27.2 第4课时相似三角形的判定(二)-2024-2025学年九年级下册数学同步辅导（人教版）

精彩一题 在ABC中,D为BC的中点,E为AC边上的 述研究结论,请你猜想用:表示的一般结论,并 任意一点,BE交AD于点O,某学生在研究这 给出证明(其中”是正整数) 一问题时,发现了如下的事实: ## ## ① ##- _##_# ③ 图27-3-11 (1)当时:有(如 AO-2 图27-3-11①); (#2)#--时#有---(如 图27-3-11②); 图27-3-11③). 第4课时 相似三角形的判定(二) 基础巩固 1.如图27一4一1,每个正方形均由边长为1的 2.在ABC和\A'B'C'中,如果AB=7,BC 小正方形组成,则下列图中的三角形(阴影部 3 分)与△ABC相似的是 么( ) A.A-A' B. A- B' B A C D C.A-C 图27-4-1 D.以上答案均不对 3.(易错题)如图27-4-2,已知△ABC,D、E 5.如图27-4-4,在△ABC中,AB=25,BC= 分别是AB、AC边上的点,AD-3cm,AB 40.AC=20.在△ADE中,AE=12,AD= 8cm.AC-10cm.若ADE与ABC相似; 15.DE=24.求证:ADBAEC. 则AE的值为( _ 15 A. cm # tcm -,- 图27-4-4 C.15 ## 图27-4-2 图27-4-3 4.如图27-4-3,BD平分ABC,且AB=4. BC=6,则当 BD= 时,△ABD △DBC. 能力提升 1.△ABC和△A'B'C'中,AB=9cm,BC= 三角形相似,则△DEF的另两边长可以 8 m,CA=5 cm,A'B'=4.5 cm,B'C'= 是( 2.5cm,C'A'=4cm,则下列说法错误的 A.2 cm,3 cm B.4cm.5 cm 是( ). C. 5 cm.6 cm D. 6 cm.7 cm A.△ABC与△A'B'C'相似 4.如图27一4一6,在正方形网格上有六个三角 B.AB与AB'是对应边 形:①△ABC;② △BCD;③△BDE; C.两个三角形的相似比是2 ④△BFG;△FGH;△EFK.②中与 D.BC与B'C'是对应边 三角形①相似的是( ) 2.如图27-4-5,若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁 A.②③④ B.③④ 都是方格纸中的格点,为使△PQR△ABC. C.④ D.②③ 则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的 ) 5.如图27-4-7,在正三角形ABC中,D、E分 B.乙 C.丙 红来 A.甲 D.丁 AC 有( ) A.△AEDo△BED 图27-4-5 图27-4-6 B.△AEDo△CBD 3.已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm. C.△AEDo△ABD 9cm,△DEF的一边长为4cm,要使这两个 D. △BADo△BCD 图27-4-7 6.满足下列条件的各对三角形中相似的两个三 9.如图27-4-10,在四边形ABCD中,B= 角形有( -. ACD,AB=6,BC=4,AC-5,CD-7 ① A=60{}AB-5cm,AC=10 cm,A'= 6 60*°,A'B'-3cm,A'C'-6cm; 求AD的长 # ② A=45^*,AB=4 cm,BC-6cm,D= 45{*$DE-2cm.DF-3cm; ③ C= E=30*}AB=8cm,BC-4 cm. DF-6cm,FE-3cm; 图27-4-10 ④ A- A',且AB·A'C'-AC·A'B'$ A.1对 C.3对 B.2对 D.4对 7.如图27-4-8,在正方形ABCD中,E是AB (1)FAEo\EBC 7精彩一题 (2)FE EC 如图27一4一11,方格纸中每个小正方形的边长 图27-4-8 均为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的 格点上. 8.如图27-4-9,已知ABC.DCE、^FEG 图27-4-11 是三个全等的等腰三角形,底边BC、CE、EG (1)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明 在同一直线上,且AB=/3,BC-1,连接BF, 理由; 分别交AC、DC、DE于点P、Q、R.求证: (2)P,P,P,P,P,D.F是△DEF边上的7个 △BFGo△FEG.