专题03 二项式定理（12大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第二册）

专题03 6.5二项式定理 目录 【题型一 杨辉三角形】 2 【题型二 二项展开式第项】 6 【题型三 二项式系数最值问题】 8 【题型四 二项式系数和问题】 10 【题型五 求指定项系数】 13 【题型六 由项的系数求参数】 15 【题型七 系数和问题】 17 【题型八 系数最大（小）问题】 20 【题型九 赋值法求奇次项（偶次项）系数和】 24 【题型十 三项展开式系数问题】 27 【题型十一 两个二项展开式系数问题】 27 【题型十二 整除和余数问题】 32 一、二项式定理及相关概念 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. （3）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 二、二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 三、二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ④各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【题型一 杨辉三角形】 1．（2023·上海普陀·模拟预测）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为 （用最简分数表示）. 【答案】 【知识点】二项式系数的增减性和最值、杨辉三角 【分析】第行从左至右依次为，由二项式系数性质可得答案. 【详解】观察知第行从左至右依次为， 由二项式系数的性质可得最大，其次为， 所以第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为. 故答案为：. 2．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，记作数列，则 ；若数列的前项和为，则 . 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和、杨辉三角 【分析】由题意可知是第5行第4个数，故而直接能得到答案； 令每行的序数与该行的项数相等可得第行最后项在数列中的项数为；根据可求得，进而可确定位于第行第个；根据每一行数字和的规律可知，计算可得结果. 【详解】由题意可知是第5行第4个数，所以； 使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为： 设位于第行，则：，解得： 且第行最后一项在数列中的项数为：， 位于杨辉三角数阵的第行第个 而第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为 依此类推，第行各项的和为 故答案为：4，. 【点睛】本题考查与杨辉三角有关的数列的前项和的求解问题，关键是能够根据杨辉三角的数字特征，确定第项所处的位置，通过对于每一行各项和的规律的总结可将问题转化为等比数列求和问题. 3．（22-23高二下·山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 【答案】D 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、杨辉三角 【分析】根据杨辉三角的规律以及组合数的性质逐一进行判断即得. 【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因 ， 则，故C错误； 对于D，因而，故D正确. 故选：D. 4．（2024·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第10行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)560 (3)存在， 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、杨辉三角 【分析】（1）根据二项式系数的性质求和即可； （2）根据组合数的性质化简求值即可； （3）假设存在，根据条件建立方程组求解，即可得解. 【详解】（1）第10行的各数之和为：. （2）杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为： . （3）存在，理由如下： 设在第行存在连续三项，其中且且， 有且，化简得且， 即，解得， 所以， 故这三个数依次是. 【题型二 二项展开式第项】 1．（2024·陕西宝鸡·一模）展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 【答案】B 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】展开式的通项公式为， 所以, 故选：B 2．（2024高三·上海·专题练习）已知，其中，若存在，使得成立，则的最大值是 ． 【答案】49 【知识点】求二项展开式、求二项展开式的第k项 【分析】根据二项式展开式的通项特征可得，即可根据为奇数求解. 【详解】由题设，左边的通项公式为 ， ； 所以，由题设得， 因为，要使得成立，则为奇数， 即为奇数，且恒成立， 则等价为，又是正奇数，故的最大值为49， 故答案为：49 3．（24-25高三上·全国·阶段练习）二项式展开后的第三项是 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据通项公式计算即可. 【详解】因为 所以. 故答案为： 4．（2024·河南·模拟预测）在的展开式中，按的升幂排列的第三项为 . 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】 依题意可得第三项为含项，结合展开式的通项可求解． 【详解】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为项． 整个式子中项可由，的展开式中的常数项与二次项、一次项与一次项、二次项与常数项相乘得到， 其中展开式的通项为（）， 展开式的通项为（）； 故所求为． 故答案为：． 5．（25-26高三上·上海·单元测试）在的展开式中．求： (1)第六项的系数； (2)含的项． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】（1）求出二项式的展开式的通项公式，代入可得结论； （2）结合通项公式确定含项的项数，再求结论. 【详解】（1）的通项公式为， 第六项系数即时对应项的系数，其值为； （2），，含的项为． 【题型三 二项式系数最值问题】 1．（23-24高二下·河北沧州·期末）的展开式中系数最大项只有第5项，则它的展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值 【分析】先根据二项式系数最大项只有第5项求出n,再应用通项公式求常数项即可. 【详解】的展开式中系数最大项也是二项式系数最大项只有第5项，则 . 则常数项为. 故选:B. 2．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为 用数字作答 【答案】7 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【分析】先由展开式中只有第5项的二项式系数最大，可得展开式共9项，从而可得以，再由二项展开式的通项公式得到. 