尺规作正五边形 （2）

利用黄金分割尺规作正五边形

              （北师版九年级新版下册第三章第八节）          九号风景工作室

利用尺规作正五边形，其作图的基本思路或者说作图的基本目的就是把一个圆分成五等分或者说把圆的圆心角（360度）分成五等分，然后依次连结与圆相交的五个交点构成一个封闭的图形就是所要求作的正五边形了。就圆的圆心角（360度）而言把它分成五等分这个要用常规的尺规作图是分不成的（因为任意角尺规三等分是作不出来的，欧几里三个不可能尺规作图已经证明了），可是360度五等分后每等分对应的角是一个特殊角为72度（360度除以五等于72度）。也就是说只要我们能尺规作出72度的角，那么我们用尺规作正五边形就迎刃而解了。

可是，怎样才能利用尺规作出72度的角呢？这里我们要用到一个重要的知识点：黄金分割（如左图所示：当一点C把线段AB 分成两条线段AC和CB时，如果有 ，即（较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与整条线段的比），那么就称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比且黄金比是：）。在这里顺便了解一下黄金比的求解过程：如左图，由黄金分割的定义可得：  ，设AB=1,AC=x ,CB=1－x ,则上式可化为：  ，化简得： x ＋x－1=0 ，解得： x = ,x = ＞1(不符合题意舍去) ，所以： = ：1= ,即黄金比为: 。

当然，只知道黄金分割还看不出它与72度角有什么内在的联系，下面我们就一起来分析探讨论证以下黄金分割与72度角有关的问题：  如图⑴所示：BD边为三角形ABC  与三角形BDC的公共边，并且AB =AC,BC =AD =BD，求∠C的度数？

分析: 在△ADB中，∵AD=BD，∴∠1=∠2，在△BCD中，∵BD=BC,

∴∠4=∠C, 又∵∠4为△ADB的外角，∴∠4=∠1+∠2，而AB=AC, ∴

∠C=∠ABC=∠2+∠3. ,(三角形内角和定理)。 由上等式可解得：∠C=∠4=2∠3=2∠2=2∠1.