精品解析：江西省吉安市泰和县泰和中学初中部2024～2025学年 下学期期初检测九年级数学试卷

泰和中学初中部2024~2025学年度下学期期初检测九年级数学试卷 ▶考查范围：初中全部◀ 说明： 1．本卷满分120分，答题时间120分钟； 2．请在答题卡上答题，在试卷、草稿纸上作答无效； 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，绝对值最大是（ ） A. B. C. D. 2. 在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. 晴 B. 冰雹 C. 雷阵雨 D. 大雪 3. 下列各式计算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 若点、、三点都在函数的图象上,则的大小关系是( ) A. B. C. D. 6. 已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的是（ ） ①线段的长度为；②抛物线的对称轴为直线；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为时，的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有4个． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7 因式分解：__________． 8. 截至2025年2月10日，电影《哪吒之魔童闹海》票房为88.67亿．88.67亿用科学记数法表示为_____． 9. 已知a，b是一元二次方程x2+x﹣4＝0的两个不相等的实数根，则a2﹣b＝_____． 10. 如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____． 11. 如图，已知在边长为6的正方形中，A为的中点，点B在边上，且，连接，P是线段上的一动点，过点作，垂足分别为M，N，则矩形面积的最大值是______． 12. 在正方形ABCD中，.点E是BC的中点，连接AE，点M是AE上一点，连接MD，MC，若是等腰三角形，则AM的长为________. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，．求证：． 14. 解不等式组,并把解集在数轴上表示出来． 15. 2025年春节期间有四部热门电影，分别是《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《熊出没·重启未来》．小明和小红各自独立选择一部电影观看． （1）小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》 事件；（选填“随机”“不可能”“必然”） （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小红选到同一部电影的概率． 16. 请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线． 17. 如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点、，点的横坐标是，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 图1是一款家用落地式取暖器，如图2是其放置在地面上时的侧面示意图，其中矩形是取暖器的主体，等腰梯形是底座，，烘干架连杆可绕边上一点旋转，以调节角度，已知，，，，，，当时，求点到地面的距离．（精确到0.1cm）【参考数据：，，，】 19. 某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． （1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？ （2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 20. 如图，是的外接圆，，交的延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 下表是2018年三月份某居民小区随机抽取20户居民的用水情况： 月用水量/吨 15 20 25 30 35 40 45 户数 2 4 m 4 3 0 1 （1）求出m=　 　，补充画出这20户家庭三月份用电量的条形统计图； （2）据上表中有关信息，计算或找出下表中的统计量，并将结果填入表中： 统计量名称 众数 中位数 平均数 数据 　 　 　 　 　 　 （3）为了倡导“节约用水，绿色环保”的意识，江赣市自来水公司实行“梯级用水、分类计费”，价格表如下： 月用水梯级标准 Ⅰ级（30吨以内） Ⅱ级（超过30吨的部分） 单价（元/吨） 2.4 4 如果该小区有500户家庭，根据以上数据，请估算该小区三月份有多少户家庭达到Ⅱ级标准？并估算这些Ⅱ级用水户的总水费是多少元？ 22. 《猫和老鼠》是一部经典的搞笑动画片，成为许多人美好的童年回忆．在国产游戏“猫和老鼠手游”中，航海士杰瑞投掷金币的准度关系着该角色在对局中发挥的作用．已知金币在空中飞行的路线近似于抛物线． （1）如图，为更好地练习自己的投掷能力，某玩家在B处设置了一个靶子（靶子高度不计）．该玩家在练习投掷金币时，金币出手点到地面的距离为2，金币在点A处离角色飞行一段距离后落地．当金币落地点的横坐标满足时，被判定为命中靶子． ①_____． ②该玩家在第一次投掷时，若，，请判断此次投掷能否命中靶子，并通过计算说明理由． （2）该玩家在实战中投掷金币，出手点A的坐标与（1）中相同．当金币与出手点A的水平距离为5时，达到最高位置，且此时金币与水平地面的距离为4．猫咪的身体可近似看作一个边长为2的正方形（点B、E在点C、D的下方，且点B、E均在x轴上），若投掷命中，则抛物线与正方形的某一边相交于点F．当点B的坐标为时，请判断金币能否击中猫咪．