【详解】解：因为只有第五项的二项式系数最大，所以 故的展开式通项为 令解得 所以展开式中x的系数为. 故答案为：7. 3．（24-25高三下·广东清远·开学考试）在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 . 【答案】或 【知识点】求系数最大（小）的项、二项式系数的增减性和最值 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项. 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是或. 故答案为：或 4．（25-26高三上·上海·单元测试）已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大．求： (1)的值； (2)展开式中二项式系数最大的项． 【答案】(1) (2)和 【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项展开式各项的系数和、二项式的系数和 【分析】（1）二项式系数和为，令可得各项系数和为，即可得到方程，解得即可； （2）写出展开式的通项，从而得到当或时二项式系数最大，利用通项计算可得. 【详解】（1）因为的二项式系数和为， 令，可得各项系数和为， 依题意可得，即， 又，所以，解得； （2）二项式展开式的通项为，， 所以当或时二项式系数最大， 所以二项式系数最大的项为和． 5．（23-24高二上·吉林长春·期中）（1）若在的展开式中，求的系数.(用数字作答) （2）二项式的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，求其展开式中的常数项. 【答案】（1）-20；（2）-20 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【分析】（1）由通项公式即可求解； （2）先确定的取值，再由通项公式即可求解. 【详解】（1） 令，得， 所以的系数为-20. （2）因为二项式系数最大的项是第4项，所以，或，或 通项公式： 当时，令，得，不存在常数项． 当时，令，得，常数项为． 当时，令，得，不存在常数项． 所以展开式中的常数项为-20 【题型四 二项式系数和问题】 1．（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 【答案】C 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为的二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得，解得，即二项式为， 则该二项式展开式的通项为， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 2．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 【答案】 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】首先根据二项式系数和的性质求出的值，然后写出二项式展开式的通项公式，再根据通项公式求出最高次项的系数. 【详解】已知的展开式中二项式系数和为32，则，即. 对于，则其展开式的通项公式为. 化简得. 当时，最高次项的系数为. 所以最高次项的系数为. 故答案为：. 3．（23-24高二下·河南安阳·期中）设，则 . 【答案】728 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式的展开式赋值法求解即可. 【详解】因为， 所以， 令,可得， 令,可得， 所以. 故答案为：728. 4．（24-25高二上·上海徐汇·期末）在二项式的展开式中： (1)若，求 (2)若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) 【知识点】二项式的系数和、求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）把代入，利用赋值法求得答案. （2）由二项式系数性质求出，求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项. 【详解】（1）当时，， 取，得，取，得， 所以. （2）由所有项的二项式系数和等于4096，得，解得， 二项式展开式的通项公式， 令展开式中系数最大的项是第项，则， 整理得，解得，而，因此， 所以展开式中系数最大的项. 5．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)二项式系数为，第3项的系数为 (2) (3) 【知识点】二项式的系数和、求指定项的二项式系数、求系数最大（小）的项、求指定项的系数 【分析】（1）利用二项展开式的通项可求二项式系数与系数； （2）由二项式系数的性质可得； （3）设出系数绝对值最大项，根据与前后项系数绝对值大小关系建立不等式组求解可得. 【详解】（1）二项式的通项 ． 第3项的二项式系数为，第3项的系数为； （2）奇数项的二项式系数和； （3）设系数绝对值最大的项为第项， 当时， 由，解得， 又，所以，此时； 当时，； 当时，； 综上可知，系数绝对值最大的项为． 【题型五 求指定项系数】 1．（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）展开式中项的系数为 用数字作答 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项式定理即可求解． 【详解】的展开式的通项为， 令，0得的系数为 故答案为： 2．（23-24高二下·上海·期中）用1､2､3､4､5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是 .（用数字作答） 【答案】56 【知识点】代数中的组合计数问题、求指定项的系数 【分析】首先根据排列组合的方式，确定符合条件的五位数有6个，再根据二项式定理，确定含项的系数． 【详解】由五位数需满足可知，， 再从2，3，4，5中任取两个数，大数是，小数是，剩下两个数按照大小分别是，． 故能组成个这样的五位数，则． 则在的展开式中，含项系数为． 故答案为：． 3．（23-24高三下·上海·阶段练习）的展开式中的系数为 . 【答案】28 【知识点】求指定项的系数 【分析】 根据二项式定理展开式的通项公式进行计算即可. 【详解】 因为的展开式的通项公式为， 当时，此项为， 则的系数为， 故答案为：28. 4．（23-24高三下·上海奉贤·开学考试）在的展开式中，项的系数为 .（结果用数值表示） 【答案】45 【知识点】求指定项的二项式系数、三项展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】由二项式展开得项只能在展开式中，进一步结合二项式系数即可求解. 【详解】， 项只能在展开式中，即为，系数为. 故选：45. 5．（24-25高三·上海·课堂例题）展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求指定项的系数、组合数的性质及应用 【分析】求出各项展开中的系数，再利用组合数的性质求和即可. 【详解】的系数分别为， 故展开式中的系数和为 . 故选：A. 6．（24-25高三·上海·课堂例题）求的展开式中的系数． 【答案】. 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据展开式的通项公式表示出各部分中的系数，然后利用组合数的性质进行求解． 【详解】因为的展开式通项公式， 则展开后的的系数为， ． 所以的系数为. 【题型六 由项的系数求参数】 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）在的展开式中的系数为20，则常数 ． 【答案】 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】应用二项式展开式通项及相关项系数列方程求参数. 【详解】由题设，二项式展开式通项公式为，， 令，则，则. 故答案为： 2．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 【答案】2 【知识点】由项的系数确定参数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】令确定对应的系数，得到，再应用二项式的展开式求的系数，列方程求参数. 【详解】当时，，则的系数，不符合， 所以，则的系数，可得. 故答案为：2 3．（2025·江西新余·一模）的展开式中的系数为36，则的值为 . 【答案】 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】因为的二项展开式为， 令，可得； 令，可得； 可得， 所以， 解得：， 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）已知的展开式中的常数项为，则展开式中所有项的系数之和为 ． 【答案】/0.015625 【知识点】二项展开式各项的系数和、由项的系数确定参数 【分析】先求出二项式的展开式通项，利用常数项列式求得，然后赋值法求解系数和即可. 【详解】二项式的展开式通项， 令，得，故展开式中的常数项为，得（舍去负值）， 则令得展开式中所有项的系数之和为． 故答案为： 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知的展开式中的项的系数为15，则 ． 【答案】 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】先写出二项式的通项公式，再根据已知项求出，进而根据系数得出参数即可. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得，所以，解得． 故答案为：. 【题型七 系数和问题】 1．（24-25高三上·上海·开学考试）设，若，则 . 【答案】 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】运用二项式定理知识，结合赋值法可解. 【详解】令，得到. 令，得到. 则. 所以31. 故答案为：31. 2．（23-24高二上·上海·期末）设，则 . 【答案】1 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】根据赋值法求解即可； 【详解】根据二项式性质，令解得：， 故答案为：1. 3．（25-26高三上·上海·单元测试）设，且. (1)求、的值； (2)求展开式中各项系数和； (3)求展开式的奇数项系数和. 【答案】(1)， (2)2048 (3)1024 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】（1）根据二项式定理可得，结合题意可得，利用赋值法令即可得结果； （2）利用赋值法令即可得结果； （3）利用赋值法令，结合（2）中结论即可得结果； 【详解】（1）因为的展开式为，可知， 又因为，解得； 可得， 令，可得展开式中各项系数和. （2）由（1）可知：， 令，可得， 所以展开式中各项系数和2048. （3）由（1）可知：，且， 令，可得， 两式相加可得，即， 所以展开式的奇数项系数和为1024. 4．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）已知二项式的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是. (1)求展开式中含的项； (2)求该二项式展开式的各项系数之和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由项的系数确定参数、二项展开式各项的系数和、求二项展开式的第k项 【分析】（1）化简通项，根据第五项与第三项的系数比列方程求出n，然后令x的指数等于求出r，可得所求； （2）令可得系数和. 【详解】（1）， 由题知，即，解得（舍去）或， 则， 令，解得， 所以展开式中含的项为. （2）令可得展开式的各项系数之和为：. 5．（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知 (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）求出通项公式，根据通项公式求出，即得结果； （2）赋值，结合，即得结果. 【详解】（1）的通项公式为， 所以，， 所以. （2）令，得， 所以. 6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知. (1)若，求中含项的系数； (2)若，求的值； 【答案】(1)99； (2). 【知识点】二项展开式各项的系数和、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】（1）由题知，先求展开式中含的项，然后可得； （2）分别令，，然后两式相减可得. 【详解】（1）， 因为展开式中的第项， 所以展开式中含项分别为， 故中含的项为， 所以中含项的系数为99. （2）， 令得①， 令得②， 两式相减①-②：， 所以. 【题型八 系数最大（小）问题】 1．（23-24高二上·上海·期末）（1）求的二项展开式的中间项； （2）若，且，求中的最大值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】由项的系数确定参数、求系数最大（小）的项、求指定项的系数 【分析】（1）根据二项展开式的项数确定中间项，再利用通项写出该项化简即可. （2）为的第三项的系数，列方程求出n，设第项的系数为，解不等式即可求得，则 中的最大值为. 【详解】（1）的二项展开式共有11项，所以中间项为第6项：. （2）因为， 所以，解得， 设第项的系数为，则，， ，令，解得， 可得：. 所以中的最大值为. 2．（23-24高二下·上海嘉定）设实数.对任意给定的实数，都有． (1)当时，求的值； (2)若是整数，且满足成立，求的值； (3)当m=1时， 求 的二项展开式中系数最大的项是第几项． 【答案】(1) (2) (3)第25项或第26项. 【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的系数 【分析】（1）直接利用二项式定理通项公式计算得到答案. （2）计算，代入计算得到，取计算得到答案. （３）假设展开式系数最大的项为第项.则，解出即可． 【详解】（1）展开式的通项为，故. （2）展开式的通项为， ， 由得，又知， 取，可知. （3）展开式的通项为：， 假设展开式系数最大的项为第项.