2.2.2 解一元二次方程（5大题型提分练，同步练习）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

2.2.2解一元二次方程 题型一 配方的过程及正确的结果 1．解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴ 故选：A． 2．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程．把方程变形为，即可得到答案． 【详解】解： ∴， ∴ 故选：B 3．一元二次方程用配方法解可变形为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解本题的关键．根据一元二次方程完全平方公式配方，即可得出选项． 【详解】∵ ， ， ， 故选：B． 4．用配方法解方程，应把方程的两边同时（    ） A．加上 B．加上 C．减去 D．减去 【答案】C 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， 所以用配方法解方程，应把方程的两边同时加上，即减去， 故选：C． 题型二 由配方的过程求参数的值 1．将方程配方转化为的形式，则 ， ． 【答案】 3 5 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：3；5． 2．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值，最后代入计算即可． 【详解】解： 移项得， ∴ 即 故答案为：． 3．已知方程可以配方成，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤．利用配方法判断出可得结论． 【详解】解：， ， ， 又可以配方成， ， ． 故选：B． 题型三 直接开平方法解方程的过程出错问题 1．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】（1）先将方程两边同时加上9，进而直接开平方即可求解； （2）先将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上2，进而直接开平方即可求解； （3）把常数项移到右边，并将两边同除以4，得，然后配方，即可求解． 【详解】（1）（1）∵， ∴，即， 则． ∴， 即，； （2）∵， ∴， 即． 两边开平方，得， ∴，； （3）把常数项移到右边，并将两边同除以4，得， 配方，得， 即． 开平方得． 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 2.习题课上，数学老师展示了解方程时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第五步 ∴，第六步 乙：原方程可变形为： 第一步 第二步 则或第三步 ∴， 第四步 (1)分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程的计算的步骤一步步检查即可； （2）根据配方法和因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：甲：原方程可变形为：第一步，故甲从第一步开始出错； 乙：原方程可变形为：第一步， 第二步，故乙从第二步开始出错； ∴甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错． （2）解：（方法不唯一） 配方法： 方程变形为：， ， 配方得， 则或， ，； 因式分解法： 方程变形为：， ， 则或， ，． 3．下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 移项，得．…………………………………………第一步 配方，得，即………………第二步 由此，可得．…………………………………………第三步 ……………………………………第四步 请完成下列任务： (1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”） (2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的基本性质，完全平方公式 (2)二，解题过程见解析 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 对于（1），根据等式的基本性质和完全平方公式解答即可； 对于（2），先移项，再配方，然后求出解即可． 【详解】（1）解：上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是等式的基本性质，其中“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式． 故答案为：等式的基本性质，完全平方公式； （2）解：小华同学利用配方法解题的过程中，从第二步开始出现错误，正确的解法如下： ， 移项，得， 配方，得， 即， 可得， ∴． 故答案为：二． 题型四 配方法与代数式大小比较问题 1．已知．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键．根据配方法把的结果写出平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】， ， ， 即， 故选：A 2．对于两个不相等的实数，，规定表示，中较大的数，例如．则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法，并学会分类讨论思想是解题的关键． 直接分类讨论得出的取值范围，进而解一元二次方程得出答案． 【详解】解：当时， 即当时， 则， 整理，得：， 即：， 解得：，（不合题意，故舍去）； 当时， 即当时， 则， 整理，得：， 即：， 解得：，（不合题意，故舍去）； 故答案为：，． 3．已知． (1)若，请求出x的值； (2)请比较A与B的大小，并说明理由． 【答案】(1)x的值为； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了直接开平方法和配方法的应用． （1）根据列方程求解即可； （2）求出，然后利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：x的值为； （2）解：，理由如下：∵ ， 又对于任意的x部有， ∴． ∴． 题型五 配方法与最值问题 1. “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法的应用，仿照题意求出，再根据即可得到，据此可得答案． 【详解】解： ∵ ∴ ∴， ∴对于代数式的最值，最大值为13， 故选：A． 2. 已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】12 【分析】本题考查了配方法求最小值的运用，掌握配方法是解题的关键． 根据已知条件得到，，代入代数式，运用配方法得到，当时取得最小时，由此计算即可． 【详解】解：实数，满足， ∴，， ∴代数式变形得到, ， ∵， ∴， 当时取得最小时， ∴， ∴最小值为 故答案为：12 ． 3. 【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，；当时， 【分析】（）利用配方法解答即可求解； （）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出，进而求出，最后根据的值判断即可求解； 本题考查了配方法，整式的运算，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：由题意得，，， ∴， 当时，，即， ∴当时，； 当时，，即， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． 1. 已知方程x2－6x＋q＝0配方后是（x－p）2＝7，那么方程x2＋6x＋q＝0配方后是（    ） A．（x＋p）2＝7 B．（x＋p）2＝5 C．（x－p）2＝7 D．（x－p）2＝5 【答案】A 【分析】根据完全平方公式展开，求出p的值，再代入求出即可． 