安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试卷

2024-2025学年安徽省马鞍山二中高一（下）开学数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知角的终边经过点，则(    ) A. B. C. D. 3.设，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知扇形AOB的圆心角为，面积为，则扇形AOB的弧长是(    ) A. B. C. D. 5.函数的定义域为，函数，则的定义域为(    ) A. B. C. D. 6.已知x，y均为正实数，且，则的最小值为(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7.已知，且，那么(    ) A. 10 B. C. D. 8.已知函数，若当时，恒成立，则a的最小值为(    ) A. B. C. 0 D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列运算正确的有(    ) A. B. C. D. 10.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则(    ) A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于中心对称 11.若定义在R上的函数满足为奇函数，且对任意，都有，则下列说法正确的是(    ) A. 的图象关于点对称 B. 在R上是增函数 C. D. 关于x的不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知幂函数的图象过点，则______. 13.若命题“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______. 14.若，则m的取值范围是______. 四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 设全集，集合，， 求，； 若，求实数a的取值范围. 16.本小题12分 已知函数，a， 若关于x的不等式的解集为或，求实数a，b的值； 解关于x的不等式 17.本小题12分 中华茶文化博大精深，实践表明，室温下用的水泡茶，等到茶水温度降至时，有最佳饮用口感，茶水温度适放置时间分钟的活数关系式为，由测试可知，经过1分钟后茶水的温度为 求常数k的值； 在室温下，刚泡的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？参考数据：， 18.本小题13分 已知函数部分图象如图所示. 求的单调递增区间； 已知，求的值. 19.本小题13分 已知函数， 当时，求函数的值域； 若函数的最小值为，求实数a的值. 20.本小题15分 如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形四个顶点都落在扇形边界上；再建造一个观景台，形状为，记 当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积. 若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：因为，， 所以， 则 故选： 先求出集合B，然后结合集合的交集及补集运算即可求解． 本题主要考查了集合的交集及补集，属于基础题． 2.【答案】D  【解析】解：因为角的终边经过点， 则 故选： 由已知结合三角函数的定义即可求解． 本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题． 3.【答案】A  【解析】解：由于，整理得，故， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确． 故选： 直接利用绝对值不等式的解法以及充分性和必要性判断结果． 本题考查的知识点：绝对值不等式的解法，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 4.【答案】C  【解析】解：因为扇形AOB的圆心角为，面积S为， 设扇形的弧长为 l，半径为 r， 则，解得， 所以扇形AOB的弧长 故选： 利用扇形的面积公式可求扇形的半径，进而利用扇形的弧长公式即可求解． 本题考查扇形面积公式和弧长公式的应用，考查计算能力，是基础题． 5.【答案】A  【解析】解：函数的定义域为， 则函数的定义域为， 函数， 则，解得， 故函数的定义域为 故选： 根据已知条件，结合抽象函数定义域的解法，即可求解． 本题主要考查函数的定义域及其解法，属于基础题． 6.【答案】C  【解析】解：x，y均为正实数，且， 所以，当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为 故选： 由已知结合基本不等式即可求解． 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查函数奇偶性的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题． 由已知可得，从而计算可得结论． 【解答】 解：因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以 故选 8.【答案】B  【解析】解：， 因为，所以是函数的一个零点， ， 因为当时，恒成立，且，所以是函数在上的一个极小值点， 则，即，所以， 则， 因为当时，恒成立，恒成立， 所以在时恒成立，即在时恒成立， 令，，在上单调递减， 所以，所以，则a的最小值为 故选： 由题意可得是函数在上的一个极小值点，则，从而可得，代入函数解析式，因式分解，由恒成立分析可得在时恒成立，进而可得a的取值范围，可得a的最小值． 