则 化简得到 即解得即，则． 则的二项展开式中系数最大的项是第25项或第26项． 3．（23-24高二上·上海·课后作业）求的二项展开式中系数最大的项． 【答案】第12项和第13项. 【知识点】求系数最大（小）的项 【分析】求出二项式展开式的通项及对应系数，再利用作商探讨系数最大值作答. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令第项的系数为，即．显然，， 因此对于，， 于是当时，成立，即； 当时，，即；而当时，成立，即， 所以系数最大的项是第12项和第13项． 4．（23-24高二下·上海浦东新）已知的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于．求： (1)的值； (2)展开式中的常数项； (3)展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二项式的系数和、求系数最大（小）的项、求指定项的系数 【分析】（1）根据二项式系数和，可解方程求得的值； （2）由二项式定理可得二项展开式通项，将代入通项中即可得到常数项； （3）设第项的系数最大，采用不等式法可构造不等式组求得的值，代入通项即可求得系数最大的项. 【详解】（1）展开式的二项式系数和为，，解得：. （2）展开式通项为：， 令，解得：，则展开式常数项为. （3）设展开式第项的系数最大， 则，即，解得：， 又，，展开式中系数最大的项为. 5．（23-24高二下·浙江·期中）已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为 (1)求实数a和n的值； (2)求展开式中系数最小的项． 【答案】(1)， (2) 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）由题得到，再令，即可求出a； （2）写出二项展开式的通项公式，则，即可求解. 【详解】（1）仅有第5项的二项式系数最大，则 令，则，又，则 （2）二项展开式的通项为：， 假设第项的系数的绝对值最大，由通项可得： ，解得： 故二项展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大. 又展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负， 故展开式中系数最小的项是第6项： 6．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】C 【知识点】由项的系数确定参数、求系数最大（小）的项 【分析】先求出展开式的通项，从而依据展开式中第9项是常数项得到，再依据第项的系数绝对值大于或等于第项且大于或等于第项列不等式组即可求解. 【详解】由题意得二项式展开式的通项公式为：， 因为展开式中第9项为常数项，故， 故第项的系数绝对值为， 设展开式中第项的系数绝对值最大，则有， ， 又因为，故，所以第8项的系数绝对值最大. 故选：C. 【题型九 赋值法求奇次项（偶次项）系数和】 1．（23-24高二下·四川德阳·期中）已知，则 . 【答案】365 【知识点】奇次项与偶次项的系数和 【分析】分别赋值和,然后解方程计算即可. 【详解】令，得，即， 令，得，即， 两式相加除以2得. 故答案为：365 2．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知. (1)若，成等比数列，求的值； (2)若，求的值（用数字作答）． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】由项的系数确定参数、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）求出展开式的通项，根据题意可得，即，从而可求得； （2）分别令，从而可求得，即可得出答案. 【详解】（1）二项式展开式通项公式为， 若，成等比数列，则， 即， 则，解得； （2）若，当时，， 当时，， 所以，， 所以. 3．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）若，其中． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【知识点】奇次项与偶次项的系数和、由项的系数确定参数 【分析】（1）由二项式的通项可得； （2）令和，结合平方差公式计算即可； 【详解】（1）由题意可得，即， （2）令，则，① 令，则，② 所以 4．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）（1）计算； （2）已知. ①求； ②求. 【答案】（1）252；（2）①；②1093 【知识点】组合数的性质及应用、奇次项与偶次项的系数和、组合数的计算 【分析】（1）根据组合数性质计算即可； （2）根据二项式定理中的赋值法计算即可. 【详解】（1）由 . （2）①在中，取得， 取得……①， 所以. ②取得……②， ①+②得， 所以. 5．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知 . (1)求； (2)求； 【答案】(1)33 (2)528 【知识点】求指定项的系数、奇次项与偶次项的系数和、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）先求出，再由赋值法得到，两式相减即可得解； （2）通过复制法得，结合，两式相加除以2即可得解. 【详解】（1）由题意得， 在中，令，有， 所以； （2）在中，令，有， 由（1）可得， 所以. 6．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】奇次项与偶次项的系数和、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）分别令和，即可求解； （2）令和，两式求和化简可得答案. 【详解】（1）令，得， 令，得， 所以. （2）令，得， 令，得， 则， 则. 【题型十 三项展开式系数问题】 1．（21-22高二下·上海杨浦·期末）在的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】分析包含于中的哪一项，再应用对应项展开式通项求项的系数. 【详解】由题设，展开式通项可写为， 而项中的指数为0，故项包含于， 所以， 则有. 故答案为： 2．（吉林省长春市2025届高三下学期质量监测（二）数学试题）的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】先将其看作关于与的二项式展开，再对进行展开，最后找出的系数. 【详解】把变形为，可得： 要得到，则的展开式中的次数与的次数之和为，即，解得. 当时，. 再根据二项式定理展开，要得到，则，此时该项系数为. 因为中展开式中的系数为，所以展开式中的系数为. 故答案为:. 3．（2024·江苏淮安·模拟预测）的展开式中的系数是 .（用数字填写） 【答案】 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】根据，分析的系数可能的相乘情况，再求和即可 【详解】的展开式中，要得到的系数，则可能为或. 故含的项为 ， 故答案为： 4．（2024·江西·模拟预测）的展开式中的系数为 ． 【答案】672 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】利用二项式定理求的系数即可. 【详解】由题设，含的项为, 故其系数为． 故答案为：672. 5．（24-25高三上·黑龙江·期末）的展开式中的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【知识点】三项展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】分析题意，结合二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】易得展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为：. 6．（2025·陕西咸阳·一模）若，则（   ）． A．1 B．5 C．10 D．15 【答案】B 【知识点】三项展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】根据项，分析、、1分别取的次数，再利用组合数求系数. 【详解】由题设，对于项，取0次，取1次，1取4次，故. 故选：B 7．（2024高三·全国·专题练习） 展开项中的常数项为（    ） A．1 B．11 C． D．51 【答案】B 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】法一：类比二项展开式的通项处理即可． 法二：展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况. 【详解】法一：依题意，（展开式中个因式选择个因式选择， 则展开式的通项为：， 要使该项为常数，则， 当时，对应常数为1； ②当时，对应常数为； ③当时，对应常数为； 所以展开式的常数项为．故选：B． 法二：展开式中的项为常数项，有3种情况： （1）5个括号都出1，即； （2）2个括号出个括号出个括号出1，即 （3）1个括号出个括号出个括号出1，即 所以展开项中的常数项为. 故选：B. 【题型十一 两个二项展开式系数问题】 1．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知，且，则 . 【答案】2 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】利用二项展开式的通项公式，分析含项的构成，求出a. 【详解】由题意，为中的系数. 因为的二项展开式的通项公式为， 所以的展开式中含项的系数为：，解得：. 故答案为： 2．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知，则 .（用数字作答） 【答案】85 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据二项式展开式的通项公式来求得正确答案. 【详解】因为， 要求，即求展开式中的系数， 根据二项式展开式的通项公式， 对于，其通项为， 令，则展开式中的系数为， 对于，相当于展开式中的系数乘以， 令，则展开式中的系数为， 所以展开式中的系数为， 对于，相当于展开式中的系数， 令，则展开式中的系数为， 那么就是展开式中的系数， 所以， 把，，代入得：. 故答案为：85 3．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）的展开式中常数项是 ． 【答案】15 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】求出的展开式的通项，再结合即可求解. 【详解】的通项公式为：， 所以的展开式中常数项是：, 故答案为：15 4．（2025·浙江·模拟预测）展开式中的系数为 . 【答案】30 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】求出二项式的展开式的项和项即可得解. 【详解】二项式的展开式中，项为，项为， 因此展开式中项为， 所以所求系数为30. 故答案为：30 5．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）的展开式中含的项的系数为 . 【答案】120 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项公式为， 中的乘以展开式的常数项得到一部分， 中的乘以展开式中的含的项得到一部分， 故展开式中含的项的系数为. 故答案为：. 6．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）的展开式中的系数为（    ） A．5 B．10 C．20 D． 【答案】B 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据二项式的通项计算. 【详解】的通项为，所以的展开式中的项为，则系数为10. 故选：B. 【题型十二 整除和余数问题】 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）若，则正整数的个位数为 ． 【答案】2 【知识点】奇次项与偶次项的系数和、整除和余数问题 【分析】利用赋值和求，再利用二项式定理的应用，转化为余数问题，即可求解. 【详解】当时，， 当时，， 两式相加得， , 由展开式可知，的个位数为2. 故答案为：2 2．（24-25高二上·江西南昌·期末）设，且能被6整除，则的值可以为 .(写出一个满足条件的的值即可) 【答案】5（答案不唯一） 【知识点】整除和余数问题 【分析】先利用二项展开式将变形，进而即可求得n的可能取值 【详解】 ， 其中被6整除， 由能被6整除，可得能被6整除， 则n的值可以为5，或11，或17等，答案不唯一 故答案为：5（答案不唯一） 3．（2024·云南昆明·模拟预测）若能被13整除，则可以是（    ） A．0 B．1 C．11 D．12 【答案】B 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用二项式定理展开，然后根据整除列式计算即可. 【详解】因为 ， 又因为能被13整除， 所以能被13整除，观察选项可知可以是. 故选：B. 4．（24-25高三上·湖北·期中）若正整数a，b满足等式，且，则（   ） A．1 B．2 C．2022 D．2023 【答案】D 【知识点】整除和余数问题、二项展开式的应用 【分析】由，再根据二项式定理展开后可求的值. 【详解】∵ ， ∴. 故选：D. 5．（24-25高二上·全国·随堂练习）被100除所得的余数为（    ） A．1 B．81 C． D． 【答案】B 【知识点】整除和余数问题 【分析】由二项式定理将展开，即可得出答案. 【详解】． 前91项均能被100整除，剩下两项为， 显然8281除以100所得的余数为81． 故被100除所得的余数为81． 故选：B. 6．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）被9除的余数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】整除和余数问题 【分析】由于，利用二项式定理展开可得答案. 【详解】. 因为被9整除， 所以被9除的余数为. 故选：B 一、填空题 1．（24-25高三上·上海·期中）已知 ，若则实数的最大值为 . 【答案】23 【知识点】求指定项的系数 【分析】为的系数，由二项式定理求得的系数，由，可得的不等关系，从而求得实数的最大值. 【详解】因为展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 所以展开式中的系数为 . 要使，则为奇数，且， 所以，则， 所以的最大值为. 故答案为：. 2．（24-25高三上·上海金山·阶段练习）已知，则中正数的个数为 . 【答案】1518 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项展开式的通项可得，讨论的奇偶性，结合分析求解即可. 【详解】二项式的通项为， 二项式的通项为， 所以，， 若，则有： 当为奇数时，此时，即， 则，可得， 又因为为奇数，所以的最小值取为1013；从1013到2023共计506个奇数， 当为偶数时，此时，符合题意；中，共计1012个偶数 综上所述：中正数的个数为 故答案为：1518. 3．（23-24高二下·上海宝山·期末）设（m、n为正整数）对任意实数x都成立，若，则的最小值为 . 【答案】25 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】利用组合数公式，表示和，再结合条件转化为二次函数求最值. 【详解】， 则， ，， 当或6时，的最小值是25. 故答案为：25 4．（25-26高三上·上海·单元测试）在的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】结合二项式展开式的通项公式求出两个二项式的展开式的通项公式，根据多项式乘法法则可得结论. 【详解】二项式的展开式的通项公式为，， 二项式的展开式的通项公式为，， 所以的展开式中，项的系数为. 故答案为：. 5．（24-25高三·上海·课堂例题）在的展开式中，若的系数为，则 ． 【答案】 【知识点】裂项相消法求和、求指定项的系数 【分析】运用二项式定理的通项公式求出，再对裂项相消求和即可. 【详解】根据题意运用二项式定理通项公式知道， 则， 则. 故答案为：. 6．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【知识点】组合数的性质及应用、求指定项的系数 【分析】根据二项式通项公式知，由组合数的性质得计算即可. 【详解】根据题意， 因为多项式， 所以由二项分布的通项公式得 . 故答案为：. 7．（23-24高二下·上海·期中）今天星期三，再过1天是星期四，那么再过天是星期 . 【答案】天(或日) 【知识点】整除和余数问题 【分析】首先由，再利用二项展开式即可得解. 【详解】由 ， 所以除余，所以再过天是星期天. 故答案为：天（或日）. 8．（2024·上海徐汇·二模）已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为 . 【答案】 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】依题意，可求得，再利用的二项展开式的通项公式可求得答案． 【详解】的二项展开式中各项系数和为1024， 即， 故． 设的二项展开式的通项为，则， 令，得， 故展开式中常数项的值为． 故答案为：210． 9．（2024·上海普陀·二模）设，若，且，则 . 【答案】 【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和 【分析】根据题意，由二项式系数的性质可得，然后分别令，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 且，，所以是二项式系数最大的项，则， 令，则， 令，则， 则. 故答案为： 10．（23-24高二上·上海松江·期末）若的二项展开式的第9项为常数项，则 【答案】 【知识点】二项展开式的应用 【分析】根据二项式的展开式的第项为常数项，从而求解的值. 【详解】由题意知的展开式， 第项为常数项，则，所以，所以. 故答案为：. 11．（23-24高三上·上海虹口·期中）已知，若存在使得，则k的最大值为 ． 【答案】1011 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项展开式的通项可得，讨论的奇偶性，结合分析求解即可. 【详解】二项式的通项为， 二项式的通项为， 所以，， 若，则有： 当为奇数时，此时，即， 则，可得， 又因为为奇数，所以的最大值为1011； 当为偶数时，此时，不合题意； 综上所述：的最大值为1011. 故答案为：1011. 二、单选题 12．（24-25高二上·上海·期末）已知，其中，为正整数，则“是奇数”是“存在正整数使得”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】A 【知识点】充要条件的证明、由项的系数确定参数、求指定项的系数 【分析】根据二项式展开式的通项特征得，即可根据组合数的性质得，由充要条件的定义即可判断. 【详解】的展开式的通项为， 若存在正整数使得，则，故，即，由于是正整数且，故为奇数，必要性成立； 反之，若为奇数，设，则，即存在正整数使得，充分性成立. 因此“是奇数”是“存在正整数使得”的充要条件. 故选：A 13．（23-24高二下·江苏无锡·期中）若的展开式中第5项的二项式系数最大，则不可能取值（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据条件，利用二项式系数的性质，直接求出的取值，即可求出结果. 【详解】当为偶数时，二项式系数最大项为第项， 又由题知展开式中第5项的二项式系数最大，所以，解得， 当为奇数时，二项式系数最大项为第项和第项， 由题有或，得到或， 故选：D. 14．（22-23高二下·上海松江·期末）若的展开式中各项系数之和为，则第四项与第五项的系数之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二项式的系数和、由二项展开式各项系数和求参数、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】先令，根据各项系数之和解得，再求对应项系数计算比值即可. 【详解】的各项系数和：令，则， 所以，所以的通项，第四项的系数：令，得， 第五项的系数：令，得， 所以. 故选：D. 15．（2023·上海奉贤·一模）若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式的第k项 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】由题意得的展开式为， 的展开式为， 要使的展开式中存在常数项， 则或， 所以可得的值可能是3，4，6，不可能是5. 故选：C. 三、解答题 16．（25-26高三上·上海·单元测试）（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数及二项式系数. 【答案】（1）280；（2），84. 【知识点】求指定项的二项式系数、求指定项的系数 【分析】（1）利用二项式定理直接求出指定项系数. （2）求出二项式展开式的通项公式，再求出指定项的系数及二项式系数. 【详解】（1）的展开式的第四项是， 所以的展开式的第四项的系数是280. （2）因为的展开式的通项是， 由，得，所以的系数，的二项式系数. 17．（24-25高三·上海·课堂例题）若，且，求实数的值． 【答案】或． 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】令，求出，再令，求出，然后对已知等式利用平方差公式分解因式，再将前面得到的值代入求解即可. 【详解】令，得， 令，得， 又， 即， 即，所以，解得或． 18．（23-24高二下·上海杨浦·期中）（1）求的二项展开式中的常数项 （2）求的二项展开式中系数最大的项（结果保留通项形式） 【答案】（1）84；（2） 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【分析】（1）应用二项式展开式的通项公式，保证的指数为时，求出的值，进而求出常数项即可； （2）求二项展开式中系数最大的项，只需保证该项系数比较前后两项系数满足不等式，求解得出的值，进而求出该项即可. 【详解】（1）设为常数项，则， 则的二项展开式中的常数项为； （2）设为系数最大的项，则， 则， 则的二项展开式中系数最大的项为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 6.5二项式定理 目录 【题型一 杨辉三角形】 2 【题型二 二项展开式第项】 4 【题型三 二项式系数最值问题】 4 【题型四 二项式系数和问题】 5 【题型五 求指定项系数】 6 【题型六 由项的系数求参数】 6 【题型七 系数和问题】 6 【题型八 系数最大（小）问题】 8 【题型九 赋值法求奇次项（偶次项）系数和】 9 【题型十 三项展开式系数问题】 11 【题型十一 两个二项展开式系数问题】 11 【题型十二 整除和余数问题】 12 一、二项式定理及相关概念 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. （3）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 二、二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 三、二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ④各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【题型一 杨辉三角形】 1．（2023·上海普陀·模拟预测）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为 （用最简分数表示）. 2．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，记作数列，则 ；若数列的前项和为，则 . 3．（22-23高二下·山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 4．（2024·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第10行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【题型二 二项展开式第项】 1．（2024·陕西宝鸡·一模）展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 2．（2024高三·上海·专题练习）已知，其中，若存在，使得成立，则的最大值是 ． 3．（24-25高三上·全国·阶段练习）二项式展开后的第三项是 4．（2024·河南·模拟预测）在的展开式中，按的升幂排列的第三项为 . 5．（25-26高三上·上海·单元测试）在的展开式中．求： (1)第六项的系数； (2)含的项． 【题型三 二项式系数最值问题】 1．（23-24高二下·河北沧州·期末）的展开式中系数最大项只有第5项，则它的展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为 用数字作答 3．（24-25高三下·广东清远·开学考试）在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 . 4．（25-26高三上·上海·单元测试）已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大．求： (1)的值； (2)展开式中二项式系数最大的项． 5．（23-24高二上·吉林长春·期中）（1）若在的展开式中，求的系数.(用数字作答) （2）二项式的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，求其展开式中的常数项. 【题型四 二项式系数和问题】 1．（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 2．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 3．（23-24高二下·河南安阳·期中）设，则 . 4．（24-25高二上·上海徐汇·期末）在二项式的展开式中： (1)若，求 (2)若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项． 5．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 【题型五 求指定项系数】 1．（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）展开式中项的系数为 用数字作答 2．（23-24高二下·上海·期中）用1､2､3､4､5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是 .（用数字作答） 3．（23-24高三下·上海·阶段练习）的展开式中的系数为 . 4．（23-24高三下·上海奉贤·开学考试）在的展开式中，项的系数为 .（结果用数值表示） 5．（24-25高三·上海·课堂例题）展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三·上海·课堂例题）求的展开式中的系数． 【题型六 由项的系数求参数】 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）在的展开式中的系数为20，则常数 ． 2．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 3．（2025·江西新余·一模）的展开式中的系数为36，则的值为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知的展开式中的常数项为，则展开式中所有项的系数之和为 ． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知的展开式中的项的系数为15，则 ． 【题型七 系数和问题】 1．（24-25高三上·上海·开学考试）设，若，则 . 2．（23-24高二上·上海·期末）设，则 . 3．（25-26高三上·上海·单元测试）设，且. (1)求、的值； (2)求展开式中各项系数和； (3)求展开式的奇数项系数和. 4．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）已知二项式的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是. (1)求展开式中含的项； (2)求该二项式展开式的各项系数之和. 5．