【详解】解：∵方程x26x+q=0配方后是（xp）2=7， ∴x22px+p2=7， ∴6=2p， 解得：p=3， 即（x3）2=7， ∴x26x+97=0， ∴q=2， 即（x+3）2=7， 即（x+p）2=7， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 2．已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用． 先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 3．已知四个整式：，，，，有以下结论： ①若，为整数，则的值一定是偶数， ②若关于，的整式不含一次项，则存在最小值， ③对任意实数，，多项式的值不可能为-6． 以上结论中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关的运算顺序和法则，奇偶数特征，无关型问题，完平方公式变形求值求极值，是解题的关键． 根据整式的混合运算化简，根据结果判断①；根据化简结果不含一次项得，得判断②；根据化简结果判断③． 【详解】解：① ， 当，为整数时，是奇数． 故①不正确； ② ， 当M中不含一次项时，，， ∴ ∴， ∴M有最小值0． 故②正确； ③ ， 当时，的值为 故③不正确； 综上，只有②是正确的，即有1个正确． 故选：B． 4．已知的两边分别为和，第三边是方程的一个根，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握这些形状和方法，能熟练求直角三角形和等腰三角形面积是解题的关键．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理确定第三边的长，再分类判断三角形的形状，进而求其面积即可． 【详解】解：解方程， 得：，， 的两边分别为和， 第三边的边长， 即第三边的边长， 第三边的边长为或． ①当时， 又， 此三角形是直角三角形， 这个三角形的面积是：； ②当时， 此三角形是等腰三角形， 如图，设，， 过点作于点， ， ， 等腰三角形的面积为； 故答案为：或． 5．如图1，在矩形中，，点E和F同时从点A出发，点E以的速度的方向运动，点F以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动，设运动时间为，的面积为，y关于x的函数图象如图2，图象经过点，，则n 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．分析图形可知，图2中的图象分为三段：当点F在上时；当点E在上，且点F在上时；当点E在上，且点F在上时．图2中的最高点是当点E与点B重合时，y的值为4；当点E和点F相遇时，即到达点C时，用时6秒．由此可求出，由此可求出当点E运动3秒后y的值，即可求出m的值，进而可求出n的取值． 【详解】解：由图2可知，当点E运动到点B时，，即， 当点E和点F相遇时，即到达点C时，运动了6秒，即， 解得：， 当时，如图，， ； 当时，点F在上，点E在上，如图， 此时，， ∴； 解得，或（舍）． 故答案为：． 6．阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解： ， ∴代数式的最小值是． 7．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等 例如：分解因式： (1)请用上述方法把分解因式； (2)求多项式的最小值； (3)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法的应用是解题的关键：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． （1）按照题干中所给的方法，利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法将多项式变形为，然后利用完全平方式的非负性即可求出多项式的最小值； （3）利用配方法将多项式变形为，然后利用完全平方式的非负性即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为1； （3）解：∵ ， 又∵，， ∴， 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2解一元二次方程 题型一 配方的过程及正确的结果 1．解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程用配方法解可变形为（） A． B． C． D． 4．用配方法解方程，应把方程的两边同时（    ） A．加上 B．加上 C．减去 D．减去 题型二 由配方的过程求参数的值 1．将方程配方转化为的形式，则 ， ． 2．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 ． 3．已知方程可以配方成，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 题型三 利用配方法解方程 1．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 2．习题课上，数学老师展示了解方程时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第五步 ∴，第六步 乙：原方程可变形为： 第一步 第二步 则或第三步 ∴， 第四步 (1)分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程． 3．下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 移项，得．…………………………………………第一步 配方，得，即………………第二步 由此，可得．…………………………………………第三步 ……………………………………第四步 请完成下列任务： (1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”） (2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程． 题型四 配方法与代数式大小比较问题 1．已知．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．对于两个不相等的实数，，规定表示，中较大的数，例如．则方程的解为 ． 3．已知． (1)若，请求出x的值； (2)请比较A与B的大小，并说明理由． 题型五 配方法与最值问题 1.“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 2.已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 3. 【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 1．已知方程x2－6x＋q＝0配方后是（x－p）2＝7，那么方程x2＋6x＋q＝0配方后是（    ） A．（x＋p）2＝7 B．（x＋p）2＝5 C．（x－p）2＝7 D．（x－p）2＝5 2．已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知四个整式：，，，，有以下结论： ①若，为整数，则的值一定是偶数， ②若关于，的整式不含一次项，则存在最小值， ③对任意实数，，多项式的值不可能为-6． 以上结论中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知的两边分别为和，第三边是方程的一个根，则的面积为 ． 5．如图1，在矩形中，，点E和F同时从点A出发，点E以的速度的方向运动，点F以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动，设运动时间为，的面积为，y关于x的函数图象如图2，图象经过点，，则n 的值为 ． 6．阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 7．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等 例如：分解因式： (1)请用上述方法把分解因式； (2)求多项式的最小值； (3)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$