27.2 第6课时相似三角形的性质-2024-2025学年九年级下册数学同步辅导（人教版）

第6课时相似三角形的性质 基础巩固 1.两个相似三角形的对应边上的中线之比是： 4.如图27-6-2，P为□ABCD边AD上一点， 2:3,周长之和是20，那么这两个三角形的周 E、F分别为PB、PC的中点，△PEF, 长分别是( △PDC,△PAB的面积分别为S,S,S2,若 A.8和12 B.9和11 S=2,则S,十S= C.7和13 D.6和14 5.如图27-6-3，在△ABC中，AE:EB= 2.(易错题)两个相似三角形对应中线之比为 1:2,EF∥BC,AD∥BC交CE的延长线于 3:1,其中一个三角形的面积是9，则另一 个三角形的面积是() D,求二的值 A.3√3或95 B.3或27 C.27 D.3 图27-6-3 3.如图27-6-1，已知△ABC∽△DFE,AB= 6,DE=2,EF=5,则AC的取值范围是 人 图27-6-1 图27-6-2 能力提升 1.两个相似三角形的面积比是9：16，则这两个 三角形的相似比是() A号 B是 c D是 图27-6-4 2.如图27-6-4，在△ABC中，AD、BE是两条 A.1:2 B.23 中线，则S△C：S△A等于() C.13 D.1:4 3.梯形的两底边的长分别为3.6和6，高为 精彩一题 0.3,则它们两腰延长线的交点到较长底边的 一块直角三角形形状的铁皮材料，两直角边长 距离是() 分别为30cm、40cm,现要把它加工成一个面积 A.0.18 B.0.45 C.0.48 D.0.75 最大的正方形，两种加工方法如图27一6一8① 4.(学科内知识综合题)如图27一6一5，在 ②，请你用学过的知识说明哪种加工方法符合 Rt△ABC中，∠ACB=90°，直线EF∥BD, 要求？ 交AB于点E,交AC于点G,交AD于点F. 若Sa=专an则 图27-6-8 图27-6-5 图27-6-6 5在△AC和△EBD中，铝-部-品-号· △ABC和△EBD的周长之差为10cm,则 △ABC的周长是 cm 6.如图27-6-6，在△ABC中，DE∥FG∥BC, AD:DF:FB=1:2:3,则S四边形DFGE: S四边形FBG= 7.如图27-6-7，在□ABCD中，E是CD的延 长线上一点，BE与AD交于点F,DE= CD. (1)求证：△ABF∽△CEB; (2)若△DEF的面积为2，求□ABCD的 面积. 图27-6-7与△ADF不相似.故选C. :CG∥AB,.∠G=∠3，.∠G=∠4. 5va69 又，∠CEF=∠GEC, 7.解：(1)△ABC∽△ADE,△ABD△ACE. △CEF△GECE-器， (2)①证△ABCC∽△ADE. ∴.CE=EF·EG,即BE=EF·EG. ,∠BAD=∠CAE, 精彩一题 .∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, (1)△HGA△HAB 即∠BAC=∠DAE. 解：(2)由(1)可知△AGCo△HAB, 又.'∠ABC=∠ADE, ∴.△ABCc△ADE. 器品 ②证△ABD∽△ACE. △ABC△ADE是-是 (3)当CG<2BC时， 又∠BAD=∠CAE, ∠GAC=∠H<∠HAG,∴.AG<GH .△ABDp△ACE. 又：AH>AG,AH>GH, 8.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 此时，△AGH不可能是等腰三角形； .AD∥BC,AB∥CD, ∴·∠ADF=∠CED,∠B+∠C=180°， 当CG-2BC时，G为BC的中点， :∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B, H与C重合，△AGH是等腰三角形， ∠AFD=∠C, ∴.△ADF∽△DEC 此时，GC=号区，即x=号E: (2)解：，四边形ABCD是平行四边形， 当CG>2BC时， .AD∥BC,CD=AB=4. 由(1)可知△AGCc∽△HGA, 又，AE⊥BC, .若△AGH是等腰三角形， .AE⊥AD.在Rt△ADE中， 只可能存在AG=AH, DE=AD+AE=/(33)2+3=6. 若AG=AH,则AC=CG,此时x=9. △ADPADEC.是-品 综上，当x=9或x=2②时， 即3g54AF=2E △AGH是等腰三角形. 6 9.证明：如答图，连接EC 第6课时相似三角形的性质 ,AB=AC,AD⊥BC, 【基础巩固】 '.∠ABC=∠ACB, 1.A点拨：可设一个三角形的周长为x,另 AD垂直平分BC, .BE=CE, 一个三角形的周长为20-，故20二， ∴.∠1=∠2， 答图 ∴.∠ABC-∠1=∠ACB-∠2 号，所以x=8 即∠3=∠4. 2.B点拨：相似图形的面积之比等于相似比 的平方。 ∴.∠A=∠C,AB∥CD, 3号<AC<4点拨：△ABCO△DFE. ∴.∠ABF=∠CEB,∴.△ABF∽△CEB. (2)解：，四边形ABCD是平行四边形， C-5-号BC-号AC,在△ABC .AD∥BC,AB∥CD,AB=CD, .△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF. 中，由BC+AC>AB,得号AC>6,AC DE= CD. S△DEE = DE S△cEB EC -5 号由BC-AC<AB,得号AC<6∴AC< S△DE= S△ABF - 4号<AC<4 SADEF=2,∴.SACEB=18,S△BF=8, 4.8点拨：由题意得△PEF与△PBC相似， ∴.S网边形DF=S△E一S△DEF=16, 且相似比为，故面积比为子“S。m .S四边形AD=Sg边形仪DF十S△ABF=16十8= 24. 4S△PEF=4S=8,,△PBC与□ABCD同 精彩一题 底等高，S,十S,=2SD=Sam=8. 解：在题图①中，设正方形的边长为xcm, 5.解：'AD∥BC,EF∥BC, ∴.AD∥EF∥BC. 又AE:EB=1:2, 答图 ..AE AB=EF:BC=1:3,AD BC= 则DE=xcm,AD=(30一x)cm. 1:2. ,∠A=∠A,∠ADE=∠C=90°， 设EF=6,BC=3,则AD=子 △ADE△ACB.-. 设S△ADE=1, 3k 4 即00-希解得=9 7 AD 如答图，过点C作CP⊥AB,垂足为点P, ∴.S△xE=4. CP交DG于点Q, 而△AEF与△ADE有相等的高， 片SAAC= 2AC·BC-2AB.CP, EFk名，3AE- AD S△E :.CP-ACBC-30X40-24(cm). AB 50 【能力提升】 .DG∥AB, 1.B ∴.∠CDG=∠A,∠CGD=∠B, 2.D 点拨：由已知条件可得△CED∽ △CGn△CAB.÷%器 △CAB.由相似三角形面积比等于相似比 的平方可知D选项正确. 设DG=ym则瑞=2之，解得y器 3.D4.25.256.8427 19即 7.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .题图①的加工方法符合要求。