专题01 等差数列（四大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第三册）

专题01 等差数列 目录 解题知识必备 2 压轴题型讲练 2 类型一、数列 3 类型二、等差数列基本量的运算 5 类型三、等差数列的证明 9 类型四、等差数列的前n项和.....................................................................................11 压轴能力测评（20题） 23 1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． 2.等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 3.等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 4.等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 5.在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 6.．数列是等差数列⇔（为常数）． 7.等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 类型一、数列 【变式训练1】已知数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列 C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列 【答案】D 【详解】对于A，因数列满足， 若，可推得，故A错误； 对于B，当时，代入，解得， 将代入，可得， 易得，，故不是递增数列，故B错误； 对于C，若是常数列，即有，则得，解得，故C错误； 对于D，若，可得，且，故有， 又因，由对勾函数的单调性，可得是单调递增数列，故D正确． 故选：D. 【变式训练2】已知数列的前n项和为，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【详解】当n为奇数时有，函数的周期为8， 故有， ，，，，…， 按此规律循环重复下去，， 故有． 故选：B 【变式训练3】若在数列中，，，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，，，， 所以是以为周期的周期数列，所以. 故选：D 【变式训练4】已知数列的第1项和第2项均为1，以后各项由给出.若数列的各项除以3所得余数组成一个新数列，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为，，所以数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，， 此数列各项除以3的余数依次构成的数列为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，，是以8为周期的周期数列， 所以 故选：A. 类型二、等差数列的基本量运算 【变式训练1】若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【详解】因为，所以, 解得,所以等差数列为正数等差数列，所以 故选：B 【变式训练2】已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（   ） A． B．4 C．－4 D．－3 【答案】B 【详解】∵是等差数列，， ∴，解得 ∵,∴公差. 故选：B. 【变式训练3】记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 由，得，则，所以. 故选：A 【变式训练4】已知数列的前项和为，且为等差数列，若，则（   ） A．-63 B．63 C．36 D．-36 【答案】A 【详解】即，故. 设的公差为，则，解得，又， 故是首项为2，公差为1的等差数列，则，故. 则. 故选：A 【变式训练5】已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为，所以． 又因为，则， 所以数列的通项公式． （2）由（1）知，． 当时，， ； 当时，， ． 综上，. 类型三、等差数列的证明 【变式训练1】已知p：数列满足：存在正整数，对任意的，，都有，：数列是等差数列.则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】当成立时，即存在正整数，对任意的，，都有，则， 若，则，对任意的，都成立，即， 对于数列，满足上述条件，但不是等差数列，故由不能得到. 当成立时，即数列是等差数列，设等差数列的公差为， 则，，， ∴，即恒成立， ∴由能得到. 综上得，是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式训练2】（多选）下列说法错误的有（    ） A．若，，成等差数列，则，，成等差数列 B．若，，成等差数列，则，，成等差数列 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 【答案】ABD 【详解】A选项，1，2，3显然成等差数列，但是1，4，9显然不成等差数列，因此A不正确； B选项，0，0，0显然成等差数列，但是，，这三个式子没有意义， 因此B项不正确； C选项，因为，，成等差数列，所以， 因为， 所以，，成等差数列，因此C项正确； D选项，1，2，3显然成等差数列，但是，，， 显然，，不成等差数列，因此D项不正确． 故选：ABD． 【变式训练3】设为数列的前项和，. (1)求； (2)证明是等差数列. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【详解】（1）数列的前n项和， 则当时，； 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知，当时，， 因此（常数）， 所以数列是等差数列. 【变式训练4】设数列的前项和为，若，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求. 【答案】(1)证明见解析(2)210 【详解】（1）， 当时，， 两式相减得， 又 ， 故，且， 所以数列是以3为首项，公差为2的等差数列. （2）由（1）知， 所以 . 【变式训练5】设为数列的前n项和，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意，数列满足， 可得，则， 所以． 又由，所以， 所以数列表示首项为2，公差为1的等差数列． （2）由数列表示首项为2，公差为1的等差数列， 可得，所以， 当时，可得． 因为，可得，不适合上式， 所以数列的通项公式为. 【变式训练6】已知数列的前项和为，且， (1)证明是等差数列； (2)求； (3)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）证明：因为在数列中，，， 所以， 所以是以1为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）可知是以1为首项，3为公差的等差数列,， 所以. 