2.2.3 解一元二次方程（5大题型提分练，同步练习）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

2.2.3解一元二次方程 题型一 求根公式的认识 1. 用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 3．下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（    ） A． B． C． D． 4．用公式法解方程时，计算的值为（   ） A． B．5 C． D．10 题型二 用公式法解方程 1. 解方程：． 2．用公式法解一元二次方程： 3. 已知关于的一元二次方程． (1)当时，判断方程根的情况； (2)当时，求方程的根． 4．已知一元二次方程．有如下四组条件：①，；②，；③，；④，． (1)能使一元二次方程有两个不相等的实数根的是_______；（填序号） (2)选择（1）中的一组条件解方程． 题型三 根据判别式的符号判定根的情况 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数 B．有两个相等的实数根 C．根有两个不相等的实数根 D．没有实数根 2. 若实数满足，则关于的方程根的情况是（    ） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3. 关于x的一元二次方程 中a，b，c满足，则方程根的情况说法最恰当的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 题型四 公式法与判别式的综合应用 1．关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 2. 已知关于的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的两个根分别为，，其中，且，求的值． 3. 已知关于x的两个一元二次方程： 方程①：；方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值． 题型五 有关公式法的几何探究问题 1．已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为 ． 2. 欧几里得的《原本》中记载着方程的图解法：画，，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根为 ．（选填“”、“”、“”、“”）的长． 3.如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． (1)若，求的度数． (2)设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 1．关于x的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得： ， ∴， ∴或， ∴，． 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 整理得 配方得： ， ∴， ∴， ∴，． A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙和丁 D．甲和丁 2．在等腰三角形中，，且这个等腰三角形的面积是30，则底边的长为 ． 3．已知，当x取 时． 4．等腰三角形的一边长为4，另两边的长是关于的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是 ． 5．已知a，b为正整数，且满足，则的值为 ． 6．已知、的坐标为，，点在直线上，若为等腰三角形，则这样的点共有 个． 7．在中，，，，则 ． 8．如图，中，，为边上的点，，，，则长是 ． 9．如图，与均是等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，，，则 ． 10．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若是“勾系一元二次方程”的一个根，且，则四边形的周长是 ． 11．如图，将图（1）表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图（2）表示的矩形若，则y等于 ． 12．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根都是正整数，求m的最小值. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.3解一元二次方程 题型一 求根公式的认识 1. 用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按照未知数的降幂排列，据此可得答案． 【详解】解：，则，，， 故选：C 2．求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】该题主要考查了一元二次方程求根公式，解题的关键是掌握求根公式．对照一元二次方程的一般式（为常数），根据求根公式，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，而求根公式得， 故， 故选：C． 3．下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：∵一元二次方程的根可以根据计算， ∴， ∴对应方程为：； 故选B． 4．用公式法解方程时，计算的值为（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，根据所给方程确定a、b、c的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 题型二 用公式法解方程 1. 解方程：． A． ， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式． 对于一元二次方程，可以先计算判别式的值，再根据求根公式求出方程的解． 【详解】解：， ， ． ． 方程的解为． 2．用公式法解一元二次方程： 【答案】 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握用公式法解一元二次方程的方法和步骤． 先求出，得出该方程有实数根，再根据求根公式，即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 3.已知关于的一元二次方程． (1)当时，判断方程根的情况； (2)当时，求方程的根． 【答案】(1)方程没有实数根 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程， （1）利用判别式的符号，来判断方程根的情况； （2）利用公式法解一元二次方程； 熟练掌握判别式与根的个数的关系以及公式法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为：， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根； （2）当时，方程为：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 4．已知一元二次方程．有如下四组条件：①，；②，；③，；④，． (1)能使一元二次方程有两个不相等的实数根的是_______；（填序号） (2)选择（1）中的一组条件解方程． 【答案】(1)②③ (2)选②，，；选③，， 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由得： ①当，， ，方程有两个相等的实数根； ②，， ，方程有两个不相等的实数根； ③，， ，方程有两个不相等的实数根； ④，， ，方程无实数根； 综上可知能使一元二次方程有两个不相等的实数根的是②③， 故答案为：②③； （2）解：选②，，则这个方程为， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，； ③，，则这个方程为， ， 方程有两个不相等的实数根； ， ，．（二者选其一即可） 题型三 根据判别式的符号判定根的情况 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数 B．有两个相等的实数根 C．根有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系式解题的关键． 先把一元二次方程化为一般式，然后利用根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选． 2.若实数满足，则关于的方程根的情况是（    ） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．求出，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 关于的方程根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：B． 3.关于x的一元二次方程 中a，b，c满足，则方程根的情况说法最恰当的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，把数值代入，且结合，进行化简计算即可作答． 【详解】解：∵a，b，c满足， ， ， 即， ∴方程有实数根． 故选C． 题型四 公式法与判别式的综合应用 1．关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据，解不等式即可求解； （）求出，解方程求出或，代入方程求出的值即可； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解和定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴； （2）解：∵，是符合条件的最大整数， ∴， ∴方程为， 解得，， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， 当时，， 解得； 当时，， 解得， ∵， ∴， ∴舍去； ∴． 2.已知关于的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的两个根分别为，，其中，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式，求出此方程的判别式得：，即可得到答案， （2）利用公式法求得方程的两个根，利用“方程的两个根分别为，，其中，若”，得到关于的一元一次方程，解之即可 本题考查了根与系数的关系和根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握一元二次方程根的判别式，（2）正确找出等量关系，列出一元一次方程． 【详解】（1）证明：根据题意得： ， 此方程有两个不等的实数根， （2） 解：方程的两个根分别为，，其中，若， 由（1）知，， ， ，， ， 解得：， 即的值为． 3.已知关于x的两个一元二次方程： 方程①：；方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)5 【分析】 本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． （1）根据题意证明即可； （2）由方程②有两个相等的实数根，由二次项系数不为0及根的判别式等于0可得到关于的方程则可求得的值； （3）把分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值． 【详解】（1） ∴无论k为何值时，方程总①有实数根 （2）∵方程②有两个相等的实数根， 且， 则， 则， ， ， ； （3）根据a是方程①和②的公共根， ③，④ 得：⑤， 得：， 代数式． 故代数式的值为5． 题型五 有关公式法的几何探究问题 1．已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为 ． 【答案】4或5 【分析】本题考查一元二次方程的解和等腰三角形，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先利用公式法求出方程的解为，然后分类讨论：，当或时为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】解：， ∴= 即， ， 、中有一个数为．          当时， 解得：．          、、能构成等腰三角形， 符合题意；                                当时，、、能构成等腰三角形， 符合题意．               综上所述：的值为或． 2. 欧几里得的《原本》中记载着方程的图解法：画，，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根为 ．（选填“”、“”、“”、“”）的长． 【答案】 【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长，即可发现结论． 【详解】解：用求根公式求得： ∵ ∴ ∴ 的长就是方程的正根． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 3. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． (1)若，求的度数． (2)设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①是，理由见解析；② 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，计算即可； （2）①根据勾股定理求出，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ； （2）解：①在中，由勾股定理得， ， 解方程得， 线段的长是方程的一个根； ②， ， 根据题意可得，， 在中，由勾股定理得，则， ， ． 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键． 1．关于x的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得： ， ∴， ∴或， ∴，． 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 整理得 配方得： ， ∴， ∴， ∴，． A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙和丁 D．甲和丁 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开方法，公式法，以及配方法，根据解一元二次方程的方法逐一判断即可． 【详解】解：甲需要考虑的情况，故甲错误； 乙是因式分解法解方程，过程完全正确，故乙完全正确； 丙是公式法解方程，过程中的错误为：，应该是3，故丙错误； 丁是配方法解方程，过程完全正确，故丁完全正确． 故选：C． 2．在等腰三角形中，，且这个等腰三角形的面积是30，则底边的长为 ． 【答案】或 【分析】设底边的长为，底边上的高为y，则有，解之即可求解． 