精品解析：四川省广安友谊中学2024-2025学年高二下学期入学考试数学试卷

四川省广安友谊中学高2023级高二（下）入学考试（数学） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中点的对称性可得结果. 【详解】点关于轴的对称点的坐标为， 故选：C. 2. 若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出直线的斜率，由点斜式方程求解即得直线方程. 【详解】因直线的方向向量为，则直线的斜率 于是直线的方程为，即. 故选:A. 3. 成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了10名同学在某天校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，则这组数据的第70百分位数是（ ） A. 56 B. 59 C. 62 D. 64.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式求解即可. 【详解】数据个数共有10个，且为从小到大排列， 这组数据的第70百分位数为第7个数据56和第8个数据62的平均数59， 故选:B. 4. 已知双曲线，的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出抛物线的焦点坐标，得出双曲线方程，再由双曲线的方程求解渐近线方程即可． 【详解】因为的焦点（2，0）， 所以a2+3＝4, ∴a2＝1， ∴双曲线方程为： ． ∴渐近线方程为：． 故选：B 5. 记数列的前项和为，，，则（ ） A. 0 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得为等差数列，利用等差数列的性质求解. 【详解】由，即， 所以数列为等差数列， 又，即，则， . 故选：A. 6. 已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求得圆心到直线的距离，根据题意可得，求解即可. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 由圆上至少有3个点到直线的距离为1， 所以. 故选：A. 7. 如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用空间向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设， ， . ，. ， 异面直线与所成角的余弦值. 故选：D. 8. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则（ ） A. 64 B. 65 C. 68 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据奇数数列的通项，明确为个奇数，根据宝塔数表的排列性质，通过计算，求得所在的位置，可得答案. 【详解】由题意，令，解得，则是第个奇数， ∵宝塔形数表第行有个数，前行共有个数， ，在宝塔形数表的第行中， 为第行从左往右数第个数，即， . 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题通过观察宝塔形数表，归纳出一般规律来考查归纳推理及等差数列求和公式，属于难题题.归纳推理的一般步骤：一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 二、多选题（每题6分，共18分.答对给6分，答错不给分，部分答对给部分分.） 9. 已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若事件与事件互斥，则 B. 若事件与事件相互独立，则 C. 若事件发生时事件一定发生，则 D. 若，则事件与事件相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式，独立事件的定义，独立事件的概率乘法公式进行分析判断即得. 【详解】对于A，事件与事件互斥，，故A正确； 对于B，事件与事件相互独立，， ，故B正确； 对于C，若事件发生时事件一定发生，则，故C错误； 对于D，因则事件与事件相互独立， 故事件与事件相互独立，故D正确. 故选:ABD. 10. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当取得最大值时， C. 数列是递减数列 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】ABD选项，根据、和求和公式得到，，；D选项，根据等差数列的性质判断增减性. 【详解】解析：，故，选项A正确； ，即，故且，选项D错误； 又因为是等差数列，故数列是递减数列，选项C正确； 当取得最大值时，，故B错误． 故选：AC. 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，则（ ） A. 若到渐近线的距离为1，则 B. 当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上 C. 若，则点的纵坐标为 D. 过点作双曲线的切线交渐近线于两点，若，则曲线的渐近线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，根据题意，进而可得； 选项B，由双曲线的定义和内切圆的性质，可得，即得，进而可得； 选项C，设， 由，联立 可得； 选项D，当点坐标为时，由得，进而可判断错误. 【详解】选项A：因到渐近线的距离为1，故，故，故A正确； 选项B： 如图，的内切圆的圆心为，分别与切于点, 则, 由双曲线的定义可得，故， 故，即， 又，故，故, 故的内切圆的圆心总在定直线上，故B正确； 选项C： 设，则，， 因，故，故， 代入可得得，得，故C正确； 选项D： 当点坐标为时，切线方程为，双曲线的渐近线方程为， 联立得，联立得， 故，得，此时渐近线方程为，故D错误， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题选项B考虑到内切圆的性质，由双曲线的定义可得，进而可判断；选项D，先考虑特殊点，点位于顶点时得到，可判断选项D错误. 三、填空题（每题5分，共15分.） 12. 过三点的圆的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解. 【详解】设圆的方程为， 代入三点，有 解得， 故圆的方程为， 故圆的标准方程为. 故答案为： 13. 已知数列满足，，则数列前8项的和为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由递推关系及，求出数列的前项，即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以， 所以，， ，， ，， 所以数列前8项的和为. 故答案为：. 14. 已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为______. 【答案】26 【解析】 【分析】由离心率可得，可得为等边三角形，从而可得的倾斜角为，求得直线的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理与弦长公式可得，求解即可. 【详解】离心率，， ，又因为为等边三角形， 设， 过点作线段的垂线，的倾斜角为， 直线的方程为，代入中， 得， ， 周长. 故答案为：. 四、解答题 15. （1）已知数列的前项和，求数列的通项公式； （2）已知数列满足，求数列的通项公式； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】分别根据、累加法计算，即可一次求解（1）（2）数列的通项公式. 【详解】（1）， 当时，； 当时，， ， 易知不符合上式， 所以. （2）由可知当时 ， 各式相加得， 又，所以，且也满足该式， 所以. 16. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲. （1）求第3次投篮者为乙的概率； （2）求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据概率的乘法公式，结合并事件的概率加法公式即可求解， 【小问1详解】 设事件"甲第次投篮投进"，事件"乙第次投篮投进"，事件"第三次投篮者为乙"， 根据题意可知，与互斥， ； 【小问2详解】 设事件"前4次投篮中甲投篮次数不少于3次"，根据题意可知： ， 事件互斥，且每次投篮的结果相互独立， . 