精品解析：河南省平顶山市第一中学2024-2025学年高二下学期开学摸底考试数学试题

平顶山一中2024—2025学年（下）高二开学摸底考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的共线，垂直的充要条件以及空间向量坐标的减法，模长定义即得. 【详解】因， 对于A选项，由可得：，易知的值不存在； 对于B选项，由可知不成立； 对于C选项，； 对于D选项， 故选：D. 2. 若曲线表示椭圆，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程可得，解不等式组可得结果. 【详解】曲线表示椭圆， ， 解得，且， 的取值范围是或，故选D． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 3. 已知，动点C满足，则点C的轨迹是（　　） A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】由，作出判断即可． 【详解】因为， 所以，知点C的轨迹是线段AB． 故选：C. 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转换成标准方程即可求解； 【详解】由， 可得：， 所以焦点坐标为：， 故选：C 5. 若圆：关于直线对称，，则与间的距离是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由圆心在直线l上求得m，然后由平行间距离公式求得距离． 【详解】由题意，圆关于直线对称，则，，即l方程为， 所求距离为． 故选：D. 【点睛】本题考查两平行线间的距离，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m，再则平行间距离公式计算． 6. 双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线），若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对称性以及几何关系得出，，再由求出的离心率，即可得. 【详解】连接， 因为，则，即为等边三角形， 由对称性可知，则， 又因为，即， 整理得，解得或（舍）， 所以. 故选：A. 7. 若等差数列的前项和为,则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式,判断的正负,进而判断是否为充分条件,当时,的正负无法判断,则的正负无法判断,进而判断不是必要条件,综上即可选出选项. 【详解】解:由题知为等差数列的前项和, 当有成立时, , , , , , , 所以“”是“”的充分条件, 当有成立时,的正负无法判断, , 则的正负无法判断, 则“”不是“”的必要条件, 综上: “”是“”的充分不必要条件. 故选:C 8. 已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，根据渐近线和中位线可知，即可得离心率. 【详解】由题意可知：， 设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 则点到直线距离， 可得， 又因为分别为的中点，则， 即，所以双曲线的离心率为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（ ） A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为 C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】计算各事件的概率判断各选项是否正确. 【详解】设事件：甲投篮一次，命中；事件：乙投篮一次，命中. 则事件，独立. 对A选项：由，故A正确； 对B选项：由，故B正确； 对C选项：由，故C错误； 对D选项：由，故D正确. 故选：ABD 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 【答案】AD 【解析】 【分析】当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以， 显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C错误； 令， 所以的前30项和为： ，故D正确. 故选：AD. 11. “心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：，和抛物线的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于，两点，是或上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 的最小值为5 C. 的最大值为7 D. 若在上，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将、变形后可得其都为圆的一部分，借助的范围可得与抛物线的交点坐标，即可得抛物象方程，即可得A；结合抛物线定义即可判断B选项；设出直线的方程后，联立抛物线得到与横坐标有关的韦达定理，结合弦长公式与点到直线的距离公式表示出该三角形面积，结合函数单调性即可得；找到中点，结合向量的数量积运算将转化为求最小值问题，结合题意，可确定点在时，有最小值，再结合韦达定理表示出的值，确定直线斜率范围后计算即可得D选项. 【详解】可变形为， 表示以为圆心，2为半径的圆的上半部分； 可变形为， 表示以为圆心，2为半径的圆的上半部分． 对于A选项，抛物线过点，解得， ，故A选项正确； 对于B选项，抛物线的准线为， 过点作，垂足为， 则，则， 故B选项正确； 对于C选项，不妨设，显然离最远的点在上， 且， 联立，消去整理得， ， 则，， 则， 由对称性只考虑情况，在点时，，所以， 所以 ， 设，易得在上单调递增， 所以的最大值为，故C选项错误； 对于D选项，设的中点为， 联立，消去整理得， 则，， ，， ， 所以，， ， 最小，即最大，也即最小， 又的中点位于圆心的左侧， 故当在位置时，最小，最小， 所以 ， 故D选项正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：圆锥曲线中最值或范围问题有时需运用韦达定理将所需计算的量表示出来，再结合基本不等式或函数单调性去研究. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则实数λ=______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，可求的值. 【详解】因为， 由， 所以. 故答案为： 13. 已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭圆和双曲线的一个公共点，若，则椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准方程可得，由双曲线定义可得，再根据椭圆的定义求得a，即可求得离心率． 【详解】解：由题意，不妨设P在第一象限，为左焦点 ， 双曲线可化为， 由双曲线的定义知：，， 则，， 由椭圆定义知：， ∴ ， ∵ 椭圆与双曲线有相同的右焦点， ∴ 椭圆的离心率． 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则___________. 【答案】3 【解析】 【分析】设准线与轴的交点为，作，垂足分别为，，利用几何关系和抛物线的定义得到，解方程即可求得. 【详解】如图，设准线与轴的交点为，作，垂足分别为，， 则.根据抛物线定义知，， 设，因为，所以， ∴. 