【详解】解：设底边的长为，底边上的高为y，则 ，解得：，，（负值不符合题意，已舍去） ∴底边BC的长或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 3．已知，当x取 时． 【答案】1或 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】解：当时，即 ， 解得或． 故答案为：1或 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 4．等腰三角形的一边长为4，另两边的长是关于的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是 ． 【答案】16 【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可． 【详解】解：分为两种情况： 情况一：当腰为4时，则另一腰4是方程的一个解， 代入4到方程中，求得， 此时方程的两个解为4和8， 对应的三边长为4、4、8，不能构成三角形，故舍去； 情况二：当底边为4时，此时方程有两个相等的实数根， ∴△=12²-4k=0，解得k=36， 此时方程的两个解为6和6， 对应的三边长为6、6、4，能构成三角形，此时三角形周长为16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及解法，等腰三角形的性质等知识点，注意要分类讨论，不要漏解． 5．已知a，b为正整数，且满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】首先根据关系式得到故令设 (k是正整数)， 可求得k的取值范围，再就k的取值范围讨论a有意义得取值，进而求得的值． 本题考查了公式法解方程，根的判别式， 掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴ 设(k是正整数) ， 则 那么： 即： a是正整数，则方程有正整数解， ∴ ∴而k是正整数， 又∵且a为正整数 为整数， 当时， 当时， 当时， 当时， 此时 即或 若则 若则 ， 故答案为：． 6．已知、的坐标为，，点在直线上，若为等腰三角形，则这样的点共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质．分三种情况①，②，③，再根据勾股定理可求出． 【详解】解：设， 因为、的坐标为，， ①当时，则， 故有一个点； ②当时，则， 解得， 故有两个点； ③当时，则 解得：， 故有两个点； 故答案为：5． 7．在中，，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查勾股定理、一元二次方程的解法；如图，过点作于点，由题意可设，则有，然后根据勾股定理可得，进而求出或，最后分类求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 设， 则， 在中，由可得， 解得 当，即时，； 当，即时，； 的长度为或， 故答案为：1或7． 8．如图，中，，为边上的点，，，，则长是 ． 【答案】/ 【分析】如图，过点A作于F，过点B作于E．证明是等腰直角三角形，求出，设，则．，推出，在，利用勾股定理，构建方程求出x，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作于F，过点B作于E． ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， 设，则，， ∴，， 在中，， ∴， 整理得，， 解得或（负根已经舍弃）， ∴或， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理以及解一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 9．如图，与均是等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，，，则 ． 【答案】 【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得EC=BD ，∠ABD=∠ACE=45°，在Rt△ECD中，由勾股定理可求CD的长． 【详解】解：∵AB＝AC＝2，AD＝AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴BC=AB=，DE=AE=，∠BAD=∠CAE，∠ABC=45°=∠ACB， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴EC＝BD，∠ABD＝∠ACE＝45°， ∴∠ECB＝∠ECD＝90°， ∴DE2＝EC2+CD2， ∴18=（+CD）2+CD2， 解得：CD=，CD=（不合题意舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明△BAD≌△CAE是解题的关键． 10．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若是“勾系一元二次方程”的一个根，且，则四边形的周长是 ． 【答案】12 【分析】根据题意可以求得a+b的值，再根据勾股定理可以求得c的值，从而可以求得四边形ACDE的周长． 【详解】解：∵x=-1是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴， ∴， ∵S△ABC=2，a2+b2=c2， ∴=2，得ab=4， ∴（a+b）2=a2+2ab+b2=c2+2ab=c2+8， （a+b）2=， ∴c2+8=2c2， 解得，c=或（舍去）， ∵四边形ACDE的周长是：a+b+a+b+c=2c+c=c=12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查一元二次方程的解、三角形的面积、勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 11．如图，将图（1）表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图（2）表示的矩形若，则y等于 ． 【答案】 【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（），右图是一个长方形，长宽分别为（）、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，解方程即可求出得到结论． 【详解】依题意，题图（1）中正方形和题图（2）中矩形的面积相等， 所以列方程可得， 已知，代入可得， 化简可得， ∵，，， ， ∴用求根公式解得， 因为， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题． 12．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根都是正整数，求m的最小值. 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）先计算出根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （）先由求根公式得到，，再利用且得，然后根据和都是正整数可确定的值； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程的解法，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵， ∴，， ∵方程的两个根都是正数， ∴且， 解得， ∵方程的两个根都是正整数， ∴和都是正整数， ∴的最小值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$