本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题． 9.【答案】CD  【解析】解：根据对数运算性质可得，，A错误； ，B错误； ，C正确； ，D正确． 故选： 由已知结合对数运算性质检验各选项即可判断． 本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题． 10.【答案】BD  【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度， 得的图象， 所以函数，选项A错误，选项B正确； 因为， 所以的图象不关于直线对称，选项C错误； 由，所以的图象关于中心对称，选项D正确． 故选： 根据三角函数的图象平移变换得出的解析式，再判断选项中命题是否正确即可． 本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题． 11.【答案】BCD  【解析】解：若定义在R上的函数满足为奇函数， 则的图象关于对称，即，A错误，C正确； 因为对任意，都有， 所以在上单调递增，根据函数的对称性可知，在R上单调递增，B正确； 由可得，D正确． 故选： 由已知结合函数的对称性及单调性检验各选项即可求解． 本题主要考查了函数的对称性及单调性的综合应用，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：幂函数的图象过点， ， 解得， 则 故答案为： 利用幂函数的性质求解． 本题考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13.【答案】  【解析】解：当时，，当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以 故答案为： 由已知结合基本不等式先求出的最小值，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解． 本题主要考查基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：若， 则，得， 则m的取值范围是 故答案为： 根据对数函数单调性可解． 本题考查对数函数单调性，属于基础题． 15.【答案】解：全集，集合，， ，或， 则； 若，，， 则，解得， 故实数a的取值范围为  【解析】先求出集合M，然后结合集合的基本运算即可分别求解； 结合集合的包含关系即可求解． 本题主要考查了集合的基本运算及集合包含关系的应用，属于基础题． 16.【答案】解：因为关于x的不等式的解集为或， 所以和1是方程的两个根， 所以， 解得； 不等式可化为：， 整理得， 即， 当时，， 则不等式的解集为， 当时，， 则不等式的解集为， 当时，， 则不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为  【解析】由题意可知，和1是方程的两个根，再利用韦达定理求解即可； 分，和三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法求解． 本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题． 17.【答案】解：因为，所以， 根据题意可知：当，， 代入到， 可得， 解得 结合知，， 结合题意，此时， 即， 即， 因为根据已知，， 所以分钟．  【解析】根据已知求出解析式即可． 结合第一问所求判断求解即可． 本题考查函数与实际生活相结合，属于简单题． 18.【答案】解：由函数部分图象可得， 可得函数的最小正周期， 所以， 可得， 又，可得，， 又，可得时，， 所以， 令，，解得，， 可得的单调递增区间为，； 由于，可得， 可得， 所以  【解析】由部分图象可得A，可得函数的最小正周期T，利用周期公式可求，又，结合，可得的值，可求函数解析式，利用正弦函数的单调性即可求解； 由题意可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用两角差的正弦公式即可求解． 本题考查了由的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性以及两角差的正弦公式的应用，考查了函数思想，属于基础题． 19.【答案】解：，， 令，，则化为，， 当时，，， 对称轴为，所以在上递减，在递增， 则，， 所以函数的值域为； 由，令，， 化为，，对称轴为， 若，则在递增，，得，符合题意； 若，则在上递减，在递增，，得舍去，符合题意； 若，则在上递减，，得，与矛盾，舍去； 综上，或  【解析】利用换元法将函数转化为二次函数进行求值域； 对换元后的二次函数的对称轴位置进行讨论，根据最值表达式求出参数a的值． 本题主要考查换元法求函数的值域和根据函数最值求参数的值，属于中档题． 20.【答案】解：由题意可得， 所以， 又因为， 所以为等腰直角三角形， 所以， 所以， 所以 ， 因为， 所以， 所以当，即时， 取最大值，为； 所以当时，荷花池的面积最大，最大面积平方千米； 由可知，， 所以， 设建造总费用为y万元， 则， 令， 因为，所以， 所以， 则， 所以， 易知函数在上单调递减， 所以， 所以建造总费用的范围为万元．  【解析】由题意可得，从而可得，，再根据，利用三角恒等变换及三角函数的性质求解即可； 由题意可求得建造总费用，利用换元法及二次函数的性质求解即可． 本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了三角恒等变换及二次函数的性质，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$