同理由，可得. 又因为， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 故， 则. 所以. （3）证明：因为， 所以. 因为 所以， 即. 类型四、等差数列的前n项 【变式训练1】设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列为等差数列， 由； 由. 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B 【变式训练2】记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由有，故A错误； 由，，所以，故C正确； ，故B错误； 由，故D错误. 故选：C. 【变式训练3】（多选）已知等差数列的前项和为，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．当时，的最大值为18 【答案】AB 【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，且， 可得，即，故A正确； 对于选项B：因为，可知等差数列的公差， 所以等差数列为递减数列，即，故B正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：当时，；当时，； 即， 当时，，当且仅当时，等号成立， 当时，， 所以当时，的最小值为18，故D错误； 故选：AB. 【变式训练4】（多选）等差数列是递增数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（   ） A． B． C．时n的最小值为8 D．当时最小 【答案】ABC 【详解】对A，设公差为d，因为等差数列是递增数列，则，故A正确； 对B，因为，则，即，故B正确； 对D，，则对称轴为，开口向上，所以当或4时，取得最小值，故D错误； 对C，由，即0，即，解得（舍去）或，所以时，n的最小值为8，故C正确． 故选：ABC 【变式训练5】已知数列为等差数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)是数列中的项吗？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由； (3)求数列前项和的最大值. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为数列为等差数列，且，，则， 解得，， 所以，. （2）令，得， 又，故不是数列的项. （3）设数列的前项和为， 法1：， 所以当时，取最大值，最大值为. 法2：因为，所以数列单调递减， 令，得， 又由，故前项均为正数，且， 所以前项和最大，. 1．已知数列满足：①任意相邻两项的积不等于1；②任意相邻的连续三项相乘之积等于这三项相加之和；③，.记数列的前项和为，则的值为（   ） A．27 B．26 C．25 D．24 【答案】C 【详解】依题意且，则， 相减得，故， 因为，所以，故 故数列是周期为3的数列，由，及可得， 所以 ， 故选：C. 2．南宋数学家杨辉所著《九章算法•商功》中，有如下图形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个，第三层有6个…，设各层球数构成一个数列，数列满足，以下说法错误的是（    ） A． B． C．是以2为首项，1为公差的等差数列 D．设的前项和为，则 【答案】D 【详解】，故A正确； ，故B正确； 由图形可知：， ，故C正确； ，故D错误. 故选：D. 3．若四个正数，，，成等差数列，是和的等差中项，，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，，，， 因为，当且仅当时，等号成立， 又，，，成等差数列，故时，等号成立， 所以． 故选：B 4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（    ） A．24294 B．24296 C．24298 D．24300 【答案】C 【详解】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列， 构成首项为，公差为的等差数列， 所以， 则. 故选：C. 5．（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（   ） A． B．该数列的前2024项中能被3整除的有507项 C．是偶数 D． 【答案】AD 【详解】对A选项：因为，即， 所以， 又，所以.故A正确； 对B：因为“斐波那契数列”的前若干项依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，它们除以3所得的余数为：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0，…，可以发现余数是以1,1,2,0,2,2,1,0为周期的，在一个周期内有两个能被3整除的数. 又，所以该数列的前2024项中能被3整除的有个.故B不正确； 对C：因为均为奇数，且奇数奇数为偶数，所以为偶数； 因为奇数偶数为奇数，所以为奇数；… 所以“斐波那契数列”中的项是“奇，奇，偶”规律出现的，又，所以 为奇数，故C不正确； 对D：因为 … 因为，所以.故D正确. 故选：AD 6．（多选）意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（Leonardo Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，该数列的特点是：前面个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时，随着趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618，因此又称“黄金分割数列”，其通项公式为，它是用无理数表示有理数数列的一个范例.记斐波那契数列为，其前项和为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A：可以发现， 因此我们归纳，猜想， 事实上，，故A错误； ， ， 选项B：计算可得，故B正确； 选项C：由及，， 故，故C正确； 选项D：可以发现，，，归纳得到， 事实上， 故，故D正确. 故选：BCD 7．（多选）已知数列的前项和为，，且对于任意，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为对于任意，满足， 则，可得， 数列在时是等差数列，公差为2． 且，则，，故A错误，B正确； ，，故C错误，D正确. 故选：BD. 8．