第2讲 因数和倍数的认识（六大考点）-2024-2025学年五年级下册数学考点剖析及分层精练（人教版）

考点剖析及分层精练 第2讲 因数和倍数的认识 知识点一因数和倍数的认识 1、因数和倍数的意义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的。 注意:为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括 0）。 知识点二找一个数的因数的方法 1、找一个数的因数的方法。 （1）找一个数的因数的方法:（1）通过列除法算式看这个数除以哪些整数的结果是整数，则除数和商都是它的因数。（2）通过列乘法算式看哪两个整数的积是这个数，则两个乘数都是它的因数。 （2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 知识点三找一个数的倍数的方法 1、找一个数的倍数的方法 （1）找一个数的倍数的方法. 通过列除法算式看哪些整数除以这个数的商是整数而没有余数，那么这些数都是它的倍数。 通过列乘法算式看这个数乘1，2，3，…的积是哪些数，那么这些数都是它的倍数。 （2）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 考点01 因数和倍数的认识 1．五（1）班学生在体育节进行队列表演，无论是3人一排、4人一排，还是6人一排，都正好站完。五（1）班学生的总人数在30～40之间，五（1）班有多少人？ 2．下面各数中，哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数？ 2    5    1    4    10    20    25 3．下面各组数中，哪个数是哪个数的因数？哪个数是哪个数的倍数？ 12和6    4和16    45和15    17和51    13和1 考点02 找一个数的因数及因数的特征 4．一个数的最大因数和最小倍数的和是28，求这个数并写出这个数的所有因数。 5．食品店里做了56个月饼，店里有A包装盒每盒装4个，B包装盒每盒装6个，C包装盒每盒装8个，请问选用哪种包装盒正好能把56个月饼装完？请用因数倍数的知识说明。 6．儿童节快到了，老师准备了32支棒棒糖作为奖品。现在要将这些棒棒糖装在漂亮的包装袋里（包装袋的数量大于1），每袋棒棒糖数量相同，老师有多少种方法？每种方法分几个袋子装？每个包装袋里有多少支棒棒糖？ 考点03 根据因数的特征解决问题 7．把36个苹果分成若干份，要使每份的苹果个数相同（最少分2份，每份最少2个），一共有多少种不同的分法？ 8．把245个零件放在若干个盒子里。要使每盒的零件数相等，可以有几种装法？每种装法需要多少个盒子？每盒放多少个零件？ 9．“每天一苹果，不去卫生所。”苹果素来享有“水果之王”的美誉，它的营养价值和医疗价值都很高，被越来越多的人称为“大夫第一药”。妈妈买来一篮苹果，现在要把它们全部取出来，至少分成2堆，使每堆中苹果的个数相同（至少2个），有几种分法？ 考点04 找一个数的倍数及倍数的特征 10．十一假期，淘气和爸爸妈妈去青岛旅游，拍了一些照片，数量比40张多，比50张少。放在电脑上整理时，如果每4张分为一组，那么还多1张；如果每5张分为一组，那么还少1张。他们拍了多少张照片？ 11．写出1～100的自然数中所有8的倍数。 12．拗九节在农历正月廿九日，是福建省福州十邑地区本土特有的民间传统节日，这天家家户户用糯米、红糖、桂圆等原料煮拗九粥，用来祭祖或馈赠亲友。此外，每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”），或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫过“九”。小明的爸爸今年已经50岁了，你知道他过了几次“九”吗？ 考点05 根据倍数的特征解决问题 13．淘气家一共有5口人，妈妈买了一些水果，淘气把其中的苹果平均分给每个人刚好分完没有剩余。爷爷和奶奶更爱吃梨，于是把苹果还给了淘气，淘气把全部的苹果又重新分配了一下，还是刚好分完没有剩余。妈妈买的苹果至少有多少个？ 14．剧院有25排座位，第一排有22个座位，后面每一排总比前一排多2个座位。算一算，这个剧院一共有多少个座位？ 15．金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 考点06 倍数和因数的综合应用 16．小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 17．已知A，B，C都是7的倍数，A－B＝21，B－C＝7，C是7的因数，求A，B，C三个数的和。 18．今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 基础试炼 一、填空题 1．一个数的倍数最小是45，这个数是( )，这个数的倍数有（写三个）( )。 2．一个数是18的因数，同时也是18的倍数，这个数是( )。 3．7的因数有( )，7的倍数有( )（写3个），7既是7的( )，又是7的( )。 4．把一些袋装糖果平均分装在14个盒子里，结果正好装完。已知这些糖果在50～60袋之间，那么每盒装了( )袋糖果。 5．五年级一班的学生人数在20~30之间。把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，每名同学分到( )本练习本，这个班有( )名学生。 6．同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是42cm2的长方形，又可以围出面积是36cm2的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长( )cm。 7．一个数的所有因数中最大的是45，这个数是( )；一个数的最小倍数是7，这个数是( )。 8．24的因数有( )个，其中最大的是( )，最小的是( )。13的倍数有( )个，其中最小的一个是( )。 9．某甜品店制作了75个面包，选择下面第( )种或第( )种包装盒都能正好装完。（填序号） 10．一个数是52的因数，同时也是4的倍数，这个数可能是( )。 二、选择题 11．老师准备了32个礼盒，平均发给班里参与表演的同学。表演的人数不可能是（    ）人。 A．2 B．4 C．6 D．8 12．一个数既是35的因数，又是35的倍数，那么这个数是（    ）。 A．7 B．5 C．35 D．70 13．古希腊人认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1，2，3，6，除6本身之外，还有1，2，3三个因数，6＝1＋2＋3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数中，是“完全数”的是（    ）。 A．40 B．36 C．28 D．12 14．下面是4种鸡蛋包装盒的规格，选规格是（    ）的包装盒不能正好把60个鸡蛋装完。 A．6个/盒 B．9个/盒 C．10个/盒 D．12个/盒 15．一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数可以是（    ）。 A．4 B．8 C．16 D．48 16．舞蹈教室来了19名同学，要求每9名同学排成一队，至少再来（    ）名同学才能排好队形。 A．7 B．8 C．9 D．10 17．图书馆许老师要为每位同学制作一张借书证，借书证的规格如图所示。下面各种规格的纸中，选用（    ）最合适。（在制作借书证时，纸张没有剩余） A．长40厘米，宽35厘米 B．长36厘米，宽24厘米 C．长30厘米，宽18厘米 D．长20厘米，宽12厘米 18．张老师将电脑的开机密码设为三位数字，从左往右数第一位数是6的最小倍数；第二位数是1的因数；第三位数是7的最大因数。张老师的电脑开机密码是（    ）。 A．317 B．617 C．611 19．如果a的最大因数等于b的最小倍数，那么a和b比较（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b 20．1—100中能被2或5整除的数有（    ）个。 A．50 B．20 C．60 D．70 高阶突破 三、解答题 21．圣诞节前一天，某公司准备了40多个苹果发给职工们，这些苹果每8个装一袋，刚好装完，这些苹果有多少个？ 22．妈妈买来16个凤梨，每2个装一盒，能正好装完吗？每5个装一盒，能正好装完吗？为什么？ 23． 还有其他的包装方式吗？ 24．小明房间的地面是一个边长4米的正方形，现在小明想把房间铺满泡沫软垫，选用下面哪种规格的软垫能正好铺满？为什么？ 25．在方格纸上画长方形，使它的面积是18平方厘米，边长必须是整厘米数。你能画出多少种？（设每个小方格的边长是1厘米） 26．有下面规格的盒子，选哪种盒子正好能把60个苹果装完？为什么？ 27．李叔叔为幼儿园中（1）班小朋友捐赠72本漫画书，如果每人送5本，能正好送完吗？每人送4本呢？每人送3本呢？请你说说原因。 28．选用哪种包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 29．某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表： 人数 50人以内 51~99人 100人及以上 票价 30元/人 28元/人 25元/人 （例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。） 导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点剖析及分层精练 第2讲 因数和倍数的认识 知识点一因数和倍数的认识 1、因数和倍数的意义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的。 注意:为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括 0）。 知识点二找一个数的因数的方法 1、找一个数的因数的方法。 （1）找一个数的因数的方法:（1）通过列除法算式看这个数除以哪些整数的结果是整数，则除数和商都是它的因数。（2）通过列乘法算式看哪两个整数的积是这个数，则两个乘数都是它的因数。 （2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 知识点三找一个数的倍数的方法 1、找一个数的倍数的方法 （1）找一个数的倍数的方法. 通过列除法算式看哪些整数除以这个数的商是整数而没有余数，那么这些数都是它的倍数。 通过列乘法算式看这个数乘1，2，3，…的积是哪些数，那么这些数都是它的倍数。 （2）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 考点01 因数和倍数的认识 1．五（1）班学生在体育节进行队列表演，无论是3人一排、4人一排，还是6人一排，都正好站完。五（1）班学生的总人数在30～40之间，五（1）班有多少人？ 【答案】36人 【分析】根据题意，五（1）班的人数同时是3、4、6的倍数，用列举法找出3、4、6的倍数，并且保证人数在30～40之间，据此解答。 【解答】3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39… 4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40… 6的倍数：6、12、18、24、30、36、42… 所以36同时是3、4、6的倍数，且在30～40之间。 答：五（1）班有36人。 2．下面各数中，哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数？ 2    5    1    4    10    20    25 【答案】2是2、4、10、20的因数，5是5、10、20、25的因数，1是1、2、5、4、10、20、25的因数，4是4、20的因数，10是10、20的因数，20是20的因数、25是25的因数；2是1、2的倍数，5是1、5的倍数，4是1、2、4的倍数，10是2、5、1、10的倍数，20是2、5、1、4、10、20的倍数，25是5、1、25的倍数。 【分析】因数是指整数a除以整数b（b不为0）的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数。一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。据此解答即可。 【解答】2÷2＝1  4÷2＝2  10÷2＝5  20÷2＝10 ，所以2是2、4、10、20的因数； 5÷5＝1  10÷5＝2  20÷5＝4  25÷5＝5，所以5是5、10、20、25的因数； 1÷1＝1   2÷1＝2   5÷1＝5  4÷1＝4  10÷1＝10  20÷1＝20  25÷1＝25，所以1是1、2、5、4、10、20、25的因数； 4÷4＝1  20÷4＝5，所以4是4、20的因数； 10÷10＝1  20÷10＝2，所以10是10、20的因数； 20÷20＝1，所以20是20的因数； 25÷25＝1，所以25是25的因数； 2是1、2的倍数，5是1、5的倍数，4是1、2、4的倍数，10是2、5、1、10的倍数，20是2、5、1、4、10、20的倍数，25是5、1、25的倍数。 3．下面各组数中，哪个数是哪个数的因数？哪个数是哪个数的倍数？ 12和6    4和16    45和15    17和51    13和1 【答案】6是12的因数，12是6的倍数；4是16的因数，16是4的倍数；15是45的因数，45是15的倍数；17是51的因数，51是17的倍数；1是13的因数，13是1的倍数。 【分析】整数a除以整数b（）的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数，a是b的倍数，可先用两个相关数据列出除法算式，再判断。 【解答】12÷6＝2 6是12的因数，12是6的倍数； 16÷4＝4 4是16的因数，16是4的倍数； 45÷15＝3 15是45的因数，45是15的倍数； 51÷17＝3 17是51的因数，51是17的倍数； 13÷1＝13 1是13的因数，13是1的倍数。 考点02 找一个数的因数及因数的特征 4．一个数的最大因数和最小倍数的和是28，求这个数并写出这个数的所有因数。 【答案】14；1，2，7，14 【分析】一个数最大因数是它本数，最小倍数是它本身；所以一个数的最大因数和最小倍数和是28，用28÷2，求出这个数，再根据求一个数因数的方法，求出这个数的因数，据此解答。 【解答】28÷2＝14 14的因数有：1，2，7，14。 答：这个数是14，这个数的所有因数有1，2，7，14。 5．食品店里做了56个月饼，店里有A包装盒每盒装4个，B包装盒每盒装6个，C包装盒每盒装8个，请问选用哪种包装盒正好能把56个月饼装完？请用因数倍数的知识说明。 【答案】每盒装4个；4是56的因数 【分析】要想正好能把56个月饼装完，包装盒每盒装的个数必须是56的因数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【解答】56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8 56的因数有：1、2、4、7、8、14、28、56。 答：选用每盒装4个的包装盒正好能把56个月饼装完，因为4是56的因数。 6．儿童节快到了，老师准备了32支棒棒糖作为奖品。现在要将这些棒棒糖装在漂亮的包装袋里（包装袋的数量大于1），每袋棒棒糖数量相同，老师有多少种方法？每种方法分几个袋子装？每个包装袋里有多少支棒棒糖？ 【答案】5种；见详解 【分析】根据题意可知，包装袋的个数与每袋装的棒棒糖的个数都是总数32的因数，先列举出32的所有因数，因为包装袋的数量大于1，用32所有因数的个数减去1，即是有多少种方法，进而得出每种方法分几个袋子装，以及每个包装袋里有几支棒棒糖。 【解答】32的因数：1，2，4，8，16，32；共有6个因数； 6－1＝5（种） 答：老师有5种方法。①分2个袋子装，每个包装袋里有16支棒棒糖；②分4个袋子装，每个包装袋里有8支棒棒糖；③分8个袋子装，每个包装袋里有4支棒棒糖；④分16个袋子装，每个包装袋里有2支棒棒糖；⑤分32个袋子装，每个包装袋里有1支棒棒糖。 考点03 根据因数的特征解决问题 7．把36个苹果分成若干份，要使每份的苹果个数相同（最少分2份，每份最少2个），一共有多少种不同的分法？ 【答案】7种 【分析】把36个苹果平均分成若干份，要使每份的苹果个数同样多，那么分成的份数是36的因数；先列举出36的因数，根据题意，至少分2份，每份最少2个，所以要减去分1份和分36份这两种情况，进而得出结论。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【解答】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36 排除其中的1和36，还有7种不同的分法。 答：一共有7种不同的分法。 8．把245个零件放在若干个盒子里。要使每盒的零件数相等，可以有几种装法？每种装法需要多少个盒子？每盒放多少个零件？ 【答案】见详解 【分析】找到245的因数，有几个因数就有几种方法。 1×245＝245 5×49=245 35×7=245 245的因数有1、5、7、35、49、245，有6个，因此有6种装法，再根据除法计算出需要多少个盒子，每盒放多少零件即可。 【解答】根据分析可知245的因数有1、5、7、35、49、245，有6个。 245÷1＝245（个） 245÷5＝49（个） 245÷7＝35（个） 245÷35＝7（个） 245÷49＝5（个） 245÷245＝1（个） 答：可以有6种装法。（1）需要1个盒子，每盒放245个零件；（2）需要5个盒子，每盒放49个零件；（3）需要7个盒子，每盒放35个零件；（4）需要35个盒子，每盒放7个零件；（5）需要49个盒子，每盒放5个零件；（6）需要245个盒子，每盒放1个零件。 9．“每天一苹果，不去卫生所。”苹果素来享有“水果之王”的美誉，它的营养价值和医疗价值都很高，被越来越多的人称为“大夫第一药”。妈妈买来一篮苹果，现在要把它们全部取出来，至少分成2堆，使每堆中苹果的个数相同（至少2个），有几种分法？ 【答案】4种 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。因为至少分成2堆，且每堆至少2个，因此找出除1和50之外50的所有因数即可。 【解答】50＝1×50＝2×25＝5×10 50的因数有1、2、5、10、25、50。 可以分成2堆，每堆25个；分成5堆，每堆10个；分成10堆，每堆5个；分成25堆，每堆2个。 答：共有4种分法。 考点04 找一个数的倍数及倍数的特征 10．十一假期，淘气和爸爸妈妈去青岛旅游，拍了一些照片，数量比40张多，比50张少。放在电脑上整理时，如果每4张分为一组，那么还多1张；如果每5张分为一组，那么还少1张。他们拍了多少张照片？ 【答案】49张 【分析】由题可知，如果每4张分为一组，那么还多1张，即把照片总数去掉1张后照片总数就是4的倍数，因为原照片总数比40张多，比50张少，所以，照片的总数可能是4×11＋1或4×12＋1，再根据每5张分为一组，那么还少1张确定张数即可。 【解答】4×11＋1 ＝44＋1 ＝45（张） 4×12＋1 ＝48＋1 ＝49（张） 45÷5＝9（组） 49÷5＝9（组）……4（张） 所以，这些照片是49张。 答：这些照片是49张。 11．写出1～100的自然数中所有8的倍数。 【答案】8、16、24、32、40、48、56、64、72、80、88、96 【分析】找一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数；据此解答。 【解答】1×8＝8，2×8＝16，3×8＝24，4×8＝32，5×8＝40，6×8＝48，7×8＝56，8×8＝64，9×8＝72，10×8＝80，11×8＝88，12×8＝96，13×8＝104 答：1～100的自然数中所有8的倍数有8、16、24、32、40、48、56、64、72、80、88、96。 12．拗九节在农历正月廿九日，是福建省福州十邑地区本土特有的民间传统节日，这天家家户户用糯米、红糖、桂圆等原料煮拗九粥，用来祭祖或馈赠亲友。此外，每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”），或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫过“九”。小明的爸爸今年已经50岁了，你知道他过了几次“九”吗？ 【答案】9次 【分析】分别找出50以内“明九”和“暗九”的次数，再相加，即可求出答案。 【解答】50以内“明九”有：9、19、29、39、49，共5次 50以内“暗九”有：18、27、36、45，共4次 5＋4＝9（次） 答：他过了9次“九”。 考点05 根据倍数的特征解决问题 13．淘气家一共有5口人，妈妈买了一些水果，淘气把其中的苹果平均分给每个人刚好分完没有剩余。爷爷和奶奶更爱吃梨，于是把苹果还给了淘气，淘气把全部的苹果又重新分配了一下，还是刚好分完没有剩余。妈妈买的苹果至少有多少个？ 【答案】15个 【分析】由题可知，平均分给5个人或平均分给3个人都没有剩余，说明苹果的个数是3和5的倍数，求妈妈买的苹果至少有多少个，就是求3和5共同的倍数，据此解答。 【解答】3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30… 5的倍数：5、10、15、20、25、30… 3和5的倍数：15、30… 所以3和5的共同的倍数是15、30… 答：妈妈买的苹果至少有15个。 14．剧院有25排座位，第一排有22个座位，后面每一排总比前一排多2个座位。算一算，这个剧院一共有多少个座位？ 【答案】1150个 【分析】根据题意，第一排有22个座位，后面每一排总比前一排多2个座位，那么第二排就是24个，第三排26个，根据此规律，第25排比第一排多了24个2，所以第25排座位数就是70个，然后再把第一排和第25排相加也就是92个，第二排和第24排座位数之和也是92个，这样两两相加一共有25÷2＝12（组）……1（排），余下的那一排正好是中间的第13排，最后将12组之和加上第13排座位数就是总座位数。 【解答】第一排     22 第二排     22＋2 第三排     22＋2×2 第四排     22＋2×3 …… 由此规律可得第25排座位数量： 22＋2×24 ＝22＋48 ＝70（个） 第一排跟第25排数量之和为：22＋70＝92（个）， 第二排跟第24排数量之和为：24＋68＝92（个）， 第三排跟第23排数量之和为：24＋68＝92（个）， 由此推断25÷2＝12（组）……1（排），余数1排也就是第13排， 第13排座位数量： 22＋2×12 ＝22＋24 ＝46（个） 92×12＋46 ＝1104＋46 ＝1150（个） 答：这个剧院一共有1150个座位 【点评】本题考查倍数，后面每一排总比前一排多2个座位，多的座位数都是2的倍数，还考查如何寻找数字之间的规律，以及如何利用规律就行简算，比如此题，除了要知道排与排之间的规律，还要观察出前排和后排数量之和的规律，所以我们在做题时，一定要善于观察并且运用规律。 15．金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【答案】181本 【分析】先找出100到200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上13，找出得数在100到200之间最大的数即可解答。 【解答】100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 考点06 倍数和因数的综合应用 16．小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 【答案】爸爸：42岁；小强：14岁 【分析】公因数只有1的两个非零自然数为互质数，所以2和7为互质数，即最小公倍数为互质数的乘积，所以小强年龄的最小公倍数就是2和7相乘即14。14的倍数有14，28，42，56，由于爸爸今年的年龄是小强的倍数，也是42的因数，所以爸爸和小强的年龄同时是2，7的倍数也是42的因数，小强的年龄不能比爸爸大，所以42是爸爸的年龄，14是小强的年龄。 【解答】因为2和7的公因数为1，所以2和7互质，所以2和7的最小公倍数是14，14的倍数有14，28，42，42也是42因数，所以爸爸今年42岁，小强今年14岁。 答：爸爸今年42岁，小强今年14岁。 17．已知A，B，C都是7的倍数，A－B＝21，B－C＝7，C是7的因数，求A，B，C三个数的和。 【答案】56 【分析】已知A、B、C都是7的倍数，A－B＝21，B－C＝7，C是7的因数，因为C是7的因数，而7的因数只有1和7，因此C只能是7，那么B＝7＋7＝14，C＝21＋14＝35，三者相加即可。 【解答】因为C是7的因数，而7的因数只有1和7，因此C只能是7， 因为B－C＝7， 所以B＝7＋7＝14， 又因为A－B＝21， 所以A＝21＋14＝35。 A＋B＋C＝35＋14＋7 ＝49＋7 ＝56 答：A，B，C三个数的和是56。 【点评】此题考查了因数的含义，C是7的因数，求出C是多少是解答此题的关键。 18．今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 【答案】9元或63元 【分析】先找出9的倍数，再根据一个数最大的因数是它本身，从9的倍数中判断63的因数。 【解答】由分析得， 9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63…… 9×1＝9 63＝9×7 答：爸爸给乐乐的红包里可能是9元或63元。 【点评】此题考查的是找一个数的因数和倍数的方法，掌握一个数最大的因数是它本身是解题关键。 基础试炼 一、填空题 1．一个数的倍数最小是45，这个数是( )，这个数的倍数有（写三个）( )。 【答案】45 45、90、135 【分析】一个整数的最小倍数是它本身，用1、2、3…与这个整数相乘，所得的积都是这个整数的倍数，据此即可解答。 【解答】一个数的倍数最小是45，这个数是45，这个数的倍数有（写三个）（45、90、135）。（第二个空答案不唯一） 2．一个数是18的因数，同时也是18的倍数，这个数是( )。 【答案】18 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身； 一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 【解答】18的因数：1，2，3，6，9，18； 18的倍数：18，36，54，…； 一个数是18的因数，同时也是18的倍数，这个数是18。 3．7的因数有( )，7的倍数有( )（写3个），7既是7的( )，又是7的( )。 【答案】1、7 7、14、21（答案不唯一） 因数 倍数 【分析】根据因数和倍数的概念，直接填出7的因数，以及3个7的倍数即可。一个数的本身，既是它的因数也是它的倍数。 【解答】7的因数有1、7，7的倍数有7、14、21，7既是7的因数，又是7的倍数。 【点评】本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数的概念是解题的关键。 4．把一些袋装糖果平均分装在14个盒子里，结果正好装完。已知这些糖果在50～60袋之间，那么每盒装了( )袋糖果。 【答案】4 【分析】把这些糖果平均装在14个盒子里，正好装完，则这些糖果的数量刚好是14的倍数，先求出14的倍数，再找出倍数在50～60之间，最后用这些糖果的总数除以14，所得结果即为每盒装了多少袋糖果。 【解答】14的倍数有：14，28，42，56，70…… 其中倍数在50～60之间的是56。 56÷14＝4（袋） 因此每盒装了4袋糖果。 5．五年级一班的学生人数在20~30之间。把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，每名同学分到( )本练习本，这个班有( )名学生。 【答案】3 24 【分析】把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，说明每人分到的本数和人数是练习本数量的因数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此再根据五年级一班的学生人数在20~30之间，确定每人分到的本数和人数。 【解答】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9 3×24＝72（本） 每名同学分到3本练习本，这个班有24名学生。 6．同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是42cm2的长方形，又可以围出面积是36cm2的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长( )cm。 【答案】26 【分析】根据题意可知，两个长方形的周长相同，面积不同；长方形长和宽的数值都是其面积数值的因素，求出42和36的因数对（写成乘法形式）中，找出“长＋宽”相等的组合，一组“长＋宽”就是绳子长度的一半，再乘2，即可解答。 【解答】42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7 36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9 6＋7＝4＋9＝13 13×2＝26（cm） 同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是42cm2的长方形，又可以围出面积是36cm2的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长26cm。 7．一个数的所有因数中最大的是45，这个数是( )；一个数的最小倍数是7，这个数是( )。 【答案】45 7 【分析】根据因数和倍数的概念可知，一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，据此解答。 【解答】一个数的所有因数中最大的是45，则这个数是它本身；一个数的最小倍数是7，则这个数是它本身。 因此一个数的所有因数中最大的是45，这个数是45；一个数的最小倍数是7，这个数是7。 8．24的因数有( )个，其中最大的是( )，最小的是( )。13的倍数有( )个，其中最小的一个是( )。 【答案】8 24 1 无数 13/它本身 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此确定24的因数和13的倍数，再进行填空。可以发现一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，最小因数是1，没有最大的倍数。 【解答】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24 13×1＝13、13×2＝26、13×3＝39… 13的倍数有：13、26、39… 24的因数有8个，其中最大的是24，最小的是1。13的倍数有无数个，其中最小的一个是13。 9．某甜品店制作了75个面包，选择下面第( )种或第( )种包装盒都能正好装完。（填序号） 【答案】② ④ 【分析】第1种包装每盒可以装2个，第2种包装每盒可以装3个，第3种包装每盒可以装4个，第4种包装每盒可以装5个，用75除以每种包装每盒可以装的个数，若可以整除就能正好装完。据此解答即可。 【解答】75÷2＝37（盒）⋯⋯1（个） 75÷3＝25（盒） 75÷4＝18（盒）⋯⋯3（个） 75÷5＝15（盒） 则选择下面第②种或第④种包装盒都能正好装完。 10．一个数是52的因数，同时也是4的倍数，这个数可能是( )。 【答案】4或52 【分析】根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数；据此解答。 【解答】52＝1×52＝2×26＝4×13 52的因数有1、2、4、13、26、52；其中4的倍数是4、52。 一个数是52的因数，同时也是4的倍数，这个数可能是4或52。 二、选择题 11．老师准备了32个礼盒，平均发给班里参与表演的同学。表演的人数不可能是（    ）人。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由题意知：32个礼盒平均分给了参与表演的同学，则32一定能被表演的人数整除，即表演的人数一定是32的因数。将32的因数列举出来，结合选项做出选择即可。 【解答】32的因数有：1、2、4、8、16、32。选项中6不是32的因数。表演的人数不可能是6人。 故答案为：C 12．一个数既是35的因数，又是35的倍数，那么这个数是（    ）。 A．7 B．5 C．35 D．70 【答案】C 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身； 一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 【解答】35的因数：1，5，7，35； 35的倍数：35，70，…； 一个数既是35的因数，又是35的倍数，那么这个数是35。 故答案为：C 13．古希腊人认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1，2，3，6，除6本身之外，还有1，2，3三个因数，6＝1＋2＋3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数中，是“完全数”的是（    ）。 A．40 B．36 C．28 D．12 【答案】C 【分析】根据“完全数”的意义：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。结合因数的意义逐项分析解答。 【解答】A．40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40，除40本身外，还有1、2、4、5、8、10、20七个因数，1＋2＋4＋5＋8＋10＋20＝50，所以40不是“完全数”； B．36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，除36外，其余的因数的和为：1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝58，所以36不是“完全数”； C．28的因数有1、2、4、7、14、28，除28外，其余因数的和为：1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是“完全数”； D．12的因数有1、2、3、4、6、12，除12外，其余的因数和为：1＋2＋3＋4＋6＝16，所以12不是“完全数”。 所以是“完全数”的是28。 故答案为：C 14．下面是4种鸡蛋包装盒的规格，选规格是（    ）的包装盒不能正好把60个鸡蛋装完。 A．6个/盒 B．9个/盒 C．10个/盒 D．12个/盒 【答案】B 【分析】根据求一个数的因数的方法，求出60的因数，每盒装的个数必须是60的因数，据此解答即可。 【解答】60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60； A．6是60的因数，所以6个/盒可以把60个鸡蛋装完。 B．9不是60的因数，所以9个/盒不可以把60个鸡蛋装完。 C．10是60的因数，所以10个/盒可以把60个鸡蛋装完。 D．12是60的因数，所以12个/盒可以把60个鸡蛋装完。 故答案为：B 15．一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数可以是（    ）。 A．4 B．8 C．16 D．48 【答案】B 【分析】8的倍数包括8、16、24…，‌而24的因数包括1、2、3、4、6、8、12、24。‌据此可知既是8的倍数，又是24的因数是8和24。 【解答】一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数可以是8和24。 故答案为：B 16．舞蹈教室来了19名同学，要求每9名同学排成一队，至少再来（    ）名同学才能排好队形。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】每9名排成一队，每队人数一样多，人数应是9的倍数，据此解答。 【解答】19÷9＝2（队）……1（名） 9－1＝8（名） 舞蹈教室来了19名同学，要求每9名同学排成一队，至少再来8名同学才能排好队形。 故答案为：B 17．图书馆许老师要为每位同学制作一张借书证，借书证的规格如图所示。下面各种规格的纸中，选用（    ）最合适。（在制作借书证时，纸张没有剩余） A．长40厘米，宽35厘米 B．长36厘米，宽24厘米 C．长30厘米，宽18厘米 D．长20厘米，宽12厘米 【答案】B 【分析】由题意，要想剪时没有剩余，则纸的长、宽必须是8、6的倍数，据此逐项分析即可得解。 【解答】A．长40厘米，宽35厘米，35不是6的倍数，不合适； B．长36厘米，宽24厘米，36是6的倍数，24是8的倍数，合适； C．长30厘米，宽18厘米，30不是8的倍数、36是6的倍数，不合适； D．长20厘米，宽12厘米，20不是8的倍数，不合适。 故答案为：B 18．张老师将电脑的开机密码设为三位数字，从左往右数第一位数是6的最小倍数；第二位数是1的因数；第三位数是7的最大因数。张老师的电脑开机密码是（    ）。 A．317 B．617 C．611 【答案】B 【分析】根据“一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身”进行解答。 【解答】第一位数是6的最小倍数，即6； 第二位数是1的因数，即1； 第三位数是7的最大因数，即7； 所以，张老师的电脑开机密码是617。 故答案为：B 19．如果a的最大因数等于b的最小倍数，那么a和b比较（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b 【答案】C 【分析】一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数是它本身，据此解答。 【解答】a的最大因数是a；b的最小倍数是b； a的最大因数等于b的最小倍数，则a＝b。 如果a的最大因数等于b的最小倍数，那么a和b比较，a＝b。 故答案为：C 20．1—100中能被2或5整除的数有（    ）个。 A．50 B．20 C．60 D．70 【答案】C 【分析】在1—100中，能被2整除的数有：100÷2＝50个；能被5整数的数有：100÷5＝20个，既能被2整除又能被5整除的个数有：100÷（2×5）＝10个，然后从能被2整除的数与能被5整除的数的总个数减去既能被2整除又能被5整除的数的个数，就是能被2或5整除的数的个数。 【解答】100÷2＝50（个） 100÷5＝20（个） 100÷（2×5） ＝100÷10 ＝10（个） 50＋20－10 ＝70－10 ＝60（个） 1—100中能被2或5整除的数有60个。 故答案为：C 高阶突破 三、解答题 21．圣诞节前一天，某公司准备了40多个苹果发给职工们，这些苹果每8个装一袋，刚好装完，这些苹果有多少个？ 【答案】48个 【分析】这些苹果每8个装一袋，可知苹果数是8的倍数，由此写出8的倍数，然后再找出满足符合条件的即可。由此解答。 【解答】8的倍数有：8、16、24、32、40、48、56、64… 公司准备了40多个苹果，可知符合条件的只有48； 所以这些苹果有48个。 答：这些苹果有48个。 22．妈妈买来16个凤梨，每2个装一盒，能正好装完吗？每5个装一盒，能正好装完吗？为什么？ 【答案】见详解 【分析】利用因数和倍数的概念，结合题意直接解题即可。 【解答】答：每2个装一盒，能正好装完，因为16是2的倍数；每5个装一盒，不能正好装完，因为16不是5的倍数。 【点评】本题考查了因数和倍数的应用，掌握因数和倍数的概念是解题的关键。 23． 还有其他的包装方式吗？ 【答案】可以选择6瓶/盒的包装，需要15盒；也可以选择5瓶/盒的包装，需要18盒；还可以选择3瓶/盒的包装，需要30盒；还可以选择1瓶/盒的包装，需要90盒；还可以选择2瓶/盒，需要45盒；还可以选择9瓶/盒，需要10盒。 【分析】根据题意可知，找出90的因数，即可得出答案。 【解答】90＝1×90，90＝2×45，90＝3×30，90＝5×18，90＝6×15，90＝9×10 所以90的因数有1，2，3，5，6，9，10，15，18，30，45，90。 答：可以选择6瓶/盒的包装，需要15盒；也可以选择5瓶/盒的包装，需要18盒；还可以选择3瓶/盒的包装，需要30盒；还可以选择1瓶/盒的包装，需要90盒；还可以选择2瓶/盒，需要45盒；还可以选择9瓶/盒，需要10盒。 24．小明房间的地面是一个边长4米的正方形，现在小明想把房间铺满泡沫软垫，选用下面哪种规格的软垫能正好铺满？为什么？ 【答案】选择边长为40厘米的正方形软垫 【分析】4米＝400厘米，想刚好铺满，那么长方形泡沫软垫的长和宽以及正方形泡沫软垫的边长必须是400的因数，据此分析解答。 【解答】4米＝400厘米 20是400的因数，30不是400的因数，所以不能选择第一种规格的软垫； 40是400的因数，所以可以选择第二种规格的软垫； 50是400的因数，30不是400的因数，所以不能选择第三种规格的软垫； 60不是400的因数，所以不能选择第四种规格的软垫。 答：选择边长为40厘米的软垫可以铺满整个房间，因为40是400的因数。 25．在方格纸上画长方形，使它的面积是18平方厘米，边长必须是整厘米数。你能画出多少种？（设每个小方格的边长是1厘米） 【答案】3种；画图见详解 【分析】长方形面积＝长×宽，长和宽必须是整数，面积是18平方厘米，那么说明长和宽是18的因数。利用等积式，先找出18的所有因数，从而找出长方形的长和宽，画图即可。 【解答】18＝1×18＝2×9＝3×6 18的所有因数有1、2、3、6、9、18。 当长是18厘米时，宽是1厘米；当长是9厘米时，宽是2厘米；当长是6厘米时，宽是3厘米。 如图： 答：我能画出3种。 26．有下面规格的盒子，选哪种盒子正好能把60个苹果装完？为什么？ 【答案】第一种和第二种盒子 【分析】哪种盒子的规格数量是60的因数，就可以正好能把60个苹果装完。5和6是60的因数，因此，只能用第一种和第二种盒子正好可以把60个苹果装完。 【解答】60÷5＝12（个） 60÷6＝10（个） 60÷7＝8（个）……4（个） 60÷8＝7（个）……4（个） 答：用第一种和第二种盒子正好可以把60个苹果装完。 【点评】本题是考查因数和倍数的应用。掌握因数的意义是解题的关键。 27．李叔叔为幼儿园中（1）班小朋友捐赠72本漫画书，如果每人送5本，能正好送完吗？每人送4本呢？每人送3本呢？请你说说原因。 【答案】不能正好送完；能正好送完；能正好送完。 【分析】能不能正好送完，也就是看每人送的本数是不是72的因数，如果是72的因数就可以送完；如果不是72的因数，则是送不完的；据此可以先用列举法找出72的因数，再进一步的判断。 【解答】72的因数：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72； 其中5不是72的因数，所以不能正好送完；4是72的因数，所以能正好送完；3是72的因数，所以能正好送完。 答：如果每人送5本，不能正好送完；如果每人送4本，能正好送完；如果每人送4本能正好送完。 【点评】此题重点考查因数的特点以及找一个数因数的方法。 28．选用哪种包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【答案】8本/箱正好能装完，它可以整除64。 【分析】根据整除的意义，谁能整除64，就选那种包装箱，据此解答即可。 【解答】64÷6＝10（箱）……4（本） 64÷8＝8（箱） 64÷5＝12（箱）……4（本） 答：8本/箱正好能把这些面包装完，因为它可以整除64。 【点评】此题主要依据整除的意义解决问题，因为它们能整除64。 29．某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表： 人数 50人以内 51~99人 100人及以上 票价 30元/人 28元/人 25元/人 （例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。） 导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？ 【答案】90人 【分析】当人数在50以内，最大为50时，需要票价50×30＝1500（元）；当人数在51～99人时，最大为99时，票价应该是99×28＝2772（元）；两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元，超过了2772元，则两个团合并在一起超过100人，每人25元，则有128人。如果两个班级带团的人数都在51～99人之间，总门票付的钱是28的倍数，显然3660不是28的倍数。星星带的团人数多一些，则星星带的团51~99人，望望带的团50人以内。假设两个团的人都是30元/人的门票，128人应该付128×30＝3840（元），和总门票钱3660元对比，多了180元，也就是需要将180元的门票钱减去。两种购票的一张门票的钱可以减2元，就是求180元里面有几个2元，用除法。则星星带的团有90人。 【解答】3200÷25＝128（人） （128×30－3660）÷（30－28） ＝（3840－3660）÷（30－28） ＝180÷2 ＝90（人） 答：星星带的团共有90人。 学科网（北京）股份有限公司 $$