并求出BF的长. 格点,请在这7个格点中选取3个点作为三 角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相 似(要求写出2个符合条件的三角形,并在 图中连接相应线段,不必说明理由). 图27-4-96怨-品-器昌 2.B点拨：△ACB△BC'A'· 8 3.C 7.证明：，四边形ABCD为平行四边形， 4.26 ∴.AE∥BC.∴.△OAEn△OCB. "-器 5运明福能-能-号 ∴.△ADE∽△ABC, 8.(1)证明：AD∥BC, ∴·∠DAE=∠BAC,.∠DAB=∠EAC. △GEDn△GBC,8$ 又，AD:AB=AE:AC 又E是AD中点，.DE=AE, ∴.△ADBc∽△AEC. 霈能 【能力提升】 BC 1.D2.C3.C4.B (2)解：AD∥BC,∴.△AEFp△CBF, 5.B点拔：设三角形ABC的边长为a.由题 能跟 意可知：AE= 7a,AD=3a,CD=号a, 由1)相器能部器 BF GB' BC=a,所以能=品=之又由∠A= 即E ∠C=60°，可知△AED∽△CBD 2+3+EF' 6.B EF2+5EF-6=0,.EF=1, 7.证明：(1)设AF=a, 故EF的长为1. AD=AB=BC=4a,AE=BE=2a. 精彩一题 解：依据题意可猪想：当-十时，有 能品能-器 ∠A=∠B=90°， A0=2成立. AD=2十月 .△FAE∽△EBC 证明：过点D作DF∥BE交AC于点F, (2)由△FAE∽△EBC可知∠AEF= ,D是BC的中点，.F是EC的中点. ∠BCE. 由能-十n可知能-部-品 '∠BEC+∠BCE=90°， .∠BEC+∠AEF=90°， 带异品品 ∴.∠FEC=90°，即FE⊥EC 点拨：当已知边的数量关系和角的数量关 点拨：此题的设计意在通过特例进行归纳、 系时，一般可考虑使用“两边对应成比例且 猜想、证明来展示学生探究思维的能力.引 夹角相等的两个三角形相似”来判定三角 平行线证明比例线段的实质是构造基本图 形相似， 形，本题添加辅助线的方法有多种。 8.证明：'△ABC≌△DCE≌△FEG, 第4课时相似三角形的判定（二） ·BC=CE=EG=3BG=1,即BG=3. 【基础巩固】 1.A :P=AB=后器瓷-清-a 又，∠BGF=∠FGE,∴.△BFGn△FEG. 5.解：△ABC是直角三角形，CD是斜边AB ,'△FEG是等腰三角形， 上的高， ∴.△BFG是等腰三角形， .∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°， .∴.BF=BG=3. .∠A+∠B=∠A+∠ACD=∠B+ 9解：=青CD,-言CP ∠BCD=90°. AC CD .∠A=∠BCD,∠B=∠ACD ∴.△ABC∽△ACDC∽△CBD. 又.'∠B=∠ACD,∴.△ABC∽△DCA. 六6-瓷AD=草 I:△ACDn△CBD,品器 4 .6 精彩一题 即号=品BD=4cm 解：(1)△ABC和△DEF相似.理由如下： 根据勾股定理， 2△CBDAAR,跃-C. 得AB=2√5，AC=√5，BC=5: 即芳0BD=9m DE=4√2，DF=22,EF=210 点拨：本题的图形非常重要，要注意归纳其 提品器 规律，已知六条线段(AC,BC,CD,AB, AD,BD)中的任意两条，都可通过相似或 ∴.△ABCc△DEF 勾股定理或面积法求出其余四条线段 的长. 【能力提升】 L.B点拔：可证得△AOD∽△CBA,:.OD AB 答图 -1=0A=AB= 2 (2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意 2.C3.A 2个均可（如答图） 4.C点拨：①由题意可知∠AEB十∠CEF= △PPsD,△PPF,△PPD,△P4PD, 90°，∴.∠BAE=∠CEF,又，∠ABE= △P2PP5,△PFD. ∠ECF,∴.△ABEo△ECF.②由①知： 第5课时相似三角形的判定（三） 瓷票=崇：E为BC中点BE 【基础巩固】 EC0-5又∠ABE=∠AEF= 1.B点拨：：∠1=∠2，∴.∠DAE= ∠BAC,添加条件A、C、D后均可判定 90°，.△ABE∽△AEF,.∠BAE= ∠EAF.即AE平分∠BAF.③当k=1时， △ABC∽△ADE.'∠DAE不是边AD 与DE的夹角，∴.添加条件B后，不能判定 矩形ABCD为正方形.设正方形的边长为 △ABCp△ADE. a,由题意可知，AB=a,BE=号，EC=受， 2.C3.C 4.6 则CF=号DF=子a.从而可判定△ABE