若能，请求出所有可能的点F的坐标；若不能，请说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”． （1）概念理解: 如图1,在中, ,.,试判断是否是“等高底”三角形，请说明理由. （2）问题探究: 如图2, 是“等高底”三角形,是“等底”，作关于所在直线的对称图形得到,连结交直线于点.若点是的重心,求的值. （3）应用拓展: 如图3,已知,与之间的距离为2.“等高底”的“等底” 在直线上,点在直线上,有一边的长是的倍.将绕点按顺时针方向旋转得到,所在直线交于点.求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰和中学初中部2024~2025学年度下学期期初检测九年级数学试卷 ▶考查范围：初中全部◀ 说明： 1．本卷满分120分，答题时间120分钟； 2．请在答题卡上答题，在试卷、草稿纸上作答无效； 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的含义和求法，分别求出每个数的绝对值各是多少；然后根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，判断出各数中，绝对值最大的数是哪个即可． 【详解】|2|=2，|-2|=2，||=，|-3|=3， ∵3>2>， ∴各数中，绝对值最大的数是-3． 故选D． 【点睛】（1）本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答本题要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． （2）本题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答本题要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零． 2. 在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. 晴 B. 冰雹 C. 雷阵雨 D. 大雪 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形也是中心对称图形，本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于基础题型，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是判断的关键． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，去括号，完全平方公式逐一进行判断求解即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选A． 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查的是三视图．左视图可以看到图形的排和每排上最多有几层．所以选择A． 5. 若点、、三点都在函数的图象上,则的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,利用反比例函数的解析式求出对应的、、的值是解题的关键．直接利用反比例函数图象上点的坐标特征求得对应的、、的值,比较即可求解． 【详解】解：∵点、、三点都在函数的图象上, ∴,,, ∵, ∴, 故选：C 6. 已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的是（ ） ①线段的长度为；②抛物线的对称轴为直线；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为时，的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有4个． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①求出抛物线与坐标轴的交点A，C的坐标，利用两点间距离求出AC；②根据抛物线对称轴的求法即可求出对称轴；③延长AC，与直线交于点P，求出AC的表达式，可得点P坐标；④结合图像画出符合条件的平行四边形，从而判断点P的个数． 【详解】解：在中， 令x=0，则y=2， 令y=0，则， 解得x=或2， ∴A（，0），C（0，2）， ∴AC=，①正确； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，②正确； 延长AC，与对称轴交于点P，此时的值最大， ∵A（，0），C（0，2），设直线AC的表达式为：y=mx+n， 则，解得：， ∴直线AC的表达式为y=4x+2， 令，则y=5， ∴当点P的坐标为（，5）时，的值最大，③错误； 如图，若以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 当AC为边时，有ACM1N1，ACM2N2，ACM3N3，共3个平行四边形， 当AC为对角线时，有AMCN1，共1个平行四边形， ∴符合条件的点M有4个，④正确， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，平行四边形的性质，最短路径问题，知识点较多，综合性较强，解题的关键是从图像出发，利用数形结合的思想解决问题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法． 8. 截至2025年2月10日，电影《哪吒之魔童闹海》票房为88.67亿．88.67亿用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：88.67亿； 故答案为：． 9. 已知a，b是一元二次方程x2+x﹣4＝0的两个不相等的实数根，则a2﹣b＝_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系可得出a2+a＝4、a+b＝﹣1，将其代入a2﹣b＝a2+a﹣（a+b）中，即可求出结论． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣4＝0的两个不相等的实数根， ∴a2+a＝4，a+b＝﹣1， ∴a2﹣b＝a2+a﹣（a+b）＝4﹣（﹣1）＝5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系找出a2+a＝4、a+b＝﹣1是解题的关键． 10. 如图，已知圆锥高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____． 【答案】2π 【解析】 【详解】试题分析：如图， ∠BAO=30°，AO=， 在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=， ∴BO=tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1， ∴AB=，即圆锥的母线长为2， ∴圆锥的侧面积=． 考点：圆锥的计算． 11. 如图，已知在边长为6的正方形中，A为的中点，点B在边上，且，连接，P是线段上的一动点，过点作，垂足分别为M，N，则矩形面积的最大值是______． 【答案】24 【解析】 【分析】以点为原点，所在直线构造直角坐标系，得到两点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，设，将矩形的面积转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：正方形边长为6， ∴，， ∵为的中点，， ∴，， 以点为原点，所在直线构造直角坐标系，如图： 则：， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵P是线段上的一动点， ∴设， ∵， ∴， ∴矩形面积， ∴当时，矩形面积最大为：24； 故答案为：24． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，坐标与图形，求一次函数的解析式，二次函数的最值问题，构造直角坐标系，利用数形结合的思想，将矩形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键． 12. 在正方形ABCD中，.点E是BC的中点，连接AE，点M是AE上一点，连接MD，MC，若是等腰三角形，则AM的长为________. 【答案】或或 【解析】 【分析】根据是等腰三角形，分三种情况：（1）；（2）；（3）；如图（见解析），（1）根据正方形和等腰三角形的性质得出点M是AE的中点，再根据勾股定理求出AE的长，从而可知AM的长；（2）利用相似三角形的判定定理与性质得出，再在中，利用勾股定理可求出ME的长，从而可得AM的长；（3）先根据正方形和等腰三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定定理与性质可得，从而可得AH的长，由此可得AM的长. 【详解】（1）如图①，当时 过点M作于点N，则MN垂直平分CD 在正方形ABCD中， 点M是AE的中点 ， ； （2）如图②，当时 过点M作于点G，则 设，则 在中， ，即 解得（舍去）， . ； （3）如图③，当时，则 过点D作于点H，则 ，即 综上，AM的长为或或 故答案为：或或. 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定定理与性质等知识点，依据题意，分三种情况讨论是解题关键. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，．求证：． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算，全等三角形的判定和性质： （1）将特殊角三角函数值代入，利用二次根式的性质，零指数幂的法则化简，再进行加减运算即可； （2）证明，即可得出结论． 【详解】解：（1）原式； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 解不等式组,并把解集在数轴上表示出来． 【答案】x＞3 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由①得， ， 由②得， ， 在数轴上表示为 故答案为. 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15. 2025年春节期间有四部热门电影，分别是《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《熊出没·重启未来》．小明和小红各自独立选择一部电影观看． （1）小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》是 事件；（选填“随机”“不可能”“必然”） （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小红选到同一部电影的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，列表法求出概率： （1）根据事件的分类作答即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》是随机事件； 故答案为：随机； 【小问2详解】 用分别表示四部电影，列出表格如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中小明和小红选到同一部电影的结果有4种， ∴． 16. 请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用正方形网格以及等边三角形网格中，网格线的位置关系以及格点连线的位置关系进行作图即可． 【详解】如图所示，PQ即为所求． 【点睛】本题考查了平行线的判定以及等边三角形的性质的运用，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 17. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、，点的横坐标是，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题； （1）根据题意先求得点，根据待定系数法求出反比例函数的解析式；然后把代入到解析式，即可求得的值； （2）根据函数的对称性求得的坐标，过点作轴交于点，再求得交点的坐标，然后根据铅锤法求面积求得即可． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标是，点在一次函数图象上， 则的纵坐标为 ∴点 把点代入，得 ∴反比例函数的表达式为 【小问2详解】 ∵把代入得： ∴ ∵点与点关于原点对称，点 ∴点 过点作轴交于点， 把代入得， ∴ ∴ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 图1是一款家用落地式取暖器，如图2是其放置在地面上时的侧面示意图，其中矩形是取暖器的主体，等腰梯形是底座，，烘干架连杆可绕边上一点旋转，以调节角度，已知，，，，，，当时，求点到地面的距离．（精确到0.1cm）【参考数据：，，，】 【答案】点到地面的距离为50.5cm． 【解析】 【分析】过H作HR⊥AB，在Rt△HGR中，利用三角函数求出GR的长，再根据RB=CH=DC-DH，求出RB长，即可求出G到B的长度，过C作CT⊥EF，过B作BQ⊥EF，通过证明△BEQ≌△CFT，得出EQ=FT，在Rt△CFT中，利用三角函数求出CT=BQ的长，由GQ=GB+BQ即可求出答案； 【详解】解：如图，过H作HR⊥AB， ∵∠GHD=53°，且AB//CD， ∴∠HGR=53°， 在Rt△HGR中，GR=cos53°GH=cos53°×15=9， ∴GB=GR+RB=9+（50-12）=47， 过C作CT⊥EF，过B作BQ⊥EF，则∠CTF=∠BQE=90°， ∵BE=CF， ∴∠E=∠F， ∴△BEQ≌△CFT， ∴EQ=FT,BQ=CT， ∵BC=8cm,EF=20cm， ∴EQ=FT=6cm， 在Rt△CFT中，∠CFT=30°， ∴CT=BQ=tan30°×FT=×6=2， ∴GQ=GB+BQ=47+2（cm）， 答：点G到地面的距离约为50.5cm． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用、锐角三角函数值等知识点，解题的关键是构造直角三角形利用三角函数值求线段长． 19. 某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． （1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？ （2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】（1）纪念品A、B的单价分别是元和元 （2）A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 【小问1详解】 解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． 【小问2详解】 解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 20. 如图，是的外接圆，，交的延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线判定，解直角三角形： （1）圆周角定理，得到，根据平行线的性质，得到，即可得证； （2）延长交于点，连接，过点作，平行线得到，圆周角定理得到，分别解，求出的长，根据，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵是的外接圆，， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 小问2详解】 延长交于点，连接，过点作，则：为的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 下表是2018年三月份某居民小区随机抽取20户居民用水情况： 月用水量/吨 15 20 25 30 35 40 45 户数 2 4 m 4 3 0 1 （1）求出m=　 　，补充画出这20户家庭三月份用电量的条形统计图； （2）据上表中有关信息，计算或找出下表中的统计量，并将结果填入表中： 统计量名称 众数 中位数 平均数 数据 　 　 　 　 　 　 （3）为了倡导“节约用水，绿色环保”的意识，江赣市自来水公司实行“梯级用水、分类计费”，价格表如下： 月用水梯级标准 Ⅰ级（30吨以内） Ⅱ级（超过30吨的部分） 单价（元/吨） 2.4 4 如果该小区有500户家庭，根据以上数据，请估算该小区三月份有多少户家庭达到Ⅱ级标准？并估算这些Ⅱ级用水户总水费是多少元？ 【答案】（1）图详见解析；6；（2）25，25，26.5；（3）10200． 【解析】 【分析】（1）根据各组户数之和等于数据总数20即可求出m的值；根据表格数据即可补全条形图； （2）根据众数、中位数和平均数的定义即可得； （3）用样本的平均数乘以总户数即可得该小区三月份家庭达到Ⅱ级标准的用户数，再根据月用水梯级标准即可求出这些Ⅱ级用水户的总水费． 【详解】（1）m=20﹣2﹣4﹣4﹣3﹣0﹣1=6． 这20户家庭三月份用电量的条形统计图如图所示： 故答案为6； （2）根据题意可知，25出现次数最多有6次，则众数为25； 由表可知，共有20个数据，则中位数为第10、11个数的平均数，即为25； 平均数为（15×2+20×4+25×6+30×4+35×3+45）÷20=26.5， 完成表格如下： 统计量名称 众数 中位数 平均数 数据 25 25 26.5 故答案为25，25，26.5； （3）该小区三月份家庭达到Ⅱ级标准用户为：×500=100（户）， 这些Ⅱ级用水户的总水费是：30×2.4×100+（﹣30）×4×100=7200+3000=10200（元）． 答：估算该小区三月份有100户家庭达到Ⅱ级标准，这些Ⅱ级用水户的总水费是10200元． 【点睛】本题考查了条形统计图的应用和众数、中位数、平均数，用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 22. 《猫和老鼠》是一部经典的搞笑动画片，成为许多人美好的童年回忆．在国产游戏“猫和老鼠手游”中，航海士杰瑞投掷金币的准度关系着该角色在对局中发挥的作用．已知金币在空中飞行的路线近似于抛物线． （1）如图，为更好地练习自己的投掷能力，某玩家在B处设置了一个靶子（靶子高度不计）．该玩家在练习投掷金币时，金币出手点到地面的距离为2，金币在点A处离角色飞行一段距离后落地．当金币落地点的横坐标满足时，被判定为命中靶子． ①_____． ②该玩家在第一次投掷时，若，，请判断此次投掷能否命中靶子，并通过计算说明理由． （2）该玩家在实战中投掷金币，出手点A的坐标与（1）中相同．当金币与出手点A的水平距离为5时，达到最高位置，且此时金币与水平地面的距离为4．猫咪的身体可近似看作一个边长为2的正方形（点B、E在点C、D的下方，且点B、E均在x轴上），若投掷命中，则抛物线与正方形的某一边相交于点F．当点B的坐标为时，请判断金币能否击中猫咪．若能，请求出所有可能的点F的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）①2②能命中，利用见解析 （2）能， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①根据出手点即可求出的值；②写出抛物线的解析式，令，求出的值，进行判断即可； （2）求出函数解析式，令，求出的值，进行判断，求解即可． 【小问1详解】 解：①由图可知，抛物线经过， ∴； ②能命中，理由如下： ∵，，， ∴抛物线的解析式为：， 令， 解得：或（舍去）； ∵金币落地点的横坐标满足时，被判定为命中靶子， ∴此次投掷能命中靶子； 【小问2详解】 由题意，第二次投掷的抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴， 令， 解得：或（舍去）； ∵正方形，边长为2，且， ∴， ∵， ∴金币能击中猫咪； 当时，， ∴点． 六、解答题（本大题共12分） 23. 我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”． （1）概念理解: 如图1,在中, ,.,试判断是否是“等高底”三角形，请说明理由. （2）问题探究: 如图2, 是“等高底”三角形,是“等底”，作关于所在直线的对称图形得到,连结交直线于点.若点是的重心,求的值. （3）应用拓展: 如图3,已知,与之间的距离为2.“等高底”的“等底” 在直线上,点在直线上,有一边的长是的倍.将绕点按顺时针方向旋转得到,所在直线交于点.求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）（3）的值为,,2 【解析】 【详解】分析：（1）过点A作AD⊥直线CB于点D，可以得到AD=BC=3，即可得到结论； （2）根据 ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，得到AD=BC， 再由 ΔA′BC与ΔABC关于直线BC对称， 得到 ∠ADC=90°，由重心的性质，得到BC=2BD．设BD=x，则AD=BC=2x， CD=3x ，由勾股定理得AC=x，即可得到结论； （3）分两种情况讨论即可：①当AB=BC时，再分两种情况讨论； ②当AC=BC时，再分两种情况讨论即可． 详解：（1）是．理由如下： 如图1，过点A作AD⊥直线CB于点D， ∴ΔADC为直角三角形，∠ADC=90°． ∵ ∠ACB=30°，AC=6，∴ AD=AC=3， ∴ AD=BC=3， 即ΔABC是“等高底”三角形． （2）如图2， ∵ ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD=BC， ∵ ΔA′BC与ΔABC关于直线BC对称， ∴ ∠ADC=90°． ∵点B是ΔAA′C的重心， ∴ BC=2BD． 设BD=x，则AD=BC=2x，∴CD=3x ， ∴由勾股定理得AC=x， ∴． （3）①当AB=BC时， Ⅰ．如图3，作AE⊥l1于点E， DF⊥AC于点F． ∵“等高底” ΔABC的“等底”为BC，l1//l2， l1与l2之间的距离为2， AB=BC， ∴BC=AE=2，AB=2， ∴BE=2，即EC=4，∴AC= ． ∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA' B' C，∴∠CDF=45°． 设DF=CF=x ． ∵l1//l2，∴∠ACE=∠DAF，∴，即AF=2x． ∴AC=3x=，可得x=，∴CD=x=． Ⅱ．如图4，此时ΔABC是等腰直角三角形， ∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA' B' C， ∴ ΔACD是等腰直角三角形， ∴ CD=AC=． ②当AC=BC时， Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形． ∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C， ∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2． Ⅱ．如图6，作AE⊥l1于点E，则AE=BC， ∴AC=BC=AE，∴∠ACE=45°， ∴ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C时， 点A′在直线l1上， ∴A′C∥l2，即直线A′ C与l2无交点． 综上所述：CD的值为，，2． 点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力．解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$