（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知 (1)求； (2)求． 6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知. (1)若，求中含项的系数； (2)若，求的值； 【题型八 系数最大（小）问题】 1．（23-24高二上·上海·期末）（1）求的二项展开式的中间项； （2）若，且，求中的最大值． 2．（23-24高二下·上海嘉定）设实数.对任意给定的实数，都有． (1)当时，求的值； (2)若是整数，且满足成立，求的值； (3)当m=1时， 求 的二项展开式中系数最大的项是第几项． 3．（23-24高二上·上海·课后作业）求的二项展开式中系数最大的项． 4．（23-24高二下·上海浦东新）已知的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于．求： (1)的值； (2)展开式中的常数项； (3)展开式中系数最大的项． 5．（23-24高二下·浙江·期中）已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为 (1)求实数a和n的值； (2)求展开式中系数最小的项． 6．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【题型九 赋值法求奇次项（偶次项）系数和】 1．（23-24高二下·四川德阳·期中）已知，则 . 2．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知. (1)若，成等比数列，求的值； (2)若，求的值（用数字作答）． 3．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）若，其中． (1)求的值； (2)求． 4．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）（1）计算； （2）已知. ①求； ②求. 5．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知 . (1)求； (2)求； 6．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【题型十 三项展开式系数问题】 1．（21-22高二下·上海杨浦·期末）在的展开式中，项的系数为 . 2．（吉林省长春市2025届高三下学期质量监测（二）数学试题）的展开式中，的系数为 ． 3．（2024·江苏淮安·模拟预测）的展开式中的系数是 .（用数字填写） 4．（2024·江西·模拟预测）的展开式中的系数为 ． 5．（24-25高三上·黑龙江·期末）的展开式中的系数为 .（用数字作答） 6．（2025·陕西咸阳·一模）若，则（   ）． A．1 B．5 C．10 D．15 7．（2024高三·全国·专题练习） 展开项中的常数项为（    ） A．1 B．11 C． D．51 【题型十一 两个二项展开式系数问题】 1．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知，且，则 . 2．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知，则 .（用数字作答） 3．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）的展开式中常数项是 ． 4．（2025·浙江·模拟预测）展开式中的系数为 . 5．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）的展开式中含的项的系数为 . 6．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）的展开式中的系数为（    ） A．5 B．10 C．20 D． 【题型十二 整除和余数问题】 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）若，则正整数的个位数为 ． 2．（24-25高二上·江西南昌·期末）设，且能被6整除，则的值可以为 .(写出一个满足条件的的值即可) 3．（2024·云南昆明·模拟预测）若能被13整除，则可以是（    ） A．0 B．1 C．11 D．12 4．（24-25高三上·湖北·期中）若正整数a，b满足等式，且，则（   ） A．1 B．2 C．2022 D．2023 5．（24-25高二上·全国·随堂练习）被100除所得的余数为（    ） A．1 B．81 C． D． 6．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）被9除的余数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 一、填空题 1．（24-25高三上·上海·期中）已知 ，若则实数的最大值为 . 2．（24-25高三上·上海金山·阶段练习）已知，则中正数的个数为 . 3．（23-24高二下·上海宝山·期末）设（m、n为正整数）对任意实数x都成立，若，则的最小值为 . 4．（25-26高三上·上海·单元测试）在的展开式中，项的系数为 . 5．（24-25高三·上海·课堂例题）在的展开式中，若的系数为，则 ． 6．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 . 7．（23-24高二下·上海·期中）今天星期三，再过1天是星期四，那么再过天是星期 . 8．（2024·上海徐汇·二模）已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为 . 9．（2024·上海普陀·二模）设，若，且，则 . 10．（23-24高二上·上海松江·期末）若的二项展开式的第9项为常数项，则 11．（23-24高三上·上海虹口·期中）已知，若存在使得，则k的最大值为 ． 二、单选题 12．（24-25高二上·上海·期末）已知，其中，为正整数，则“是奇数”是“存在正整数使得”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 13．（23-24高二下·江苏无锡·期中）若的展开式中第5项的二项式系数最大，则不可能取值（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 14．（22-23高二下·上海松江·期末）若的展开式中各项系数之和为，则第四项与第五项的系数之比为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·上海奉贤·一模）若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值不可能是（     ） A． B． C． D． 三、解答题 16．（25-26高三上·上海·单元测试）（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数及二项式系数. 17．（24-25高三·上海·课堂例题）若，且，求实数的值． 18．（23-24高二下·上海杨浦·期中）（1）求的二项展开式中的常数项 （2）求的二项展开式中系数最大的项（结果保留通项形式） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$