（多选）设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【详解】等差数列的公差为，前项和为，，，， 对于A选项，，可得， ，可得，则，A对； 对于B选项，，解得， ，解得， 因此，的取值范围是，B错； 对于C选项，因为，所以，数列为单调递减数列，且， 当且时，， 当且时，， 所以，的最大值为，C错； 对于D选项，因为数列为单调递减数列， 且当且时，，此时，，则， 当且时，，此时，数列单调递减， 当且时，，此时，， 当且时，，此时，， 所以，要考虑的最小值，只需考虑即可， 当时， ，即，此时数列单调递增， 所以，的最小值为，D对. 故选：AD. 9．（多选）设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（   ） A．时，取最大值 B． C．若， D．若时， 【答案】BC 【详解】等差数列中， ∵，∴，解得， 对选项A，因为， 所以， 因为无法确定的正负性，所以无法确定是否有最大值，故A错误， 对选项B，，故B正确， 对选项C，因为，所以，故C正确， 对选项D，，， ∵，∴、，，故D错误， 故选：BC. 10．1202年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列，即…该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用．若此数列各项被3除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为 ． 【答案】 【详解】由数列…各项除以的余数， 可得数列为，所以数列是周期为的数列， 一个周期中项和为， 又因为， 所以的前项的和． 故答案为： 11．在等差数列中，，则 ，数列的前项的和最小． 【答案】10或11 【详解】设数列的公差为， 因为，所以， 所以，则． 所以． 令，则，其中， 所以当或11时，有最小值． 故答案为：10或11 12．设等差数列的前n项和为，且，则当 时，最小． 【答案】2023 【详解】根据等差数列的前n项和公式和性质得： ， ， 的前2023项为负，从2024项开始为正，故前2023项和最小． 故答案为：2023 13．在等差数列中，，记，则数列的前30项和为 ． 【答案】755 【详解】当时，，当时，， 故 ． 故答案为：755 14．已知直线与直线互相平行，等差数列的公差为，且，，令，则的值为 ． 【答案】52 【详解】由题意知，因为两直线平行，所以，解得， 由，解得或， 又，则， 由，解得， 故， 则 故答案为：52 15．已知数列的前n项和满足，且． (1)求证：数列为等差数列； (2)记为数列的前n项和，求使成立的n的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）由可得为等差数列，且公差为1，首项为1， 故，即， 当时，，故， 当时，也符合， 故， 因此时，，故为等差数列，且公差为2， （2）， 故， 由可得， 故， 由于为开口向上，且对称轴为的二次函数， 故在单调递增，且， 因此使成立的n的最小值为2. 16．数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）由，可得， 数列是以为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）知，． 16．已知函数，点在曲线 上，且 ． (1)求证：数列为等差数列； (2)设，记 ，求 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为点在曲线上， 所以，且 ， ， 故数列是首项为1，公差为4的等差数列． （2）由（1）知，则． 因为 ，所以， 则， 故． 17．设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，                ①， 当时，       ② 由①②得：，即 ． 又时，满足. （2）由得，. ①当n为偶数时， 此时，，故 ②当n为奇数时， 综上，当时，． 18．若数列的前n项和为，且满足． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，且． ， 即． 即．又． 故数列是以首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）知， ，当时， ， 当时，不适合上式， 故 19．已知：数列的前项和为，，当时． (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过的最大整数，设，求数列前2025项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，且， 可得，整理得， 即，且， 所以数列为以1为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）可得：，即， 由定义可得：， 当时，，即， 所以； 当且时，不是整数， 可设，则， 则，可得； 综上所述：. 在上，，， 所以. 20．已知等差数列满足，正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)求的前项积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， ， ，即，解得， ； （2）由(1)可知， ， 当时，，又，所以， 所以， 则. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 等差数列 目录 解题知识必备 2 压轴题型讲练 2 类型一、数列 2 类型二、等差数列基本量的运算 3 类型三、等差数列的证明 4 类型四、等差数列的前n项和.....................................................................................6 压轴能力测评（20题） 9 1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． 2.等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 3.等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 4.等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 5.在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 6.．数列是等差数列⇔（为常数）． 7.等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 类型一、数列 【变式训练1】已知数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列 C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列 【变式训练2】已知数列的前n项和为，则（   ） A． B．0 C． D． 【变式训练3】若在数列中，，，则（   ） A．