设，所以，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，O为坐标原点，圆C为的外接圆． （1）求圆C的方程； （2）过原点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法列式求解即得. （2）由圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求解即得. 【小问1详解】 设的外接圆的方程为， 由A，B，O均圆C上，得，解得， 所以圆C的方程为. 【小问2详解】 由（1）知圆心，半径为，由直线l被圆C截得的弦长为， 得点C到直线l的距离为， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，则， 两边同时平方得，解得或， 当直线l的斜率不存在时，不满足条件， 所以直线l的方程为或. 16. 如图，正方体的棱长为为的中点．点在上． （1）求证：平面； （2）若．求直线与平面所成角的大小； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线线垂直推出线面垂直，结合图形即可证得； （2）先由和相关条件推出为中点，建系后，写出相关点坐标，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 ∵是正方体， ∴平面，又平面，∴， 易得，又平面， ∴平面， 又点M在上，所以平面 【小问2详解】 连接，在正方体中，根据平面， ∵平面，∴， 又，∴， ∵平面，∴， 又为中点，∴为中点； 根据正方体的特征建立空间直角坐标系如图所示： 则， ∴，则， 设平面法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成角为， 则，因，故. 故直线与平面所成角为. 17. 已知数列的前项和为，，，． （1）证明：为等差数列； （2）在数列中，，，若的前项和为，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式，结合等差数列的定义即可得证； （2）利用（1）中结论求得，进而利用累乘法求得，再利用裂项相消法求得，从而得证. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知：， 则， 又，所以， 所以 ， 所以. 18. 已知，，点是动点，直线与直线的斜率之积为， （1）求点的轨迹方程 （2）过点且斜率不为0的直线与交于、两点，直线分别交直线、于点、，以为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是过定点，和 【解析】 【分析】（1）利用坐标表示出斜率可得，整理可得； （2）设直线方程为，并与椭圆方程联立可得，利用韦达定理可解得，由垂直关系的向量表示可得以为直径的圆过轴上的定点和. 【小问1详解】 设，则且 所以 整理可得， 即点的轨迹方程 【小问2详解】 如下图所示： 设直线方程为，，， 联立可得可得， 所以，； 直线的方程为，可得，即； 直线的方程为，可得，即； 所以 假设过定点，则， 即， 即可得，解得， 所以定点为和． 【点睛】关键点睛：本题的第二问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到韦达定理式，再计算出的值，最后根据，代入计算即可. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为， （1）求的方程； （2）证明：为定值； （3）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率及所过点求椭圆方程； （2）设点，且，得，点差法及斜率两点式求，即可证； （3）设弦的中点，点重心,，联立直线与椭圆，应用韦达定理及重心坐标性质得坐标与m的表达式，代入椭圆求参数，即可得直线方程. 【小问1详解】 由已知，得，解得，则椭圆的方程为； 【小问2详解】 依题意，可设点，且， 点关于原点的对称点为， 点在上，，作差得， 直线的斜率为，直线的斜率为， ，即为定值； 【小问3详解】 设弦中点，点重心,， 由，得， ，且， 的重心在轴上，， ， 则， 在上的投影向量相等，则，且， 则直线的方程为， ，得，又点在上， ，即 又，则直线的方程为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平顶山一中2024—2025学年（下）高二开学摸底考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若曲线表示椭圆，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 或 3. 已知，动点C满足，则点C的轨迹是（　　） A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 点 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A B. C. D. 5. 若圆：关于直线对称，，则与间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线），若，则（ ） A. B. C. 2 D. 7. 若等差数列的前项和为,则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（ ） A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为 C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 11. “心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：，和抛物线的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于，两点，是或上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 的最小值为5 C. 的最大值为7 D. 若在上，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则实数λ=______． 13. 已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭圆和双曲线的一个公共点，若，则椭圆的离心率为__________． 14. 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，O为坐标原点，圆C为的外接圆． （1）求圆C方程； （2）过原点直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 16. 如图，正方体的棱长为为的中点．点在上． （1）求证：平面； （2）若．求直线与平面所成角的大小； 17. 已知数列的前项和为，，，． （1）证明：为等差数列； （2）在数列中，，，若的前项和为，证明：． 18. 已知，，点是动点，直线与直线的斜率之积为， （1）求点的轨迹方程 （2）过点且斜率不为0的直线与交于、两点，直线分别交直线、于点、，以为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 19. 已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为， （1）求的方程； （2）证明：为定值； （3）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$