17. 数列满足，，，数列满足，． （1）证明数列是等差数列并求其通项公式． （2）数列的前项和为，问是否存在最小值?若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：因为，所以． 因为，所以， 所以．因为，所以， 所以数列是首项，公差的等差数列． 所以． （2）存在最小值，最小值为－9，此时 【解析】 【分析】（1）因为数列满足，所以对数列两边同时，得到，再代入数列中，即可证明结论并求出通项公式. （2）利用等差数列的前项和公式求出，再利用数列的函数性质即可求得的最小值及取得最小值时的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据等差数列的前项和公式，得． 对于二次函数，其图象的对称轴为直线， 所以当时，取得最小值．因为， 所以存在最小值，最小值为－9，此时． 18. 在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点在线段上，且满足，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）如图，连接，则， 由余弦定理得， 在中，有， 所以，又平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理证明，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可； （3）由题意，求出的坐标，利用空间向量法求解面面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 由（1）知平面.又平面， 所以平面平面，又平面平面，平面， 所以平面，由平面，得， 过作，则，又， 建立如图空间直角坐标系， 则， 得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 得，设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 易知平面的一个法向量为. 由（2）知，， 由，得， 所以. 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 得，设平面与平面所成角为， 则， 即平面与平面所成角的余弦值为. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆方程为．已知椭圆的长轴长为，离心率为，，分别是椭圆左、右焦点，直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆方程； （2）若直线是圆的任意一条切线，求的值； （3）若直线不经过左焦点，设焦点到直线的距离为，如果直线，，的斜率依次成等差数列，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可求椭圆方程； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，根据直线与椭圆相交，以及直线与圆相切的条件，求的值； （3）首先利用坐标表示直线和的斜率，根据斜率成等差数列，列式得到，整理后代入韦达定理得到，根据条件得，，结合韦达定理了，以及点到直线的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，椭圆的长轴长为，即有，即，又，解得，即有椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 圆，设，则. 直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，直线. 若，由，解得，此时. 若，同理得：. ②当直线的斜率存在时，设. 由，得，① ，又直线是圆的切线， 故，可得，恒成立， 又，而， ，即. 综上，恒有. 【小问3详解】 分别是椭圆的左、右焦点，可得， 则，②， 由直线的斜率依次成等差数列， 可得， 所以有， 化简井整理得: 假设，则直线的方程为:，即直线经过点，不符合条件， 则， 由方程（1）及韦达定理可知:，则，③ 由②③可知，，化简得:，这等价于:， 反正，当满足③及时，直线必不经过（否则将导致，与③矛盾）， 而此时满足②，从而直线1与椭圆有两个不同的交点 同时也保证了的斜率存在（否则中的某一个为-1， 结合可知，与方程①有两个不同的实根矛盾） 记点到直线的距离为，则 ，注意到， 令，则，从而④式可改写为:， 考虑到函数在上单调递减，则. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标，结合韦达定理表示条件中的几何关系，尤其是第三问，利用，表示的不等式关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广安友谊中学高2023级高二（下）入学考试（数学） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了10名同学在某天校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，则这组数据的第70百分位数是（ ） A. 56 B. 59 C. 62 D. 64.5 4. 已知双曲线，的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线是（ ） A. B. C. D. 5. 记数列的前项和为，，，则（ ） A. 0 B. 12 C. 15 D. 20 6. 已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则（ ） A. 64 B. 65 C. 68 D. 72 二、多选题（每题6分，共18分.答对给6分，答错不给分，部分答对给部分分.） 9. 已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若事件与事件互斥，则 B. 若事件与事件相互独立，则 C. 若事件发生时事件一定发生，则 D. 若，则事件与事件相互独立 10. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当取得最大值时， C. 数列是递减数列 D. 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，则（ ） A. 若到渐近线的距离为1，则 B. 当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上 C. 若，则点的纵坐标为 D. 过点作双曲线的切线交渐近线于两点，若，则曲线的渐近线方程为 三、填空题（每题5分，共15分.） 12. 过三点的圆的标准方程为________． 13. 已知数列满足，，则数列前8项的和为_____. 14. 已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为______. 四、解答题 15. （1）已知数列的前项和，求数列的通项公式； （2）已知数列满足，求数列的通项公式； 16. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲. （1）求第3次投篮者为乙的概率； （2）求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率. 17. 数列满足，，，数列满足，． （1）证明数列是等差数列并求其通项公式． （2）数列的前项和为，问是否存在最小值?若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由． 18. 在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点在线段上，且满足，求平面与平面所成角的余弦值． 19. 在平面直角坐标系中，椭圆方程为．已知椭圆的长轴长为，离心率为，，分别是椭圆左、右焦点，直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆方程； （2）若直线是圆的任意一条切线，求的值； （3）若直线不经过左焦点，设焦点到直线的距离为，如果直线，，的斜率依次成等差数列，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $