第二单元 认识三角形和四边形（十一个重难点突破）-2024-2025学年四年级下册数学重难点专题突破（北师大版）

第二单元 认识三角形和四边形 一、三角形及平行四边形的特性 二、三角形分类 三、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 四、画三角形 五、三角形的内角和 六、多边形的内角和 七、三角形三边关系 八、平行四边形的概念和特征 九、梯形的概念和特征 十、等腰梯形和直角梯形 十一、画四边形 知识点1图形的分类 1、图形分类的方法。 给图形分类，不但要认识图形的类别特征，还要了解图形之间的关系。我们学过的图形可以进行以下分类： 2、四边形和三角形的特性。 三角形具有稳定性；四边形具有不稳定性，容易变形。三角形和四边形的特性在生活中有着广泛的应用。如：利用四边形的不稳定性制作活动门、可变形的挂钩等；利用三角形的稳定性修建斜拉桥、固定板凳腿等 重难点一三角形及平行四边形的特性 【典例1】自行车的框架往往设计成如图样式，这是因为( )。 【答案】三角形的稳定性 【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，生活中很多物品的设计都利用这一特性设计的，据此作答。 【解答】根据上述分析可得：自行车的框架往往设计成如图样式，这是因为三角形的稳定性。 【变式1-1】爷爷给一块地围上篱笆，这样围十分牢固。依据的原理是三角形具有( )。 【答案】稳定性 【分析】由题可知，爷爷做的篱笆中有三角形，三角形可以使篱笆更加稳固，不易变形，生活中有很多这样的例子，例如自行车的三角形车架、三角形房架、长方形门框的斜拉条、起重机的三角形吊臂车架等，都是利用了三角形的稳定性，起到了加固作用，据此即可解答。 【解答】爷爷给一块地围上篱笆，这样围十分牢固。依据的原理是三角形具有稳定性。 【变式1-2】小刚发现自己的椅子有摇晃，于是在椅子腿上斜着钉了一根木条加以固定，他利用了三角形具有( )性。 【答案】稳定 【分析】三角形具有稳定性，不易变形，人们在生活中经常来利用三角形的稳定性加固物件，例如自行车的三角形，自行车的三角形车架、三角形房架、矩形门框的斜拉条、起重机的三角形吊臂车架，都是利用了三角形的稳定性，起到加固作用，据此即可解答。 【解答】根据分析可知，小刚发现自己的椅子有摇晃，于是在椅子腿上斜着钉了一根木条加以固定，他利用了三角形具有稳定性。 【变式1-3】图形的性质在生活中的应用非常广泛，手机支架是利用了三角形具有( )的性质；自动升降机是利用了( )容易变形的性质。 【答案】稳定 平行四边形 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，三角形具有稳定性，不容易变形，平行四边形不稳定，容易变形。据此解答即可。 【解答】图形的性质在生活中的应用非常广泛，手机支架是利用了三角形具有稳定的性质；自动升降机是利用了平行四边形容易变形的性质。 知识点2三角形分类 1、三角形按角分，可以分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 （1）三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。 （2）有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。 （3）有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。 2、三角形按边分，可以分成不等边三角形和等腰三角形。 （1）三条边互不相等的三角形叫作不等边三角形。 （2）有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 （3）三条边都相等的三角形叫作等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 重难点二三角形的分类 【典例2】找一找，填一填。 图形④ 是等腰三角形，图形 是等边三角形，图形 是直角三角形，图形 是钝角三角形，图形 是锐角三角形。 【答案】⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪ ⑥⑦ ③⑧⑪ ②⑨ ①④⑤⑥⑦⑩ 【分析】两条腰相等的三角形是等腰三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： ①是锐角三角形；②是钝角三角形；③是直角三角形；④是等腰三角形，也是锐角三角形；⑤是等腰三角形也是锐角三角形；⑥是锐角三角形，是等腰三角形，也是等边三角形；⑦是锐角三角形，是等腰三角形，也是等边三角形；⑧是直角三角形也是等腰三角形；⑨是钝角三角形也是等腰三角形；⑩是锐角三角形，也是等腰三角形；⑪是直角三角形也是等腰三角形。 图形④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪是等腰三角形，图形⑥⑦是等边三角形，图形③⑧⑪是直角三角形，图形②⑨是钝角三角形，图形①④⑤⑥⑦⑩是锐角三角形。 【变式2-1】如图，有6个三角形，把它们分成三类，其中③号和⑤号是同一类，是因为这两个三角形都具备( )的共同特点。 【答案】钝角三角形 【分析】三角形按边分类，可分为：等边三角形（三条边都相等的三角形）、等腰三角形（有两条边相等的三角形）、不等边三角形（三条边都不相等的三角形）；三角形按角分类，可分为：锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）、直角三角形（有一个角是直角的三角形）、钝角三角形（有一个角是钝角的三角形），据此解答即可。 【解答】①和⑥都是直角三角形； ②和④都是锐角三角形； ③号和⑤号都是钝角三角形。 有6个三角形，把它们分成三类，其中③号和⑤号是同一类，是因为这两个三角形都具备钝角三角形的共同特点。 【变式2-2】三角形按角可以分为( )三角形、( )三角形和( )三角形。三角形的边如果都相等，就是( )三角形，如果只有两边相等，就是( )三角形。 【答案】锐角 直角 钝角 等边 等腰 【分析】在三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。等腰三角形是有两边相等，且底角相等的三角形，相等的两条边称为这个三角形的腰；等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种，等边三角形是特殊的等腰三角形。 【解答】三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三角形的边如果都相等，就是等边三角形，如果只有两边相等，就是等腰三角形。 【点评】本题主要考查了三角形的分类，需熟练掌握。 【变式2-3】对三角形进行分类，并说说你的分类方法。 分析与解答： (1)我们观察这些三角形的角，发现有些三角形的三个角都是锐角，这类三角形就是( )三角形；有些三角形有一个直角，这类三角形就是( )三角形；有些三角形有一个钝角，这类三角形就是( )三角形。 (2)我们观察这些三角形的边，发现有些三角形的三条边都相等，这类三角形就是( )三角形；有些三角形的两条边相等，这类三角形就是( )三角形。 【答案】(1) 锐角 直角 钝角 (2) 等边 等腰 【解答】（1）我们观察这些三角形的角，发现有些三角形的三个角都是锐角，这类三角形就是锐角三角形（例图③④⑤）；有些三角形有一个直角，这类三角形就是直角三角形（例图①②）；有些三角形有一个钝角，这类三角形就是钝角三角形（例图⑥⑦⑧⑨）。 （2）我们观察这些三角形的边，发现有些三角形的三条边都相等，这类三角形就是等边三角形（例图③④⑤）；有些三角形的两条边相等，这类三角形就是等腰三角形（例图②）。 重难点三等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例3】用一根长48厘米的铁丝围成一个底边长14厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的腰长是( )厘米。 【答案】17 【分析】等腰三角形的两个腰长相等，根据题意可知，围成的等腰三角形的周长是48厘米，用周长减去底边的长度再除以2，即可求出腰长，据此解答。 【解答】（48－14）÷2 ＝34÷2 ＝17（厘米） 因此，这个等腰三角形的腰长是17厘米。 【变式3-1】如果用一根铁丝正好可以围成一个边长为6厘米的正方形，那么用这根铁丝正好可以围成一个边长为( )厘米的等边三角形。 【答案】8 【分析】由题意得，一根铁丝正好可以围成一个边长为6厘米的正方形，那么正方形的周长就等于铁丝的长度。正方形的周长＝边长×4，直接将数据代入即可求出铁丝的长度。接着用这根铁丝来围等边三角形，等边三角形的三条边都相等，直接用铁丝的长度除以3即可求出它的边长。 【解答】6×4÷3 ＝24÷3 ＝8（厘米） 如果用一根铁丝正好可以围成一个边长为6厘米的正方形，那么用这根铁丝正好可以围成一个边长为8厘米的等边三角形。 【变式3-2】有一块等腰三角形的菜地，它的周长是236米，腰长83米，这块等腰三角形菜地的底边长是( )米。 【答案】70 【分析】等腰三角形两条腰相等，底边＝三角形周长－腰长×2，即可解答。 【解答】236－83×2 ＝236－166 ＝70（米） 故这块等腰三角形菜地的底边长是70米。 【变式3-3】用3根5厘米长的小棒摆成一个三角形，这个三角形按边分是( )三角形，按角分是( )三角形，它的周长是( )厘米。 【答案】等边 锐角 15 【分析】用3根5厘米长的小棒摆成一个三角形，这个三角形的三条边都相等，即为等边三角形，因为等边三角形的三个角都是60°，都是锐角，即为锐角三角形，三条边的长度之和是周长，因为三条边都相等，所以5乘3即可求出其周长。 【解答】5×3＝15（厘米） 用3根5厘米长的小棒摆成一个三角形，这个三角形按边分是等边三角形，按角分是锐角三角形，它的周长是15厘米。 【点评】熟练掌握等边三角形的特点，三条边都相等，三个角都是60°。三角形按角分属于什么三角形看三角形中最大的内角属于什么角，这个三角形就是什么三角形。 重难点四画三角形 【典例4】在点子图上按要求画三角形。                 等腰三角形                             钝角三角形                 直角三角形 【答案】见详解 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形。 【解答】 （答案不唯一） 【变式4-1】在下面的方格纸上画出等腰钝角三角形和等腰锐角三角形。 【答案】见详解 【分析】等腰三角形指的是有两边相等的三角形；钝角三角形指的是有一个内角为钝角（大于90°小于180°）的三角形；锐角三角形指的是三个内角都是锐角（大于0°小于90°）的三角形。结合各类三角形的特征画出图形即可。 【解答】作图如下图所示： 【变式4-2】按要求画一画。（每一格的长度代表1cm） （1）画一个底是6厘米的等腰三角形，记为A。 （2）画一个腰是3厘米的等腰直角三角形，记为B。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）等腰三角形两条腰相等，据此画出底是6厘米的等腰三角形即可。 （2）等腰直角三角形两条腰相等，且两条腰相交的角为90°，据此画出该三角形即可。 【解答】 （1）（2）如图：（三角形画法不唯一） 知识点3三角形内角和 1、三角形内角和等于180°。 2、三角形内角和的应用。 根据三角形的内角和是180°，当已知三角形中两个内角的度数时，可以求出第三个内角的度数，并由此判断三角形的形状。 重难点五三角形的内角和 【典例5】用2个三角形正好能拼成一个更大的三角形，这个大三角形的内角和是( )；在一个直角三角形中，一个锐角是54°，另一个角是( )。 【答案】180° 36° 【分析】三角形的内角和是180°，与大小无关； 直角三角形中有一个角是90°，三角形的内角和是180°，因此用180°减90°后，再减其中一个锐角的度数即可。 【解答】180°－90°－54° ＝90°－54° ＝36° 则用2个三角形正好能拼成一个更大的三角形，这个大三角形的内角和是180°；在一个直角三角形中，一个锐角是54°，另一个角是36°。 【变式5-1】一个三角形的两个内角之和是80°，第三个角是( )度，这个三角形按角分是( )三角形。 【答案】100 钝角 【分析】用180°减去80°等于第3个角的度数，再根据第3个角的度数即可判断是什么三角形；锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；锐角是大于0°小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°小于180°的角；据此解答。 【解答】180°－80°＝100°，第3个角是钝角，所以这个三角形按角分是钝角三角形。 【变式5-2】红领巾是少先队员的标志，代表红旗的一角。一种红领巾的底角是，它的顶角是( )，这是一个( )三角形。 【答案】120 等腰 【分析】根据三角形内角和为180°，等腰三角形的底角相同，用180°减去两个底角的度数，即可求出顶角的度数；等腰三角形的两个底角相等。据此解答即可。 【解答】180°－30°－30°＝120° 红领巾是少先队员的标志，代表红旗的一角。一种红领巾的底角是，它的顶角是120，这是一个等腰三角形。 【变式5-3】一个三角形，如果一个最小的角是46°，那么这个三角形一定是 角三角形；一个三角形如果它的两个内角的度数之和等于第三个内角的度数，那么，这个三角形一定是 角三角形。 【答案】锐 直 【分析】根据三角形的内角度数和是180°可知：如果一个最小的角是46°，那么另两个角都比46°大或等于46°，假设另外两个角中有一个角是46°，即可求出最大的角，进而得出结论； 根据三角形的内角和等于180°，如果这个三角形的两个内角的度数之和等于第三个内角的度数，那么第三个内角就是最大的角，即是三角形内角和的一半，然后根据三角形的分类进行解答。 三角形按照角分类：如果一个三角形有一个角是钝角，则是钝角三角形，有一个角是直角，则是直角三角形，如果三个角都是锐角，则是锐角三角形。 【解答】假设另外两个角中有一个角是46°，那么最大的角应小于或等于： 180°－46°×2 ＝180°－92° ＝88° 一个三角形，如果一个最小的角是46°，那么这个三角形一定是锐角三角形。 180°÷2＝90° 一个三角形如果它的两个内角的度数之和等于第三个内角的度数，那么，这个三角形一定是直角三角形。 重难点六多边形的内角和 【典例6】三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果多边形有n条边，其内角和为（n－2）×180°，已知一个多边形的内角和是三角形内角和的8倍，这个多边形的边数是( )条。 【答案】10 【分析】三角形的内角和为180°，那么一个多边形的内角和就等于180°乘8，即180°×8＝1440°，根据公式（n－2）×180°，用多边形的内角和除以180°，再加上2，即可求出这个多边形的边数是多少条，据此解答即可。 【解答】180°×8＝1440° 1440°÷180°＋2 ＝8＋2 ＝10（条） 所以这个多边形的边数是10条。 【变式6-1】用4个三角形拼成一个六边形，这个六边形的内角和是( )。 【答案】720°/720度 【分析】如详解图， 4个三角形拼成一个六边形，即这个六边形是由4个三角形组成的，根据一个三角形的内角和是180°，则这个六边形的内角和是4个180°，即4×180°＝720°；据此解答。 【解答】 4×180°＝720° 即用4个三角形拼成一个六边形，这个六边形的内角和是720°。 【变式6-2】梯形的内角和是( )度。 【答案】360 【分析】如下图，把梯形分成2个三角形，三角形内角和等于180度，2个三角形的内角和就等于梯形的内角和，所以梯形的内角和等于180×2＝360（度），据此即可解答。 【解答】根据分析可知，180×2＝360（度），梯形的内角和是360度。 【变式6-3】把长方形剪掉一个角（如图），那么新图形①的内角和是( )。 【答案】540°/540度 【分析】由图可知，长方形剪掉一个角后，变为了一个五边形。 如图，这个五边形可以分割成3个三角形，三角形的内角和为180°，那么五边形的内角和就等于3个三角形的内角之和。据此解答。 【解答】180°×3＝540° 故新图形①的内角和是540°。 知识点4三角形三边关系 1、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。 2、利用三角形边的关系，可以判断三条长度已知的线段能否围成三角形。 3、判断三条线段能否围成三角形，只要把较短的两条线段相加，再与最长的线段比较即可。 重难点七三角形三边关系 【典例7】有一些整厘米长的小棒，先选长6cm、9cm的小棒各一根，如果要摆成一个三角形，另一根小棒最长是( )cm，最短是( )cm。 【答案】14 4 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析即可。 【解答】6＋9＝15（cm） 第三边要比15cm小，比15小的最大整数是14，即第三边最长是14cm； 9－6＝3（cm） 第三边要比3cm大，比3大的最大整数是4，即第三边最短是4cm。 则有一些整厘米长的小棒，先选长6cm、9cm的小棒各一根，如果要摆成一个三角形，另一根小棒最长是14cm，最短是4cm。 【变式7-1】一个三角形的两边长分别是3厘米和5厘米，第三边的长度是整厘米数，则第三边最长是( )厘米。 【答案】7 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，要使第三边最长，则已知两边的长度和应比第三边多1厘米，也就是第三边的长度应比已知两边长度的和少1厘米；据此解答。 【解答】3＋5－1 ＝8－1 ＝7（厘米） 所以，第三边最长是7厘米。 【变式7-2】从下面4根小棒中，挑选3根围成一个三角形，这个三角形的边长可能是( )，( )，( )。（写出一组答案即可） 【答案】1.5 3.5 4 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此判断三角形的边长即可。 【解答】1.5厘米、2厘米、3.5厘米：1.5＋2＝3.5（厘米），两边之和等于第三边，不能围成三角形； 1.5厘米、2厘米、4厘米：1.5＋2＝3.5（厘米），3.5＜4，两边之和小于第三边，不能围成三角形； 1.5厘米、3.5厘米、4厘米：1.5＋3.5＝5（厘米），5＞4，3.5－1.5＝2（厘米），2＜4，能围成三角形； 2厘米、3.5厘米、4厘米：2＋3.5＝5.5（厘米），5.5＞4，3.5－2＝1.5（厘米），1.5＜4，能围成三角形。 这个三角形的边长可能是1.5厘米，3.5厘米，4厘米或2厘米，3.5厘米，4厘米。 【变式7-3】2009年成都崇州金鸡风筝扎制技术入选省级非物质文化遗产代表性项目。某同学准备用一根长16分米的竹条做一个等腰三角形的风筝架（边长是整分米数），一共有( )种不同的做法。 【答案】3 【分析】等腰三角形周长为16分米，它的两条边为腰一样长，把16分成两个相等的数和第三个数的和为16，必须是整分米数，则第三边用偶数试，再根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断符合围成三角形的方法。 【解答】一边为2分米，腰为（16－2）÷2＝7（分米），7＋2＞7，7－2＜7符合； 一边为4分米，腰为（16－4）÷2＝6（分米），6＋4＞6，6－4＜6符合； 一边为6分米，腰为（16－6）÷2＝5（分米），5＋5＞6，6－5＜5符合； 一边为8分米，腰为（16－8）÷2＝4（分米），4＋4＝8，不符合； 一边为10分米，腰为（16－10）÷2＝3（分米），3＋3＜10，不符合； 一边为12分米，腰为（16－12）÷2＝2（分米），2＋2＜12，不符合； 一边为14分米，腰为（16－14）÷2＝1（分米），1＋1＜14，不符合； 可选用三边长为： 7分米，7分米，2分米； 6分米，6分米，4分米； 5分米，5分米，6分米； 一共有3种不同的做法。 知识点5三角形三边关系 1、根据对边的特点，可以将四边形分为三大类：一类是对边都不平行的四边形；一类是只有一组对边平行的四边形；还有一类是两组对边都平行的四边形。 2、两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 3、正方形和长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形。 重难点八平行四边形的概念和特征 【典例8】下面的图形中，( )是平行四边形。 【答案】①③④ 【分析】有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，根据平行四边形的特征判断这五个图形哪个是平行四边形即可。 【解答】①的两组对边分别平行，所以是平行四边形。②的两组对边都不平行，它只是个四边形。③虽然是长方形，但它的两组对边分别平行，所以也是平行四边形。④的两组对边分别平行，所以是平行四边形。⑤只有一组对边平行，它是梯形，不是平行四边形。所以①③④是平行四边形。 【变式8-1】把平行四边形的各个角撕下来拼在一起，拼成的角是( )角，是( )°。 【答案】周 360 【分析】根据题目要求将四个角撕下来，再拼在一起；锐角是大于0°小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°小于180°的角，平角是等于180°的角，周角是等于360°的角；据此解答。 【解答】根据分析如图： 所以把平行四边形的各个角撕下来拼在一起，拼成的角是周角，是360°。 【变式8-2】平行四边形相邻两条边长度之和是26厘米，这个平行四边形周长是( )厘米。 【答案】52 【分析】平行四边形的对边相等。由题意得，一个平行四边形相邻两条边长度之和是26厘米，那么剩下的另外一组相邻的两条边长度之和也为26厘米，所以平行四边形的周长就等于相邻两条边长度之和再乘2。 【解答】26×2＝52（厘米） 故平行四边形相邻两条边长度之和是26厘米，这个平行四边形周长是52厘米。 【变式8-3】下面的线段中，能围成等腰三角形的3条线段有( )种选择方法，不能围成三角形的3条线段有( )种选择方法。能围成平行四边形的4条线段是( )。 【答案】8 25 ②③④⑤ 【分析】（1）要围成等腰三角形，那么三角形的三边中，就需要有两条线段的长度一样；即其中两条边是②和③或者④和⑤；再根据两边之和大于第三边以及两边之差小于第三边，来进行选择第三条边；能围成等腰三角形三条线段有：①②③、②③④、②③⑤、①④⑤、②④⑤、③④⑤、④⑤⑥、④⑤⑦； （2）根据不满足两边之和大于第三边或两边之差小于第三边，不能围成三角形的3条线段有：①②④、①②⑤、①②⑥、①②⑦、①②⑧、①③④、①③⑤、①③⑥、①③⑦、①③⑧、①④⑥、①④⑦、①④⑧、①⑤⑥、①⑤⑦、①⑤⑧、①⑥⑦、①⑥⑧、①⑦⑧、②③⑥、②③⑦、②③⑧、③④⑦、③④⑧、④⑤⑧；据此可解此题； （3）平行四边形对边平行且相等，要找出两组长度相等的线段为：②③④⑤；即可解此题。 【解答】根据分析：能围成等腰三角形的3条线段有8种搭配方法，不能围成三角形的3条线段有25种搭配方法。能围成平行四边形的4条线段是②③④⑤。 重难点九梯形的概念和特征 【典例9】如图，a∥b，c∥d，阴影部分是四个四边形，其中图( )是平行四边形，图( )是梯形，图( )既不是平行四边形，也不是梯形。 【答案】② ①③/③① ④ 【分析】根据平行四边形和梯形的定义，两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形。据此回答即可。 【解答】因为a∥b，c∥d，图②的两组对边分别平行，所以图②是平行四边形。因为a∥b，剩下的两条直线相交，只有一组对边平行，所以图①是梯形。因为c∥d，剩下两条直线相交，只有一组对边平行，所以图③也是梯形。图④的两组对边都不平行，所以图④既不是平行四边形，也不是梯形。 【变式9-1】下图中有( )个平行四边形和( )个梯形，有( )个直角三角形和( )个锐角三角形。 【答案】2 3 2 3 【分析】两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫梯形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，据此在图中找出相应的图形即可。 【解答】 平行四边形有：，共2个； 梯形有：，共3个； 直角三角形有：，共2个； 锐角三角形有：，共3个。 所以，图中有2个平行四边形和3个梯形，有2个直角三角形和3个锐角三角形。 【变式9-2】在中，是平行四边形的有( )，是梯形的有( )。 【答案】①③ ②⑤ 【分析】平行四边形是两组对边分别平行且相等的四边形，梯形是只有一组对边平行的四边形，据此解答。 【解答】 根据分析：在中，是平行四边形的有①③，是梯形的有②⑤。 【变式9-3】数一数。 ( )个直角三角形                  ( )个带·的梯形 【答案】6 3 【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一组对边平行的四边形是梯形。据此解答即可。 【解答】左边的图形中单独的小直角三角形有4个，几个角组成的大直角三角形有1个，三个小三角形组成的直角三角形有1个，一共有4＋1＋1＝5＋1＝6（个）直角三角形；右边图形中单独一个梯形带·的有1个，一个梯形和两个三角形组成的梯形带·的有1个，所有图形组成的大梯形带·的有1个，一共有1＋1＋1＝2＋1＝3（个）。 重难点十等腰梯形和直角梯形 【典例10】在梯形ABCD中，( )与AB平行，( )与AB垂直；如4个顶角撕下来拼在一起，是( )°，是一个( )角。 【答案】CD DB 360 周 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。只有一组对边平行的四边形叫做梯形，有一个角是直角的梯形是直角梯形。四边形的内角和是360°，360°的角是周角。 【解答】在梯形ABCD中，（CD）与AB平行，（DB）与AB垂直；如4个顶角撕下来拼在一起，是（360）°，是一个（周）角。 【点评】熟记直角梯形的特征及平行与垂直的定义是解题关键。 【变式10-1】明明用一根50厘米的铁丝围成一个上下底之和是26厘米的等腰梯形，梯形腰长是( )厘米。 【答案】12 【分析】等腰梯形的两条腰长度相等，已知铁丝的长度是50厘米，这50厘米就是围成的等腰梯形的周长，也就是上底、下底与两条腰的长度总和。又已知上下底之和是26厘米，那么用等腰梯形的周长减去上下底之和，得到的就是两条腰的长度总和。最后因为等腰梯形两条腰长度相等，所以将两条腰的长度总和除以2，就可以得到一条腰的长度。 【解答】根据上述分析，用周长减去上下底之和可得两条腰的长度总和为：50－26 ＝24（厘米） 一条腰的长度为：24÷2＝12（厘米） 明明用一根50厘米的铁丝围成一个上下底之和是26厘米的等腰梯形，梯形腰长是12厘米。 【变式10-2】有一个直角梯形，如果它的一个角是115°，那么除了两个直角外的另一个角是( )°，属于( )角。 【答案】65 锐 【分析】梯形的内角和为360°。由题意得，有一个直角梯形（直角梯形有两个直角），如果它的一个角是115°，求除了两个直角外的另一个角的度数，直接用360°减去两个直角的度数再减去115°即可解答。然后根据这个角的度数来判断这个角的类型即可。 【解答】360°－90°－90°－115° ＝270°－90°－115° ＝180°－115° ＝65° 65°＜90°，所以这个角是锐角。 除了两个直角外的另一个角是65°，属于锐角。 【变式10-3】聪聪在钉子板上用橡皮筋围了一个高是20厘米的直角梯形，其中一条腰长25厘米，如果将这个梯形的上底增加15厘米，它就变成了正方形，原来直角梯形的周长是( )厘米。 【答案】70 【分析】由题意得，直角梯形的高是20厘米，其中一条腰长25厘米，说明直角梯形的另一条腰长为20厘米，如果将这个梯形的上底增加15厘米，它就变成了正方形，正方形的四条边的长度相等，那么上底和下底之间的长度差就是15厘米，且下底的长度与高相等，也是20厘米。直接用20减去15即可算出上底的长度。求直角梯形的周长，直接把它的四条边的长度加起来即可。 【解答】20－15＝5（厘米） 20＋25＋5＋20 ＝45＋5＋20 ＝50＋20 ＝70（厘米） 聪聪在钉子板上用橡皮筋围了一个高是20厘米的直角梯形，其中一条腰长25厘米，如果将这个梯形的上底增加15厘米，它就变成了正方形，原来直角梯形的周长是70厘米。 重难点十一画四边形 【典例11】在点子图上按要求画图。 【答案】见详解 【分析】分别根据平行四边形、梯形、三角形的特征画出图形。平行四边形的对边平行且相等的四边形；梯形的特征：一组对边平行的四边形；三角形的画法：画出三条首位顺次连接的线段即可。 【解答】具体画法如下所示： （答案不唯一） 【变式11-1】按要求画图。 带有直角的等腰三角形   带有直角的梯形      平行四边形 【答案】见详解 【分析】有一个角是直角，且两条直角边相等的三角形叫做等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的特征，即可画出等腰直角三角形，如图A所示； 有一个角是直角，且只有一组对边平行的四边形叫做梯形，根据梯形的特征，即可画出梯形，如图B所示； 有两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形，根据平行四边形的特征，即可画出平行四边形，如图C所示。 【解答】根据分析，作图如下： （答案不唯一） 【点评】此题重点考查学生对图形的了解，掌握等腰直角三角形的特点，等腰梯形以及平行四边形的特点。 【变式11-2】按要求画一画。 （1）先画一个平行四边形，再加一条线把它分成一个直角三角形和一个梯形。 （2）先画一个梯形，再加一条线把它分成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。只有一组对边平行的四边形叫作梯形。由题意得，要把一个平行四边形分成一个直角三角形和一个梯形，可以从平行四边形的一个顶点出发，向它的对边作垂线。 （2）只有一组对边平行的四边形叫作梯形。两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。由题意得，要把一个梯形分成一个平行四边形和三角形，可以过梯形的一个顶点，作梯形腰的平行线段。 【解答】（1）（2） （答案不唯一） 一、填空题 1．下列图形中，是立体图形的有( )个。 【答案】4 【分析】根据平面图形和立体图形的区别：平面图形是一个平面上的图形，而立体图形是由好多个面组成的图形；进行辨别即可。 【解答】上列图形中，是立体图形的有长方体、圆柱、正方体和球，共4个；圆和长方形是平面图形。 2．如下图，塔吊设计成三角形是应用了三角形的( )性。 【答案】稳定 【分析】根据三角形的特性：三角形具有稳定性解答即可。 【解答】根据三角形的特性：塔吊设计成三角形是应用了三角形的稳定性。 3．用一根彩绳围成了一个每条边都是80厘米的三角形，如果用这根彩绳围成一个正方形，那么正方形的边长是( )厘米，面积是( )平方分米。 【答案】60 36 【分析】根据等边三角形的周长＝边长×3，求出彩绳的长度，正方形的周长＝边长×4，那么边长＝周长÷4，据此求出正方形的边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，把数据代入公式解答。 【解答】80×3＝240（厘米） 240÷4＝60（厘米）＝6（分米） 6×6＝36（平方分米） 正方形的边长是60厘米，面积是36平方分米。 【点评】此题主要考查等边三角形的周长公式、正方形的周长公式、正方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 4．若一个等边三角形的周长是147分米，则这个等边三角形的边长是( )分米。 【答案】49 【分析】根据等边三角形的特征，等边三角形的3条边的长度都相等，所以每条边的长度等于周长除以3，据此解答即可。 【解答】147÷3＝49（分米） 这个等边三角形的边长是49分米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握等边三角形的特征、三角形的周长公式及应用。 5．看图填序号。 上面三角形中，是锐角三角形的有( )，是直角三角形的有( )，是等边三角形的有( )。 【答案】①④⑥ ②⑤ ⑥ 【分析】看三角形中最大的内角，若这个内角是锐角，那么就是锐角三角形，若这个三角形中最大的内角是直角，则这个三角形是直角三角形；等边三角形的三条边都相等，据此来解答。 【解答】锐角三角形的有①④⑥；直角三角形有：②⑤；等边三角形有：⑥。 【点评】三角形按角分属于什么三角形，看三角形中最大的内角，最大的内角属于哪一类的角，这个三角形就属于什么三角形。等边三角形三条边相等，三个内角都相等。 6．把一张长方形纸折起一个角后（如图）得到一个三角形，已知∠1＝48°，那么∠2＝( )，∠3＝( )。 【答案】42°/42度 96°/96度 【分析】 如图所示，∠1、∠2和∠5是三角形的三个内角，∠5＝90°。根据三角形的内角和为180°可知，∠2＝180°－90°－∠1。∠2＝∠4，∠2、∠3、∠4组成一个平角，则∠3＝180°－2×∠2，据此解题。 【解答】180°－90°－48° ＝90°－48° ＝42° 180°－2×42° ＝180°－84° ＝96° 把一张长方形纸折起一个角后（如图）得到一个三角形，已知∠1＝48°，那么∠2＝42，∠3＝96°。 7．如图，被挡住的角的度数是( )°，这个三角形按角分是( )三角形，按边分是( )三角形。 【答案】70 锐角 等腰 【分析】三角形的内角和是180°，用180°减去另外两个角的度数即可求出被挡住的角的度数； 三角形按角分：三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形； 三角形按边分：三条边都相等的是等边三角形（三个角都相等，都是60°）、只有两条边相等的是等腰三角形（只有两个角相等）。 【解答】180°－70°－40° ＝110°－40° ＝70 被挡住的角的度数是70°，这个三角形按角分是锐角三角形，按边分是等腰三角形。 8．埃及金字塔四个侧面的形状都是三角形，它的顶角约52°，另两个底角一样大。一个底角约( )°，这样的三角形既是( )三角形，又是( )三角形。 【答案】64 锐角 等腰 【分析】三角形的内角和为180°。等腰三角形的两个底角相等。由题意得，这个三角形的顶角约为52°且两个底角一样大，那么直接用180°减去顶角的度数即可得到两个底角的度数之和，再除以2即可算出一个底角的度数；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。两个底角相等的三角形是等腰三角形。据此解答。 【解答】（180°－52°）÷2 ＝128°÷2 ＝64° 三个角都是锐角，所以这样的三角形是一个锐角三角形；两个底角相等，所以这样的三角形又是一个等腰三角形。 埃及金字塔四个侧面的形状都是三角形，它的顶角约52°，另两个底角一样大。一个底角约64°，这样的三角形既是锐角三角形，又是等腰三角形。 9．笑笑家的太阳能热水器支架损坏了，需要更换一根新的钢条，钢条的长度可能是( )。（填序号） ①2.7米    ②0.3米    ③0.9米 太阳能热水器的支架采用了三角形具有( )这一特点，生活中( )也是运用了这一特性。 【答案】③ 稳定性 自行车三角架 【分析】 三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边； 只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这个性质叫做三角形的稳定性；依此解答即可。 【解答】1.2＋1.5＝2.7（米），1.5－1.2＝0.3（米） ①2.7米＝2.7米，即钢条的长度不可能是2.7米； ②0.3米＝0.3米，即钢条的长度不可能是0.3米； ③0.3米＜0.9米＜2.7米，即钢条的长度可能是0.9米； 钢条的长度可能是③，太阳能热水器的支架采用了三角形具有稳定性这一特点； 生活中自行车三角架（答案不唯一）也是运用了这一特性。 10．一个三角形三条边的长度都是整厘米数，已知第一条边长8cm，第二条边长6cm，若第三条边是最短的一条边，它至少长( )cm，若第三条边是最长的一条边它最长是( )cm。 【答案】3 13 【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。 【解答】8－6＝2（cm） 8＋6＝14（cm） 2＜第三条边＜14 若第三条边是最短的一条边，它至少长3cm，若第三条边是最长的一条边它最长是13cm。 【点评】本题考查了三角形的三边关系的应用。 11．下图是一个用七巧板拼成的鱼，在这个鱼形图中有( )三角形，有( )平行四边形，有( )梯形。 【答案】5 1 2 【分析】根据对平面图形的认知：由三条线段首尾顺次相连，围成的封闭图形叫做三角形；由平面上不在同一直线上的四条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做四边形，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；有且仅有一组对边平行的四边形叫做梯形；据此对照七巧板数出相应的图形即可。 【解答】根据上述分析可得： 在这个鱼形图中有5个三角形，有1个平行四边形，有2个梯形。 12．两个周长都是42厘米且完全相同的梯形拼成了一个平行四边形，已知重合的边长为7厘米，如图所示，拼成的平行四边形的周长是( )厘米。 【答案】70 【分析】根据题意可知，拼成的平行四边形的周长＝梯形的周长×2－重合的边长×2，已知两个完全相同的梯形的周长都是42厘米，重合的边长为7厘米，代入数据，即可解答。 【解答】42×2－7×2 ＝84－14 ＝70（厘米） 即两个周长都是42厘米且完全相同的梯形拼成了一个平行四边形，已知重合的边长为7厘米，如图所示，拼成的平行四边形的周长是70厘米。 二、作图题 13．在点子图上按要求画图。 【答案】见详解 【分析】等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。 梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边，长的一条底边叫下底，短的一条底边叫上底；不平行的两边叫腰。 平行四边形是在同一平面内，两组对边分别平行的四边形。 根据等腰三角形、梯形和平行四边形的特点，据此画图即可。 【解答】如图： （答案不唯一） 14．画一个梯形，在画好的梯形中画一条线段将原图分成两个直角梯形。 【答案】见详解 【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 【解答】作图如下： （答案不唯一） 三、解答题 15．一个等腰三角形的周长是23厘米，已知一条腰长是6厘米，这个三角形的底边长是多少厘米？ 【答案】11厘米 【分析】三角形的周长和腰长已知，因为等腰三角形的两条腰相等，所以利用三角形的周长减去两条腰长，即可求出这个三角形的底边长是多少厘米。 【解答】23－6×2 ＝23－12 ＝11（厘米） 答：这个三角形的底边长是11厘米。 16．一根铁丝刚好能围成一个边长是15厘米的正方形。如果用这根铁丝围成一个腰长是19厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的底边长是多少厘米？ 【答案】22厘米 【分析】根据正方形的周长＝边长×4，求出这根铁丝的长度，再根据等腰三角形的特征，等腰三角形的两条腰的长度相等，用这根铁丝的长度减去两腰的长度，就是底边的长度。 【解答】 （厘米） 答：这个等腰三角形的底边长是22厘米。 17．请你将下图补画为一个等腰三角形，另外两个角分别是多少度？ 【答案】 图见详解 30°和120° 【分析】根据题意分析可知，等腰三角形两个底角的度数相等，已知左边底角的度数是30°，所以右边底角的度数也是30°，再根据三角形的内角和为180°可知顶角的度数。 【解答】 180°－30°－30°＝120° 答：另外两个角分别是30度，120度。 【点评】此题考查了三角形的内角和，清楚等腰三角形的特征是解答此题的关键。 18．乐乐说：“用两把完全相同的三角尺拼成一个三角形，这个三角形的内角和是360°。”她说得对吗？为什么？ 【答案】不对；拼成三角形内角和是180° 【分析】用两把完全相同的三角尺拼成一个三角形，这个大三角形是一个等腰直角三角形，两个底角是45°，顶角是45°＋45°＝90°，则拼成三角形内角和是45°＋45°＋90°＝180°。据此解答。 【解答】45°＋45°＋45°＋45°＝180° 则用两把完全相同的三角尺拼成一个三角形，拼成三角形内角和是180°。 答：乐乐说的不对，拼成的三角形内角和是180°。 【点评】此题主要考查了三角形内角和的计算，无论形状和大小，任何一个三角形的内角和都是180°。 19．妈妈给小红买了一个等腰三角形的风铃。它的一个底角是30度，求另外两个角的度数。 【答案】30度；120度 【分析】三角形的内角和是180度，等腰三角形的两个底角相等，所以这个三角形的顶角的度数＝180度－2个底角的度数，据此解答。 【解答】已知一个底角是30度，另一个底角也是30度 顶角：180－30－30 ＝150－30 ＝120（度） 答：另外两个角是30度和120度。 【点评】熟练掌握等腰三角形的特点以及三角形的内角和度数是解答本题的关键。 20．在一个等腰三角形中，有两条边长分别是7厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？ 【答案】15厘米或18厘米 【分析】根据等腰三角形的两腰相等，解答此题即可。 【解答】当底是7厘米时： 7＋4＋4 ＝11＋4 ＝15（厘米） 当底是4厘米时： 4＋7＋7 ＝11＋7 ＝18（厘米） 答：这个三角形的周长是15厘米或18厘米。 【点评】熟练掌握等腰三角形的性质，是解答此题的关键。 21．从以下5根小棒中选出3根，组成一个三角形。可以怎样选取？请写出一种方法，并说明理由。 【答案】长3cm、4cm和5cm的三根小棒可以组成一个三角形；理由见详解 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 【解答】给出的这5根小棒中，3＋4＞5，5－4＜3，则长3cm、4cm和5cm的三根小棒可以组成一个三角形。因为这三根小棒中，任何两根小棒的长度和均大于第三根小棒的长度，任何两根小棒的长度差均小于第三根小棒的长度。（答案不唯一） 【点评】本题考查三角形的三边关系，灵活运用三角形的三边关系判断三根小棒能否组成一个三角形。 22．淘淘手里有五根小棒，长度分别是3厘米、6厘米、8厘米、12厘米、16厘米。从中选取3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 【答案】①6厘米、8厘米、12厘米； ②16厘米、8厘米、12厘米； ③6厘米、8厘米、3厘米； ④6厘米、12厘米、16厘米； 【分析】三角形的三边关系：两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边；据此解答。 【解答】①6＋8＝14，8－6＝2，2＜12＜14，故6厘米、8厘米、12厘米可以摆成三角形； ②8＋12＝20，12－8＝4，4＜16＜20，故16厘米、8厘米、12厘米可以摆成三角形； ③6＋3＝9，6－3＝3，3＜8＜9，故6厘米、8厘米、3厘米可以摆成三角形； ④6＋12＝18，12－6＝6，6＜16＜18，故6厘米、12厘米、16厘米可以摆成三角形； 【点评】熟练掌握三角形的三边关系是解答此题的关键。 23．一根铁丝可以围成一个边长9厘米的正方形，如果用它围一个三角形，其中一条边长12厘米。这个三角形的另外两条边长可能是多少厘米？请写出所有结果。（边长取整厘米） 【答案】见详解 【分析】正方形的周长为：9×4＝36（厘米），三角形的周长等于正方形的周长；用36减去12，求出另外两条边长的长度之和；三角形的三边关系：两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边；据此求出这个三角形的另外两条边长可能是多少厘米。 【解答】9×4＝36（厘米） 36－12＝24（厘米） 当另外两条边长为1厘米、23厘米时，1＋12＜23，不符合三边关系； 当另外两条边长为2厘米、22厘米时，2＋12＜22，不符合三边关系； 当另外两条边长为3厘米、21厘米时，3＋12＜21，不符合三边关系； 当另外两条边长为4厘米、20厘米时，4＋12＜20，不符合三边关系； 当另外两条边长为5厘米、19厘米时，5＋12＜19，不符合三边关系； 当另外两条边长为6厘米、18厘米时，6＋12＝18，不符合三边关系； 当另外两条边长为7厘米、17厘米时，7＋12＞17，符合三边关系； 当另外两条边长为8厘米、16厘米时，8＋12＞16，符合三边关系； 当另外两条边长为9厘米、15厘米时，9＋12＞15，符合三边关系； 当另外两条边长为10厘米、14厘米时，10＋12＞14，符合三边关系； 当另外两条边长为11厘米、13厘米时，11＋12＞13，符合三边关系； 当另外两条边长为12厘米、12厘米时，12＋12＞12，符合三边关系。 答：这个三角形的另外两条边长可能是7厘米、17厘米或者8厘米、16厘米或者9厘米、15厘米或者10厘米、14厘米或者11厘米、13厘米或者12厘米、12厘米。 【点评】熟练掌握三角形的三边关系是解答此题的关键。 24．幸福村有一块梯形的土地（如下图），计划分出一块最大的正方形土地建造公园，使它为村民休闲娱乐的好场所，剩下的土地用来种植鲜花。 （1）请你根据题目中的要求先在图中，画一画，分一分。 （2）如果在用来种植鲜花的土地的一周围上篱笆，至少要准备多长的篱笆？ 【答案】（1）见详解 （2）120米 【分析】（1）根据题目，图示是直角梯形，要划分出一块最大的正方形土地，那么正方形应该贴合直角梯形直角边的腰（高），也就是正方形的边长应该等于梯形的高，即40m。又梯形的上底长为40米，故实际就是从上底右边端点作一根垂线段垂直于下底，据此画出图即可。 （2）根据（1）的示意图可知剩下的土地是一个三角形，要围的篱笆长就是求其周长，将三边长相加即可得到要围的篱笆长。 【解答】（1）如图所示，左边的正方形是最大的正方形，用于建造公园，右边三角形用于种植鲜花。 （2）根据（1）的示意图可知剩下的土地是一个三角形，其中斜边长度为50米，两条直角边的长度分别为40米和（70－40）米，则要围的篱笆长＝50＋40＋（70－40）＝50＋40＋30＝120（米）。 答：至少要准备120米的篱笆。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二单元 认识三角形和四边形 一、三角形及平行四边形的特性 二、三角形分类 三、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 四、画三角形 五、三角形的内角和 六、多边形的内角和 七、三角形三边关系 八、平行四边形的概念和特征 九、梯形的概念和特征 十、等腰梯形和直角梯形 十一、画四边形 知识点1图形的分类 1、图形分类的方法。 给图形分类，不但要认识图形的类别特征，还要了解图形之间的关系。我们学过的图形可以进行以下分类： 2、四边形和三角形的特性。 三角形具有稳定性；四边形具有不稳定性，容易变形。三角形和四边形的特性在生活中有着广泛的应用。如：利用四边形的不稳定性制作活动门、可变形的挂钩等；利用三角形的稳定性修建斜拉桥、固定板凳腿等 重难点一三角形及平行四边形的特性 【典例1】自行车的框架往往设计成如图样式，这是因为( )。 【变式1-1】爷爷给一块地围上篱笆，这样围十分牢固。依据的原理是三角形具有( )。 【变式1-2】小刚发现自己的椅子有摇晃，于是在椅子腿上斜着钉了一根木条加以固定，他利用了三角形具有( )性。 【变式1-3】图形的性质在生活中的应用非常广泛，手机支架是利用了三角形具有( )的性质；自动升降机是利用了( )容易变形的性质。 知识点2三角形分类 1、三角形按角分，可以分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 （1）三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。 （2）有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。 （3）有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。 2、三角形按边分，可以分成不等边三角形和等腰三角形。 （1）三条边互不相等的三角形叫作不等边三角形。 （2）有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 （3）三条边都相等的三角形叫作等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 重难点二三角形的分类 【典例2】找一找，填一填。 图形④ 是等腰三角形，图形 是等边三角形，图形 是直角三角形，图形 是钝角三角形，图形 是锐角三角形。 【变式2-1】如图，有6个三角形，把它们分成三类，其中③号和⑤号是同一类，是因为这两个三角形都具备( )的共同特点。 【变式2-2】三角形按角可以分为( )三角形、( )三角形和( )三角形。三角形的边如果都相等，就是( )三角形，如果只有两边相等，就是( )三角形。 【变式2-3】对三角形进行分类，并说说你的分类方法。 分析与解答： (1)我们观察这些三角形的角，发现有些三角形的三个角都是锐角，这类三角形就是( )三角形；有些三角形有一个直角，这类三角形就是( )三角形；有些三角形有一个钝角，这类三角形就是( )三角形。 (2)我们观察这些三角形的边，发现有些三角形的三条边都相等，这类三角形就是( )三角形；有些三角形的两条边相等，这类三角形就是( )三角形。 重难点三等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例3】用一根长48厘米的铁丝围成一个底边长14厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的腰长是( )厘米。 【变式3-1】如果用一根铁丝正好可以围成一个边长为6厘米的正方形，那么用这根铁丝正好可以围成一个边长为( )厘米的等边三角形。 【变式3-2】有一块等腰三角形的菜地，它的周长是236米，腰长83米，这块等腰三角形菜地的底边长是( )米。 【变式3-3】用3根5厘米长的小棒摆成一个三角形，这个三角形按边分是( )三角形，按角分是( )三角形，它的周长是( )厘米。 重难点四画三角形 【典例4】在点子图上按要求画三角形。                 等腰三角形                             钝角三角形                 直角三角形 【变式4-1】在下面的方格纸上画出等腰钝角三角形和等腰锐角三角形。 【变式4-2】按要求画一画。（每一格的长度代表1cm） （1）画一个底是6厘米的等腰三角形，记为A。 （2）画一个腰是3厘米的等腰直角三角形，记为B。 知识点3三角形内角和 1、三角形内角和等于180°。 2、三角形内角和的应用。 根据三角形的内角和是180°，当已知三角形中两个内角的度数时，可以求出第三个内角的度数，并由此判断三角形的形状。 重难点五三角形的内角和 【典例5】用2个三角形正好能拼成一个更大的三角形，这个大三角形的内角和是( )；在一个直角三角形中，一个锐角是54°，另一个角是( )。 【变式5-1】一个三角形的两个内角之和是80°，第三个角是( )度，这个三角形按角分是( )三角形。 【变式5-2】红领巾是少先队员的标志，代表红旗的一角。一种红领巾的底角是，它的顶角是( )，这是一个( )三角形。 【变式5-3】一个三角形，如果一个最小的角是46°，那么这个三角形一定是 角三角形；一个三角形如果它的两个内角的度数之和等于第三个内角的度数，那么，这个三角形一定是 角三角形。 重难点六多边形的内角和 【典例6】三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果多边形有n条边，其内角和为（n－2）×180°，已知一个多边形的内角和是三角形内角和的8倍，这个多边形的边数是( )条。 【变式6-1】用4个三角形拼成一个六边形，这个六边形的内角和是( )。 【变式6-2】梯形的内角和是( )度。 【变式6-3】把长方形剪掉一个角（如图），那么新图形①的内角和是( )。 知识点4三角形三边关系 1、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。 2、利用三角形边的关系，可以判断三条长度已知的线段能否围成三角形。 3、判断三条线段能否围成三角形，只要把较短的两条线段相加，再与最长的线段比较即可。 重难点七三角形三边关系 【典例7】有一些整厘米长的小棒，先选长6cm、9cm的小棒各一根，如果要摆成一个三角形，另一根小棒最长是( )cm，最短是( )cm。 【变式7-1】一个三角形的两边长分别是3厘米和5厘米，第三边的长度是整厘米数，则第三边最长是( )厘米。 【变式7-2】从下面4根小棒中，挑选3根围成一个三角形，这个三角形的边长可能是( )，( )，( )。（写出一组答案即可） 【变式7-3】2009年成都崇州金鸡风筝扎制技术入选省级非物质文化遗产代表性项目。某同学准备用一根长16分米的竹条做一个等腰三角形的风筝架（边长是整分米数），一共有( )种不同的做法。 知识点5三角形三边关系 1、根据对边的特点，可以将四边形分为三大类：一类是对边都不平行的四边形；一类是只有一组对边平行的四边形；还有一类是两组对边都平行的四边形。 2、两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 3、正方形和长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形。 重难点八平行四边形的概念和特征 【典例8】下面的图形中，( )是平行四边形。 【变式8-1】把平行四边形的各个角撕下来拼在一起，拼成的角是( )角，是( )°。 【变式8-2】平行四边形相邻两条边长度之和是26厘米，这个平行四边形周长是( )厘米。 【变式8-3】下面的线段中，能围成等腰三角形的3条线段有( )种选择方法，不能围成三角形的3条线段有( )种选择方法。能围成平行四边形的4条线段是( )。 重难点九梯形的概念和特征 【典例9】如图，a∥b，c∥d，阴影部分是四个四边形，其中图( )是平行四边形，图( )是梯形，图( )既不是平行四边形，也不是梯形。 【变式9-1】下图中有( )个平行四边形和( )个梯形，有( )个直角三角形和( )个锐角三角形。 【变式9-2】在中，是平行四边形的有( )，是梯形的有( )。 【变式9-3】数一数。 ( )个直角三角形                  ( )个带·的梯形 重难点十等腰梯形和直角梯形 【典例10】在梯形ABCD中，( )与AB平行，( )与AB垂直；如4个顶角撕下来拼在一起，是( )°，是一个( )角。 【变式10-1】明明用一根50厘米的铁丝围成一个上下底之和是26厘米的等腰梯形，梯形腰长是( )厘米。 【变式10-2】有一个直角梯形，如果它的一个角是115°，那么除了两个直角外的另一个角是( )°，属于( )角。 【变式10-3】聪聪在钉子板上用橡皮筋围了一个高是20厘米的直角梯形，其中一条腰长25厘米，如果将这个梯形的上底增加15厘米，它就变成了正方形，原来直角梯形的周长是( )厘米。 重难点十一画四边形 【典例11】在点子图上按要求画图。 【变式11-1】按要求画图。 带有直角的等腰三角形   带有直角的梯形      平行四边形 【变式11-2】按要求画一画。 （1）先画一个平行四边形，再加一条线把它分成一个直角三角形和一个梯形。 （2）先画一个梯形，再加一条线把它分成一个平行四边形和一个三角形。 一、填空题 1．下列图形中，是立体图形的有( )个。 2．如下图，塔吊设计成三角形是应用了三角形的( )性。 3．用一根彩绳围成了一个每条边都是80厘米的三角形，如果用这根彩绳围成一个正方形，那么正方形的边长是( )厘米，面积是( )平方分米。 4．若一个等边三角形的周长是147分米，则这个等边三角形的边长是( )分米。 5．看图填序号。 上面三角形中，是锐角三角形的有( )，是直角三角形的有( )，是等边三角形的有( )。 6．把一张长方形纸折起一个角后（如图）得到一个三角形，已知∠1＝48°，那么∠2＝( )，∠3＝( )。 7．如图，被挡住的角的度数是( )°，这个三角形按角分是( )三角形，按边分是( )三角形。 8．埃及金字塔四个侧面的形状都是三角形，它的顶角约52°，另两个底角一样大。一个底角约( )°，这样的三角形既是( )三角形，又是( )三角形。 9．笑笑家的太阳能热水器支架损坏了，需要更换一根新的钢条，钢条的长度可能是( )。（填序号） ①2.7米    ②0.3米    ③0.9米 太阳能热水器的支架采用了三角形具有( )这一特点，生活中( )也是运用了这一特性。 10．一个三角形三条边的长度都是整厘米数，已知第一条边长8cm，第二条边长6cm，若第三条边是最短的一条边，它至少长( )cm，若第三条边是最长的一条边它最长是( )cm。 11．下图是一个用七巧板拼成的鱼，在这个鱼形图中有( )三角形，有( )平行四边形，有( )梯形。 12．两个周长都是42厘米且完全相同的梯形拼成了一个平行四边形，已知重合的边长为7厘米，如图所示，拼成的平行四边形的周长是( )厘米。 二、作图题 13．在点子图上按要求画图。 14．画一个梯形，在画好的梯形中画一条线段将原图分成两个直角梯形。 三、解答题 15．一个等腰三角形的周长是23厘米，已知一条腰长是6厘米，这个三角形的底边长是多少厘米？ 16．一根铁丝刚好能围成一个边长是15厘米的正方形。如果用这根铁丝围成一个腰长是19厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的底边长是多少厘米？ 17．请你将下图补画为一个等腰三角形，另外两个角分别是多少度？ 18．乐乐说：“用两把完全相同的三角尺拼成一个三角形，这个三角形的内角和是360°。”她说得对吗？为什么？ 19．妈妈给小红买了一个等腰三角形的风铃。它的一个底角是30度，求另外两个角的度数。 20．在一个等腰三角形中，有两条边长分别是7厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？ 21．从以下5根小棒中选出3根，组成一个三角形。可以怎样选取？请写出一种方法，并说明理由。 22．淘淘手里有五根小棒，长度分别是3厘米、6厘米、8厘米、12厘米、16厘米。从中选取3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 23．一根铁丝可以围成一个边长9厘米的正方形，如果用它围一个三角形，其中一条边长12厘米。这个三角形的另外两条边长可能是多少厘米？请写出所有结果。（边长取整厘米） 24．幸福村有一块梯形的土地（如下图），计划分出一块最大的正方形土地建造公园，使它为村民休闲娱乐的好场所，剩下的土地用来种植鲜花。 （1）请你根据题目中的要求先在图中，画一画，分一分。 （2）如果在用来种植鲜花的土地的一周围上篱笆，至少要准备多长的篱笆？ 学科网（北京）股份有限公司 $$