m到达Q点时，发现身前的影子刚好接触 精彩一题 到路灯B的底部，已知王华身高为1.6m,两 小明和几位同学做手影游戏时，发现对于同一 个路灯的高度都是9.6m,且AP=QB=xm. 物体，影子的大小与光源到物体的距离有关.因 (1)求两个路灯之间的距离： 此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光 (2)当王华走到路灯B处时，他在路灯A下 源到物体的距离.于是，他们做了以下尝试。 的影长是多少？ (1)如图27一7一14①，垂直于地面放置的正方形 框架ABCD,边长为30cm,在其正上方有一 灯泡（用点P代表），在灯泡的照射下，正方形 框架的横向影子A'B,D'C的长度和为6cm. 图27-7-12 那么灯泡离地面的高度为 (2)不改变图27一7一14①中灯泡的高度，将两 个边长为30cm的正方形框架按图27一7 14②摆放，请计算此时横向影子A'B,D'C 的长度和为多少？ (3)有n个边长为a的正方形按图27一7一14③ 摆放，测得横向影子A'B,DC的长度和为 8.如图27一7一13①，长、宽均为3cm,高为 b,求灯泡离地面的距离（写出解题过程，结 8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里 果用含a,b,n的代数式表示) 面盛有水，水面高为6cm,绕底面一棱进行 旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，图 27-7一13②是此时的示意图. (1)求DE的长： (2)求水面高度CF. 7777779 7777 容器口边缘 ① 图27-7-13 ③ 图27-7-14上的字的边缘相连，则得一组相似三角形. 第7课时相似三角形应用举例 根据相似三角形的对应边的比相等，可求 【基础巩固】 出相应的黑板上的字的高和宽. 1.A 【能力提升】 2.D点拨：先连接AC并延长交BD的延长 1.C2.B 线于E,可求出DE=1米，再利用△ECDc∽ 3.C点拨：设屏幕上小树的高度为xcm,那 △EAB,可求得AB=8米. 么品-0=0 3.5.6 4.解：如答图，：CD∥AB, 4.A 5.90 6 7.解：(1)由题意知△BQM△BAN. 答图 器-架8 19.66 1 .△PCD∽△PAB, 六12千2x=6,解得x=3. 器=器 故两路灯之间的距离为12+2×3=18(m). 又，PE=80厘米=0.8米，PF=40米， (2)当王华走到路灯B处时，设其影长为lm. CD=16厘米=0.16米， 则8解得1-36 ÷08-0站AB=8米 故此时影长为3.6m. 点拔：要学会从实际问题中抽象出数学 8.解：(1)设DE=xcm,则AD=(8-x)cm, 模型 根据题意，得2(8-x+8)X3×3=3×3×6, 5.解：假设垂直于课本和垂直于黑板上字的 解得x=4,'.DE=4cm 视角相等， (2),∠E=90°，DE=4cm,CE=3cm, 则有△AOB∽△A'OB' 根据勾股定理得 所以OC:OC=AB:A'B', CD=√/DE+CE=√/4+32=5(cm), 即AB=OC·A'B OC' 由题意得∠BCE=∠DCF=90°， 因为OC=5m=500cm,OC=30cm, ∴.∠DCE+∠DCB=∠BCF+∠DCB, 课本上字的高度为0.4cm,所以黑板上字 ∴.∠DCE=∠BCF 的高度为500X0.4≈7(cm). 由题意得∠DEC=∠BFC=90°， 30 △CDBO△CBF,器-器 课本上字的宽度为0.35cm,所以黑板上字 的宽度为500X0.35≈6(cm). 30 因此，老师在黑板上写的字大小应约为 ∴CF=2 5 cm. 7cm×6cm. 点拨：可设人眼为点O,把书上的字和黑板 故水面高度CP是号cm 精彩一题 点拨：判断位似图形，要通过连接相似图形 (1)180cm 对应点的连线来确定是否存在位似中心， 解：(2)设横向影子A'B的长度为xcm, 只靠直觉观察有时不容易准确判断 根据题意得001800， 9.解：(1)取矩形ABCD的对角线的交点O 180 解得x=6, 为位似中心， ∴.横向影子A'B,D'C的长度和为12cm. ①作射线OA,OB,OC,OD: (3)AD∥A'D', ②分别在射线OA,OB,OC,OD上取点E, .∠PAD=∠PA'D',∠PDA=∠PD'A'. F.GH,使得8票85-8光80=31 .△PAD∽△PA'D' 根据相似三角形对应高的比等于相似比， ③连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH 可得品器 即为所求作的图形，如答图27一8一2①所 示.（答案不唯一） 设灯泡离地面距离为ycm,由题意， 得PM=ycm, PN=(y-a)cm,AD=na cm, A'D'=(na+b)cm: 、、、na=···y三22 y 04: 27.3位 似 B ⊙ 第8课时位似（一） 答图27-8-2 【基础巩固】 (2)在矩形ABCD外取一点O为位似中心， 1.C点拨：位似中心是位似图形的对应点连 ①作射线OA,OB,OC,OD; 线的交点，而这个交点可在位似图形之间、 ②分别在射线OA,OB,OC,OD上取点 外部、内部及某一个图形上。 E,F,CH,使得g职-8器-8g%= 2.B3.B4.D 5.解：点O为位似中心，四边形A'BCD与 0H=4: O'D 四边形ABCD的相似比为2. 【能力提升】 ③连接EF',FG',G'H',HE',则四边形 1.A2.B3.B4.C EFG'H'即为所求作的矩形草坪，如答图 5.76.￥cm10cm7.072r 27一8一2②所示.（答案不唯一） 10.解：(1)△DFE与△DBA,△BFE与△BDC, 8.解：图(1)(3)是位似图形，其位似中心分别 △AEB与△DEC都是位似图形 为答图27一8一1中的O、P两点。 理由如下： .AB∥CD∥EF, .△DFED△DBA,△BFE∽△BDC, 答图27-8-1 △AEB∽△DEC,且对应边都交于一点，