2 B． C． D． 【变式训练4】已知数列的第1项和第2项均为1，以后各项由给出.若数列的各项除以3所得余数组成一个新数列，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 类型二、等差数列的基本量运算 【变式训练1】若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式训练2】已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（   ） A． B．4 C．－4 D．－3 【变式训练3】记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式训练4】已知数列的前项和为，且为等差数列，若，则（   ） A．-63 B．63 C．36 D．-36 【变式训练5】已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和． 类型三、等差数列的证明 【变式训练1】已知p：数列满足：存在正整数，对任意的，，都有，：数列是等差数列.则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式训练2】（多选）下列说法错误的有（    ） A．若，，成等差数列，则，，成等差数列 B．若，，成等差数列，则，，成等差数列 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 【变式训练3】设为数列的前项和，. (1)求； (2)证明是等差数列. 【变式训练4】设数列的前项和为，若，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求. 【变式训练5】设为数列的前n项和，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【变式训练6】已知数列的前项和为，且， (1)证明是等差数列； (2)求； (3)求证： 类型四、等差数列的前n项 【变式训练1】设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练3】（多选）已知等差数列的前项和为，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．当时，的最大值为18 【变式训练4】（多选）等差数列是递增数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（   ） A． B． C．时n的最小值为8 D．当时最小 【变式训练5】已知数列为等差数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)是数列中的项吗？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由； (3)求数列前项和的最大值. 1．已知数列满足：①任意相邻两项的积不等于1；②任意相邻的连续三项相乘之积等于这三项相加之和；③，.记数列的前项和为，则的值为（   ） A．27 B．26 C．25 D．24 2．南宋数学家杨辉所著《九章算法•商功》中，有如下图形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个，第三层有6个…，设各层球数构成一个数列，数列满足，以下说法错误的是（    ） A． B． C．是以2为首项，1为公差的等差数列 D．设的前项和为，则 3．若四个正数，，，成等差数列，是和的等差中项，，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（    ） A．24294 B．24296 C．24298 D．24300 5．（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（   ） A． B．该数列的前2024项中能被3整除的有507项 C．是偶数 D． 6．（多选）意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（Leonardo Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，该数列的特点是：前面个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时，随着趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618，因此又称“黄金分割数列”，其通项公式为，它是用无理数表示有理数数列的一个范例.记斐波那契数列为，其前项和为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知数列的前项和为，，且对于任意，满足，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的最大值为 D．的最小值为 9．（多选）设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（   ） A．时，取最大值 B． C．若， D．若时， 10．1202年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列，即…该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用．若此数列各项被3除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为 ． 11．在等差数列中，，则 ，数列的前项的和最小． 12．设等差数列的前n项和为，且，则当 时，最小． 13．在等差数列中，，记，则数列的前30项和为 ． 14．已知直线与直线互相平行，等差数列的公差为，且，，令，则的值为 ． 15．已知数列的前n项和满足，且． (1)求证：数列为等差数列； (2)记为数列的前n项和，求使成立的n的最小值． 16．数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 16．已知函数，点在曲线 上，且 ． (1)求证：数列为等差数列； (2)设，记 ，求 ． 17．设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)证明：当时，． 18．若数列的前n项和为，且满足． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式． 19．已知：数列的前项和为，，当时． (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过的最大整数，设，求数列前2025项和． 20．已知等差数列满足，正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)求的前项积. 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$